Probabilitatea lui B dacă știi A: tehnologic

Un analist de mediu află că o probă de apă are nitrați peste limită. Se schimbă, după această veste, șansa ca aceeași probă să aibă și fosfați peste limită, sau rămâne aceeași? Răspunsul îl dă probabilitatea condiționată, împreună cu un test de independență făcut pe registru. Pentru un elev de tehnologic, tema ține de clasa a X-a și reapare la Bacalaureatul 2030.

Situația de pornire

Agenția de mediu a recoltat într-un trimestru 300 de probe de apă din râurile unui bazin hidrografic, în aval de stații de epurare și de evacuări de ape uzate. A analizat fiecare probă pentru nitrați și pentru fosfați, doi poluanți urmăriți în rețeaua de monitorizare; limitele din autorizațiile de gospodărire a apelor sunt valori din exemplu. Pentru controlul calității, laboratorul reface analizele unei probe trase la sorți: scrie numerele probelor pe jetoane, le amestecă într-o cutie și trage unul. Contraanaliza se face fără să se vadă registrul: întâi nitrații, cu un test rapid, apoi fosfații, care cer o zi de lucru. Regula laboratorului: dacă proba trasă iese cu nitrați peste limită, analiza de fosfați pornește în aceeași zi numai dacă, după registru, la nitrați peste limită depășirea la fosfați este mai probabilă decât la o probă oarecare.

Întrebare: dacă proba trasă are nitrați peste limită, devine mai probabil să aibă și fosfați peste limită, și pornește atunci analiza de fosfați în aceeași zi?

De la situație la model

Jetonul se trage din toate cele 300 de probe, iar testul rapid spune apoi un fapt despre proba trasă: nitrații ei. Faptul acesta lasă în joc numai probele care îl respectă, iar cazurile rămase au tot aceeași șansă. Numărătoarea cazurilor rămâne cea din lecția Probabilitatea la tehnologic: controlul calității, cu cazuri favorabile împărțite la cazuri posibile.

Probabilitatea lui $B$ știind $A$ este probabilitatea ca $B$ să aibă loc când se știe că $A$ a avut loc. Se numără cazurile favorabile din $A\cap B$ și se împart la cazurile din $A$, nu la toate cazurile, fiindcă restul probelor au ieșit din joc:

$$P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}$$

În registru, $P(B\mid A)=\frac{44}{120}=\frac{11}{30}\approx 36,7\%$, față de $P(B)=\frac{75}{300}=\frac{1}{4}=25\%$ pentru o probă din tot trimestrul.

Pe diagramă, condiția „știind $A$” înseamnă că ignori tot ce e în afara cercului $A$: rămân regiunile cu 76 și cu 44 de probe, iar $P(B\mid A)$ este partea din cercul $A$ ocupată de zona comună. Probele din afara lui $A$ nu mai contează la numărătoare, deoarece proba trasă nu face parte din ele.

Cum afli probabilitatea ambelor evenimente, când ai condiționata?

Fracția $\frac{11}{30}$ se aplică numai probelor din $A$. Dacă $P(A)=\frac{2}{5}$, atunci $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{2}{5}\cdot \frac{11}{30}=\frac{11}{75}\approx 14,7\%$, adică exact 44 din cele 300 de probe. Regula merge pentru orice două evenimente, cu $P(A)>0$.

Când sunt două evenimente independente?

$A$ și $B$ sunt independente dacă faptul că $A$ a avut loc nu schimbă probabilitatea lui $B$: $P(B\mid A)=P(B)$. Dacă $A$ nu spune nimic despre $B$, nici $B$ nu spune nimic despre $A$. Același lucru, fără împărțiri, se verifică în registru prin produsul în cruce: $\mathrm{card}(A\cap B)\cdot N=\mathrm{card}(A)\cdot \mathrm{card}(B)$, unde $N$ este numărul tuturor cazurilor. Egalitatea trebuie să iasă exact, nu „aproape”. La nitrați și fosfați, $44\cdot 300=13200$, iar $120\cdot 75=9000$: evenimentele nu sunt independente, iar nitrații spun ceva despre fosfați. Independența se verifică pe registrul dat; ea nu promite nimic despre probe care nu sunt în el.

Metoda pas cu pas

1. Scrie în cuvinte evenimentul-condiție $A$ și evenimentul căutat $B$, de exemplu „nitrați peste limită” și „fosfați peste limită”, și spune cine trage, ce trage și când: jetonul se trage din tot registrul, iar condiția doar îngustează cazurile.
2. Numără cazurile din tot registrul, cele din $A$, cele din $B$ și cele din $A\cap B$, din tabel sau din date brute, cu unitatea lângă fiecare număr. La date brute, convertește întâi toate valorile în aceeași unitate și apoi stabilește care cazuri respectă condiția.
3. Alege regula după întrebare, cu tabelul de mai jos. La „dintre cele cu $A$”, numitorul este numărul cazurilor din $A$.
4. Calculează cu fracții și compară cu fracții exacte; rotunjește numai rezultatul, nu înainte de comparare. „Mai puțin de 90 %” nu include 90 %.
5. Verifică pe alt drum: probabilitățile lui $B$ și ale contrarului lui, în aceeași condiție, adună 1, iar o probabilitate rămâne între 0 și 1.

Noțiunile de eveniment, diagramă Venn și arbore sunt în lecția Evenimente compuse: Venn și arbore, iar formulele de adunare în lecția Reuniunea și intersecția evenimentelor. Poți porni oricând din traseul clasei a X-a, filiera tehnologică, unde lecțiile sunt grupate pe unități.

Fișa de buzunar

$$P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}$$

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$$

$$A,B\text{ independente}⟺P(B\mid A)=P(B)$$

Condiții de aplicare: $P(A)>0$, adică în registru există cel puțin un caz din $A$, iar toate cazurile au aceeași șansă. Independența cere egalitate exactă, verificată prin produsul în cruce; procentele rotunjite nu o hotărăsc, iar produsul $P(A)\cdot P(B)$ ține numai la evenimente independente. Verificare rapidă: $P(B\mid A)+P(\text{contrarul lui }B\mid A)=1$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Nitrați și fosfați

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia registrul din situația de pornire: 300 de probe, cu 44, 76, 31 și 149 în cele patru celule. Se trage un jeton. a) Calculați $P(A)$, $P(B)$ și $P(B\mid A)$, cu $A$ = „nitrați peste limită” și $B$ = „fosfați peste limită”. b) Devine mai probabil ca proba să aibă fosfați peste limită, dacă se știe că are nitrați peste limită? c) Pornește analiza de fosfați în aceeași zi?

Rezolvare. Nitrați peste limită au $44+76=120$ de probe, iar fosfați peste limită $44+31=75$. a) $P(A)=\frac{120}{300}=\frac{2}{5}$, $P(B)=\frac{75}{300}=\frac{1}{4}$ și, numărând numai în rândul lui $A$, $P(B\mid A)=\frac{44}{120}=\frac{11}{30}$. b) Se compară $\frac{11}{30}$ cu $\frac{1}{4}$: $11\cdot 4=44>30=1\cdot 30$, deci $\frac{11}{30}>\frac{1}{4}$, adică $36,7\%$ față de $25\%$. Da, devine mai probabil. c) Regula laboratorului este îndeplinită, deci analiza de fosfați pornește în aceeași zi.

Capcană. Cine compară $P(B\mid A)\approx 36,7\%$ cu $P(A)=40\%$, adică cu probabilitatea nitraților în loc de a fosfaților, vede $36,7<40$ și decide că depășirea la fosfați nu devine mai probabilă. Ar amâna fosfații cu o zi, deși la nitrați peste limită depășirea lor e mai probabilă.

Verificare. Probele cu nitrați peste limită și fosfați în limită sunt 76, iar $\frac{44}{120}+\frac{76}{120}=\frac{11}{30}+\frac{19}{30}=1$.

Exemplul 2 — Fațade și feronerie

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de mobilă a livrat într-un an 150 de dulapuri: 60 cu fațade din MDF și 90 cu fațade din furnir. Au fost reclamate pentru feronerie defectă 4 dintre cele cu MDF și 6 dintre cele cu furnir. Fiecare dulap are o fișă numerotată, iar fișele se trag la sorți. Sunt independente evenimentele „fațadă din MDF” și „feronerie defectă”? Merită să se schimbe materialul fațadelor, ca să scadă reclamațiile?

Rezolvare. Fie $A$ = „fațadă din MDF” și $B$ = „feronerie defectă”. Dulapurile cu feronerie defectă sunt $4+6=10$. Atunci $P(B\mid A)=\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$ și $P(B)=\frac{10}{150}=\frac{1}{15}$. Probabilitățile sunt egale, deci evenimentele sunt independente. Același lucru iese din produsul în cruce: $4\cdot 150=600$ și $60\cdot 10=600$. Materialul fațadei nu schimbă probabilitatea unei reclamații, deci schimbarea lui nu ar scădea reclamațiile pentru feronerie în această livrare; cauza se caută în altă parte.

Capcană. Cine compară $\frac{4}{60}$ cu $\frac{10}{150}$ numărător cu numărător, 4 și 10, și numitor cu numitor, 60 și 150, le crede diferite și conchide că materialul contează. Ambele fracții se reduc la $\frac{1}{15}$.

Verificare. Pentru fațadele din furnir, $\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$, aceeași valoare ca pentru MDF și ca pentru toate dulapurile.

Exemplul 3 — Bucșele din lotul de probă

Domeniu: mecanica.

Enunț. Controlul final a măsurat 12 bucșe: diametrul, în milimetri, și ovalitatea, în micrometri. O bucșă se montează dacă diametrul este între 24,97 și 25,03 mm, inclusiv, și ovalitatea nu depășește 0,010 mm. Strungul se reglează dacă, dintre bucșele cu diametrul în limite, mai puțin de 90 % au ovalitatea în limită.

Se trage o bucșă. Calculați probabilitatea ca ea să aibă ovalitatea în limită, știind că are diametrul în limite, și spuneți dacă se reglează strungul.

Rezolvare. Fie $A$ = „diametrul în limite” și $B$ = „ovalitatea în limită”. Conversia: 1 mm = 1 000 μm, deci 0,010 mm = 10 μm, iar $B$ cere cel mult 10 μm. Diametrul este în limite la bucșele 1, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11 și 12, adică 9 bucșe. Ovalitatea e în limită la bucșele 1, 3, 4, 5, 7, 9 și 10. Au ambele proprietăți bucșele 1, 3, 5, 7 și 10, deci $P(B\mid A)=\frac{5}{9}\approx 55,6\%$. Pragul de 90 % este $\frac{9}{10}$, iar $5\cdot 10=50<9\cdot 9=81$, deci $\frac{5}{9}<\frac{9}{10}$: strungul se reglează.

Capcană. Cine scrie 0,010 mm ca 100 μm, mutând virgula cu o poziție prea mult, ia în $B$ toate bucșele cu ovalitatea sub 100 μm. Ar ieși $P(B\mid A)=\frac{9}{9}=100\%$ și strungul n-ar fi reglat.

Verificare. Dintre cele 9 bucșe cu diametrul în limite, 4 au ovalitatea peste 10 μm (bucșele 6, 8, 11 și 12), iar $\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=1$.

Exemplul 4 — Problema inversă: stâlpii cu retușuri

Domeniu: constructii.

Enunț. O fabrică de prefabricate din beton scoate 1 200 de elemente pe lună. Raportul de calitate spune că 25 % dintre elemente sunt stâlpi, că 6 % dintre toate elementele au nevoie de retușuri, iar dintre stâlpi 18 % au nevoie de retușuri. Brigada de retușuri vrea să știe câți stâlpi trebuie să prelucreze într-o lună.

Rezolvare. Fie $A$ = „stâlp” și $B$ = „are nevoie de retușuri”. Se cunosc $P(A)=0,25$ și $P(B\mid A)=0,18$, iar brigada vrea numărul stâlpilor retușați, adică $A\cap B$. Din regula produsului, $P(A\cap B)=0,25\cdot 0,18=0,045$. Pe 1 200 de elemente, $0,045\cdot 1200=54$ de stâlpi au nevoie de retușuri.

Capcană. Cine ia procentul general de retușuri, 6 %, în locul celui dintre stâlpi, 18 %, obține $0,25\cdot 0,06=0,015$, adică 18 stâlpi în loc de 54. Stâlpii se retușează mai des decât media, deci $A$ și $B$ nu sunt independente.

Verificare. Stâlpii sunt $0,25\cdot 1200=300$. Dintre ei, $0,18\cdot 300=54$ au nevoie de retușuri, iar $300-54=246$ nu au, adică $0,82\cdot 300=246$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un hotel a avut într-o lună 180 de rezervări: 72 prin agenție, dintre care 18 cu demipensiune. Care e probabilitatea ca o rezervare aleasă la întâmplare să fie cu demipensiune, știind că e făcută prin agenție?

2. La un service de anvelope, 30 % dintre mașini vin pentru schimbul de iarnă, iar 40 % dintre acestea cer și echilibrare. Care este probabilitatea ca o mașină aleasă la întâmplare să vină pentru schimb și să ceară echilibrare?

3. Un lot de 200 de relee are 80 cu bobină de 24 V și 120 cu bobină de 230 V; au defect 20 dintre primele și 30 dintre celelalte. Sunt independente evenimentele „bobină de 24 V” și „defect”? Folosiți produsul în cruce.

4. La o flotă, 40 % dintre vehicule au aer condiționat, 25 % au cutie automată, iar 10 % le au pe amândouă. Sunt independente evenimentele „aer condiționat” și „cutie automată”?

Nivelul 2 — situații

5. Din 150 de parcele, 60 sunt irigate, 42 au randament peste medie, iar 17 le au pe amândouă. Calculați, ca procente rotunjite la întreg, probabilitatea unui randament peste medie știind că parcela e irigată și probabilitatea unui randament peste medie, apoi spuneți dacă evenimentele sunt independente.

6. O stație de sortare a primit 250 de saci de plastic și 110 de hârtie; au impurități 40 dintre cei de plastic și 11 dintre cei de hârtie. Unde e mai probabilă o impuritate, la plastic sau la hârtie? Sunt independente tipul sacului și impuritățile?

7. Într-un lot, 9 % dintre piese au și defectul $A$, și defectul $B$, iar dintre piesele cu defectul $A$ 30 % au și defectul $B$. Ce procent din piese au defectul $A$?

8. O florărie a vândut într-o săptămână 240 de buchete: 90 cu livrare la domiciliu, restul ridicate din magazin. Cu cardul s-au plătit 64, dintre care 24 livrate. Calculați $P(\text{card}\mid \text{livrare})$ și $P(\text{livrare}\mid \text{card})$. Sunt independente cele două evenimente?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Duratele a 70 de întreruperi de curent, pe clase de minute: $[10;25)$ cu 21, $[25;40)$ cu 26, $[40;55)$ cu 15, $[55;70)$ cu 8. Calculați probabilitatea ca o întrerupere aleasă la întâmplare să dureze cel puțin 40 de minute, știind că durează cel puțin 25 de minute.

10. (Sinteză.) Din 150 de piese, 18 sunt respinse la prima probă și ies din flux; dintre celelalte, 12 sunt respinse la a doua. Calculați probabilitatea ca o piesă trecută de prima probă să fie respinsă la a doua și probabilitatea ca o piesă să treacă ambele probe.

11. (Sinteză.) Registrul trimestrului următor are 250 de probe: 125 cu nitrați peste limită, iar 26 % din toate cu fosfați peste limită. Cel puțin câte probe cu ambele depășiri fac ca regula din situația de pornire să pornească analiza de fosfați în aceeași zi?

12. (Sinteză.) Un raport despre 200 de probe spune: 80 au $A$ și 50 au $B$; dintre cele cu $A$, 45 % au și $B$, iar dintre cele fără $A$, 30 % au $B$. Arătați că raportul se contrazice.

Răspunsuri și verificări

1. $P=\frac{18}{72}=\frac{1}{4}=25\%$. Verificare: $\frac{18}{72}+\frac{54}{72}=1$, cu 54 de rezervări fără demipensiune.

2. $P=0,30\cdot 0,40=0,12$, adică 12 %. Verificare: pe 100 de mașini, 30 vin pentru schimb, iar $0,40\cdot 30=12$ cer și echilibrare.

3. Cu defect sunt $20+30=50$ de relee, dintre care 20 cu bobină de 24 V. Produsul în cruce: $20\cdot 200=4000$ și $80\cdot 50=4000$, deci evenimentele sunt independente. Verificare: pe relee, $\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$, $\frac{30}{120}=\frac{1}{4}$ și $\frac{50}{200}=\frac{1}{4}$.

4. $0,40\cdot 0,25=0,10$, iar $P(\text{ambele})=0,10$, deci evenimentele sunt independente. Verificare: dintre vehiculele cu aer condiționat, $\frac{0,10}{0,40}=0,25$, adică 25 %, au și cutie automată, la fel ca în toată flota.

5. $P(B\mid A)=\frac{17}{60}\approx 28\%$ și $P(B)=\frac{42}{150}=28\%$: procentele rotunjite sunt egale. Produsul în cruce: $17\cdot 150=2550$, iar $60\cdot 42=2520$. Nu sunt egale, deci evenimentele nu sunt independente. Verificare: $\frac{17}{60}\approx 28,3\%$, față de $28,0\%$.

6. Plastic: $\frac{40}{250}=16\%$; hârtie: $\frac{11}{110}=10\%$; probabilitatea este mai mare la plastic. Cu impurități sunt $40+11=51$ de saci din 360. Produsul în cruce: $40\cdot 360=14400$, iar $250\cdot 51=12750$; nu sunt egale, deci tipul sacului și impuritățile nu sunt independente. Verificare: $16\%\ne 10\%$.

7. $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$, deci $0,09=P(A)\cdot 0,30$ și $P(A)=\frac{0,09}{0,30}=0,30$, adică 30 %. Verificare: $0,30\cdot 0,30=0,09$.

8. $P(\text{card}\mid \text{livrare})=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}$, cât $P(\text{card})=\frac{64}{240}$, iar $P(\text{livrare}\mid \text{card})=\frac{24}{64}=\frac{3}{8}$, cât $P(\text{livrare})=\frac{90}{240}$. Evenimentele sunt independente, în ambele sensuri. Verificare: din cele 150 de buchete ridicate, $64-24=40$ s-au plătit cu cardul, iar $\frac{40}{150}=\frac{4}{15}$.

9. Cel puțin 25 de minute durează $26+15+8=49$ de întreruperi. Cel puțin 40 de minute durează $15+8=23$. Probabilitatea este $\frac{23}{49}\approx 46,9\%$. Dintre cele 49, $26$ durează mai puțin de 40 de minute, iar $\frac{26}{49}+\frac{23}{49}=1$. Verificare: $21+49=70$ de întreruperi în tot registrul.

10. Au trecut prima probă $150-18=132$ de piese. Dintre ele, 12 sunt respinse la a doua, deci $P=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}\approx 9,1\%$. Trec ambele probe $132-12=120$ de piese, deci $P=\frac{120}{150}=\frac{4}{5}=80\%$. Regula produsului dă același număr: $\frac{132}{150}\cdot \frac{120}{132}=\frac{120}{150}$. Verificare: $\frac{18+12}{150}+\frac{120}{150}=1$.

11. Fosfați peste limită au $0,26\cdot 250=65$ de probe, deci $P(B)=0,26$. Regula cere $P(B\mid A)>0,26$: cu $x$ probe cu ambele depășiri, $\frac{x}{125}>0,26$, de unde $x>32,5$. Trebuie deci cel puțin 33 de probe cu ambele depășiri. Verificare: $\frac{33}{125}=26,4\%$, peste 26 %, iar $\frac{32}{125}=25,6\%$, sub 26 %.

12. Dintre cele 80 de probe cu $A$, 45 % au și $B$: $0,45\cdot 80=36$ de probe. Fără $A$ sunt $200-80=120$ de probe, iar $0,30\cdot 120=36$ au $B$. În total ar avea $B$ exact $36+36=72$ de probe, nu 50, deci raportul se contrazice. Verificare: cu 50 de probe cu $B$, cele fără $A$ ar avea doar $50-36=14$ cu $B$, adică $\frac{14}{120}\approx 11,7\%$, nu 30 %.

Așa vine la Bac M3

Probabilitatea condiționată și independența nu sunt în programa de examen M_tehnologic din 2014. Despre probabilități, blocul T-X.4 spune numai: evenimente egal probabile și probabilitatea unui eveniment compus din ele. Niciuna dintre cerințele probelor oficiale 2013–2026, 83 la număr, nu a avut o probabilitate condiționată sau independența a două evenimente, deci secțiunea nu are trimiteri la probe. Programele pentru 2030 (MAT_P3–MAT_P6) o au în unitatea X.4.

Greșeli care costă puncte

• Compari $P(B\mid A)$ cu $P(A)$, nu cu $P(B)$: la Exemplul 1 vezi 36,7 % față de 40 % și amâni analiza de fosfați → cum o prinzi: scrii întâi evenimentul căutat, $B$, și compari cu probabilitatea lui $B$ în tot registrul, $\frac{75}{300}$.
• Rotunjești în jos pragul unei inegalități stricte: la exercițiul 11, din $x>32,5$ alegi 32 de probe, iar regula n-ar porni → cum o prinzi: verifici valoarea aleasă, $\frac{32}{125}=25,6\%$, sub 26 %; abia 33 trece pragul.
• Muți virgula greșit la conversie: la Exemplul 3, 0,010 mm devine 100 μm → cum o prinzi: 1 mm = 1 000 μm, deci 0,010 mm = 10 μm; după conversie, $B$ cere cel mult 10 μm.
• Iei procentul general în locul celui din condiție: la Exemplul 4 ai 18 stâlpi în loc de 54 → cum o prinzi: 18 % este procentul stâlpilor, aplicat celor 300, nu celor 1 200.
• Declari independente două evenimente fiindcă procentele rotunjite sunt egale: la exercițiul 5, 28 % și 28 %, dar $17\cdot 150\ne 60\cdot 42$ → cum o prinzi: independența se verifică prin egalitate exactă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); noțiunea de independență a două evenimente și de probabilitate condiționată nu se cere la acel examen, fiindcă programa de examen din 2014 nu o conține. Tema intră în programa Bacalaureatului din 2030, în unitatea «X.4. Probabilități» din MAT_P3–MAT_P6.

Întrebări frecvente

Ce probabilitate are o probă să aibă fosfați peste limită, dacă nitrații ei sunt în limită? Rămân în joc cele 180 de probe cu nitrați în limită, iar dintre ele 31 au fosfați peste limită: $\frac{31}{180}\approx 17,2\%$. Este mai puțin decât $25\%$ din tot registrul și decât $36,7\%$ din rândul nitraților peste limită, deci nitrații contează în ambele sensuri.

Se poate folosi aceeași regulă pentru râurile din alt bazin hidrografic? Nu fără un registru nou. Probele de aici vin din aval de stații de epurare și de evacuări de ape uzate, unde nitrații și fosfații ajung adesea în apă împreună. În alt bazin, legătura poate fi mai slabă sau poate lipsi, așa că laboratorul calculează din nou $P(B\mid A)$ și $P(B)$ pe registrul acelui bazin, înainte să aplice regula.

Dacă regula s-ar aplica fiecărei probe dintr-un trimestru ca acesta, câte analize de fosfați ar porni în aceeași zi? Câte una pentru fiecare dintre cele 120 de probe cu nitrați peste limită. După registru, 44 dintre ele au fosfați peste limită, adică 11 din 30. Din 120 de probe alese la întâmplare din tot registrul, s-ar găsi în medie un sfert, adică 30. Cu același număr de analize, regula găsește mai multe depășiri.

Contează dacă jetonul se trage din toate cele 300 de probe sau numai din cele 120 cu nitrați peste limită? Pentru întrebarea despre fosfați, nu contează. Dacă jetonul se trage numai dintre cele 120, probabilitatea fosfaților peste limită este $\frac{44}{120}=\frac{11}{30}$, același număr ca la „știind că nitrații depășesc limita”: condiția îngustează cazurile, nu schimbă șansa fiecărui caz rămas.

Ce din lecție numește programa MAT_P3–MAT_P6 a Bacalaureatului din 2030? Unitatea X.4 a celor patru programe (OMEC 5077/2026) numește exact ce exersezi aici: probabilitățile condiționate și evenimentele independente, pentru două evenimente. Lecția nu prezice forma cerințelor; le pregătește pe registre de meserie, unde condiția și independența se verifică pe numere.