Grupuri de numere la pedagogic: ℤ, ℚ*, ℝ*

O educatoare care adaptează rețeta de aluat de sare la grupe cu alt număr de copii înmulțește cantitățile cu factori, iar orice schimbare se poate anula cu un alt factor. Așa se poartă un grup: o lege care se poate face mereu, un element care nu schimbă nimic și, pentru fiecare element, unul care îl anulează. Pe ℤ, ℚ*, ℝ* și pe un interval, verificăm aici cele patru condiții, la nivelul clasei a XI-a de pedagogic. Grupul intră în programa probei de matematică a Bacalaureatului M4 (M_pedagogic).

Situația de pornire

Pentru modelaj, o educatoare folosește o rețetă de aluat de sare scrisă pentru 4 copii: 2 căni de făină, 1 cană de sare și $\frac{3}{4}$ cană de apă. Luni face aluat pentru grupa ei, apoi, în zilele următoare, pornește de fiecare dată de la cantitățile din ziua de dinainte, fiindcă le are notate pe o fișă.

Cana ei gradată are semne din sfert în sfert de cană. Joi vin iar 18 copii, iar educatoarea vrea să ajungă la cantitățile de luni pornind de la cele de marți, nu de la miercuri.

Întrebare: cu ce factor a trecut educatoarea de la o zi la alta, ce factor anulează schimbarea de marți și dacă educatoarea poate măsura apa de luni cu cana ei?

De la situație la model

Adaptarea rețetei înmulțește toate cantitățile cu același număr: de la 4 la 18 copii factorul e $\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$. Două adaptări una după alta înmulțesc factorii: de la rețetă la luni și apoi la marți, $\frac{9}{2}\cdot \frac{2}{3}=3$, adică de la 4 la 12 copii. Factorii sunt numere raționale pozitive, iar legea lor e înmulțirea.

Ce este un grup?

Grupul este o mulțime $G$ cu o lege de compoziție $\ast$ care îndeplinește patru condiții: legea e internă, adică $x\ast y\in G$ pentru orice $x,y\in G$; e asociativă; are un element neutru $e\in G$, cu $x\ast e=e\ast x=x$; iar fiecare $x\in G$ are un simetric $x^{\prime }\in G$, cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$. Dacă, în plus, legea e comutativă, grupul e comutativ. La adunare, simetricul se numește opus; la înmulțire, invers.

Care mulțimi de numere sunt grupuri?

Cu adunarea, ℤ, ℚ și ℝ sunt grupuri comutative: elementul neutru e $0$, iar opusul lui $x$ e $-x$, tot din mulțime. Cu înmulțirea, grupuri sunt mulțimile fără zero, ${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ și ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$: neutrul e $1$, iar inversul lui $x$ e $\frac{1}{x}$. Factorii rețetei stau și ei într-un grup: numerele raționale pozitive cu înmulțirea, fiindcă produsul și inversul unor numere raționale pozitive sunt tot raționale pozitive.

De ce contează mulțimea?

Aceeași lege poate da grup pe o mulțime și nu pe alta. $(\mathbb{N},+)$ nu e grup: $0$ e neutru, dar $3$ nu are opus natural. $({\mathbb{Z}}^{\ast },\cdot )$ nu e grup, fiindcă $2$ nu are invers întreg. $(\mathbb{Q},\cdot )$ nu e grup, fiindcă $0$ nu are invers. Nici cantitățile care se măsoară din sfert în sfert de cană nu formează grup cu înmulțirea: $\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$ nu mai e un număr de sferturi, deci legea nu e internă.

Metoda pas cu pas

1. Verifică că legea e internă pe mulțime. Pe o mulțime de numere cauți întâi un contraexemplu; pe un interval arăți cu inegalități că rezultatul rămâne în interval.
2. Verifică asociativitatea. La adunarea și înmulțirea obișnuite ea vine din ℝ; la o lege dată prin formulă calculezi ambele grupări, iar forma cu paranteze, de tipul $(x-a)(y-a)+a$, scurtează calculul.
3. Află elementul neutru: rezolvi $x\ast e=x$ pentru orice $x$, apoi verifici că $e$ e în mulțime și că $e\ast x=x$.
4. Află simetricul: rezolvi $x\ast x^{\prime }=e$ și verifici că $x^{\prime }$ e în mulțime pentru orice $x$ din ea. Un singur element fără simetric ajunge ca mulțimea să nu fie grup.
5. Dacă se cere grup comutativ, verifică și $x\ast y=y\ast x$.

Oprește-te la prima condiție care cade și spune care e. La pasul 3 lucrezi cu ecuația, nu ghicești: neutrul unei legi date prin formulă rar e $0$ sau $1$.

Proprietățile unei legi, una câte una, sunt în lecția despre asociativitate, comutativitate și element neutru, simetricul, în lecția despre elementele simetrizabile, iar grupul format de clasele de resturi, în lecția despre grupul ℤₙ și în cea despre clasele de resturi ℤₙ și tablele lor. Toate lecțiile clasei sunt în traseul de la pedagogic, clasa a XI-a.

Fișa de buzunar

$$x\ast y\in G,(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z),x\ast e=e\ast x=x,x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$$

Simetricul se calculează din neutrul legii, nu din $0$ sau din $1$. Proba: compui elementul cu simetricul găsit și trebuie să obții neutrul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Aluatul de sare de-a lungul săptămânii

Domeniu: atelier.

Enunț. Reia rețeta din situația de pornire, pentru 4 copii, și zilele luni (18 copii), marți (12 copii) și miercuri (10 copii). a) Cu ce factor a trecut educatoarea de la luni la marți și de la marți la miercuri? Ce factor dă direct cantitățile de miercuri din rețetă? b) Ce factor aplicat cantităților de marți duce la cele de luni? c) Poate măsura apa de luni cu cana gradată din sfert în sfert?

Rezolvare. a) Pasul 1: de la luni la marți, factorul e $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$; de la marți la miercuri, $\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$. Produsul celor trei factori e $\frac{9}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{6}=\frac{90}{36}=\frac{5}{2}$, adică de la 4 la 10 copii. b) Pasul 4: în grupul numerelor raționale pozitive, inversul lui $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{2}$, deci făina trece de la 6 căni la $6\cdot \frac{3}{2}=9$ căni. c) Apa de luni e $\frac{3}{4}\cdot \frac{9}{2}=\frac{27}{8}$ căni, adică 3 căni și $\frac{3}{8}$ de cană. Semnele canei sunt la $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, iar $\frac{3}{8}$ cade exact între primele două: cantitatea nu se poate măsura direct.

Capcană. Cine crede că o scădere cu o treime se anulează cu o creștere cu o treime pune marți $6+\frac{1}{3}\cdot 6=8$ căni de făină, nu 9. Inversul lui $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{2}$, adică o creștere cu jumătate, nu cu o treime.

Verificare. Pe alt drum, pornești direct de la rețetă: pentru 18 copii făina e $2\cdot \frac{18}{4}=9$ căni, iar pentru 10 copii, $2\cdot \frac{10}{4}=5$ căni.

Exemplul 2 — Caietul fondului clasei

Domeniu: fond.

Enunț. Părintele care ține fondul clasei a IV-a notează încasările cu plus și plățile cu minus, în lei: $+250$ din contribuții, $-85$ pentru cărți, $-45$ pentru biletele la teatru, încă o dată $-45$, trecut de două ori din greșeală, și $+120$ de la târgul de toamnă. a) Ce sold arată caietul? b) Cum se corectează plata trecută de două ori și ce sold rămâne? c) De ce nu s-ar putea ține caietul doar cu numere naturale?

Rezolvare. a) În grupul $(\mathbb{Z},+)$: $250-85-45-45+120=195$ de lei. b) Pasul 4: plata dublată se anulează adunând opusul ei, $+45$, deci soldul corect e $195+45=240$ de lei. c) În $(\mathbb{N},+)$ nu există opuse: o plată nu se poate scrie ca număr natural, iar o încasare greșită nu se poate anula.

Capcană. Cine „corectează” plata dublată scăzând-o încă o dată ajunge la $195-45=150$ de lei. O operație se anulează cu opusul ei, adică exact cu aceeași sumă luată cu semn schimbat.

Verificare. Pe alt drum, aduni doar înregistrările corecte: $250-85-45+120=240$ de lei.

Exemplul 3 — Un grup pe un interval

Domeniu: algebra.

Enunț. Pe $G=(41,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=xy-41x-41y+1722$. Arată că $(G,\ast )$ e grup comutativ și află simetricul lui 43.

Rezolvare. Forma cu paranteze: $x\ast y=(x-41)(y-41)+41$, fiindcă $(x-41)(y-41)=xy-41x-41y+1681$. Pasul 1: pentru $x,y>41$, ambii factori sunt pozitivi, deci $x\ast y>41$. Pasul 2: ambele grupări dau $(x-41)(y-41)(z-41)+41$. Pasul 3: $(x-41)(e-41)+41=x$ pentru orice $x$ cere $e-41=1$, deci $e=42$, care e în $G$. Pasul 4: $(x-41)(x^{\prime }-41)=1$ dă $x^{\prime }=41+\frac{1}{x-41}$, mai mare decât 41. Pasul 5: $(x-41)(y-41)=(y-41)(x-41)$. Deci $(G,\ast )$ e grup comutativ, iar simetricul lui 43 e $41+\frac{1}{2}=\frac{83}{2}$.

Capcană. Cine ia neutrul $e=1$, ca la înmulțirea obișnuită, are $43\ast 1=2\cdot (-40)+41=-39$, un număr care nici nu e în $G$. Neutrul se află din ecuație: aici e 42.

Verificare. Pe alt drum, pe numere: $43\ast 42=2\cdot 1+41=43$ și $43\ast \frac{83}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+41=42$, neutrul.

Exemplul 4 — Problema inversă: povestea video încetinită

Domeniu: video.

Enunț. La activitatea de după-amiază, educatoarea proiectează o poveste video care durează 2 minute și 24 de secunde. Ca să le dea copiilor timp să urmărească imaginile, o încetinește, iar povestea durează acum 3 minute și 12 secunde. Viteza de redare înmulțește durata cu inversul ei. Ce viteză a ales educatoarea?

Rezolvare. Duratele sunt 144 s și 192 s, deci durata s-a înmulțit cu $\frac{192}{144}=\frac{4}{3}$. Viteza $v$ verifică, în grupul numerelor raționale pozitive cu înmulțirea, ecuația $\frac{1}{v}=\frac{4}{3}$. Pasul 4: inversul lui $\frac{4}{3}$ e $\frac{3}{4}$, deci $v=\frac{3}{4}$: educatoarea a ales viteza $0,75$, adică trei sferturi din viteza normală.

Capcană. Cine ia viteza egală cu raportul duratelor alege $\frac{4}{3}$, aproximativ $1,33$, adică o redare mai rapidă: povestea ar dura doar $144\cdot \frac{3}{4}=108$ s.

Verificare. Pe alt drum, înainte: la viteza $0,75$, cele 144 s de poveste durează $144:0,75=192$ s, adică 3 minute și 12 secunde.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Spune care dintre $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{N},+)$, $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{Z}}^{\ast },\cdot )$ sunt grupuri și, pentru celelalte, ce condiție cade.

2. În grupul $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ scrie neutrul și inversul numerelor $\frac{3}{4}$, $-2$ și $0,5$.

3. În grupul $(\mathbb{R},+)$ scrie neutrul și opusul numerelor $\sqrt{2}-3$ și $-\frac{7}{3}$.

4. Arată că $(\mathbb{R},\cdot )$ nu e grup, deși înmulțirea e asociativă și are neutrul 1.

Nivelul 2 — situații

5. O cană de făină cântărește 130 g, iar o lingură de făină 10 g. a) Cu ce factor treci de la căni la grame, de la grame la linguri și de la căni la linguri? b) Ce factor duce linguri în căni? c) Câte linguri de făină sunt în cele 9 căni de luni?

6. La ora de matematică de la clasa I, numerele întregi se arată cu discuri bicolore: un disc cu fața roșie în sus valorează $+1$, unul cu fața albastră $-1$. a) Ce valoare are o grămadă cu 7 discuri roșii și 4 albastre? b) Câte discuri și de ce culoare trebuie adăugate ca valoarea să ajungă la 0? c) De ce nu s-ar putea face asta numai cu discuri roșii?

7. Planul clasei e desenat la scara 1:50. a) La ce scară ajunge planul redesenat de 2 ori mai mare? b) Cu ce factor revii din desenul nou la 1:50? c) Cu ce factor obții, direct din planul inițial, scara 1:20?

8. Un cântar de bucătărie are butonul TARA, care face ca afișajul să arate 0 cu bolul pe el. Bolul are $0,35$ kg. Educatoarea apasă TARA, pune $0,6$ kg de făină, apoi ridică bolul cu făina de pe cântar. a) Ce arată afișajul după ce bolul e ridicat? b) Ce operație din grupul $(\mathbb{Q},+)$ face butonul TARA?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pe ℝ se definește legea $x\ast y=x+y-32$. Arată că $(\mathbb{R},\ast )$ e grup și află simetricul lui 2.

10. (Sinteză.) Pe $G=(0,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=\frac{xy}{8}$. Arată că $(G,\ast )$ e grup și află simetricul lui 16.

11. (Sinteză.) Fie $M=(-1,1)$. Arată că $M$ nu e închisă la adunare, dar e închisă la înmulțire, și explică de ce $(M,\cdot )$ nu e totuși grup.

12. (Sinteză.) Pe $G=(a,+\infty )$, cu $a$ real, se definește legea $x\ast y=(x-46)(y-46)+46$. Pentru ce valoare a lui $a$ e $(G,\ast )$ grup?

Răspunsuri și verificări

1. Grupuri sunt $(\mathbb{Z},+)$ și $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$. În $(\mathbb{N},+)$ lipsesc opusele, iar în $({\mathbb{Z}}^{\ast },\cdot )$ lipsesc inversele, de pildă al lui 2. Verificare: $3+(-3)=0$ cu $-3\notin \mathbb{N}$, iar $2\cdot \frac{1}{2}=1$ cu $\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$.

2. Neutrul e $1$. Inversele: $\frac{4}{3}$, $-\frac{1}{2}$ și $2$. Verificare: $\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1$, $(-2)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1$ și $0,5\cdot 2=1$.

3. Neutrul e $0$. Opusele: $3-\sqrt{2}$ și $\frac{7}{3}$. Verificare: $(\sqrt{2}-3)+(3-\sqrt{2})=0$ și $-\frac{7}{3}+\frac{7}{3}=0$.

4. Numărul 0 nu are invers: $0\cdot x=0\ne 1$ pentru orice $x$ real. O singură condiție care cade ajunge. Verificare: în $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, fără 0, orice număr are inversul $\frac{1}{x}$.

5. a) De la căni la grame factorul e 130, de la grame la linguri $\frac{1}{10}$, iar de la căni la linguri $130\cdot \frac{1}{10}=13$. b) Inversul lui 13, adică $\frac{1}{13}$. c) $9\cdot 13=117$ linguri. Verificare: $117\cdot 10=1170$ g, iar $9\cdot 130=1170$ g.

6. a) $7\cdot (+1)+4\cdot (-1)=3$. b) Opusul lui 3 e $-3$: se adaugă 3 discuri albastre. c) Cu discuri roșii valoarea doar crește, ca în $(\mathbb{N},+)$, unde 3 nu are opus. Verificare: $3+3\cdot (-1)=0$.

7. a) Factorul 2 face din 1:50 scara $\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$, adică 1:25. b) Inversul lui 2, adică $\frac{1}{2}$. c) Factorul e $\frac{1}{20}:\frac{1}{50}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}$. Verificare: $\frac{1}{50}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$.

8. a) După TARA, afișajul arată masa minus $0,35$ kg. Cu cântarul gol, arată $0-0,35=-0,35$ kg. b) Adună opusul masei bolului, $-0,35$, la orice cântărire. Verificare: cu bolul și făina pe cântar, $0,35+0,6-0,35=0,6$ kg, exact făina.

9. Legea e internă și asociativă: ambele grupări dau $x+y+z-64$. Neutrul: $x+e-32=x$, deci $e=32$. Simetricul: $x+x^{\prime }-32=32$, deci $x^{\prime }=64-x$, real pentru orice $x$. Simetricul lui 2 e 62. Verificare: $2\ast 62=2+62-32=32$.

10. Pentru $x,y>0$, $\frac{xy}{8}>0$, deci legea e internă; ambele grupări dau $\frac{xyz}{64}$. Neutrul: $\frac{xe}{8}=x$ dă $e=8$, din $G$. Simetricul: $\frac{x{x}^{\prime }}{8}=8$ dă $x^{\prime }=\frac{64}{x}>0$. Simetricul lui 16 e 4. Verificare: $16\ast 4=\frac{64}{8}=8$.

11. Adunarea iese din $M$: $0,6+0,6=1,2$. Înmulțirea rămâne în $M$, fiindcă $|xy|=|x|\cdot |y|<1$. Neutrul înmulțirii ar trebui să fie 1, care nu e în $M$, deci $(M,\cdot )$ nu e grup. Verificare: pentru $x=0,5$, $x\cdot e=x$ cere $e=1$, iar $1\notin (-1,1)$.

12. Neutrul e $e=47$, din $(x-46)(e-46)=x-46$, iar simetricul e $x^{\prime }=46+\frac{1}{x-46}$, pentru $x\ne 46$. Pentru $a=46$, toate condițiile țin: produsul a doi factori pozitivi e pozitiv, $47>46$ și $x^{\prime }>46$. Pentru $a<46$, elementul 46 e în $G$ și nu are simetric; pentru $46<a<47$, legea nu e internă, iar pentru $a\ge 47$ lipsește neutrul. Deci $a=46$. Verificare: la $a=46,5$, $46,6\ast 46,6=0,36+46=46,36<46,5$.

Așa vine la Bac M4

Tema e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. În programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic), grupul stă în singurul bloc al clasei a XI-a, „Structuri algebrice”, lângă monoid, inel și corp, iar exemplele numite sunt ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ și ℝ.

Indexul celor 360 de cerințe de la Subiectul al II-lea, făcut din cele 60 de probe oficiale 2013–2026, nu găsește cuvântul „grup” în niciuna. Piesele grupului apar însă separat, în cerințe despre legea dată: 35 de probe au cerut elementul neutru, 14 asociativitatea, iar 5 simetricul unui element. Trimiteri la cerințe despre grup nu avem deci de dat, iar cerințe-model nu inventăm.

Ultimele patru exerciții, cele marcate (Sinteză.), lucrează neutrul și simetricul la legi date, un interval care nu e grup și alegerea intervalului pe care o lege devine grup.

Greșeli care costă puncte

• Anulezi o scădere cu o treime printr-o creștere cu o treime → din 6 căni ajungi la 8, nu la 9; cum o prinzi: inversul factorului $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{2}$, iar $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$.
• Presupui că neutrul unei legi date e 0 sau 1 → la $x\ast y=xy-41x-41y+1722$ neutrul e 42; cum o prinzi: rezolvi $x\ast e=x$ și verifici pe un număr.
• Uiți să verifici că neutrul și simetricul sunt în mulțime → pe $(-1,1)$ cu înmulțirea, neutrul 1 iese afară; cum o prinzi: la fiecare element găsit întrebi dacă e în $G$.
• Spui că o mulțime e grup după ce verifici două condiții → $(\mathbb{N},+)$ are lege internă, asociativă și neutru, dar nu are opuse; cum o prinzi: treci prin toate cele patru condiții.
• Anulezi o operație repetând-o → plata trecută de două ori, scăzută a treia oară, lasă soldul la 150 de lei; cum o prinzi: aduni opusul și refaci suma înregistrărilor corecte.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006). Noțiunea de grup, cu exemplele ℤ, ℚ și ℝ, face parte din programa de examen a clasei a XI-a. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au alt plan-cadru (OMEC 4152/2026), iar lecția de față nu este scrisă pentru ei: din 2030, la profilul pedagogic, matematica poate fi aleasă doar la proba F, pe programa MAT_P8 (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce factor anulează exact o rețetă dublată? Inversul lui 2, adică $\frac{1}{2}$. Rețeta dublată, pentru 8 copii, cere 4 căni de făină, iar înmulțită cu $\frac{1}{2}$ revine la cele 2 căni pentru 4 copii. Produsul $2\cdot \frac{1}{2}=1$ e neutrul, adică rețeta neschimbată.

De ce nu poate măsura educatoarea exact apa pentru 18 copii? Fiindcă apa pentru 18 copii e $\frac{27}{8}$ căni, adică 3 căni și $\frac{3}{8}$, iar cana are semne doar la sferturi. Factorul $\frac{9}{2}$ există în grupul numerelor raționale pozitive, dar cantitățile care se pot măsura din sfert în sfert nu formează grup cu înmulțirea.

Contează în ce ordine aplică educatoarea factorii? Nu, fiindcă înmulțirea e comutativă: $\frac{9}{2}\cdot \frac{2}{3}$ și $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{2}$ dau amândouă 3, adică rețeta pentru 12 copii. Contează doar ca, la fiecare pas intermediar, cantitățile să încapă în vasul ei; rezultatul final e același.

Poate folosi educatoarea factorul 0? Nu, și nici grupul nu îl primește: factorul 0 ar însemna aluat pentru niciun copil, iar niciun factor ulterior nu ar mai aduce cantitățile înapoi, fiindcă 0 nu are invers. De aceea grupul cu înmulțirea e ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, fără zero, nu $\mathbb{Q}$.

Apare grupul în cerințele de la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? Grupul figurează în programa clasei a XI-a pentru examen, dar în cele 60 de probe oficiale 2013–2026 cuvântul nu apare în nicio cerință. Au fost cerute însă piesele lui: elementul neutru, în 35 de probe, și simetricul, în 5. O cerință despre grupul întreg rămâne posibilă, fiindcă noțiunea e în programă.

Ce e mai puțin decât un grup? O mulțime cu o lege internă, asociativă și cu element neutru se numește monoid; dacă, în plus, fiecare element are simetric, monoidul e grup. $(\mathbb{N},+)$ e monoid, dar nu e grup: are neutrul 0, dar 3 nu are opus natural.