Lecția pe scurt · clasa a X-a · Probabilitatea clasică

Cum aflu șansa să trag o piesă bună din lot?

Împarți numărul pieselor bune la numărul tuturor pieselor lotului, cu condiția ca fiecare piesă să aibă aceeași șansă de tragere. Într-un lot de 250 de piese, cu 20 defecte, bune sunt 230, deci $\frac{230}{250} = \frac{23}{25} = 92%$ . Proba: probabilitatea piesei defecte este 8 %, iar suma celor două este 100 %.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Probabilitatea se obține împărțind cazurile favorabile evenimentului la toate cazurile posibile, dar numai dacă toate cazurile au aceeași șansă; la piese reale, asta o dă tragerea la sorți dintr-un sac amestecat. Rezultatul este între 0 și 1 și se scrie ca fracție ireductibilă sau ca procent.

Cazurile le numeri după felul datelor. Dintr-un tabel aduni celulele potrivite, fără să numeri nimic de două ori. De la $a$ la $b$ sunt $b - a + 1$ numere, iar multiplii lui $k$ dintre primul $p$ și ultimul $u$ sunt $\frac{u - p}{k} + 1$ . Când condiția este o inegalitate, îi afli mai întâi soluțiile și le reții doar pe cele din mulțimea dată.

Când alegi un număr dintr-o mulțime, pașii sunt aceiași: cazurile posibile, cele favorabile, raportul. Capcanele sunt scăderea fără +1, limita luată greșit la „cel puțin” sau „peste”, rotunjirea comparată cu un prag și soluțiile inegalității care ies din mulțime.

Verifici numărând separat cazurile nefavorabile: împreună cu cele favorabile trebuie să dea cazurile posibile. Pragul se verifică pe fracția exactă, fiindcă procentul rotunjit poate înșela. Calculul îți folosește la fișe de control, la loturi livrate și la reviziile unui service.

De reținut

$P = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}$
de la $a$ la $b$ sunt $b - a + 1$ numere
pragul se verifică pe fracția exactă

Greșeala tipică

Se numără elementele de la $a$ la $b$ cu $b - a$ , fără +1. Între 12 și 40 sunt 29 de numere, nu 28, deoarece ambele capete fac parte din mulțime.

Exerciții din această mini-lecție

Un laborator de lactate trece în fișa unui lot probabilitatea ca o probă aleasă la întâmplare să fie corespunzătoare. Care dintre valorile de mai jos nu poate fi trecută?
- a) $\frac{3}{8}$
- b) $1$
- c) $\frac{7}{5}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{7}{5}$

Cazurile favorabile sunt o parte din cele posibile, deci o probabilitate este între 0 și 1. Fracția $\frac{7}{5}$ depășește 1, așa că nu poate fi o probabilitate. Valoarea 0 este a evenimentului imposibil, iar 1 a celui sigur.
Loturile de beton turnate într-o săptămână au numerele de la 100 la 199. Laboratorul încearcă lotul al cărui număr este multiplu de 8. Care este probabilitatea ca un lot ales la întâmplare să fie încercat?
- a) $\frac{3}{25}$
- b) $\frac{1}{8}$
- c) $\frac{13}{100}$
- d) $\frac{11}{100}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{25}$

De la 100 la 199 sunt $199 - 100 + 1 = 100$ de numere. Multiplii lui 8 merg de la $104 = 8 \cdot 13$ la $192 = 8 \cdot 24$ , deci sunt $24 - 13 + 1 = 12$ , iar $P = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$ . Varianta $\frac{1}{8}$ presupune că fiecare al optulea număr cade exact pe un interval de 100. Varianta $\frac{13}{100}$ include 96, care nu e în interval. Varianta $\frac{11}{100}$ scade $24 - 13$ fără +1.
Numerele de ordine ale clienților unui service sunt $A = {4, 5, 6, \dots, 31}$ . Se alege la întâmplare un număr $n$ din $A$ . Care este probabilitatea ca $5 n - 12 \leq 2 n + 30$ ?
- a) $\frac{5}{14}$
- b) $\frac{11}{27}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $\frac{11}{28}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{11}{28}$

Mulțimea $A$ are $31 - 4 + 1 = 28$ de elemente. Inegalitatea dă $3 n \leq 42$ , adică $n \leq 14$ , deci favorabile sunt $4, 5, \dots, 14$ , adică $14 - 4 + 1 = 11$ numere, iar $P = \frac{11}{28}$ . Varianta $\frac{5}{14} = \frac{10}{28}$ scade $14 - 4$ fără +1. Varianta $\frac{11}{27}$ numără 27 de cazuri posibile. Varianta $\frac{1}{2} = \frac{14}{28}$ numără și numerele 1, 2, 3, care nu sunt în $A$ .

Întrebări conexe

Cum văd dacă un lot atinge pragul de 95 %?

Compari numărul pieselor bune cu pragul, nu procentul rotunjit. La 250 de piese, 95 % înseamnă 237,5, adică cel puțin 238 de piese bune, deci un lot cu 230 nu atinge pragul, chiar dacă 92 % pare apropiat.

Cum calculez probabilitatea dintr-un tabel cu două criterii?

Aduni celulele potrivite și împarți la totalul tabelului, nu la totalul unui rând. Dacă un depozit are 80 de colete, 48 ușoare și 32 grele, iar dintre cele grele 10 sunt avariate, probabilitatea să tragi un colet greu și avariat este $\frac{10}{80} = \frac{1}{8}$ .

Cum număr multiplii lui 7 între 40 și 150?

Găsești primul multiplu, 42, și ultimul, 147, apoi calculezi $\frac{147 - 42}{7} + 1 = 16$ . Dacă numerele sunt alese la întâmplare dintre cele 111 de la 40 la 150, probabilitatea de a obține un multiplu de 7 este $\frac{16}{111}$ .

Ce fac cu soluțiile inegalității care ies din mulțime?

Le elimini. Pentru $n \in {6, 7, \dots, 25}$ și inegalitatea $3 n - 4 < 35$ , soluția $n < 13$ include numerele de la 1 la 12, dar în mulțime rămân 6, 7, …, 12, adică 7 din 20 de numere, deci probabilitatea este $\frac{7}{20}$ .

Apare probabilitatea unui număr din mulțime în probele oficiale?

Da, a apărut în 38 de probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I. Enunțul dă o mulțime de numere și cere șansa ca un element ales la întâmplare să respecte o condiție, de exemplu $n^{2} \leq 40$ pentru $n \in {1, 2, \dots, 10}$ : favorabile sunt 1, 2, …, 6, deci $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea să nimeresc o piesă fără defect · cum calculez procentul pieselor bune din lot · probabilitate: favorabile pe posibile la control · șansa de a trage o piesă bună