Cu ce factor anulez o rețetă mărită cu 9/2?

Cu inversul, 2/9: rețeta pentru 18 copii revine la cea pentru 4 copii, fiindcă 9/2 · 2/9 = 1. O scădere cu o fracție nu anulează o creștere cu aceeași fracție.

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Grupuri de numere și ce nu e grup

Cum verific dacă o mulțime de numere este grup?

Un grup cere patru lucruri: lege internă, asociativitate, element neutru în mulțime și simetric pentru fiecare element. Verifici pe rând că rezultatul legii rămâne în mulțime, că gruparea termenilor nu schimbă rezultatul și că neutrul și simetricele sunt tot acolo. $(Q^{*}, \cdot)$ e grup: neutrul 1, inversul lui $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{2}$ . $(N, +)$ nu e grup, fiindcă 3 nu are opus natural. La o rețetă adaptată de la 18 la 12 copii, factorul $\frac{2}{3}$ se anulează cu $\frac{3}{2}$ .

Un grup este o mulțime cu o lege care îndeplinește patru condiții: legea e internă, e asociativă, are element neutru și fiecare element are un simetric în mulțime. Cu adunarea, $Z$ , $Q$ și $R$ sunt grupuri, cu neutrul $0$ și opusul $- x$ . Cu înmulțirea, grupuri sunt $Q^{*}$ și $R^{*}$ , fără zero, cu neutrul $1$ și inversul $\frac{1}{x}$ .

Nu sunt grupuri $(N, +)$ , unde 3 nu are opus, $(Z^{*}, \cdot)$ , unde 2 nu are invers, și $(Q, \cdot)$ , unde 0 nu are invers. Factorii cu care mărești sau micșorezi o rețetă sunt numere raționale pozitive: două adaptări la rând înmulțesc factorii, iar o adaptare se anulează cu inversul factorului, de pildă $\frac{2}{3}$ cu $\frac{3}{2}$ .

La o lege dată prin formulă, neutrul și simetricul se calculează din ecuațiile $x * e = x$ și $x * x^{'} = e$ , apoi verifici că sunt în mulțime. Pe $(41, + \infty)$ , legea $(x - 41) (y - 41) + 41$ are neutrul 42, iar simetricul lui 43 e $\frac{83}{2}$ .

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), cuvântul „grup” nu a apărut în probele 2013–2026, dar elementul neutru s-a cerut în 35 de probe, iar simetricul în 5. Greșeala tipică: neutrul luat 0 sau 1 fără calcul.

De reținut

grup: lege internă, asociativă, cu neutru și cu simetric pentru fiecare element
$(Z, +)$ , $(Q^{*}, \cdot)$ , $(R^{*}, \cdot)$ sunt grupuri; $(N, +)$ nu
neutrul și simetricul se calculează din ecuații, apoi se verifică în mulțime

Greșeala tipică

Se ia neutrul 1 la orice lege cu produs: la $x * y = (x - 41) (y - 41) + 41$ , $43 * 1 = - 39$ , nu 43. Neutrul corect, din ecuație, e 42.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele, cu legea scrisă, este grup?
- a) $(N, +)$
- b) $(Z^{*}, \cdot)$
- c) $(Q^{*}, \cdot)$
- d) $(Q, \cdot)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(Q^{*}, \cdot)$

În $Q^{*}$ orice număr are inversul $\frac{1}{x}$ , tot rațional nenul. În $(N, +)$ lipsesc opusele, în $(Z^{*}, \cdot)$ lipsește inversul lui 2, iar în $(Q, \cdot)$ zero nu are invers.
O educatoare a adaptat rețeta de aluat de la 4 la 10 copii, adică a înmulțit cantitățile cu $\frac{5}{2}$ . Cu ce factor revine la rețeta pentru 4 copii?
- a) $\frac{2}{5}$
- b) $\frac{5}{2}$
- c) $- \frac{5}{2}$
- d) $\frac{3}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2}{5}$

Inversul lui $\frac{5}{2}$ în grupul numerelor raționale pozitive e $\frac{2}{5}$ , fiindcă $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} = 1$ . Varianta $- \frac{5}{2}$ e opusul, potrivit la adunare, iar $\frac{3}{5}$ vine din scăderea $1 - \frac{2}{5}$ .
Pe $G = (44, + \infty)$ , legea $x * y = x y - 44 x - 44 y + 1980$ e grup, cu neutrul 45. Care este simetricul lui 46?
- a) $\frac{89}{2}$
- b) $44$
- c) $\frac{1}{46}$
- d) $45$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{89}{2}$

Legea e $(x - 44) (y - 44) + 44$ , iar $(46 - 44) (x^{'} - 44) = 1$ dă $x^{'} = 44 + \frac{1}{2} = \frac{89}{2}$ . Verificare: $46 * \frac{89}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} + 44 = 45$ . Varianta $\frac{1}{46}$ e inversul obișnuit, 45 e neutrul, iar 44 nu e în $G$ .

Întrebări conexe

De ce $Z^{*}$ cu înmulțirea nu este grup?

Fiindcă 2 nu are invers întreg: $2 \cdot x = 1$ cere $x = \frac{1}{2}$ , care nu e întreg. Legea e internă, asociativă și are neutrul 1, dar o singură condiție care cade ajunge.

Cum găsesc neutrul unei legi date prin formulă?

Rezolvi $x * e = x$ pentru orice $x$ . La $x * y = (x - 41) (y - 41) + 41$ obții $(x - 41) (e - 41) = x - 41$ , deci $e = 42$ . Mai rămân două probe: numărul găsit trebuie să aparțină mulțimii, iar egalitatea $e * x = x$ trebuie să țină și ea, dacă legea nu e comutativă.

Cu ce factor anulez o rețetă mărită cu $\frac{9}{2}$ ?

Cu inversul, $\frac{2}{9}$ : rețeta pentru 18 copii revine la cea pentru 4 copii, fiindcă $\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = 1$ . O scădere cu o fracție nu anulează o creștere cu aceeași fracție.

Este $(- 1, 1)$ cu înmulțirea grup?

Nu. Produsul a două numere din interval rămâne în interval, fiindcă $∣ x y ∣ < 1$ , dar neutrul înmulțirii e 1, care nu aparține lui $(- 1, 1)$ . Fără element neutru nu are sens nici simetricul, deci mulțimea nu e grup.

Ce diferă între opus și invers?

Opusul e simetricul la adunare, cu neutrul 0: opusul lui 3 e $- 3$ . Inversul e simetricul la înmulțire, cu neutrul 1: inversul lui 3 e $\frac{1}{3}$ . La o lege dată, simetricul se calculează față de neutrul ei.

Oamenii mai întreabă și: cele patru conditii ale grupului pe multimi de numere · de ce n cu adunarea nu e grup · grupul numerelor rationale nenule cu inmultirea · cum aflu neutrul si simetricul intr-un grup