O fermă are 300 de găini ouătoare. Dintre ele, 120 sunt în hala 1. Într-o lună, 45 de găini au dat ouă cu coaja spartă, iar 18 dintre acestea sunt din hala 1. Fie $$A$$ = „găina este în hala 1” și $$B$$ = „găina a dat ouă sparte”. Ce se poate spune despre $$A$$ și $$B$$?

Sunt independente: ouăle sparte sunt la fel de frecvente în hala 1 ca în toată ferma.

Nu sunt independente: ouăle sparte sunt mai frecvente în hala 1 decât în toată ferma.

Nu sunt independente: ouăle sparte sunt mai rare în hala 1 decât în toată ferma.

Nu se poate stabili, pentru că nu se știe câte găini sunt în hala 2.

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Condiționată și independență

Cum aflu șansa la fosfați dacă știu de nitrați?

Numeri doar cazurile în care s-a întâmplat $A$ (nitrații peste limită), apoi dintre ele le alegi pe cele cu $B$ (fosfații peste limită): $P (B ∣ A) = \frac{cazuri cu A ș i B}{cazuri cu A}$ . Într-un registru de 240 de probe de apă, 80 au nitrați peste limită, iar 28 dintre ele au și fosfați peste limită: $\frac{28}{80} = 35 %$ . Numitorul este 80, nu 240.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Probabilitatea condiționată răspunde la o întrebare de forma «care este șansa lui $B$ , dacă știi deja că $A$ s-a întâmplat?». Informația despre $A$ îngustează registrul: numeri doar cazurile cu $A$ , iar dintre ele le alegi pe cele cu $B$ . Se scrie $P (B ∣ A) = \frac{card ( A \cap B )}{card ( A )}$ și cere ca $A$ să apară măcar o dată.

Pentru ambele evenimente la rând, folosești regula produsului: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ . Pentru a vedea dacă $A$ influențează $B$ , compari $P (B ∣ A)$ cu $P (B)$ sau faci produsul în cruce. Dacă egalitatea este exactă, evenimentele sunt independente și poți înmulți direct probabilitățile; altfel produsul nu se aplică.

Capcanele cele mai scumpe sunt comparația cu evenimentul-condiție în loc de cel căutat, procentele rotunjite luate drept dovadă de independență și numitorul luat din tot registrul. În date brute, aduci întâi valorile în aceeași unitate și abia apoi decizi ce cazuri respectă condiția.

Verifici simplu: $P (B ∣ A)$ și probabilitatea contrară a lui $B$ în aceeași condiție adună 1. Ideea apare la controlul calității, la analize repetate, la comenzi și la orice registru unde o veste schimbă ce urmează.

De reținut

$P (B ∣ A) = \frac{card ( A \cap B )}{card ( A )}$
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$
independente: $P (B ∣ A) = P (B)$ , cu egalitate exactă

Greșeala tipică

Se compară $P (B ∣ A)$ cu $P (A)$ , nu cu $P (B)$ , iar decizia iese greșită. Evenimentul căutat este $B$ , deci îl compari cu probabilitatea lui $B$ din tot registrul, nu cu a condiției.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o dimineață, o brutărie a avut 90 de clienți. Dintre ei, 40 au cumpărat pâine, iar 12 dintre aceștia au cumpărat și covrigi. Care este probabilitatea ca un client să fi cumpărat covrigi, dacă se știe că a cumpărat pâine?
- a) 13,3 %
- b) 30 %
- c) 44,4 %
- d) 70 %
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 30 %

Condiția este «a cumpărat pâine», deci registrul se reduce la cei 40 de clienți și $P = \frac{12}{40} = 30 %$ . Varianta 13,3 % împarte la toți cei 90, adică $\frac{12}{90}$ . Varianta 44,4 % este $\frac{40}{90}$ , probabilitatea condiției. Varianta 70 % este $\frac{28}{40}$ , a clienților cu pâine fără covrigi.
O fermă are 300 de găini ouătoare. Dintre ele, 120 sunt în hala 1. Într-o lună, 45 de găini au dat ouă cu coaja spartă, iar 18 dintre acestea sunt din hala 1. Fie $A$ = „găina este în hala 1” și $B$ = „găina a dat ouă sparte”. Ce se poate spune despre $A$ și $B$ ?
- a) Sunt independente: ouăle sparte sunt la fel de frecvente în hala 1 ca în toată ferma.
- b) Nu sunt independente: ouăle sparte sunt mai frecvente în hala 1 decât în toată ferma.
- c) Nu sunt independente: ouăle sparte sunt mai rare în hala 1 decât în toată ferma.
- d) Nu se poate stabili, pentru că nu se știe câte găini sunt în hala 2.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt independente: ouăle sparte sunt la fel de frecvente în hala 1 ca în toată ferma.

În hala 1, ouăle sparte apar la $\frac{18}{120} = 15 %$ dintre găini, iar în toată ferma la $\frac{45}{300} = 15 %$ . Produsul în cruce confirmă: $18 \cdot 300 = 5400 = 120 \cdot 45$ . Variantele b și c presupun o diferență care nu există. Varianta d ignoră că celelalte 180 de găini sunt în alte hale, deci datele ajung.
La un salon, 35 % dintre clienți vin pentru vopsit, iar dintre aceștia 20 % cer și un tratament pentru păr. Într-o lună salonul are 300 de clienți. Câți clienți cer și vopsit, și tratament?
- a) 165
- b) 105
- c) 21
- d) 60
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 21

Regula produsului dă $P = 0, 35 \cdot 0, 20 = 0, 07$ , iar $0, 07 \cdot 300 = 21$ de clienți. Varianta 105 numără toți clienții cu vopsit, $0, 35 \cdot 300$ . Varianta 60 aplică cei 20 % tuturor celor 300 de clienți. Varianta 165 adună procentele, $(0, 35 + 0, 20) \cdot 300$ .

Întrebări conexe

Cum verific independența cu produsul în cruce?

Verifici dacă $card (A \cap B) \cdot N = card (A) \cdot card (B)$ , cu $N$ totalul. Pentru 12 cazuri cu ambele, 24 cu $A$ , 50 cu $B$ și $N = 80$ : $12 \cdot 80 = 960$ , dar $24 \cdot 50 = 1200$ . Produsele diferă, deci condiția de independență nu este îndeplinită.

Cum aflu probabilitatea ca ambele etape să reușească?

Înmulțești probabilitatea primei etape cu probabilitatea celei de-a doua, calculată în interiorul primei. Dacă 80 % dintre piese trec proba 1, iar 90 % dintre ele trec proba 2, ambele probe sunt trecute cu $0, 80 \cdot 0, 90 = 0, 72$ , adică 72 %.

De ce nu pot compara procentele rotunjite pentru independență?

Independența cere egalitate exactă. De exemplu, $\frac{13}{90} \approx 14, 4 %$ și $\frac{56}{400} = 14 %$ par egale la 14 %, dar $13 \cdot 400 = 5200$ , iar $90 \cdot 56 = 5040$ . Evenimentele nu sunt independente, deși procentele rotunjite arată la fel.

Ce fac dacă nicio probă nu are condiția A?

Atunci $P (B ∣ A)$ nu există, fiindcă numitorul ar fi 0. Condiția trebuie să apară în registru măcar o dată. Dintr-un registru de 120 de probe fără nicio depășire la nitrați, nu poți vorbi despre fosfați «dacă nitrații sunt peste limită».

Poate o condiție să scadă probabilitatea lui B?

Da. Dacă $P (B ∣ A) < P (B)$ , faptul că $A$ s-a întâmplat face $B$ mai rar. Din 140 de clienți, 42 iau cafea, adică 30 %. Dintre cei 56 care iau ceai, doar 7 iau și cafea, adică 12,5 %: ceaiul scade șansa cafelei.

Cum aflu P(B|A) din probabilități, nu din numere?

Împarți: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ . Dacă 12 % dintre elemente au ambele evenimente și 30 % au $A$ , atunci $\frac{0 , 12}{0 , 30} = 0, 40$ , adică 40 %. Este aceeași regulă ca numărătoarea, cu probabilități în loc de numere.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea unei a doua depășiri după prima · probabilitatea fosfaților știind nitrații peste limită · probabilitate pe probele cu nitrați peste limită · ce înseamnă probabilitate condiționată într-un registru