Nedeterminări de tip 0/0 la tehnologic

Programul unei mașini se oprește uneori cu mesajul „împărțire la zero”, deși mărimea din atelier are o valoare bine știută. Pentru elevii din clasa a XI-a de la filiera tehnologică, lecția arată cum alegi tehnica potrivită atunci când o limită iese $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ sau $0\cdot \infty$. Asemenea limite au fost date la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), în Subiectul al III-lea, în 34 din cele 83 de probe.

Situația de pornire

La un atelier de prelucrări mecanice din Târgu Mureș se strunjesc bucșe subțiri din oțel, cu alezajul de 40 mm. Tehnologul calculează, pentru fiecare diametru exterior $D$, aria secțiunii inelare $A$ și grosimea peretelui $g$, apoi raportul $k=A/g$: cât material revine pe milimetru de grosime. Macroul mașinii face împărțirea direct. Pentru bucșele cu perete foarte subțire, tehnologul vrea un singur număr: valoarea spre care se îndreaptă $k$ când grosimea scade spre 0, ca să estimeze aria din grosime fără să mai ridice la pătrat. Dacă introduce chiar $D=40$ mm, aria și grosimea sunt amândouă 0, iar ecranul arată „împărțire la zero”. Tabelul dă ce calculează macroul pentru diametre tot mai apropiate de 40 mm.

Întrebare: spre ce valoare se îndreaptă $k$ când $D$ se apropie de 40 mm și cum o afli fără să iei din tabel diametre tot mai apropiate?

De la situație la model

Aria unui inel este diferența dintre aria cercului exterior și a celui interior: $A(D)=\frac{\pi D^2}{4}-\frac{\pi \cdot 40^2}{4}=\frac{\pi (D^2-1600)}{4}$. Grosimea peretelui este jumătate din diferența diametrelor: $g(D)=\frac{D-40}{2}$. Raportul lor este $k(D)=\frac{A(D)}{g(D)}=\frac{\pi (D^2-1600)}{2(D-40)}$.

Ce este un caz exceptat?

Cazurile exceptate din programă sunt situațiile $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ și $0\cdot \infty$, în care limitele părților nu hotărăsc rezultatul; la fel se poartă diferența $\infty -\infty$. Asta nu înseamnă că limita nu există. Pentru $x\to 0$, câturile $\frac{x}{x}$, $\frac{2x}{x}$ și $\frac{x}{x^2}$ au toate forma $\frac{0}{0}$, dar primul tinde la 1, al doilea la 2, iar al treilea nu are limită, fiindcă $\frac{1}{x}$ ia valori de semne diferite de o parte și de alta a lui 0. Rezultatul depinde de expresie, de aceea o transformi înainte să înlocuiești.

Cum rezolvi $\frac{0}{0}$ la funcții raționale?

Dacă numărătorul și numitorul se anulează în $a$, amândouă se împart exact la $x-a$. Scrii $N(x)=(x-a)N_1(x)$ și $D(x)=(x-a)D_1(x)$. Pentru $x\ne a$, câtul este $\frac{N_1(x)}{D_1(x)}$, iar limita în $a$ nu ține cont de valoarea din $a$, deci o calculezi pe câtul simplificat, de obicei prin înlocuire. La polinoamele de gradul II găsești factorii cu formula rădăcinilor, iar diferența de pătrate se descompune direct.

Cum rezolvi $\frac{\infty }{\infty }$?

Scoți factor, la numărător și la numitor, puterea cea mai mare a lui $x$. De exemplu $\frac{6x^2+5x}{2x^2-3}=\frac{x^2\left(6+\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(2-\frac{3}{x^2}\right)}$, iar $\frac{5}{x}$ și $\frac{3}{x^2}$ tind la 0 după tabelul din lecția despre limite uzuale. Rămâne $\frac{6+0}{2-0}=3$. Același lucru se citește direct din grade: cu numărătorul de grad mai mic, limita este 0; când gradele coincid, rezultatul este câtul coeficienților termenilor de grad maxim; cu numărătorul de grad mai mare, limita este $+\infty$ sau $-\infty$, după semn.

Ce faci cu $\frac{c}{0}$ și cu $0\cdot \infty$?

Un cât cu numărătorul tinzând la un număr $c\ne 0$ și cu numitorul la 0 nu este caz exceptat: fiecare limită laterală este $+\infty$ sau $-\infty$, după semnul lui $c$ și semnul numitorului pe acea parte. Dacă limitele laterale au semne diferite, limita în punct nu există. Un produs $0\cdot \infty$ îl scrii ca un cât: $x\cdot \frac{7}{x+3}=\frac{7x}{x+3}$ ajunge la $\frac{\infty }{\infty }$ pentru $x\to +\infty$.

Metoda pas cu pas

1. Înlocuiește valoarea în numărător și în numitor sau, la $\pm \infty$, compară gradele, și scrie ce fel de situație ai: o valoare, $\frac{c}{0}$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$ sau $0\cdot \infty$.
2. Alege acțiunea din tabelul de decizie de mai jos, care leagă fiecare situație de tehnica ei.
3. Execută acțiunea pe expresie: factorii se simplifică abia după ce i-ai scris ca produse, iar la $\infty$ scoți factor puterea cea mai mare, la numărător și la numitor.
4. Reia calculul pe expresia transformată, prin înlocuire sau prin grade, și scrie rezultatul cu semn.
5. Verifică: calculează expresia inițială în două valori apropiate de punct sau foarte mari și compară cu limita găsită.

Ordinea contează: cine alege tehnica înainte de pasul 1 poate scoate factor forțat într-un caz $\frac{0}{0}$, unde nu ajută; cine sare peste pasul 5 nu prinde un semn pierdut. La $\frac{0}{0}$ numărătorul și numitorul se descompun în același punct, deci simplifici factori întregi, nu termeni.

Fișa de buzunar

$$\frac{(x-a)N_1(x)}{(x-a)D_1(x)}=\frac{N_1(x)}{D_1(x)}\text{pentru }x\ne a$$

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+\dots }{b_m{x}^m+\dots }=\{\begin{array}{ll}0,& n<m\\ \frac{a_n}{b_m},& n=m\\ \pm \infty ,& n>m\end{array}$$

Condiții: factorul se simplifică numai pentru $x\ne a$, iar rezultatul final se citește din câtul simplificat. La $\pm \infty$ contează doar termenii de grad maxim, fiindcă ceilalți tind la 0 după împărțire. Verificare rapidă: calculează câtul în două valori tot mai apropiate de punct, sau foarte mari, și vezi dacă rezultatele merg spre limita găsită.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Bucșa subțire, de la „împărțire la zero” la valoare

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia bucșa din situație, cu $k(D)=\frac{\pi (D^2-1600)}{2(D-40)}$. a) Ce fel de situație este $D\to 40$? b) Calculează ${\lim }_{D\to 40}k(D)$, exact și rotunjit la două zecimale. c) Ce arată valoarea găsită? d) Pentru bucșe groase, raportul dintre masa bucșei și masa barei pline cu același diametru exterior este $r(D)=\frac{D^2-1600}{D^2}$. Cât devine când $D\to +\infty$?

Rezolvare. a) Numărătorul $\pi (40^2-1600)=0$ și numitorul $2(40-40)=0$: cazul $\frac{0}{0}$, caz exceptat. b) Diferența de pătrate dă $D^2-1600=(D-40)(D+40)$, deci pentru $D\ne 40$ avem $k(D)=\frac{\pi (D-40)(D+40)}{2(D-40)}=\frac{\pi (D+40)}{2}$. Limita nu ține cont de $D=40$ însuși, deci ${\lim }_{D\to 40}k(D)={\lim }_{D\to 40}\frac{\pi (D+40)}{2}=\frac{\pi \cdot 80}{2}=40\pi \approx 125,66$ mm. c) $40\pi$ este lungimea cercului alezajului: la un perete foarte subțire, materialul pe milimetru de grosime este circumferința pe care o înconjoară. d) Aici numărătorul și numitorul tind la $+\infty$: cazul $\frac{\infty }{\infty }$. Scoți factor $D^2$ și obții $r(D)=1-\frac{1600}{D^2}$, iar $\frac{1600}{D^2}\to 0$, deci ${\lim }_{D\to +\infty }r(D)=1$: la o bucșă tot mai groasă, alezajul de 40 mm contează tot mai puțin, iar masa ei se apropie de a barei pline.

Capcană. Cine citește $\frac{0}{0}$ ca „zero” scrie $k=0$ mm și ar estima că o bucșă subțire nu are deloc material în secțiune. Tabelul coboară însă lent spre 125,66 mm, nu spre 0.

Verificare. Pe datele inițiale, nu pe formula simplificată: pentru $D=40,01$, $A=\frac{\pi (40,01^2-1600)}{4}\approx 0,6284$ mm² și $g=0,005$ mm, deci $k\approx 125,68$ mm; pentru $D=40,001$, $A\approx 0,06283$ mm² și $g=0,0005$ mm, deci $k\approx 125,67$ mm. Valorile continuă tendința din tabel și se apropie de 125,66 mm.

Exemplul 2 — Hala lungă: ce rămâne din pereții de capăt

Domeniu: constructii.

Enunț. O hală de depozitare are secțiunea de 12 m lățime și 5 m înălțime. Pentru lungimea de $L$ metri, suprafața prin care pierde căldură este $S(L)=34L+120$ m² (pereții laterali, acoperișul, pardoseala și cei doi pereți de capăt), iar volumul este $V(L)=60L$ m³. a) Calculează $\frac{S(L)}{V(L)}$ pentru $L=24$ și $L=120$. b) Ce fel de situație este $L\to +\infty$ și cât este limita? c) Ce înseamnă pentru o hală foarte lungă? d) De la ce lungime scade raportul sub 0,6 m⁻¹?

Rezolvare. a) Pentru $L=24$: $S=936$ m² și $V=1440$ m³, deci raportul este $0,65$ m⁻¹. Pentru $L=120$: $S=4200$ m² și $V=7200$ m³, deci $\approx 0,583$ m⁻¹. b) Numărătorul și numitorul tind amândouă la $+\infty$: cazul $\frac{\infty }{\infty }$, al patrulea rând al tabelului. Scoți factor $L$: $\frac{34L+120}{60L}=\frac{34+\frac{120}{L}}{60}$, iar $\frac{120}{L}\to 0$, deci ${\lim }_{L\to +\infty }\frac{S(L)}{V(L)}=\frac{34}{60}=\frac{17}{30}\approx 0,567$ m⁻¹. c) Peretele de capăt contează tot mai puțin: raportul se apropie de perimetrul secțiunii, 34 m, împărțit la aria ei, 60 m². d) Din $\frac{34L+120}{60L}<0,6$ rezultă $34L+120<36L$, adică $L>60$: la 60 m raportul este exact 0,6, iar peste această lungime scade sub 0,6 m⁻¹, cu atât mai lent cu cât hala e mai lungă.

Capcană. Cine citește $\frac{\infty }{\infty }$ ca „1” scrie un raport de 1 m⁻¹, de aproape două ori mai mare decât 0,567 m⁻¹, și supraevaluează pierderile de căldură ale halei.

Verificare. La $L=1200$, $\frac{34\cdot 1200+120}{60\cdot 1200}=\frac{40920}{72000}\approx 0,568$, aproape de $\frac{17}{30}$; la $L=61$, $\frac{34\cdot 61+120}{60\cdot 61}=\frac{2194}{3660}\approx 0,5995$, sub 0,6.

Exemplul 3 — Eroarea relativă a senzorului, lângă 0 °C

Domeniu: electric.

Enunț. O cameră frigorifică pentru legume se ține între 2 și 8 °C. În tabloul ei de automatizare, senzorul de temperatură are eroarea absolută de 0,3 °C, iar eroarea relativă, în procente, este $e(T)=\frac{0,3}{T}\cdot 100=\frac{30}{T}$ la temperatura de $T$ grade Celsius, pentru $T>0$. a) Calculează $e(8)$ și $e(2)$. b) Ce fel de situație este $T\to 0^{+}$ și cât este limita? c) Pentru ce temperaturi eroarea relativă este sub 2%? d) Cât este eroarea relativă la 2 °C, dacă temperatura se scrie în kelvini, cu 0 °C = 273,15 K?

Rezolvare. a) $e(8)=\frac{30}{8}=3,75\%$ și $e(2)=\frac{30}{2}=15\%$. b) Numărătorul este 30, diferit de 0, iar numitorul tinde la 0 prin valori pozitive: urmezi al doilea rând al tabelului, nu e caz exceptat, iar ${\lim }_{T\to 0^{+}}\frac{30}{T}=\frac{30}{0^{+}}=+\infty$. Senzorul greșește tot cu 0,3 °C, dar eroarea relativă crește fără limită, fiindcă zeroul scării Celsius e ales prin convenție. c) Din $\frac{30}{T}<2$ rezultă $T>15$ °C: în camera frigorifică eroarea relativă nu coboară sub 2%. d) 2 °C înseamnă 275,15 K, iar $\frac{0,3}{275,15}\cdot 100\approx 0,109\%$: în kelvini, eroarea relativă are sens și lângă 0 °C.

Capcană. Cine spune că „împărțirea la zero dă zero” scrie o eroare relativă de 0% la 0 °C, adică un senzor perfect tocmai acolo unde eroarea relativă crește fără limită.

Verificare. Pe alt drum, din definiția erorii relative: la 0,5 °C senzorul poate greși cu 0,3 °C, adică cu $\frac{0,3}{0,5}=60\%$ din valoare, iar formula dă $30:0,5=60$; la 0,05 °C dă 600, tot mai mult.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o limită cu polinom de gradul al treilea

Domeniu: lemn.

Enunț. Cerința are forma celor din probe, dar cu alte date: „Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+5x^2-23x+18$. Arătați că ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=13$.”

Rezolvare. Numărătorul este $x^3-f(x)=-5x^2+23x-18$ și numitorul $x^2-x=x(x-1)$. În $x=1$ ambele sunt 0: cazul $\frac{0}{0}$, deci urmezi al treilea rând al tabelului de decizie. Descompui numărătorul: $-5x^2+23x-18=-(5x-18)(x-1)$. Pentru $x\ne 1$ factorul $x-1$ se simplifică, iar câtul este $\frac{-(5x-18)(x-1)}{x(x-1)}=\frac{-(5x-18)}{x}$, expresie definită și în $x=1$, deci ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=\frac{-(5\cdot 1-18)}{1}=13$.

Capcană. Cine uită minusul din fața produsului scrie $(5x-18)(x-1)$ și obține $-13$, de semn opus. Verificarea numerică arată semnul corect: câtul este pozitiv lângă 1.

Verificare. Pentru $x=1,001$: numărătorul este $0,012995$ și numitorul $0,001001$, iar câtul $\approx 12,98$, aproape de 13.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Spune ce fel de situație este fiecare limită, fără să o calculezi: a) ${\lim }_{x\to 6}\frac{x^2-36}{x^2-5x-6}$; b) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{7x^2+1}{x^3-2}$; c) ${\lim }_{x\to -3^{+}}\frac{2x+5}{x+3}$; d) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+1}{x+4}$.

2. Calculează: a) ${\lim }_{x\to 7}\frac{x^2-9x+14}{x^2-49}$; b) ${\lim }_{x\to -6}\frac{x^2+4x-12}{x^2-36}$; c) ${\lim }_{x\to 8}\frac{x^2-64}{x^2-12x+32}$.

3. Calculează: a) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{4x^2-9}{7x^2+2x}$; b) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{4x+9}{x^2+1}$; c) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{x^3+2}{x^2-7}$.

4. Calculează: a) ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+5}{x-2}$; b) ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{x+5}{x-2}$; c) ${\lim }_{x\to +\infty }(2x+1)\cdot \frac{3}{x^2}$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un mic atelier își face un fond de rezervă: la sfârșitul fiecărui an depune 1 500 lei într-un cont la bancă, cu dobânda anuală $i$, scrisă ca fracție ($i=0,05$ înseamnă 5%). După a treia depunere, contul are $S(i)=1500\cdot \frac{(1+i{)}^3-1}{i}$ lei. a) Calculează $S(0,05)$. b) Ce dă formula pentru $i=0$ și ce fel de situație este $i\to 0$? c) Calculează ${\lim }_{i\to 0}S(i)$ și spune ce înseamnă.

6. (Problemă aplicată.) La o tâmplărie se lipesc panouri din lamele de stejar de 23 mm grosime, cu un strat de adeziv de 0,4 mm între două lamele vecine. Un panou cu $n$ lamele are grosimea $23n+0,4(n-1)$ mm, iar partea din grosime care este lemn este $s(n)=\frac{23n}{23,4n-0,4}$. a) Calculează grosimea și $s(6)$, în procente, pentru un panou de 6 lamele. b) Ce fel de situație este $n\to +\infty$ și cât este limita? c) Ce înseamnă rezultatul pentru adeziv?

7. (Problemă aplicată.) La un arbore de transmisie, amplitudinea vibrației, în milimetri, la turația de $n$ sute de rotații pe minut, este $A(n)=\frac{640}{2500-n^2}$, cu $0\le n<50$; turația critică este 5000 rot/min. a) Calculează $A(30)$ și $A(45)$. b) Calculează ${\lim }_{n\to 50^{-}}A(n)$ și spune dacă este caz exceptat. c) Ce înseamnă limita pentru arbore?

8. (Problemă aplicată.) O stație de epurare evacuează 9 g/s de poluant într-un râu, împreună cu 0,4 m³/s de apă epurată. În aval, concentrația este $c(Q)=\frac{9}{Q+0,4}$ g/m³, unde $Q$ este debitul râului în m³/s. Partea de poluant care trece cu apa râului este $Q\cdot c(Q)$. a) Calculează $Q\cdot c(Q)$ pentru $Q=6$ și $Q=36$. b) Ce fel de situație este $Q\to +\infty$ și cât este limita? c) Cât este limita părții care trece cu apa efluentului, $0,4c(Q)$?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-7x+5$. Calculați ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x(x+4)(5x-3)}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-3-\ln x$. Arătați că ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)+\ln x}{5x-5}=\frac{6}{5}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^3-2x^4+7$. Arătați că ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)+2x^4}{x^3+9}=5$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+13x-14$. Arătați că ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-x^3}{x^2-2x}=\frac{1}{2}$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\frac{0}{0}$: numărătorul și numitorul se anulează în 6. b) $\frac{\infty }{\infty }$, cu numărător de grad mai mic. c) $\frac{c}{0}$, cu $c=-1$ și numitor pozitiv: nu e caz exceptat. d) Direct: numitorul tinde la 6, nu la 0. Verificare: $6^2-36=0$ și $6^2-5\cdot 6-6=0$; $2\cdot (-3)+5=-1$.

2. a) $\frac{(x-2)(x-7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{x-2}{x+7}\to \frac{5}{14}$. b) $\frac{(x+6)(x-2)}{(x-6)(x+6)}=\frac{x-2}{x-6}\to \frac{2}{3}$. c) $\frac{(x-8)(x+8)}{(x-4)(x-8)}=\frac{x+8}{x-4}\to 4$. Verificare: la $x=7,001$, câtul inițial este $\approx 0,3572$.

3. a) $\frac{4-\frac{9}{x^2}}{7+\frac{2}{x}}\to \frac{4}{7}$. b) Numărătorul are grad mai mic: limita este $0$. c) Numărătorul are grad mai mare: câtul se comportă ca $x$, deci limita este $-\infty$. Verificare: la $x=1000$, $\frac{4\cdot 1000^2-9}{7\cdot 1000^2+2000}\approx 0,5713$.

4. a) $\frac{7}{0^{+}}=+\infty$. b) $\frac{7}{0^{-}}=-\infty$. c) $(2x+1)\cdot \frac{3}{x^2}=\frac{6x+3}{x^2}$, cu numărătorul de grad mai mic: limita este $0$. Verificare: la $x=2,001$, $\frac{7,001}{0,001}=7001$; la $x=1,999$, $\frac{6,999}{-0,001}=-6999$; la $x=1000$, $\frac{6003}{1000^2}\approx 0,006$.

5. a) $1,05^3=1,157625$, deci $S(0,05)=1500\cdot \frac{0,157625}{0,05}=4728,75$ lei. b) Numărătorul și numitorul sunt 0: cazul $\frac{0}{0}$. c) $(1+i{)}^3-1=3i+3i^2+i^3=i\left(3+3i+i^2\right)$, deci pentru $i\ne 0$ avem $S(i)=1500\left(3+3i+i^2\right)\to 1500\cdot 3=4500$ lei: fără dobândă, contul are exact cele trei depuneri. Verificare: $S(0,001)\approx 4504,5$ lei.

6. a) Grosimea este $138+2=140$ mm, iar $s(6)=\frac{138}{140}\approx 98,57\%$. b) $\frac{\infty }{\infty }$: $\frac{23n}{23,4n-0,4}=\frac{23}{23,4-\frac{0,4}{n}}\to \frac{23}{23,4}\approx 0,9829$, adică 98,29%. c) Oricâte lamele lipești, adezivul rămâne sub 1,71% din grosime. Verificare: la $n=100$, $\frac{2300}{2339,6}\approx 98,31\%$.

7. a) $A(30)=\frac{640}{1600}=0,4$ mm și $A(45)=\frac{640}{475}\approx 1,35$ mm. b) Numărătorul este 640, iar numitorul tinde la $0^{+}$, fiindcă $n<50$: nu e caz exceptat, iar limita este $+\infty$. c) Lângă turația critică amplitudinea crește fără limită; turațiile apropiate de 5000 rot/min se evită. Verificare: $A(49,5)=\frac{640}{2500-2450,25}\approx 12,9$ mm.

8. a) $Q=6$: $c=\frac{9}{6,4}\approx 1,406$ g/m³, iar $Q\cdot c\approx 8,44$ g/s; $Q=36$: $c\approx 0,247$ g/m³, iar $Q\cdot c\approx 8,90$ g/s. b) $Q\cdot c(Q)=\frac{9Q}{Q+0,4}$ este un caz $0\cdot \infty$, adus la $\frac{\infty }{\infty }$: $\frac{9}{1+\frac{0,4}{Q}}\to 9$ g/s. c) $0,4c(Q)=\frac{3,6}{Q+0,4}\to 0$. Verificare: la $Q=120$, $Q\cdot c\approx 8,97$ și $0,4c\approx 0,03$, suma lor este 9, tot poluantul evacuat.

9. Numărătorul are gradul 3, iar numitorul $x(x+4)(5x-3)=5x^3+17x^2-12x$ tot gradul 3. Scoți factor $x^3$: $\frac{x^3\left(2-\frac{7}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)}{x^3\left(5+\frac{17}{x}-\frac{12}{x^2}\right)}$. Termenii cu $x$ la numitor tind la 0: limita este $\frac{2}{5}$. Verificare: la $x=1000$, câtul este $\approx 0,3986$.

10. Numărătorul este $f(x)+\ln x=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, iar numitorul $5x-5=5(x-1)$. În $x=1$ ambele sunt 0, deci $\frac{0}{0}$. Pentru $x\ne 1$, câtul este $\frac{3(x+1)}{5}$, deci limita este $\frac{3\cdot 2}{5}=\frac{6}{5}$. Verificare: la $x=1,001$, $\frac{3\cdot 1,001^2-3}{5\cdot 1,001-5}\approx 1,2006$.

11. Numărătorul este $f(x)+2x^4=5x^3+7$, iar câtul $\frac{5x^3+7}{x^3+9}$. Gradele sunt egale: scoți factor $x^3$ și obții $\frac{5+\frac{7}{x^3}}{1+\frac{9}{x^3}}$. Limita este $\frac{5+0}{1+0}=5$. Verificare: la $x=1000$, $\frac{5\cdot 1000^3+7}{1000^3+9}\approx 5,0000$.

12. Numărătorul este $f(x)-x^3=-3x^2+13x-14$, iar numitorul $x^2-2x=x(x-2)$. În $x=2$ ambele sunt 0, deci $\frac{0}{0}$; descompui $-3x^2+13x-14=-(3x-7)(x-2)$. Pentru $x\ne 2$, câtul este $\frac{-(3x-7)}{x}$, deci limita este $\frac{-(6-7)}{2}=\frac{1}{2}$. Verificare: la $x=2,001$, câtul inițial este $\frac{0,000997}{0,002001}\approx 0,4983$.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, tema a apărut în 34 din cele 83 de probe, cu 35 de cerințe, fiindcă proba 2014-simulare are două. Toate sunt la Subiectul al III-lea, problema 1: în 17 limita este chiar cerința, în 11 este pasul din definiția derivatei, iar în 7 este pasul unei limite pe care o poate rezolva regula lui l'Hospital; ultimele două grupe sunt în lecțiile despre derivată. În 8 dintre cele 17, câtul conține și derivata $f^{\prime }(x)$, pe care o calculezi întâi, cu regulile de derivare; limita se face apoi la fel. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele:

• Simularea din 2014, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: $f$ este un polinom cubic, iar limita la $+\infty$ ia câtul dintre $f(x)$ și un produs de trei factori de gradul I; baremul probei dă 2 puncte pentru factorul $x^3$ scos la numărător și la numitor (pasul 3 din Metodă) și 3 puncte pentru valoarea limitei (pasul 4).
• August 2026, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: limita se cere în punctul 1, iar numitorul este $x^2-x$; baremul probei dă 3 puncte pentru numărătorul și numitorul scrise ca produse (pasul 3) și 2 puncte pentru simplificare și înlocuire (pasul 4).
• Simularea din 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: funcția are un termen cu $\ln x$ care dispare în numărător; în punctul 1 se cere limita, iar baremul probei dă 3 puncte pentru numărătorul fără logaritm, scris ca produs (pasul 3), și 2 puncte pentru simplificare și rezultat (pasul 4).
• Proba specială din 2022, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: limita la $+\infty$ are la numitor un binom de gradul al treilea, iar numărătorul se obține adunând la $f(x)$ un termen de gradul al patrulea; baremul probei dă 2 puncte pentru cât scris cu $x^3$ factor (pasul 3) și 3 puncte pentru rezultat (pasul 4).

Exercițiile 9–12 exersează aceleași tipuri, cu numere proprii. Mai departe, asimptotele unui grafic folosesc aceleași limite la $\pm \infty$, iar restul clasei e în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Citești $\frac{0}{0}$ ca „zero” sau ca „unu” → cum o prinzi: calculezi câtul în două puncte apropiate; la bucșă, tabelul coboară spre 125,66 mm, nu spre 0.
• Simplifici termeni, nu factori, de exemplu din $\frac{x^2-81}{x-9}$ tai $x$ cu $x$ → cum o prinzi: scrii întâi $(x-9)(x+9)$ la numărător; abia apoi tai factorul $x-9$.
• Scoți factor forțat într-un caz $\frac{0}{0}$ → cum o prinzi: la limita în 1 a lui $\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}$ rămâi tot la $\frac{0}{0}$; tehnica de la infinit nu ajută în punct finit.
• Scrii „$\frac{\infty }{\infty }=1$” → cum o prinzi: la hala lungă raportul tinde la 0,567, nu la 1; compară gradele.
• Pierzi semnul unui factor, de exemplu minusul din $-(5x-18)(x-1)$ → cum o prinzi: câtul numeric lângă punct arată dacă limita e pozitivă sau negativă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Rezolvarea cazurilor exceptate la calculul limitelor se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 34 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

De ce nu pune macroul de la bucșă pur și simplu 0 la diametrul de 40 mm?

Pentru că $\frac{0}{0}$ nu înseamnă 0. Citirile din tabel arată că raportul k coboară lent, de la 128,81 mm la 125,82 mm, pe măsură ce diametrul se apropie de 40. Valoarea corectă, 125,66 mm, se obține simplificând factorul $D-40$, nu prin înlocuire.

Ce valoare ar fi dat macroul dacă alezajul era de 50 mm?

Formula devine $k(D)=\frac{\pi (D^2-2500)}{2(D-50)}=\frac{\pi (D+50)}{2}$, deci la $D=50$ limita este $50\pi \approx 157,08$ mm. Regula rămâne aceeași: la un perete subțire, $k$ este lungimea cercului alezajului, adică $\pi$ ori diametrul lui, oricare ar fi acesta. Se schimbă numai factorul simplificat, $D-50$ în loc de $D-40$.

Cât greșește tehnologul dacă estimează din 125,66 mm aria unei bucșe cu peretele de 0,3 mm?

Estimarea dă $125,66\cdot 0,3\approx 37,70$ mm². Exact, $D=40,6$ mm și $A=\frac{\pi (40,6^2-1600)}{4}\approx 37,98$ mm², deci estimarea iese cu aproximativ 0,28 mm² mai mică, sub 1%. Pentru pereți subțiri, limita dă o estimare bună; la pereți groși, diferența crește, fiindcă ea este exact $\pi g^2$, cu $g$ grosimea.

Ce forme cu $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$ trebuie să recunosc la Bacalaureatul M3?

În cele 17 probe în care limita este chiar cerința, la Subiectul al III-lea, problema 1, ajungi la un cât de polinoame, în 0, în 1 sau la $+\infty$. Uneori un termen cu $\ln x$ sau cu $e^x$ dispare după ce înlocuiești $f(x)$, iar în 8 probe câtul conține și $f^{\prime }(x)$. Primul pas rămâne același: ce obții prin înlocuire sau prin grade?

La bucșă, de ce simplific doar prin $D-40$, nu și prin $D+40$?

Pentru că doar $D-40$ se anulează în punctul limitei și produce cazul $\frac{0}{0}$. Factorul $D+40$ este 80 lângă $D=40$, deci rămâne în câtul simplificat și dă rezultatul, $\frac{\pi \cdot 80}{2}=40\pi$. Un factor care nu se anulează în punct nu schimbă limita: acolo rămâi la înlocuire.