Care dintre operațiile de mai jos NU păstrează soluțiile unui sistem liniar?

înmulțirea unei ecuații cu $$0$$

înmulțirea unei ecuații cu $$-2$$

adunarea la o ecuație a dublului altei ecuații

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Metoda lui Gauss

Cum rezolvi un sistem 3×3 prin eliminare?

Alegi o ecuație care conține pe $x$ și scazi din celelalte două câte un multiplu al ei, ales astfel încât $x$ să dispară. Repeți cu $y$ în ultimele două ecuații și ajungi la o singură ecuație, cu o singură necunoscută. De exemplu, din $⎩ ⎨ ⎧ x + y - z = 2 2 x + 3 y + z = 11 x + 2 y + 3 z = 14$ obții $y + 3 z = 7$ și $y + 4 z = 12$ , apoi $z = 5$ , $y = - 8$ și $x = 15$ . Proba se face în ecuațiile inițiale.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a XI-a → ·

Metoda lui Gauss rezolvă un sistem liniar prin eliminarea necunoscutelor, una câte una. Sistemul se înlocuiește cu altele echivalente, adică cu aceleași soluții, până ajunge în formă triunghiulară: ultima ecuație are o singură necunoscută, cea de deasupra două, iar prima trei.

Sunt permise trei operații: schimbarea locului a două ecuații, înmulțirea unei ecuații cu un număr nenul și adunarea la o ecuație a altei ecuații înmulțite cu un număr. Fiecare se aplică întregii ecuații, inclusiv termenului liber. Înmulțirea cu $0$ nu e permisă, fiindcă șterge o ecuație.

Din forma triunghiulară afli ultima necunoscută, apoi urci și le afli pe celelalte. Proba se face în sistemul inițial.

Eliminarea dă și verdictul. O egalitate falsă între numere, de pildă $0 = 4$ , apărută la orice pas al calculului, arată că sistemul nu are soluții. Egalitățile $0 = 0$ nu decid nimic singure: le elimini și compari câte ecuații au mai rămas cu numărul necunoscutelor. Mai puține ecuații dau o infinitate de soluții, la fel de multe dau o soluție unică. Spre deosebire de metoda lui Cramer, eliminarea funcționează și când determinantul sistemului este $0$ .

De reținut

operațiile permise: schimbarea ecuațiilor, înmulțirea cu un număr nenul, adunarea unui multiplu al altei ecuații
$0 = c$ cu $c \neq = 0$ : fără soluții; $0 = 0$ : o ștergi și numeri ecuațiile rămase
proba se face în sistemul inițial

Greșeala tipică

Se înmulțesc coeficienții necunoscutelor, dar nu și termenul liber; la $E_{2} - 3 E_{1}$ trebuie scăzut de trei ori întregul membru drept al primei ecuații.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre operațiile de mai jos NU păstrează soluțiile unui sistem liniar?
- a) schimbarea locului a două ecuații
- b) înmulțirea unei ecuații cu $- 2$
- c) înmulțirea unei ecuații cu $0$
- d) adunarea la o ecuație a dublului altei ecuații
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) înmulțirea unei ecuații cu $0$

Înmulțită cu $0$ , ecuația devine $0 = 0$ și dispare, iar sistemul rămas poate avea soluții noi. Celelalte trei operații se pot desface, deci păstrează exact aceleași soluții.
În sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 4 2 x + 3 y + z = 9 x - y + 2 z = 3$ , ce ecuație obții din a doua după operația $E_{2} - 2 E_{1}$ ?
- a) $y - z = 5$
- b) $y - z = 1$
- c) $y + 3 z = 1$
- d) $5 y - z = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y - z = 1$

Scazi din a doua ecuație dublul primei, inclusiv termenul liber: $3 - 2 = 1$ la $y$ , $1 - 2 = - 1$ la $z$ și $9 - 8 = 1$ în dreapta. Varianta a) vine din uitarea dublării termenului liber.
După eliminări, ultima ecuație a unui sistem cu trei necunoscute a devenit $0 \cdot z = 4$ . Ce poți spune despre sistem?
- a) are soluția $z = 0$
- b) are o infinitate de soluții
- c) nu are soluții
- d) are soluția $z = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu are soluții

Pentru orice $z$ , membrul stâng este $0$ , deci egalitatea $0 = 4$ nu poate fi adevărată. Transformările păstrează soluțiile, așa că nici sistemul inițial nu are soluții: este incompatibil.

Întrebări conexe

Ce transformări păstrează soluțiile unui sistem?

Trei: schimbi între ele două ecuații, înmulțești o ecuație cu orice număr nenul sau îi aduni alteia un multiplu al ei. Fiecare poate fi anulată de o transformare de același fel, așa că nu apar și nu dispar soluții. Termenul liber participă la calcul ca orice coeficient.

Cum recunosc un sistem fără soluții în timpul eliminării?

Urmărește ecuațiile în care nu mai rămâne nicio necunoscută. Dacă una dintre ele spune ceva fals, ca $0 = 3$ , sistemul nu are soluții, indiferent de pasul la care a apărut. Dacă spune $0 = 0$ , nu interzice nimic și o ștergi; apoi numeri ecuațiile rămase în formă triunghiulară: mai puține decât necunoscutele înseamnă o infinitate de soluții, tot atâtea înseamnă soluție unică.

Ce fac dacă prima ecuație nu îl conține pe x?

Schimbi ordinea ecuațiilor și pui sus una în care apare $x$ . Cel mai comod este să alegi ecuația în care coeficientul lui $x$ este $1$ sau $- 1$ , ca împărțirile să iasă exacte și să nu apară fracții.

Când folosesc metoda lui Gauss în loc de metoda lui Cramer?

Când vrei toate necunoscutele cu puține calcule sau când determinantul sistemului este $0$ , caz în care formulele lui Cramer nu se aplică. Eliminarea merge și la sisteme cu mai multe sau mai puține ecuații decât necunoscute. Cramer rămâne comod când coeficienții conțin un parametru.

Unde fac proba după metoda lui Gauss?

În ecuațiile din enunț, nu în cele transformate. O greșeală făcută la primul pas de eliminare trece neobservată în ecuațiile obținute după ea, dar iese la iveală când înlocuiești soluția în sistemul inițial.

Oamenii mai întreabă și: metoda lui Gauss la științe ale naturii · eliminarea necunoscutelor pas cu pas · sistem cu trei necunoscute rezolvat prin reducere · metoda reducerii pentru trei ecuații