Metoda lui Gauss pentru sisteme cu trei necunoscute (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a XI-a → ·

Într-un circuit electric cu două surse și trei rezistoare, legile lui Kirchhoff dau trei ecuații cu trei curenți necunoscuți. Le poți rezolva cu determinanți, dar există un drum mai scurt, pe care îl folosesc și programele de calcul: elimini necunoscutele una câte una, până rămâne o ecuație cu o singură necunoscută. Drumul acesta este metoda lui Gauss, numită de programa școlară a clasei a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), alături de metoda lui Cramer. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 se cere numai metoda lui Cramer, așa că lecția de față este materie de clasă, nu de examen.

Lecția vine după metoda lui Cramer și se sprijină pe forma matriceală a unui sistem liniar. Ideea de eliminare o știi din gimnaziu, de la metoda reducerii pentru sisteme cu două necunoscute. Aici ea devine un algoritm care merge la fel pentru trei necunoscute și care îți spune singur când sistemul nu are nicio soluție sau are o infinitate de soluții.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă că două sisteme sunt echivalente și de ce un sistem în formă triunghiulară se rezolvă „de jos în sus”.
Vei ști cele trei operații cu ecuații care nu schimbă soluțiile și de ce înmulțirea cu zero nu e printre ele.
Vei ști să elimini pe rând necunoscutele dintr-un sistem cu trei ecuații și trei necunoscute.
Vei ști să scrii calculul prescurtat, cu matricea extinsă, și să alegi ecuația de pornire.
Vei ști să recunoști, din ecuațiile rămase după eliminare, un sistem fără soluții, unul cu o infinitate de soluții sau unul cu soluție unică.
Vei ști când e mai comodă metoda lui Gauss și când metoda lui Cramer.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că două sisteme sunt echivalente?

Sistemele echivalente sunt sisteme cu aceleași necunoscute care au exact aceleași soluții. Toată metoda lui Gauss stă pe această idee: înlocuiești sistemul dat cu unul echivalent, apoi cu altul, până ajungi la un sistem din care soluția se citește aproape fără calcul.

Cel mai comod sistem de citit este cel în formă triunghiulară: prima ecuație conține toate cele trei necunoscute, a doua nu mai conține pe $x$ , iar a treia nu mai conține nici pe $x$ , nici pe $y$ . Iată unul:

$⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z = 5 3 y - z = 3 2 z = 6$

Îl rezolvi de jos în sus. Ultima ecuație dă $z = 3$ . Pui valoarea în a doua: $3 y - 3 = 3$ , deci $y = 2$ . Pui ambele valori în prima: $x - 2 + 6 = 5$ , deci $x = 1$ . Pasul acesta, în care urci de la ultima ecuație la prima și înlocuiești ce ai aflat, se numește substituție inversă.

Întrebarea lecției devine, așadar: cum aduci un sistem oarecare la forma triunghiulară, fără să-i schimbi soluțiile?

2. Ce operații păstrează soluțiile unui sistem?

Sunt trei și se numesc transformări elementare ale sistemului. Ecuațiile le notăm, în ordinea în care sunt scrise, cu $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ .

transformarea	scrierea	condiția
schimbi locul a două ecuații	$E_{1} \leftrightarrow E_{2}$	—
înmulțești o ecuație cu un număr	$E_{2} \leftarrow k E_{2}$	$k \neq = 0$
aduni la o ecuație o altă ecuație înmulțită cu un număr	$E_{2} \leftarrow E_{2} + k E_{1}$	ecuații diferite

De ce nu se pierde și nu apare nicio soluție? Fiecare operație se poate desface printr-o operație de același tip. Schimbarea locului se desface schimbând din nou. Înmulțirea cu $k$ se desface înmulțind cu $\frac{1}{k}$ , lucru posibil numai pentru că $k \neq = 0$ . Adunarea lui $k E_{1}$ la $E_{2}$ se desface scăzând înapoi $k E_{1}$ , iar $E_{1}$ a rămas neschimbată în sistem tocmai ca să poți face asta. Un triplet care verifică sistemul vechi verifică și sistemul nou, iar drumul înapoi arată că e adevărat și invers.

Înmulțirea cu $0$ e interzisă dintr-un motiv concret: ea transformă ecuația în $0 = 0$ , adică o șterge. Sistemul rămas are mai puține condiții, deci poate avea soluții noi, care nu verificau ecuația ștearsă.

A treia transformare este exact metoda reducerii din gimnaziu. Pentru sistemul

${2 x + 5 y = 1 6 x + 13 y = 5$

alegi $k = - 3$ și înlocuiești a doua ecuație cu $E_{2} - 3 E_{1}$ : coeficientul lui $x$ devine $6 - 3 \cdot 2 = 0$ , al lui $y$ devine $13 - 15 = - 2$ , iar termenul liber $5 - 3 = 2$ . Rămâne $- 2 y = 2$ , deci $y = - 1$ , apoi $2 x - 5 = 1$ și $x = 3$ . Ai eliminat pe $x$ din a doua ecuație, iar sistemul a devenit triunghiular. Observă că operația se aplică întregii ecuații, inclusiv termenului liber.

3. Cum arată algoritmul pe un sistem cu trei necunoscute?

Luăm sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = - 3 3 x + 5 y + z = 4 - 2 x + y + 4 z = 7$

Pasul 1: elimini pe $x$ din ecuațiile a doua și a treia. Ecuația care rămâne pe loc, aici $E_{1}$ , se numește ecuația-pivot, iar coeficientul ei la necunoscuta eliminată, aici $1$ , se numește pivot. Ca să dispară $3 x$ din $E_{2}$ , scazi $3 E_{1}$ ; ca să dispară $- 2 x$ din $E_{3}$ , aduni $2 E_{1}$ :

$E_{2} - 3 E_{1} : - y + 4 z = 13, E_{3} + 2 E_{1} : 5 y + 2 z = 1.$

Ai acum o ecuație cu trei necunoscute și două ecuații cu două necunoscute. Partea de jos este un sistem $2 \times 2$ obișnuit.

Pasul 2: elimini pe $y$ din ultima ecuație. Pivotul este coeficientul lui $y$ din noua a doua ecuație, adică $- 1$ . Aduni de cinci ori a doua ecuație la a treia: $5 y + 2 z + 5 (- y + 4 z) = 1 + 5 \cdot 13$ , deci $22 z = 66$ . Sistemul a devenit triunghiular:

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = - 3 - y + 4 z = 13 22 z = 66$

Pasul 3: substituția inversă. $z = 3$ , apoi $- y + 12 = 13$ , deci $y = - 1$ , apoi $x - 2 - 3 = - 3$ , deci $x = 2$ .

Pasul 4: proba. Verifici în ecuațiile inițiale, nu în cele transformate, fiindcă o greșeală de la pasul 1 s-ar ascunde în cele transformate. În a doua: $3 \cdot 2 + 5 \cdot (- 1) + 3 = 4$ . În a treia: $- 4 - 1 + 12 = 7$ . Soluția este $(2, - 1, 3)$ .

Fiecare pas scade cu unu numărul de necunoscute din ecuațiile de jos, deci la trei necunoscute ajung cel mult doi pași de eliminare.

4. Cum se scrie calculul mai repede, cu matricea extinsă?

În toate calculele de mai sus literele $x$ , $y$ , $z$ n-au făcut nimic: ele doar arătau pe ce coloană stă fiecare coeficient. De aceea calculul se poate scrie numai cu numere. Matricea sistemului, căreia îi adaugi la dreapta coloana termenilor liberi, se numește matricea extinsă a sistemului. Bara verticală îți amintește unde era semnul egal. Pentru sistemul de la secțiunea 3, cele trei etape arată așa:

$13 - 2 251 - 1 14 - 3 47 \to 100 2 - 1 5 - 1 42 - 3 131 \to 100 2 - 1 0 - 1 422 - 3 1366$

O transformare făcută pe o linie a matricei este aceeași transformare făcută pe ecuația corespunzătoare. Forma triunghiulară se vede acum ca un triunghi de zerouri sub diagonală. Pe caiet, scrie lângă fiecare săgeată ce operație ai făcut, de exemplu $L_{2} - 3 L_{1}$ și $L_{3} + 2 L_{1}$ : așa poți găsi repede o greșeală la recitire.

5. Ce faci când primul coeficient e zero sau incomod?

Pivotul nu poate fi $0$ : nu poți elimina pe $x$ din celelalte ecuații cu ajutorul unei ecuații care nu-l conține. Atunci folosești prima transformare și schimbi ordinea ecuațiilor, astfel încât sus să stea o ecuație care conține necunoscuta de eliminat. Dacă sistemul începe cu $4 y + z = 9$ , ecuația aceasta merge mai jos, iar sus vine una care îl conține pe $x$ .

Pivotul poate fi și incomod. Cu pivotul $3$ și coeficienții $2$ și $5$ dedesubt, ar trebui să scazi $\frac{2}{3} E_{1}$ și $\frac{5}{3} E_{1}$ , iar fracțiile se cară prin tot calculul. Ai trei ieșiri, toate permise:

pui sus o ecuație în care coeficientul lui $x$ este $1$ sau $- 1$ ;
înmulțești ecuațiile de jos cu un număr ales, de exemplu cu $3$ , ca împărțirea să iasă exactă;
începi cu altă necunoscută, de exemplu cu $z$ , dacă ea are coeficientul $1$ într-o ecuație.

Ordinea în care elimini necunoscutele nu schimbă soluția, fiindcă fiecare pas păstrează soluțiile. Schimbă doar cât de curat arată calculul.

6. Ce îți spune o ecuație de forma $0 = 0$ sau $0 = 2$ ?

Uneori, la un pas de eliminare, dispar toate necunoscutele dintr-o ecuație și rămâne un număr egal cu alt număr:

o egalitate falsă, de tipul $0 = 2$ , nu o verifică niciun triplet, deci sistemul nu are soluții, oriunde ar apărea ea în calcul; un astfel de sistem se numește incompatibil;
o egalitate $0 = 0$ nu mai impune nimic, așa că o ștergi.

Dacă n-a apărut nicio egalitate falsă, după ștergeri numeri ecuațiile rămase în formă triunghiulară. Dacă sunt mai puține decât necunoscutele, o necunoscută poate lua orice valoare, deci sistemul are o infinitate de soluții: e compatibil nedeterminat. Dacă sunt tot atâtea, soluția e unică: sistemul e compatibil determinat. Așadar $0 = 0$ nu dă singur verdictul (vezi exercițiul 16). Concluzia se mută asupra sistemului inițial, pentru că transformările elementare păstrează soluțiile.

Pe un sistem cu două necunoscute ideea se vede imediat. Din $x + 3 y = 3$ și $2 x + 6 y = 7$ , operația $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $0 = 1$ : cele două drepte sunt paralele și nu se taie. Din $x + 3 y = 3$ și $2 x + 6 y = 6$ , aceeași operație dă $0 = 0$ : e de două ori aceeași dreaptă. După ce ștergi egalitatea $0 = 0$ , rămâne o singură ecuație pentru două necunoscute. Notezi $y = α$ , cu $α$ număr real oarecare, și obții $x = 3 - 3 α$ . Pentru fiecare valoare a lui $α$ ai câte o soluție.

Aici metoda lui Gauss face ceva ce metoda lui Cramer nu face. Când determinantul sistemului este $0$ , formulele lui Cramer nu se pot aplica, iar determinantul singur nu spune dacă sistemul are o infinitate de soluții sau niciuna. Eliminarea îți dă răspunsul în aceeași foaie de calcul. La științe ale naturii (M2), în clasa a XII-a vei vedea că fiecare ecuație cu trei necunoscute descrie un plan, iar cele trei cazuri corespund felului în care se taie trei plane.

7. Când alegi metoda lui Gauss și când metoda lui Cramer?

Socotește munca. Pentru un sistem cu trei necunoscute, metoda lui Cramer cere patru determinanți de ordinul al treilea. Cu regula lui Sarrus, fiecare are șase produse de câte trei factori, adică $12$ înmulțiri. În total sunt $48$ de înmulțiri și încă trei împărțiri. Eliminarea cere în jur de $17$ înmulțiri și împărțiri, de aproape trei ori mai puține. La sisteme mai mari diferența crește foarte repede, de aceea calculatoarele rezolvă sistemele prin eliminare.

Metoda lui Gauss mai are două avantaje. Merge și când determinantul este $0$ , unde Cramer se oprește. Merge și la sisteme cu mai multe ecuații decât necunoscute sau cu mai puține, care nici nu au determinant.

Metoda lui Cramer are și ea avantajele ei. Dă formule, deci e potrivită când coeficienții conțin un parametru și vrei să știi pentru ce valori are sistemul soluție unică. Dacă ai nevoie doar de o necunoscută, ajung doi determinanți. Iar la bacalaureatul M2 ea este metoda cerută. Pe caiet, cele două se completează: Cramer ca să decizi când soluția e unică, Gauss ca s-o calculezi repede.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem rezolvat pas cu pas

Rezolvă cu metoda lui Gauss sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ x - 2 y + z = - 1 2 x - 3 y + 3 z = - 3 3 x + y - z = 12$

Rezolvare. Pivotul este coeficientul $1$ al lui $x$ din prima ecuație. Elimini pe $x$ :

$E_{2} - 2 E_{1} : y + z = - 1, E_{3} - 3 E_{1} : 7 y - 4 z = 15.$

La $E_{3} - 3 E_{1}$ ai calculat $1 - 3 \cdot (- 2) = 7$ la $y$ , $- 1 - 3 = - 4$ la $z$ și $12 - 3 \cdot (- 1) = 15$ la termenul liber. Acum elimini pe $y$ din ultima ecuație cu ajutorul celei de-a doua, al cărei pivot este $1$ : $E_{3} - 7 E_{2}$ dă $- 4 z - 7 z = 15 + 7$ , adică $- 11 z = 22$ , deci $z = - 2$ . Urci: $y - 2 = - 1$ , deci $y = 1$ ; apoi $x - 2 - 2 = - 1$ , deci $x = 3$ .

Proba în sistemul inițial: $3 - 2 - 2 = - 1$ , $6 - 3 - 6 = - 3$ și $9 + 1 + 2 = 12$ . Soluția este $(3, 1, - 2)$ .

Exemplul 2 — Când prima ecuație nu îl conține pe $x$

Rezolvă sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ 2 y + z = 10 2 x + y - z = 0 x + 3 y - 2 z = 7$

Rezolvare. Prima ecuație nu are $x$ , deci nu poate fi ecuația-pivot. Schimbi $E_{1}$ cu $E_{3}$ , ca sus să stea ecuația cu coeficientul $1$ la $x$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y - 2 z = 7 2 x + y - z = 0 2 y + z = 10$

Din a doua ecuație elimini pe $x$ : $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $- 5 y + 3 z = - 14$ . A treia nu conține $x$ , deci rămâne cum e. Pentru pasul al doilea, pivotul $- 5$ ar aduce fracții. Schimbi deci și ultimele două ecuații între ele și folosești ca pivot coeficientul $2$ din $2 y + z = 10$ . Ca să nu apară fracții, înmulțești ecuația $- 5 y + 3 z = - 14$ cu $2$ și aduni de cinci ori ecuația $2 y + z = 10$ : $- 10 y + 6 z + 10 y + 5 z = - 28 + 50$ , adică $11 z = 22$ . Așadar $z = 2$ , apoi $2 y + 2 = 10$ , deci $y = 4$ , și $x + 12 - 4 = 7$ , deci $x = - 1$ .

Proba în sistemul inițial: $8 + 2 = 10$ , $- 2 + 4 - 2 = 0$ și $- 1 + 12 - 4 = 7$ . Soluția este $(- 1, 4, 2)$ .

Exemplul 3 — Curenții dintr-un circuit

Un circuit are trei ramuri legate în paralel între două noduri. Ramura din stânga conține o sursă de $16$ V și un rezistor de $2 Ω$ , cea din mijloc un rezistor de $4 Ω$ , iar cea din dreapta o sursă de $15$ V și un rezistor de $3 Ω$ . Cu sensurile alese pentru curenți, legile lui Kirchhoff dau sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ I_{1} - I_{2} + I_{3} = 0 2 I_{1} + 4 I_{2} = 16 4 I_{2} + 3 I_{3} = 15$

unde $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ sunt curenții din ramurile stânga, mijloc și dreapta, în amperi. Află curenții.

Rezolvare. Prima ecuație spune că în nod curentul care intră este egal cu cel care iese: $I_{2} = I_{1} + I_{3}$ . Celelalte două sunt bilanțurile de tensiune pe cele două ochiuri care trec prin ramura din mijloc. Elimini pe $I_{1}$ din a doua ecuație: $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $6 I_{2} - 2 I_{3} = 16$ , pe care o împarți la $2$ : $3 I_{2} - I_{3} = 8$ . A treia ecuație nu îl conține pe $I_{1}$ . Acum elimini pe $I_{3}$ , care are coeficientul $- 1$ în ecuația nouă: aduni de trei ori ecuația $3 I_{2} - I_{3} = 8$ la $4 I_{2} + 3 I_{3} = 15$ și obții $13 I_{2} = 39$ , deci $I_{2} = 3$ . Urci: $I_{3} = 3 I_{2} - 8 = 1$ și $I_{1} = I_{2} - I_{3} = 2$ .

Curenții sunt $I_{1} = 2$ A, $I_{2} = 3$ A și $I_{3} = 1$ A. Toți ies pozitivi, deci sensurile alese la început sunt chiar sensurile reale ale curenților. Controlul fizic se face pe fiecare ochi: în stânga, căderile de tensiune sunt $2 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 16$ V, exact tensiunea sursei; în dreapta, $3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 15$ V.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y - z = - 1 2 x + 5 y + z = 5 x - y + 3 z = 11$

Primul lui pas este $E_{2} - 2 E_{1}$ , din care scrie $- y + 3 z = 6$ . Apoi $E_{3} - E_{1}$ îi dă $- 4 y + 4 z = 12$ , pe care o simplifică: $- y + z = 3$ . Din cele două ecuații obține $2 z = 3$ , deci $z = \frac{3}{2}$ . Unde a greșit?

Rezolvare. La $E_{2} - 2 E_{1}$ elevul a scăzut din termenul liber $5$ doar $- 1$ , nu $2 \cdot (- 1)$ . Termenul liber corect este $5 - 2 \cdot (- 1) = 7$ , deci ecuația nouă este $- y + 3 z = 7$ . Restul pașilor fuseseră făcuți corect. Scăzând din ea ecuația $- y + z = 3$ , obții $2 z = 4$ , deci $z = 2$ . Urci: $- y + 2 = 3$ , deci $y = - 1$ , și $x - 3 - 2 = - 1$ , deci $x = 4$ .

Proba arată imediat greșeala elevului: valoarea lui $z$ nu trebuie să iasă neapărat întreagă, dar orice soluție trebuie să verifice ecuațiile inițiale. Cu soluția corectă, $(4, - 1, 2)$ , a doua ecuație dă $8 - 5 + 2 = 5$ . Regula care previne greșeala: o ecuație înmulțită cu un număr se înmulțește toată, inclusiv termenul liber.

Exemplul 5 — Un amestec care nu se poate face

Un laborant vrea să prepare $1000$ g de soluție care să conțină $9$ g de clorură de sodiu și $50$ g de glucoză. Are trei soluții: soluția A conține $1%$ clorură de sodiu și $5%$ glucoză, soluția B conține $2%$ clorură de sodiu și deloc glucoză, iar soluția C conține $10%$ glucoză și deloc sare. Câte grame din fiecare trebuie să amestece?

Rezolvare. Notezi cu $x$ , $y$ , $z$ masele, în grame, luate din A, B și C. Masa totală, masa de sare și masa de glucoză dau trei ecuații. După înmulțirea ultimelor două cu $100$ , apoi împărțirea celei de-a treia la $5$ , sistemul este

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1000 x + 2 y = 900 x + 2 z = 1000$

Elimini pe $x$ : $E_{2} - E_{1}$ dă $y - z = - 100$ , iar $E_{3} - E_{1}$ dă $- y + z = 0$ . Aduni cele două ecuații noi și obții $0 = - 100$ , o egalitate falsă. Sistemul este incompatibil: amestecul cerut nu se poate prepara din aceste trei soluții, oricum ai alege cantitățile.

Motivul se vede și fără sistem. În fiecare dintre cele trei soluții, cinci ori procentul de sare plus procentul de glucoză dă $10$ : la A, $5 + 5$ ; la B, $10 + 0$ ; la C, $0 + 10$ . Un amestec păstrează această mărime, deci orice amestec are tot $10$ . Soluția dorită ar avea $5 \cdot 0, 9 + 5 = 9, 5$ .

Exemplul 6 — O problemă cu trei cerințe

Se consideră sistemul

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 3 2 x + 3 y + z = 8 3 x + 5 y = 11$

a) Arată că determinantul matricei sistemului este $0$ .

b) Rezolvă sistemul cu metoda lui Gauss.

c) Determină soluția sistemului în care toate necunoscutele sunt numere naturale.

Rezolvare. a) Dezvoltând după prima linie, $1 \cdot (3 \cdot 0 - 1 \cdot 5) - 2 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 3) + (- 1) \cdot (2 \cdot 5 - 3 \cdot 3) = - 5 + 6 - 1 = 0$ . Formulele lui Cramer nu se pot aplica.

b) $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $- y + 3 z = 2$ , iar $E_{3} - 3 E_{1}$ dă tot $- y + 3 z = 2$ . Scăzându-le obții $0 = 0$ ; rămân două ecuații pentru trei necunoscute, deci sistemul este compatibil nedeterminat: îl notezi pe $z$ cu $α$ , unde $α$ e un număr real oarecare. Din $- y + 3 α = 2$ rezultă $y = 3 α - 2$ , apoi din prima ecuație $x = 3 - 2 y + z = 7 - 5 α$ . Soluțiile sunt tripletele $(7 - 5 α, 3 α - 2, α)$ , cu $α \in R$ . Proba în a treia ecuație: $3 (7 - 5 α) + 5 (3 α - 2) = 21 - 10 = 11$ , pentru orice $α$ .

c) Ca $z = α$ să fie natural, $α$ trebuie să fie număr natural. Condiția $y \geq 0$ cere $α \geq \frac{2}{3}$ , iar $x \geq 0$ cere $α \leq \frac{7}{5}$ . Singurul număr natural dintre ele este $α = 1$ , deci soluția căutată este $(2, 1, 1)$ .

Să exersăm

Lucrează cu ecuațiile întregi, scrie lângă fiecare pas operația făcută și fă proba în sistemul inițial.

1. (Adevărat/Fals cu motivare.) a) Dacă schimbi locul a două ecuații, soluțiile sistemului nu se schimbă. b) Dacă înmulțești o ecuație cu $0$ , obții un sistem echivalent. c) Poți înlocui ecuația $E_{2}$ cu $E_{2} - 4 E_{1}$ .

2. Rezolvă sistemul triunghiular $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y - z = 6 y + 4 z = 10 3 z = 6$ .

3. Rezolvă prin eliminare sistemul ${3 x - 2 y = 4 9 x + y = 19$ .

4. Rezolvă cu metoda lui Gauss sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 4 2 x - y + 3 z = - 2 x + 2 y - 2 z = 10$ .

5. Rezolvă sistemul $⎩ ⎨ ⎧ 3 y + z = 5 x - y + 2 z = 5 2 x + y + z = 7$ .

6. Rezolvă sistemul $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 3 4 x - y + 2 z = - 3 6 x + 2 y - z = 10$ .

7. Scrie matricea extinsă a sistemului de la exercițiul 4 și transform-o, prin operații pe linii, până când sub diagonală apar numai zerouri.

8. Arată că sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + y - z = 2 2 x + 3 y + z = 5 3 x + 4 y = 8$ nu are soluții.

9. Rezolvă sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z = 1 2 x + y + z = 5 x + 2 y - z = 4$ .

10. Determină numărul real $m$ pentru care sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 x + 2 y + 3 z = 2 x + 3 y + m z = 4$ nu are soluții.

11. (Problemă aplicată.) Un cărucior pornește pe o șină cu accelerație constantă, iar poziția lui după $t$ secunde este $s (t) = s_{0} + v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ , în metri. Senzorul înregistrează $s (1) = 9$ , $s (2) = 18$ și $s (3) = 31$ . Află poziția inițială $s_{0}$ , viteza inițială $v_{0}$ și accelerația $a$ .

12. (Problemă aplicată.) Un laborator de metalurgie are trei aliaje. Aliajul A conține $60%$ cupru, $30%$ zinc și $10%$ staniu, aliajul B conține $50%$ cupru, $20%$ zinc și $30%$ staniu, iar aliajul C conține $80%$ cupru, $10%$ zinc și $10%$ staniu. Câte grame din fiecare trebuie topite împreună ca să obții un aliaj cu $63$ g de cupru, $21$ g de zinc și $16$ g de staniu?

13. (Găsește greșeala.) Pentru sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z = 7 3 x + y + 2 z = 9 2 x - y + 3 z = 6$ , un elev scrie, după operația $E_{2} - 3 E_{1}$ , ecuația $- 5 y - z = 2$ . Unde a greșit? Termină corect rezolvarea.

14. Explică de ce sistemului de la exercițiul 9 nu i se pot aplica formulele lui Cramer, deși metoda lui Gauss îl rezolvă.

15. (Problemă cu trei cerințe.) Se consideră sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + y - z = 1 2 x + 3 y + a z = 3 x + 2 y + 2 z = 2$ , unde $a$ este un număr real. a) Rezolvă sistemul pentru $a = 2$ . b) Arată că pentru $a = 1$ sistemul are o infinitate de soluții și scrie-le. c) Pentru $a = 1$ , determină soluția în care $x = 2$ .

16. Determină numărul real $m$ pentru care sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y = 4 3 x - y = 5 2 x + 3 y = m$ are soluție.

17. Arată că sistemul ${x + y + z = 10 x - y + 2 z = 5$ are o infinitate de soluții și găsește soluția în care $z = 1$ .

18. (Provocare.) Arată că sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 3 x + 2 y + 4 z = m x + 4 y + 10 z = m^{2}$ nu are soluții, oricare ar fi numărul real $m$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) Adevărat: e prima transformare elementară, iar o a doua schimbare o desface. b) Fals: ecuația devine $0 = 0$ , adică dispare, iar sistemul rămas poate avea soluții care nu o verificau. c) Adevărat: e a treia transformare, cu $k = - 4$ , iar $E_{1}$ rămâne în sistem.

2. $z = 2$ ; $y + 8 = 10$ , deci $y = 2$ ; $2 x + 2 - 2 = 6$ , deci $x = 3$ . Soluția este $(3, 2, 2)$ .

3. $E_{2} - 3 E_{1}$ dă $7 y = 7$ , deci $y = 1$ , apoi $3 x - 2 = 4$ , deci $x = 2$ . Soluția este $(2, 1)$ ; proba: $18 + 1 = 19$ .

4. $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $- 3 y + z = - 10$ , iar $E_{3} - E_{1}$ dă $y - 3 z = 6$ . Le schimbi între ele și elimini pe $y$ : $(- 3 y + z) + 3 (y - 3 z) = - 10 + 18$ , deci $- 8 z = 8$ și $z = - 1$ . Apoi $y = 6 - 3 = 3$ și $x = 4 - 3 + 1 = 2$ . Soluția este $(2, 3, - 1)$ .

5. Schimbi $E_{1}$ cu $E_{2}$ : sus vine $x - y + 2 z = 5$ . Apoi $E_{3} - 2 E_{1}$ dă $3 y - 3 z = - 3$ , adică $y - z = - 1$ . Cu $3 y + z = 5$ : $(3 y + z) - 3 (y - z) = 5 + 3$ , deci $4 z = 8$ și $z = 2$ . Apoi $y = 1$ și $x = 5 + 1 - 4 = 2$ . Soluția este $(2, 1, 2)$ .

6. $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $- 3 y = - 9$ , deci $y = 3$ . $E_{3} - 3 E_{1}$ dă $- y - 4 z = 1$ , deci $- 4 z = 4$ și $z = - 1$ . Apoi $2 x + 3 - 1 = 3$ , deci $x = \frac{1}{2}$ . Soluția este $(\frac{1}{2}, 3, - 1)$ ; proba în a treia ecuație: $3 + 6 + 1 = 10$ .

7. Pornind de la $121 1 - 1 2 13 - 2 4 - 2 10$ , faci $L_{2} - 2 L_{1}$ și $L_{3} - L_{1}$ , schimbi liniile 2 și 3, apoi $L_{3} + 3 L_{2}$ și obții $100110 1 - 3 - 8 468$ . Altă ordine a operațiilor dă altă matrice, dar aceeași soluție, $(2, 3, - 1)$ .

8. $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $y + 3 z = 1$ , iar $E_{3} - 3 E_{1}$ dă $y + 3 z = 2$ . Scăzându-le, obții $0 = 1$ , o egalitate falsă, deci sistemul este incompatibil.

9. $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $3 y - 3 z = 3$ , iar $E_{3} - E_{1}$ dă tot $3 y - 3 z = 3$ ; diferența lor este $0 = 0$ , deci rămân două ecuații pentru trei necunoscute. Cu $z = α$ : $y = 1 + α$ și $x = 1 + y - 2 z = 2 - α$ . Soluțiile sunt $(2 - α, 1 + α, α)$ , cu $α \in R$ .

10. $E_{2} - E_{1}$ dă $y + 2 z = 1$ , iar $E_{3} - E_{1}$ dă $2 y + (m - 1) z = 3$ . Scăzând de două ori prima ecuație nouă din a doua: $(m - 5) z = 1$ . Pentru $m = 5$ ecuația devine $0 = 1$ , deci sistemul nu are soluții. Pentru $m \neq = 5$ , soluția e unică: $z = \frac{1}{m - 5}$ .

11. Ecuațiile sunt $s_{0} + v_{0} + \frac{a}{2} = 9$ , $s_{0} + 2 v_{0} + 2 a = 18$ și $s_{0} + 3 v_{0} + \frac{9 a}{2} = 31$ . Scăzând prima din celelalte două: $v_{0} + \frac{3 a}{2} = 9$ și $2 v_{0} + 4 a = 22$ . Din a doua scazi de două ori prima: $a = 4$ . Apoi $v_{0} = 3$ și $s_{0} = 4$ . Căruciorul pornește de la $4$ m, cu $3$ m/s și accelerația $4$ m/s²; proba: $s (3) = 4 + 9 + 18 = 31$ .

12. Cu $x$ , $y$ , $z$ grame din A, B, C, după înmulțirea cu $10$ : $6 x + 5 y + 8 z = 630$ , $3 x + 2 y + z = 210$ , $x + 3 y + z = 160$ . Pui sus ultima ecuație și elimini pe $x$ : $- 13 y + 2 z = - 330$ și $- 7 y - 2 z = - 270$ . Adunându-le, $- 20 y = - 600$ , deci $y = 30$ , apoi $z = 30$ și $x = 40$ . Trebuie $40$ g din A, $30$ g din B și $30$ g din C, adică exact $100$ g.

13. Termenul liber trebuie scăzut de trei ori: $9 - 3 \cdot 7 = - 12$ , deci ecuația corectă este $- 5 y - z = - 12$ . Apoi $E_{3} - 2 E_{1}$ dă $- 5 y + z = - 8$ . Scăzând ecuațiile noi: $2 z = 4$ , deci $z = 2$ , $y = 2$ și $x = 7 - 4 - 2 = 1$ . Soluția este $(1, 2, 2)$ .

14. Determinantul matricei sistemului este $1 \cdot (- 1 - 2) - (- 1) \cdot (- 2 - 1) + 2 \cdot (4 - 1) = - 3 - 3 + 6 = 0$ , deci sistemul nu este de tip Cramer. Eliminarea nu are nevoie de determinant: ea a ajuns la $0 = 0$ și a dat toate soluțiile.

15. $E_{2} - 2 E_{1}$ dă $y + (a + 2) z = 1$ , iar $E_{3} - E_{1}$ dă $y + 3 z = 1$ ; diferența lor este $(a - 1) z = 0$ . a) Pentru $a = 2$ : $z = 0$ , $y = 1$ , $x = 0$ . b) Pentru $a = 1$ se obține $0 = 0$ ; cu $z = α$ : $y = 1 - 3 α$ și $x = 1 - y + z = 4 α$ , adică soluțiile $(4 α, 1 - 3 α, α)$ . c) $4 α = 2$ dă $α = \frac{1}{2}$ , deci soluția $(2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

16. Din primele două ecuații: $E_{2} - 3 E_{1}$ dă $- 7 y = - 7$ , deci $y = 1$ și $x = 2$ . A treia ecuație trebuie verificată de aceeași pereche: $m = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 7$ . Pentru orice altă valoare, sistemul nu are soluții. Prin eliminare, $E_{3} - 2 E_{1}$ dă $- y = m - 8$ , iar cu $- y = - 1$ rezultă $0 = m - 7$ . Pentru $m = 7$ ștergi egalitatea $0 = 0$ și rămân două ecuații pentru două necunoscute: soluția e unică.

17. $E_{2} - E_{1}$ dă $- 2 y + z = - 5$ . Rămân două ecuații pentru trei necunoscute, iar $z$ poate lua orice valoare: $y = \frac{5 + z}{2}$ și $x = 10 - y - z$ . Pentru $z = 1$ : $y = 3$ și $x = 6$ , deci soluția $(6, 3, 1)$ ; proba: $6 - 3 + 2 = 5$ .

18. $E_{2} - E_{1}$ dă $y + 3 z = m - 3$ , iar $E_{3} - E_{1}$ dă $3 y + 9 z = m^{2} - 3$ . Scăzând de trei ori prima ecuație nouă din a doua: $0 = m^{2} - 3 m + 6$ . Discriminantul trinomului este $9 - 24 = - 15 < 0$ , deci $m^{2} - 3 m + 6 > 0$ pentru orice $m$ real. Ultima ecuație e mereu falsă, iar sistemul nu are soluții.

De reținut

Două sisteme sunt echivalente dacă au aceleași soluții. Un sistem în formă triunghiulară se rezolvă de jos în sus, prin substituție inversă.
Transformările elementare păstrează soluțiile: schimbi locul a două ecuații, înmulțești o ecuație cu un număr nenul, aduni la o ecuație altă ecuație înmulțită cu un număr.
Algoritmul: elimini pe $x$ din ecuațiile de sub ecuația-pivot, apoi pe $y$ din ultima, apoi urci. La final faci proba în sistemul inițial.
Dacă vreo ecuație devine o egalitate falsă, ca $0 = 2$ , sistemul nu are soluții, oriunde ar apărea ea în calcul. Altfel ștergi egalitățile $0 = 0$ și numeri ecuațiile rămase în formă triunghiulară: dacă sunt mai puține decât necunoscutele, sistemul are o infinitate de soluții; dacă sunt tot atâtea, soluția e unică.
Metoda lui Gauss cere mai puține operații decât Cramer și merge și când determinantul este $0$ . Metoda lui Cramer dă formule și este cea cerută la bacalaureatul M2.

Greșeli frecvente

Termenul liber uitat. La $E_{2} - 3 E_{1}$ se scade $3$ ori coeficienții, dar termenul liber se scade o singură dată. Corect: întreaga ecuație se înmulțește cu $3$ , inclusiv termenul liber.
Ecuația-pivot pierdută. Se înlocuiesc atât $E_{2}$ , cât și $E_{1}$ cu diferența lor, iar sistemul rămâne cu o ecuație lipsă. Corect: ecuația-pivot rămâne în sistem neschimbată până la substituția inversă.
Proba făcută în sistemul transformat. Soluția verifică ecuațiile după un pas greșit, dar nu și pe cele inițiale. Corect: înlocuiești în ecuațiile din enunț.
$0 = 0$ citit ca verdict. Egalitatea adevărată nu interzice nimic, dar nici nu decide singură. Corect: $0 = 0$ doar șterge o ecuație; numeri ce rămâne. Doar o egalitate falsă, ca $0 = 1$ , arată că nu există soluții.
Pivotul zero. Se încearcă eliminarea lui $x$ cu o ecuație care nu-l conține. Corect: schimbi ordinea ecuațiilor, astfel încât sus să stea o ecuație care conține necunoscuta de eliminat.

Aplică acasă

Două metode, același sistem. Rezolvă sistemul din Exemplul 1 și cu metoda lui Cramer. Numără înmulțirile făcute cu fiecare metodă și compară-le cu estimarea din secțiunea 7.
Circuitul tău. Schimbă în Exemplul 3 tensiunea sursei din dreapta de la $15$ V la $9$ V și rezolvă din nou. Ce semn are acum curentul $I_{3}$ și ce înseamnă asta pentru sensul lui?
Sistemul inventat. Alege un triplet de numere întregi și scrie un sistem cu trei ecuații care să-l aibă ca soluție. Dă-l unui coleg fără să-i spui soluția, apoi verificați împreună rezolvarea prin eliminare.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă metoda reducerii din gimnaziu într-un algoritm. Pragul real nu este calculul, ci disciplina scrierii: fiecare pas trebuie să spună ce operație s-a făcut și asupra căror ecuații. Un elev care notează lângă fiecare rând $E_{2} - 3 E_{1}$ , păstrează ecuația-pivot și face proba în sistemul inițial a înțeles metoda. Unul care combină ecuații fără să le noteze ajunge ușor, fără să observe, la un sistem care nu mai e echivalent cu cel inițial.

Semne de urmărit în caiet: termenul liber tratat la fel ca ceilalți coeficienți; verdictul citit din $0 = c$ și din numărul ecuațiilor rămase; schimbarea ordinii ecuațiilor atunci când pivotul este zero. Întrebări bune de control: „Ce operație ai făcut pe acest rând?”, „De ce ai voie să înmulțești cu $3$ , dar nu cu $0$ ?”, „Câte ecuații au rămas și câte necunoscute?”, „Unde faci proba?”.

Al treilea drum spre aceeași soluție este rezolvarea sistemelor cu matricea inversă. Varianta cu sisteme de patru necunoscute, cu rangul matricei și cu teoremele de compatibilitate este metoda lui Gauss, la mate-info (M1). La științe ale naturii, compatibilitatea se reia în clasa a XII-a, în lecția despre compatibilitatea sistemelor.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară în vigoare la clasa a XI-a pentru științe ale naturii și pentru filiera tehnologică (Programa 2, aprobată prin ordinul nr. 3252/2006), al cărei capitol de sisteme conține rândul „Metode de rezolvare a sistemelor liniare: metoda Cramer, metoda Gauss”, pentru sisteme cu cel mult trei necunoscute. Programa de examen după care se dă Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) păstrează din acest rând doar „Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare”; de aceea niciun exercițiu din lecție nu e marcat ca exercițiu de bacalaureat. Nici programa de examen M_tehnologic nu o cere. Metoda lui Gauss nu apare nici în programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), nici în programa probei MAT_P2 din 2030. Competențele din fișa lecției sunt cele mai apropiate din anexa 28. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OMEC 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să elimini o necunoscută dintr-o ecuație?

Înseamnă să aduni la acea ecuație o altă ecuație din sistem, înmulțită cu un număr ales astfel încât coeficientul necunoscutei să devină zero. De exemplu, dacă prima ecuație are $x$ și a doua $3 x$ , scazi din a doua de trei ori prima. Necunoscuta dispare, iar ecuația nouă are o necunoscută mai puțin.

Ce operații am voie să fac cu ecuațiile unui sistem?

Trei: să schimbi locul a două ecuații, să înmulțești o ecuație cu un număr diferit de zero și să aduni la o ecuație o altă ecuație înmulțită cu un număr. Toate trei se pot desface, de aceea sistemul nou are exact aceleași soluții ca cel vechi. Înmulțirea cu zero șterge o ecuație, deci nu e permisă.

Cum îmi dau seama, în timpul calculului, că sistemul nu are soluții?

Când, după eliminări, o ecuație pierde toate necunoscutele și rămâne o egalitate falsă între numere, de tipul $0 = 3$ . Nicio valoare a necunoscutelor nu o poate face adevărată, iar transformările au păstrat soluțiile, deci nici sistemul inițial nu are soluții. Dacă rămâne $0 = 0$ , o ștergi și numeri ecuațiile rămase, ca în secțiunea 6.

Când e mai bună metoda lui Gauss decât metoda lui Cramer?

Când vrei toate necunoscutele cu calcul puțin: la trei necunoscute, eliminarea cere de aproape trei ori mai puține înmulțiri. Metoda lui Gauss merge și când determinantul sistemului este zero, unde formulele lui Cramer nu se aplică. Pentru discuția după un parametru, formulele lui Cramer rămân însă mai comode.

Se cere metoda lui Gauss la bacalaureatul M2?

Nu. Programa de examen M2 pentru sesiunile 2027–2029 numește, la sisteme, numai metoda lui Cramer, iar programa probei MAT_P2 din 2030 nu numește metoda lui Gauss. Metoda e însă în programa școlară a clasei a XI-a și te ajută să-ți verifici rapid, pe ciornă, soluția găsită cu determinanți.

Prin ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)?

La mate-info, metoda lui Gauss se folosește și pentru sisteme cu patru necunoscute, pentru calculul inversei unei matrice și împreună cu rangul matricei și teoremele de compatibilitate. Lecția M2 rămâne la cel mult trei necunoscute, lucrează mai ales cu ecuațiile scrise întreg și numără ecuațiile rămase după eliminare, fără rang.

De ce poartă metoda numele lui Gauss, dacă era cunoscută dinainte?

Carl Friedrich Gauss a folosit-o sistematic la începutul secolului al XIX-lea, la orbitele unor asteroizi, iar notația lui a făcut-o metoda obișnuită de calcul. În Europa, ea apăruse deja în manualele de algebră din secolul al XVIII-lea. Ideea apare însă cu aproape două milenii înainte într-o carte chinezească de matematică, „Cele nouă capitole despre arta matematică”, unde sistemele se rezolvă aranjând coeficienții pe o tablă de calcul.