Care dintre limitele de mai jos are forma $$\dfrac{c}{0}$$, cu $$c \ne 0$$, deci nu este caz exceptat?

$$\lim_{x \to -2^{+}}\dfrac{3x + 4}{x + 2}$$

$$\lim_{x \to -4}\dfrac{x^{2} + 3x - 4}{x + 4}$$

$$\lim_{x \to +\infty}\dfrac{6x + 1}{2x^{2}}$$

$$\lim_{x \to 3}\dfrac{x^{2} + 1}{x + 4}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Cazuri exceptate la limite

Cum aflu limita unui cât care conține f(x)?

Pui $f (x)$ în cât, reduci numărătorul la un singur polinom și vezi ce dă înlocuirea. Dacă iese $\frac{0}{0}$ , descompui numărătorul și numitorul în produse și simplifici factorul comun. Exemplu: $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 17 x + 36$ și $lim_{x \to 4} \frac{f ( x ) - x ^{3}}{x ^{2} - 4 x}$ . Numărătorul este $2 x^{2} - 17 x + 36 = (2 x - 9) (x - 4)$ , numitorul $x (x - 4)$ , deci câtul este $\frac{2 x - 9}{x} \to - \frac{1}{4}$ . Proba: la $x = 4, 001$ câtul este $\approx - 0, 2494$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Când o limită iese $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ sau $0 \cdot \infty$ , valoarea nu se citește din părțile ei: aceeași formă poate da $1$ , $2$ sau nicio limită. De aceea pui mai întâi în numărător și în numitor ce obții, numești situația și abia apoi alegi tehnica.

La $\frac{0}{0}$ cu polinoame, ambele se anulează în $a$ , deci se împart exact la $x - a$ . Le scrii ca produse, simplifici factorul $x - a$ , un factor întreg și niciodată un termen, și înlocuiești în câtul rămas. La $\frac{\infty}{\infty}$ pui în evidență, la numărător și la numitor, termenul cu exponentul cel mai mare sau compari gradele: un numărător mai mic dă $0$ , gradele egale dau câtul coeficienților dominanți, iar un numărător mai mare dă $\pm \infty$ .

Dacă numărătorul tinde la un număr nenul, iar numitorul la $0$ , situația nu este caz exceptat: limitele laterale sunt infinite, cu semnul dat de cele două părți. Produsul $0 \cdot \infty$ îl scrii ca un cât și treci la rândul lui din tabelul de decizie. Cele mai costisitoare erori sunt să citești $\frac{0}{0}$ drept zero sau unu, să tai termeni și să scoți factor forțat într-un punct finit.

Verifici pe expresia inițială, calculată în două puncte tot mai apropiate de limită sau foarte mari; semnul și ordinul de mărime trebuie să coincidă cu rezultatul.

De reținut

$\frac{0}{0}$ : descompui numărătorul și numitorul, simplifici factorul $x - a$
factor puterea cea mai mare doar la $\pm \infty$
limita nu ține cont de valoarea din punct, deci simplificarea e permisă

Greșeala tipică

Se simplifică termeni, nu factori: din $\frac{2 x ^{2} - 17 x + 36}{x ^{2} - 4 x}$ se taie $x^{2}$ cu $x^{2}$ și se scrie $2$ . Corect este să descompui întâi și să tai factorul $x - 4$ : rezultatul este $- \frac{1}{4}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre limitele de mai jos are forma $\frac{c}{0}$ , cu $c \neq = 0$ , deci nu este caz exceptat?
- a) $lim_{x \to - 4} \frac{x ^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$
- b) $lim_{x \to + \infty} \frac{6 x + 1}{2 x ^{2}}$
- c) $lim_{x \to - 2^{+}} \frac{3 x + 4}{x + 2}$
- d) $lim_{x \to 3} \frac{x ^{2} + 1}{x + 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $lim_{x \to - 2^{+}} \frac{3 x + 4}{x + 2}$

La a treia limită numărătorul tinde la $3 \cdot (- 2) + 4 = - 2$ , iar numitorul la $0^{+}$ : forma $\frac{c}{0}$ cu $c = - 2$ , deci $- \infty$ . Prima este $\frac{0}{0}$ , a doua este $\frac{\infty}{\infty}$ , iar a patra se calculează direct, numitorul tinzând la $7$ .
Un service auto estimează câte ore de manoperă revin, în medie, pe o mașină dintr-o campanie cu $x$ mașini: $R (x) = \frac{14 x ^{2} + 5}{7 x ^{2} - x}$ ore, pentru $x \geq 1$ . Spre ce valoare se îndreaptă $R (x)$ când $x \to + \infty$ ?
- a) $1$
- b) $0$
- c) $+ \infty$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$

Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\frac{14}{7} = 2$ . Varianta $1$ scrie $\frac{\infty}{\infty} = 1$ , varianta $0$ confundă gradele egale cu un numărător de grad mai mic, iar $+ \infty$ ar cere numărător de grad mai mare.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 30$ . Cât este $lim_{x \to 3} \frac{f ( x ) - x ^{3}}{x ^{2} - 3 x}$ ?
- a) $- \frac{16}{3}$
- b) $\frac{16}{3}$
- c) $- 16$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{16}{3}$

Numărătorul este $f (x) - x^{3} = - 2 x^{2} - 4 x + 30 = - 2 (x - 3) (x + 5)$ , iar numitorul $x (x - 3)$ . După simplificarea lui $x - 3$ rămâne $\frac{- 2 ( x + 5 )}{x}$ , cu limita $\frac{- 16}{3}$ . Varianta $\frac{16}{3}$ pierde minusul, $- 16$ uită să împartă la $x = 3$ , iar $0$ citește $\frac{0}{0}$ ca zero.

Întrebări conexe

Cum aleg parametrul ca limita în punct să fie finită?

Numitorul se anulează în punct, deci și numărătorul trebuie să se anuleze acolo; altfel limita este infinită. Pentru $lim_{x \to 4} \frac{x ^{2} + a x - 12}{x - 4}$ ceri $16 + 4 a - 12 = 0$ , deci $a = - 1$ . Atunci $x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)$ , iar după simplificare limita este $4 + 3 = 7$ .

Cum descompun numărătorul de gradul al doilea?

Pornești de la rădăcina care îl anulează: dacă $N (4) = 0$ , apare factorul $x - 4$ . Pentru $2 x^{2} - 17 x + 36$ , produsul rădăcinilor este $\frac{36}{2} = 18$ , deci a doua rădăcină este $\frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ și $2 x^{2} - 17 x + 36 = (x - 4) (2 x - 9)$ .

Când scot factor puterea cea mai mare în loc să descompun?

Numai când $x \to \pm \infty$ . Într-un punct finit, ca $x \to 4$ , tehnica nu ajută, pentru că numărătorul și numitorul se anulează în continuare și rămâi cu $\frac{0}{0}$ . La infinit, pentru $\frac{2 x ^{2} - 17 x + 36}{x ^{2} - 4 x}$ , împarți la $x^{2}$ și obții $\frac{2 - \frac{17}{x} + \frac{36}{x ^{2}}}{1 - \frac{4}{x}} \to 2$ .

Cum verific limita cu un număr foarte apropiat de punct?

Calculezi câtul inițial, nu cel simplificat, la o valoare apropiată. Pentru $x = 4, 001$ numărătorul este $\approx - 0, 000998$ , numitorul $0, 004001$ , iar câtul $\approx - 0, 2494$ , aproape de $- \frac{1}{4}$ . Dacă rezultatul numeric iese cu alt semn sau cu alt ordin de mărime, ai pierdut un factor sau un minus la descompunere.

Cum găsesc numărătorul când f este un polinom de gradul trei?

Scazi termenii de gradul trei: rămâne un polinom de gradul doi sau mai mic. Din $x^{3} + 2 x^{2} - 17 x + 36 - x^{3}$ rămâne $2 x^{2} - 17 x + 36$ . De aici pornești descompunerea în factori, fără să mai dezvolți altceva și fără să cauți primitive sau derivate.

Oamenii mai întreabă și: limita câtului cu f(x) la numărător · cum calculez limita dintr-un cât cu o funcție dată · limita în punct cu numitor x pătrat minus 4x · diferența f(x) minus x cub la numărător · cum scap de zero supra zero când f este dată