Test tehnologic: probabilități

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Probabilități

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un lot are 30 de rulmenți. Dintre ei, 24 au jocul radial în limite, iar 5 sunt zgomotoși; fiecare rulment zgomotos are jocul radial în afara limitelor. Se alege la întâmplare un rulment. Fie $A$ evenimentul „rulmentul ales are jocul radial în limite” și $B$ evenimentul „rulmentul ales este zgomotos”. Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „$A$ și $B$ sunt evenimente disjuncte”; b) „$A$ și $B$ sunt evenimente contrare”; c) „$A\cap B$ are 5 rulmenți”; d) „$\overline{A}$ are 5 rulmenți”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Un magazin primește borcane cu conserve de la doi furnizori. Lotul furnizorului X are 240 de borcane, dintre care 10 au capacul umflat, iar lotul furnizorului Y are 120 de borcane, dintre care 6 au capacul umflat. Din fiecare lot se alege la întâmplare un borcan. Calculează, ca fracții ireductibile, probabilitatea ca borcanul ales din lotul X să aibă capacul bun și probabilitatea ca borcanul ales din lotul Y să aibă capacul bun, apoi spune la care furnizor această probabilitate este mai mare.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pentru fiecare acumulator dintr-un lot se verifică tensiunea și capacitatea. Se alege la întâmplare un acumulator. Fie $A$ evenimentul „tensiunea este în limite” și $B$ evenimentul „capacitatea este în limite”. Se știe că $P(A)=\frac{7}{10}$, $P(B)=\frac{4}{5}$ și $P(A\cap B)=\frac{3}{5}$. Calculează probabilitatea ca acumulatorul ales să aibă în limite cel puțin una dintre cele două mărimi.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Fie mulțimea $A=\{26,27,28,\dots ,69\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din $A$, acesta să fie multiplu de 12.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Un atelier a executat 96 de repere: 54 din oțel și 42 din aluminiu. Tratament termic au primit 27 dintre reperele din oțel și 9 dintre cele din aluminiu. Se alege la întâmplare un reper. Calculează probabilitatea ca reperul să fie din oțel, știind că a primit tratament termic.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Într-o săptămână, un salon a avut 84 de clienți. Dintre ei, 33 au cerut tuns, 26 au cerut vopsit, iar 47 au cerut cel puțin unul dintre cele două servicii. Se alege la întâmplare un client. Calculează probabilitatea ca el să fi cerut exact unul dintre cele două servicii.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un service a verificat 70 de autoturisme la două posturi: frânele și luminile. Registrul arată că 44 de autoturisme au frânele în limite, 39 au luminile în limite, iar 28 le au pe amândouă în limite. Se alege la întâmplare un autoturism. Fie $F$ evenimentul „frânele sunt în limite” și $L$ evenimentul „luminile sunt în limite”.

a) (5 puncte) Scrie câte autoturisme are fiecare dintre cele patru regiuni ale diagramei Venn: numai $F$, $F\cap L$, numai $L$ și nici $F$, nici $L$.

b) (5 puncte) Scrie evenimentul „cel puțin una dintre cele două verificări nu este în limite” cu ajutorul lui $F$ și $L$, spune câte autoturisme are și stabilește dacă este disjunct de $F\cap L$.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un restaurant a înregistrat într-o săptămână 400 de comenzi. Dintre ele, 35 % au inclus desert, 28 % au inclus supă, iar 22 % au inclus desert, dar nu și supă. Se alege la întâmplare o comandă. Fie $D$ evenimentul „comanda aleasă include desert” și $S$ evenimentul „comanda aleasă include supă”.

a) (5 puncte) Calculează $P(D\cap S)$ și probabilitatea ca comanda aleasă să includă cel puțin unul dintre cele două feluri.

b) (5 puncte) Câte comenzi nu au inclus niciunul dintre cele două feluri și câte au inclus exact unul dintre ele?

Exercițiul 9 (10 puncte)

O fabrică de cărămizi a ars într-o săptămână 234 de paleți de cărămizi: 156 în cuptorul nou și 78 în cuptorul vechi. La recepție, 6 dintre paleții din cuptorul nou și 9 dintre cei din cuptorul vechi au avut cărămizi fisurate. Se alege la întâmplare un palet. Fie $C$ evenimentul „paletul a fost ars în cuptorul nou” și $F$ evenimentul „paletul are cărămizi fisurate”.

a) (5 puncte) Calculează $P(F\mid C)$ și $P(C\mid F)$.

b) (5 puncte) Stabilește, prin produsul în cruce, dacă evenimentele $C$ și $F$ sunt independente.

Partea a III-a – Pe model de examen și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Numerele de serie ale pieselor unui lot formează mulțimea $A=\{14,15,16,\dots ,43\}$. Se alege un număr $n$ din mulțimea $A$.

a) (5 puncte) Determinați probabilitatea ca numărul ales să verifice inegalitatea $93-4n<21$.

b) (5 puncte) Determinați probabilitatea ca numărul ales să aibă suma cifrelor egală cu 7.

c) (5 puncte) Determinați probabilitatea ca numărul ales să fie pătratul unui număr natural.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Un laborator de lacuri a preparat într-o lună 400 de șarje. Dintre ele, 240 au folosit pigmentul nou, iar 26 au fost respinse la controlul culorii; 21 dintre șarjele respinse au folosit pigmentul nou. Se alege la întâmplare o șarjă. Fie $A$ evenimentul „șarja a folosit pigmentul nou” și $B$ evenimentul „șarja a fost respinsă”.

a) (5 puncte) Calculează probabilitatea ca șarja aleasă să fi folosit pigmentul nou sau să fi fost respinsă.

b) (5 puncte) Calculează $P(B\mid A)$ și $P(B)$ și spune care dintre ele este mai mare.

c) (5 puncte) Șeful laboratorului susține că pigmentul nou nu influențează respingerile. Stabilește, prin produsul în cruce, dacă are dreptate.

Barem și răspunsuri

Baremul de mai jos arată fiecare rezolvare pe pași, cu punctele pașilor între paranteze; orice altă rezolvare corectă primește același punctaj. La Partea a III-a, un rezultat corect fără calcul și fără justificare nu ia punctajul subpunctului. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Evenimentul $\overline{A}$ are $30-24=6$ rulmenți, iar toți cei 5 rulmenți zgomotoși fac parte din $\overline{A}$ (1 p). Niciun rulment nu este și în $A$, și în $B$, deci $A\cap B=\varnothing$: evenimentele $A$ și $B$ sunt disjuncte, iar răspunsul este $\mathbf{a})$ (2 p). Celelalte variante sunt false: $A\cup B$ are $24+5=29$ de rulmenți, nu toți cei 30, deci $A$ și $B$ nu sunt contrare; $A\cap B$ nu are niciun rulment, iar $\overline{A}$ are 6 rulmenți, nu 5 (2 p). Verificare: un singur rulment, $30-29=1$, are jocul radial în afara limitelor fără să fie zgomotos; din cauza lui, $B$ nu este tot $\overline{A}$. Două evenimente contrare sunt disjuncte, dar două evenimente disjuncte nu sunt neapărat contrare.

Exercițiul 2.

Cazurile favorabile sunt borcanele cu capac bun: $240-10=230$ în lotul X și $120-6=114$ în lotul Y (1 p). Probabilitățile sunt $\frac{230}{240}=\frac{23}{24}$ pentru lotul X și $\frac{114}{120}=\frac{19}{20}$ pentru lotul Y (2 p). Din produsele în cruce, $23\cdot 20=460$ este mai mare decât $19\cdot 24=456$, deci $\frac{23}{24}>\frac{19}{20}$: probabilitatea este mai mare la furnizorul $\mathbf{X}$ (2 p). Verificare: capacele umflate sunt $\frac{10}{240}=\frac{1}{24}$ din lotul X și $\frac{6}{120}=\frac{1}{20}$ din lotul Y, iar $\frac{1}{24}<\frac{1}{20}$. Lotul Y are mai puține borcane umflate, 6 față de 10, dar are și de două ori mai puține borcane; de aceea se compară probabilitățile, nu numărul borcanelor umflate.

Exercițiul 3.

„Cel puțin una” înseamnă reuniunea: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (2 p). Înlocuind, $P(A\cup B)=\frac{7}{10}+\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{7}{10}+\frac{1}{5}$ (2 p), adică $\frac{9}{10}$ (1 p). Verificare: reuniunea nu poate fi mai mică decât $P(B)=\frac{4}{5}$ și nici mai mare decât 1; $\frac{9}{10}$ se află între ele. Cine adună doar $\frac{7}{10}+\frac{4}{5}$ obține $\frac{3}{2}$, mai mare decât 1, deci nu poate fi probabilitate.

Exercițiul 4.

Mulțimea $A$ are $69-26+1=44$ de elemente, deci sunt 44 de cazuri posibile (2 p). Primul multiplu de 12 din $A$ este 36, iar ultimul este 60; multiplii sunt $\frac{60-36}{12}+1=3$, adică 36, 48 și 60, iar probabilitatea este $\frac{3}{44}$ (3 p). Verificare: $24$ este sub 26, iar $72$ este peste 69, deci lista este completă; în plus, $36=3\cdot 12$, $48=4\cdot 12$ și $60=5\cdot 12$.

Exercițiul 5.

Notez $A$ = „reperul este din oțel” și $B$ = „reperul a primit tratament termic” (1 p). Condiția este $B$: rămân în joc reperele tratate, $27+9=36$, deci numitorul este 36 și nu 96 sau 54 (2 p). $P(A\mid B)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(B)}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$ (2 p). Verificare: reperele tratate din aluminiu sunt 9, iar $\frac{27}{36}+\frac{9}{36}=1$; cine împarte la 54, numărul reperelor din oțel, calculează $P(B\mid A)=\frac{27}{54}=\frac{1}{2}$, adică altă probabilitate.

Exercițiul 6.

Din formula reuniunii, ambele servicii au fost cerute de $33+26-47=12$ clienți (2 p). Exact un serviciu au cerut $47-12=35$ de clienți (1 p), deci probabilitatea este $\frac{35}{84}=\frac{5}{12}$ (2 p). Verificare: numai tuns au cerut $33-12=21$ de clienți, numai vopsit $26-12=14$, iar $21+14=35$; cine ia reuniunea întreagă obține $\frac{47}{84}$ și îi numără și pe cei 12 cu ambele servicii.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Numai $F$ au $44-28=16$ autoturisme (1 p), iar numai $L$ au $39-28=11$ autoturisme (1 p). În $F\cap L$ sunt $28$ de autoturisme, iar în afara ambelor cercuri sunt $70-(16+28+11)=15$ autoturisme (2 p). Verificare: $16+28+11+15=70$ (1 p).

b) (5 p) Evenimentul este contrarul lui „ambele verificări în limite”, adică $\overline{F\cap L}$, sau $\overline{F}\cup \overline{L}$ (2 p). El are autoturismele din celelalte trei regiuni: $16+11+15=70-28=42$ (2 p). Evenimentul este disjunct de $F\cap L$, fiindcă este contrarul lui: niciun autoturism nu face parte din ambele, iar $42+28=70$ (1 p).

Exercițiul 8.

a) (5 p) Comenzile cu desert sunt fie cu supă, fie fără supă, deci $P(D\cap S)=0,35-0,22=0,13$ (2 p). Din formula reuniunii, $P(D\cup S)=0,35+0,28-0,13$ (2 p), adică $0,5$ (1 p).

b) (5 p) „Niciunul” este contrarul lui „cel puțin unul”: $1-0,5=0,5$, iar $0,5\cdot 400=200$ de comenzi nu au inclus niciunul dintre cele două feluri (2 p). Exact un fel: $P(D\cup S)-P(D\cap S)=0,5-0,13=0,37$ (1 p), iar $0,37\cdot 400=148$ de comenzi (2 p). Verificare: numai desert $0,22\cdot 400=88$ de comenzi, numai supă $(0,28-0,13)\cdot 400=60$, ambele $0,13\cdot 400=52$; $88+60=148$, iar $88+60+52+200=400$. Cine ia $0,22$ drept $P(D\cap S)$ confundă „desert, dar nu și supă” cu „desert și supă”.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Paleți cu cărămizi fisurate sunt $6+9=15$ (1 p). Dintre cei 156 de paleți arși în cuptorul nou, 6 au cărămizi fisurate: $P(F\mid C)=\frac{6}{156}=\frac{1}{26}$ (2 p). Dintre cei 15 paleți cu cărămizi fisurate, 6 au fost arși în cuptorul nou: $P(C\mid F)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ (2 p).

b) (5 p) $C$ și $F$ sunt independente dacă $\mathrm{card}(C\cap F)\cdot 234=\mathrm{card}(C)\cdot \mathrm{card}(F)$ (1 p). Produsele sunt $6\cdot 234=1404$ și $156\cdot 15=2340$ (2 p). Cum $1404\ne 2340$, evenimentele nu sunt independente (2 p). Verificare: $P(F\mid C)=\frac{1}{26}=\frac{3}{78}$, dar $P(F)=\frac{15}{234}=\frac{5}{78}$: în cuptorul nou se fisurează, proporțional, mai puține cărămizi.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Mulțimea $A$ are $43-14+1=30$ de elemente, deci 30 de cazuri posibile (2 p). Din $93-4n<21$ rezultă $72<4n$, adică $n>18$; cazurile favorabile sunt numerele $19,20,\dots ,43$, în număr de $43-19+1=25$, iar probabilitatea este $\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$ (3 p).

b) (5 p) Numerele din $A$ cu suma cifrelor 7 sunt $16$, $25$, $34$ și $43$, fiindcă $1+6=2+5=3+4=4+3=7$; numerele $7$ și $52$ au și ele suma cifrelor 7, dar nu fac parte din $A$. Sunt 4 cazuri favorabile (3 p). Cazurile posibile sunt tot cele 30 de la a), iar probabilitatea este $\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$ (2 p).

c) (5 p) Pătratele perfecte din $A$ sunt $16=4^2$, $25=5^2$ și $36=6^2$, fiindcă $9=3^2$ este sub 14, iar $49=7^2$ este peste 43; sunt 3 cazuri favorabile (3 p). Din cele 30 de cazuri posibile, probabilitatea este $\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ (2 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) $P(A)=\frac{240}{400}$, $P(B)=\frac{26}{400}$ și $P(A\cap B)=\frac{21}{400}$ (2 p). Din formula reuniunii, $P(A\cup B)=\frac{240+26-21}{400}$ (2 p), adică $\frac{245}{400}=\frac{49}{80}$ (1 p).

b) (5 p) Rămân în joc cele 240 de șarje cu pigmentul nou: $P(B\mid A)=\frac{21}{240}=\frac{7}{80}$ (2 p), iar $P(B)=\frac{26}{400}=\frac{13}{200}$ (1 p). Din $7\cdot 200=1400$ și $13\cdot 80=1040$ rezultă $\frac{7}{80}>\frac{13}{200}$ (2 p): o șarjă cu pigmentul nou este respinsă mai des decât o șarjă oarecare, adică $8,75\%$ față de $6,5\%$.

c) (5 p) $A$ și $B$ sunt independente dacă $\mathrm{card}(A\cap B)\cdot 400=\mathrm{card}(A)\cdot \mathrm{card}(B)$ (1 p). Produsele sunt $21\cdot 400=8400$ (1 p) și $240\cdot 26=6240$ (1 p). Cum $8400\ne 6240$, evenimentele nu sunt independente (1 p), deci șeful nu are dreptate: pigmentul nou și respingerile sunt legate (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea de probabilități a clasei a X-a, filiera tehnologică, pe cele patru lecții ale ei: „Evenimente compuse: Venn și arbore la tehnologic”, „Probabilitatea la tehnologic: controlul calității”, „Reuniunea și intersecția evenimentelor, tehnologic” și „Probabilitatea lui B dacă știi A: tehnologic”. Numărarea cu permutări, aranjamente și combinări rămâne în sarcina testului de metode de numărare, iar datele statistice (medie, mediană, abatere), în sarcina testului de statistică.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, în total 100 de puncte.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, pe foaie, fără calculator; numerele ies exact, fără rotunjiri. Probabilitățile se scriu ca fracții ireductibile, dacă enunțul nu cere altfel. La Partea a III-a rezolvarea se scrie pe pași: un rezultat corect, fără calcul și fără justificare, nu ia punctajul subpunctului. Ghidajul desface fiecare exercițiu în pași mici, cu întrebări cu variante și cu un număr de calculat, iar fiecare variantă greșită spune ce s-a greșit; îl pornești când un exercițiu nu iese.
• După test, la 90–100 de puncte: unitatea este stăpânită și treci la testul următor.
• După test, la 75–89 de puncte: refaci cu ghidajul exercițiile pierdute.
• După test, la 60–74 de puncte: reiei lecțiile din tabelul de mai jos pentru exercițiile la care ai luat mai puțin de jumătate dintre puncte și refaci testul peste o săptămână.
• După test, sub 60 de puncte: reiei cele patru lecții în ordinea lor și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la început.
• Formule de reținut: $P(A)=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; de la $a$ la $b$ sunt $b-a+1$ numere, iar într-un șir de numere consecutive multiplii lui $k$ sunt $\frac{u-p}{k}+1$, unde $p$ este primul și $u$ ultimul multiplu al lui $k$ din șir; $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; $P(\text{niciunul})=1-P(A\cup B)$; $P(\text{exact unul})=P(A\cup B)-P(A\cap B)$; $P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}$; $A$ și $B$ sunt independente dacă $P(B\mid A)=P(B)$, adică dacă $\mathrm{card}(A\cap B)\cdot N=\mathrm{card}(A)\cdot \mathrm{card}(B)$, cu $N$ numărul tuturor cazurilor.

Exercițiile 4 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: ele copiază forma cerinței 4 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026 (un număr ales dintr-o mulțime să verifice o condiție), cu mulțimi, numere și condiții noi.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); pentru ei, toate cele unsprezece exerciții ale testului sunt în programa de examen, în unitatea «X.4. Probabilități». Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile face parte din programa de examen (Subiectul I) și a apărut în 38 de probe oficiale din 2013–2026. Din test, exercițiile 2, 4 și 10 sunt în programa lor de examen; exercițiile 1 și 7 (evenimente disjuncte și contrare, diagrama Venn) nu sunt numite în ea, deși pregătesc exercițiile 2, 4 și 10; exercițiile 3, 5, 6, 8, 9 și 11 nu sunt în acea programă, fiindcă programa de examen din 2014 nu conține reuniunea, intersecția, probabilitatea condiționată și independența.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.