Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Simetricul: cine îl are și cine nu

Cum verific dacă un număr e simetricul altuia?

Compui cele două numere și compari rezultatul cu elementul neutru; nu rezolvi nicio ecuație. La legea $x * y = 7 (x + y) - x y - 42$ , cu neutrul $e = 6$ : $9 * \frac{15}{2} = - (9 - 7) (\frac{15}{2} - 7) + 7 = - 1 + 7 = 6$ , deci $\frac{15}{2}$ este simetricul lui 9. Dacă legea nu e comutativă, calculezi și cealaltă ordine. Un rezultat diferit de neutru arată doar că perechea aleasă nu e bună, nu că primul număr n-ar avea simetric.

Fie $\circ$ o lege pe mulțimea $M$ , cu elementul neutru $e$ . Un element $x$ este simetrizabil dacă există $x^{'} \in M$ cu $x \circ x^{'} = x^{'} \circ x = e$ ; numărul $x^{'}$ este simetricul lui $x$ . Fără element neutru nu există simetric, de aceea primul pas este mereu aflarea lui $e$ .

Simetricul se află din ecuația $x \circ x^{'} = e$ , cu $x$ dat și $x^{'}$ necunoscut. La legea $x \circ y = x + y + 22$ , neutrul este $- 22$ , iar simetricul lui 4 este $- 48$ . La înmulțirea pe $(0, + \infty)$ , simetricul este inversul obișnuit: o copiere la 200 % se anulează cu una la 50 %.

Un element nu are simetric dacă ecuația nu are soluție sau dacă soluția iese din mulțime. La legile scrise $k (x - a) (y - a) + a$ , numărul $a$ absoarbe și nu are simetric. Aceeași lege poate avea pe $Q$ toate elementele simetrizabile, în afară de cel care absoarbe, și pe $Z$ doar câteva.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), simetricul s-a cerut în 5 din cele 60 de probe din 2013–2026, în trei forme: verifici o pereche, afli simetricul unui număr sau afli numărul din simetricul lui. Proba rapidă: compui $x$ cu răspunsul și trebuie să obții exact $e$ .

De reținut

verificarea: compui perechea și compari cu neutrul $e$ , nu cu 0
la o lege comutativă ajunge o singură ordine
un rezultat diferit de $e$ arată doar că perechea nu e bună

Greșeala tipică

Se compară compunerea cu 0: la legea $x \circ y = 2 x y + 10 x + 10 y + 45$ , egalitatea $(- 4) \circ (- \frac{5}{2}) = 0$ pare să arate o pereche de simetrice, deși neutrul legii este $- \frac{9}{2}$ . Corect se compară cu $e$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se definește legea $x \circ y = x + y + 15$ , cu elementul neutru $e = - 15$ . Care este simetricul numărului $5$ ?
- a) $- 5$
- b) $- 35$
- c) $- 20$
- d) $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 35$

Din $5 + x^{'} + 15 = - 15$ rezultă $x^{'} = - 35$ . Verificare: $5 \circ (- 35) = 5 - 35 + 15 = - 15$ . Varianta $- 5$ este opusul, bun doar la adunarea obișnuită; $- 20$ rezolvă $5 + x^{'} + 15 = 0$ , cu 0 în locul neutrului; $25$ are semnul greșit.
O educatoare a copiat o planșă la 250 %. Copierile se compun prin înmulțirea factorilor, iar copierea la 100 % nu schimbă nimic. Cu ce setare trebuie copiată planșa mărită, ca să revină la mărimea inițială?
- a) $- 150$ %
- b) $150$ %
- c) $40$ %
- d) $25$ %
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $40$ %

Factorul 2,5 are simetricul $\frac{1}{2 , 5} = 0, 4$ , adică 40 %. Verificare: $2, 5 \cdot 0, 4 = 1$ . Variantele $150$ % și $- 150$ % scad procentele în loc să le înmulțească, iar $25$ % ar micșora planșa de patru ori.
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = 2 x y + 14 x + 14 y + 91$ , care se scrie $2 (x + 7) (y + 7) - 7$ și are elementul neutru $- \frac{13}{2}$ . Care număr NU are simetric?
- a) $- \frac{13}{2}$
- b) $0$
- c) $- 7$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 7$

Pentru $- 7$ , ecuația $2 \cdot 0 \cdot (x^{'} + 7) - 7 = - \frac{13}{2}$ devine $- 7 = - \frac{13}{2}$ , fără soluție: $- 7$ absoarbe. Neutrul $- \frac{13}{2}$ este propriul simetric, iar 0 are simetricul $- 7 + \frac{1}{28} = - \frac{195}{28}$ și 7 are simetricul $- 7 + \frac{1}{56} = - \frac{391}{56}$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă nu știu încă elementul neutru?

Îl afli întâi, din $x \circ e = x$ pentru orice $x$ , fiindcă simetricul se compară cu el. La legea $x \circ y = x + y + 22$ : $x + e + 22 = x$ dă $e = - 22$ . Abia apoi verifici o pereche: $4 \circ (- 48) = 4 - 48 + 22 = - 22 = e$ , deci $- 48$ este simetricul lui 4.

Ce greșeală apare cel mai des la verificare?

Compararea cu 0 în loc de neutru. La legea $x \circ y = 2 x y + 10 x + 10 y + 45$ , cu $e = - \frac{9}{2}$ , avem $(- 4) \circ (- \frac{5}{2}) = 0$ , dar 0 nu e neutrul, deci $- \frac{5}{2}$ nu este simetricul lui $- 4$ . Simetricul corect e $- \frac{19}{4}$ .

Pot verifica pe forma cu paranteze a legii?

Da, e mai rapid. Pentru $x * y = - (x - 7) (y - 7) + 7$ calculezi diferențele față de 7 și le înmulțești: la perechea $9$ și $\frac{15}{2}$ , diferențele sunt 2 și $\frac{1}{2}$ , produsul lor este 1, iar $- 1 + 7 = 6$ , exact neutrul. Calculul desfăcut dă același rezultat.

Dacă rezultatul compunerii nu e neutrul, ce scriu?

Scrii că numărul nu este simetricul celuilalt și dai calculul. La legea $x * y = - (x - 7) (y - 7) + 7$ , cu neutrul 6, $9 * 8 = - 2 \cdot 1 + 7 = 5$ , iar $5 \neq = 6$ , deci 8 nu este simetricul lui 9. Asta nu înseamnă că 9 nu are simetric: îl are, pe $\frac{15}{2}$ .

Trebuie verificate ambele ordini ale compunerii?

La o lege comutativă ajunge o ordine, fiindcă $x * x^{'} = x^{'} * x$ ; comutativitatea trebuie însă cunoscută sau arătată. Legea $- (x - 7) (y - 7) + 7$ nu se schimbă când schimbi $x$ cu $y$ , deci e comutativă. La o lege necomutativă calculezi și $x^{'} * x$ .

Cum apare verificarea simetricului la Bacalaureatul M4?

Din cele 60 de probe M_pedagogic date între 2013 și 2026, cinci au avut o cerință cu simetricul. Trei dintre ele au cerut chiar verificarea unei perechi date, cu neutrul aflat la cerința imediat dinainte; celelalte două au cerut simetricul unui număr și, respectiv, numărul aflat din simetricul lui.

Oamenii mai întreabă și: verificați dacă un număr este simetricul altui număr · cum arăt că două numere sunt simetrice față de o lege · verificarea simetricului la bacalaureat pedagogic · perechi de simetrice față de o lege de compoziție