Probabilitatea la tehnologic: controlul calității

La controlul calității unui lot de console sudate, clientul nu poate verifica din nou fiecare piesă și trage una la întâmplare. Cât de probabil este să nimerească una fără defect? Răspunsul e o probabilitate și se află numărând piesele: pe toate și pe cele bune. Lecția de clasa a X-a pentru tehnologic exersează numărătoarea pe o fișă de control și pe o mulțime de numere. Între 2013 și 2026, o cerință de același fel a venit în Subiectul I în 38 de probe ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un atelier de sudură face console din tablă de oțel pentru rafturi industriale. Primul lot cu un nou tip de sârmă de sudură are 142 de console, numerotate de la 101 la 242. Inspectorul a controlat vizual toate cordoanele și a trecut rezultatul în fișa de control. Nicio consolă cu defect nu pleacă la client: toate se repară înainte de livrare. Pentru sârma nouă, atelierul are o regulă: rămâne în lucru dacă cel puțin 92% dintre console ies fără defect de la prima sudare; altfel, înaintea lotului următor se refac reglajele aparatului. Reprezentantul clientului verifică fișa prin sondaj, în atelier, înainte de reparații: pune în sac câte un jeton pentru fiecare număr de serie, le amestecă, trage unul și controlează din nou consola cu numărul tras.

Întrebare: care este probabilitatea ca reprezentantul clientului să tragă o consolă fără defect și atinge lotul pragul de 92% din regula atelierului?

De la situație la model

Reprezentantul nu știe ce consolă va trage, dar fișa îi spune câte sunt și câte sunt bune. Tabelul traduce situația.

Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile lui și numărul cazurilor posibile, atunci când toate cazurile posibile au aceeași șansă. Un eveniment este un fapt despre piesa aleasă, de exemplu „consola este fără defect”; cazurile favorabile sunt piesele pentru care faptul este adevărat. Numind evenimentul $A$:

$$P(A)=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}$$

De ce se trage un jeton, în loc să se ia consola de deasupra?

Formula cere ca fiecare caz să aibă aceeași șansă. Consola de deasupra stivei nu o are: de obicei e ultima așezată, iar piesele din vârf nu seamănă neapărat cu restul lotului. Jetonul tras dintr-un sac amestecat dă fiecărei console aceeași șansă, una din 142.

Cum numeri cazurile?

La o fișă de control, cazurile posibile sunt toate piesele din tabel, iar cele favorabile sunt piesele cu proprietatea cerută. Când fișa are două criterii, de exemplu specia și starea unor pomi, ea devine un tabel cu două intrări. Fiecare celulă este una dintre zonele unei diagrame Venn, iar la cazurile favorabile aduni celulele potrivite, fără să numeri nicio piesă de două ori.

Când piesele sunt date prin numere, numeri numerele. De la $a$ la $b$ sunt $b-a+1$ numere: de la 101 la 242 sunt $242-101+1=142$. Când cazurile se formează în două etape, de exemplu esența și finisajul unei mostre, le numeri cu o diagramă arborescentă, ca în lecția Diagrame arborescente: configurații posibile.

Ce valori poate lua o probabilitate?

Cazurile favorabile sunt o parte din cele posibile, deci probabilitatea este între 0 și 1: 0 dacă niciun caz nu e favorabil (evenimentul este imposibil), 1 dacă toate sunt (evenimentul este sigur). Cazurile nefavorabile și cele favorabile dau împreună cazurile posibile, deci probabilitățile lor dau împreună 1.

Metoda pas cu pas

1. Spune ce se alege la întâmplare și ce înseamnă un caz: o piesă, un număr de serie, o mostră. Cazurile trebuie să aibă aceeași șansă; la piesele reale o dă tragerea la sorți, iar în cerințele de Bacalaureat M3 din 2013–2026 a garantat-o formularea „alegând un număr”.
2. Numără cazurile posibile, adică toate piesele din care se alege. Din tabel aduni toate celulele; dintr-un șir de numere consecutive scazi primul din ultimul și adaugi 1. „Numere naturale de două cifre” înseamnă 90, iar „de o cifră” înseamnă 10, cu tot cu 0.
3. Numără cazurile favorabile, adică doar piesele cu proprietatea cerută. Din tabel aduni celulele potrivite; dintr-o mulțime scrii condiția în cuvinte. Dacă ea este o inegalitate sau o ecuație, o rezolvi întâi și păstrezi numai soluțiile care aparțin mulțimii, iar multiplii lui $k$ îi numeri cu primul, $p$, și ultimul, $u$, dintre ei: $\frac{u-p}{k}+1$.
4. Împarte cazurile favorabile la cele posibile și simplifică până la fracția ireductibilă; rezultatul trebuie să fie între 0 și 1. Dacă enunțul cere zecimală sau procent, rotunjește la numărul de zecimale cerut, nu tăia cifrele.
5. Verifică pe alt drum: numără separat cazurile nefavorabile, care împreună cu cele favorabile dau cazurile posibile, sau află câte piese trebuie să fie bune ca să atingi un prag, de exemplu $0,92\cdot 142$. Un prag se compară cu fracția exactă, nu cu procentul rotunjit.

Cerințele de examen din 2013–2026 au venit fără poveste, dar pașii au rămas aceiași. Citirea datelor dintr-un tabel de frecvențe o găsești în lecția Tabele de frecvențe: datele unui lot. Lecțiile clasei le găsești în traseul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$P(A)=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$$

$$\text{de la }a\text{ la }b\text{ sunt }b-a+1\text{ numere}$$

$$\text{multiplii lui }k\text{ ıˆntre }p\text{ și }u:\frac{u-p}{k}+1$$

Formulele merg numai dacă fiecare caz are aceeași șansă, adică alegerea se face la întâmplare; $a$ și $b$ sunt numere întregi, iar $p$ și $u$ sunt primul și ultimul multiplu al lui $k$ din mulțime. Probabilitatea este între 0 și 1. Verificare rapidă: cazurile favorabile și cele nefavorabile dau împreună cazurile posibile.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Consola trasă la sondaj

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reluăm lotul din situația de pornire: 142 de console numerotate de la 101 la 242, dintre care 130 fără defect, 9 cu porozități și 3 cu fisuri. Se trage un jeton la întâmplare. a) Aflați probabilitatea ca consola trasă să fie fără defect, ca fracție ireductibilă și ca procent rotunjit la două zecimale. b) Spuneți dacă lotul atinge pragul de 92% din regula atelierului.

Rezolvare. Cazurile posibile sunt cele 142 de numere de serie, $242-101+1=142$, toate cu aceeași șansă. Cazurile favorabile sunt cele 130 de console fără defect.

$$P=\frac{130}{142}=\frac{65}{71}\approx 0,9155=91,55\%$$

b) Pragul de 92% cere cel puțin $0,92\cdot 142=130,64$ console fără defect. Cum numărul consolelor este întreg, ai nevoie de cel puțin 131; lotul are 130, deci nu atinge pragul, iar înaintea lotului următor se refac reglajele aparatului.

Capcană. Cine rotunjește la procent întreg obține $91,55\%\approx 92\%$, crede că pragul este atins și lasă aparatul cu aceleași reglaje. Rotunjirea ascunde că lipsește o consolă: cu 130 de console bune probabilitatea este sub 92%.

Verificare. Consolele cu defect sunt $9+3=12$, iar $130+12=142$. Probabilitatea lor este $\frac{12}{142}=\frac{6}{71}$, iar $\frac{65}{71}+\frac{6}{71}=1$. Fracția exactă confirmă pragul: $65\cdot 25=1625$ este mai mic decât $23\cdot 71=1633$, deci $\frac{65}{71}<\frac{23}{25}=92\%$.

Exemplul 2 — Pomii din livadă

Domeniu: agricol.

Enunț. Un inspector fitosanitar a numărat într-o livadă 93 de pomi, după specie și după starea fructelor, și a trecut în registru:

Pentru analiza de laborator alege la întâmplare un pom. Calculați probabilitatea ca pomul ales să fie: a) măr; b) atacat de molie. c) Care este mai probabil: să fie păr sănătos sau să fie măr atacat? Rotunjiți procentele la o zecimală.

Rezolvare. Fiecare pom are un număr în registru, iar inspectorul trage numărul la sorți, deci toți pomii au aceeași șansă. Cazurile posibile sunt toți pomii din registru: $43+14+27+9=93$. a) Merii stau pe primul rând, în ambele celule: $43+14=57$, deci $P=\frac{57}{93}=\frac{19}{31}\approx 61,3\%$. b) Pomii atacați stau pe a doua coloană: $14+9=23$, deci $P=\frac{23}{93}\approx 24,7\%$. c) Părul sănătos e o celulă de 27 de pomi, mărul atacat una de 14. Cu același numitor, 93, e mai probabil evenimentul cu mai mulți pomi: $\frac{27}{93}\approx 29,0\%$ pentru părul sănătos față de $\frac{14}{93}\approx 15,1\%$ pentru mărul atacat.

Capcană. La a), cine ia doar celula „meri sănătoși” scrie $\frac{43}{93}\approx 46,2\%$ și uită că merii atacați sunt tot meri.

Verificare. Perii sunt $27+9=36$, iar $\frac{57}{93}+\frac{36}{93}=1$. Pe coloane, $70+23=93$, la fel ca pe rânduri.

Exemplul 3 — Tencuiala unui perete

Domeniu: constructii.

Enunț. Pe un șantier, grosimea stratului de tencuială s-a măsurat în 17 puncte ale unui perete, iar muncitorul a notat în centimetri: 1,6; 1,4; 1,5; 1,7; 1,5; 1,8; 1,3; 1,6; 1,9; 1,2; 1,5; 1,7; 1,4; 1,8; 1,6; 1,3; 1,7. Caietul de sarcini cere cel puțin 15 mm. Se alege la întâmplare unul dintre puncte pentru proba de aderență. Calculați probabilitatea ca grosimea măsurată în punctul ales să respecte caietul de sarcini, ca procent rotunjit la o zecimală.

Rezolvare. Norma în centimetri este 15 mm = 1,5 cm. „Cel puțin 1,5 cm” include și punctele de exact 1,5 cm. Nu respectă norma punctele de 1,4; 1,3; 1,2; 1,4 și 1,3 cm, adică 5. Respectă norma $17-5=12$ puncte, deci

$$P=\frac{12}{17}\approx 0,7059=70,6\%$$

Capcană. Cine citește „cel puțin 15 mm” ca „mai mult de 15 mm” scoate cele trei puncte de exact 1,5 cm și obține $\frac{9}{17}\approx 52,9\%$.

Verificare. Cele 5 puncte sub normă dau $\frac{5}{17}\approx 29,4\%$, iar $70,6\%+29,4\%=100\%$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: număr ales dintr-o mulțime

Domeniu: auto.

Enunț. În probele 2013–2026, cerința 4 din Subiectul I a fost de tipul de mai jos; aici numerele sunt numerele de ordine ale clienților unui service auto într-o zi. a) Se consideră mulțimea $A=\{3,4,5,\dots ,19\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, acesta să verifice inegalitatea $4n-9\le 31$. b) Calculați probabilitatea ca un număr natural de două cifre, ales la întâmplare, să fie multiplu de 13.

Rezolvare. a) Mulțimea $A$ are $19-3+1=17$ elemente, deci 17 cazuri posibile. Inegalitatea dă $4n\le 40$, adică $n\le 10$. Cazurile favorabile sunt numerele $3,4,\dots ,10$, în număr de $10-3+1=8$, deci $P=\frac{8}{17}$. b) Numerele naturale de două cifre sunt $99-10+1=90$. Primul multiplu de 13 este 13, ultimul este $91=13\cdot 7$, deci sunt $\frac{91-13}{13}+1=7$ multipli. Rezultă $P=\frac{7}{90}$.

Capcană. La a), cine scade $19-3$ fără să adune 1 găsește 16 elemente și scrie $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$. Mulțimea are însă 17 elemente, pentru că ambele capete, 3 și 19, fac parte din ea.

Verificare. La a), numerele care nu verifică inegalitatea sunt $11,12,\dots ,19$, în număr de 9, iar $8+9=17$. La b), lista 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 are șapte numere, la fel ca formula.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Fie mulțimea $A=\{17,18,19,\dots ,52\}$. a) Câte elemente are $A$? b) Câți multipli ai lui 7 conține? c) Ce probabilitate are un număr ales la întâmplare din $A$ să fie multiplu de 7?

2. Dintr-o cutie cu 84 de garnituri de cauciuc, dintre care 29 de tipul B, se ia una la întâmplare. Scrie probabilitatea ca ea să fie de tipul B ca fracție ireductibilă, ca zecimal cu trei zecimale și ca procent cu o zecimală.

3. a) Câte numere naturale de o cifră există? b) Câte de trei cifre? c) Ce probabilitate are un număr natural de trei cifre, ales la întâmplare, să fie mai mic decât 250?

4. Pe un șantier s-au încercat la smulgere 61 de dibluri, iar 52 au rezistat. Se alege la întâmplare fișa unuia. a) Calculează probabilitatea ca diblul să fi rezistat, ca procent cu o zecimală. b) Verifică numărând diblurile care nu au rezistat.

Nivelul 2 — situații

5. O fabrică de mobilă expune mostre din trei esențe (stejar, fag, nuc), fiecare cu patru finisaje (lac mat, lac lucios, ulei, vopsea); nucul nu se oferă cu vopsea. O mostră se alege la întâmplare. a) Numără mostrele cu o diagramă arborescentă. b) Care este probabilitatea ca mostra să fie de fag? c) Dar să aibă lac, mat sau lucios?

6. Un lot de 109 plăci ceramice se acceptă dacă probabilitatea ca o placă aleasă la întâmplare să fie ciobită este de cel mult 6,5%. a) Cel mult câte plăci ciobite poate avea un lot acceptat? b) Lotul primit are 8 plăci ciobite: se acceptă? Calculează probabilitatea ca procent cu două zecimale.

7. Piesele de schimb dintr-un lot au numerele de serie de la 214 la 397; controlul verifică piesele al căror număr e multiplu de 9. a) Câte piese are lotul? b) Câte sunt verificate? c) Calculează probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare să fi fost verificată, ca procent cu o zecimală.

8. Într-un lot de bidoane de vopsea, probabilitatea ca un bidon luat la întâmplare să aibă vâscozitatea în afara fișei este $\frac{3}{47}$. Lotul are între 130 și 160 de bidoane. Câte bidoane are lotul și câte sunt în afara fișei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați probabilitatea ca un număr natural de două cifre, ales la întâmplare, să fie divizor al lui 168.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{2,3,4,\dots ,27\}$, acesta să verifice inegalitatea $7n-20<3n+14$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,11\}$, numărul $3^n$ să fie mai mic decât 500.

12. (Sinteză.) O hală are corpuri de iluminat numerotate de la 41 la 138. Revizia verifică corpurile cu număr multiplu de 6. a) Câte corpuri are hala? b) Câte sunt verificate? c) Din cele verificate, 4 sunt defecte. Calculați probabilitatea ca un corp verificat, ales la întâmplare, să fie defect și spuneți dacă depășește pragul de 20% din regulamentul halei.

Răspunsuri și verificări

1. a) $52-17+1=36$ de elemente. b) Multiplii sunt 21, 28, 35, 42, 49, deci $\frac{49-21}{7}+1=5$. c) $P=\frac{5}{36}\approx 13,9\%$. Verificare: 14 stă sub 17, iar 56 depășește 52, deci lista este completă.

2. Numărul 29 este prim și nu divide 84, deci $\frac{29}{84}$ este ireductibilă; $\frac{29}{84}\approx 0,345\approx 34,5\%$. Verificare: $84\cdot 0,345=28,98$, aproape de 29.

3. a) 10 numere, de la 0 la 9. b) $999-100+1=900$. c) Numerele $100,\dots ,249$ sunt $249-100+1=150$, deci $P=\frac{150}{900}=\frac{1}{6}$. Verificare: $250-100=150$, fiindcă 250 nu intră în șir.

4. a) $P=\frac{52}{61}\approx 85,2\%$. b) Nu au rezistat $61-52=9$ dibluri, cu $\frac{9}{61}\approx 14,8\%$. Verificare: $52+9=61$ și $85,2\%+14,8\%=100\%$.

5. a) $4+4+3=11$ mostre. b) $P=\frac{4}{11}\approx 36,4\%$. c) Cu lac sunt $2+2+2=6$ mostre, deci $P=\frac{6}{11}\approx 54,5\%$. Verificare: fără lac sunt $2+2+1=5$ mostre (ulei și vopsea; la nuc doar ulei), iar $6+5=11$.

6. a) $0,065\cdot 109=7,085$, deci cel mult 7 plăci ciobite. b) $P=\frac{8}{109}\approx 7,34\%$, peste 6,5%: lotul nu se acceptă. Verificare: $\frac{7}{109}\approx 6,42\%$ este sub 6,5%, deci 7 plăci trec, 8 nu.

7. a) $397-214+1=184$ de piese. b) Multiplii sunt de la $216=9\cdot 24$ la $396=9\cdot 44$, deci $\frac{396-216}{9}+1=21$ de piese. c) $P=\frac{21}{184}\approx 11,4\%$. Verificare: $44-24+1=21$.

8. Fracția $\frac{3}{47}$ este ireductibilă, deci numărul bidoanelor este multiplu de 47, iar între 130 și 160 se află doar 141. Lotul are 141 de bidoane, dintre care $141:47\cdot 3=9$ în afara fișei. Verificare: $\frac{9}{141}=\frac{3}{47}$.

9. Numerele de două cifre sunt $99-10+1=90$, deci 90 de cazuri posibile. Divizorii lui 168 cu două cifre sunt 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56 și 84, deci 8 cazuri favorabile. Probabilitatea este $P=\frac{8}{90}=\frac{4}{45}$. Verificare: perechile de divizori cu produsul 168 sunt $(1,168)$, $(2,84)$, $(3,56)$, $(4,42)$, $(6,28)$, $(7,24)$, $(8,21)$ și $(12,14)$; în ele sunt tot opt numere de două cifre.

10. Mulțimea $A$ are $27-2+1=26$ de elemente. Din $7n-3n<14+20$ rezultă $4n<34$, adică $n<8,5$. Favorabile sunt numerele $2,3,\dots ,8$, adică $8-2+1=7$, deci $P=\frac{7}{26}$. Verificare: la $n=8$ avem $36<38$ (adevărat), iar la $n=9$ avem $43<41$ (fals).

11. Mulțimea $A$ are 11 elemente. Cum $3^5=243<500<729=3^6$, favorabile sunt valorile $n=1,2,\dots ,5$, adică 5. Probabilitatea este $P=\frac{5}{11}$. Verificare: nefavorabile sunt $6,7,\dots ,11$, adică 6 valori, iar $5+6=11$.

12. a) $138-41+1=98$ de corpuri. b) Multiplii de 6 merg de la $42=6\cdot 7$ la $138=6\cdot 23$, deci $\frac{138-42}{6}+1=17$ corpuri verificate. c) $P=\frac{4}{17}\approx 23,5\%$, deci pragul de 20% este depășit. Verificare: 20% din 17 este 3,4, deci regulamentul admite cel mult 3 corpuri defecte; sunt 4. Și $23-7+1=17$.

Așa vine la Bac M3

Cele 38 de probe oficiale din 2013–2026 care au cerut o probabilitate au pus-o toate la cerința 4 a Subiectului I. Enunțul a ales mereu un număr dintr-o mulțime și a pus o condiție. Cel mai des, în 20 dintre cele 38 de probe, condiția a fost una de divizibilitate: numărul ales trebuia să fie multiplu sau divizor al unui număr dat, ori număr par. Iată patru cerințe reale, din probe diferite, fiecare cu altă condiție:

• Iunie 2014, Subiectul I, exercițiul 4: mulțimea este cea a numerelor naturale de două cifre, iar condiția este divizibilitatea cu 10, deci pasul 2 din Metodă dă 90 de cazuri posibile (1 punct în baremul probei), pasul 3 dă cele 9 numere favorabile (2 puncte), iar pasul 4 dă raportul $\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$ (2 puncte).
• Proba specială din 2022, Subiectul I, exercițiul 4: mulțimea cuprinde numerele naturale de la 0 la 9, iar condiția este inegalitatea $5n\le 22$, deci pasul 3 cere rezolvarea inegalității: baremul probei acordă 2 puncte pentru cele 10 elemente ale mulțimii și 3 puncte pentru numerele 0, 1, 2, 3, 4 și raportul $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.
• August 2017, Subiectul I, exercițiul 4, singura dintre cele 38 cu o ecuație: mulțimea cuprinde numerele naturale de la 1 la 9, iar condiția este o ecuație scrisă ca produs de doi factori, cu soluțiile $n=2$ și $n=4$, deci pasul 3 caută soluțiile ecuației în mulțime: baremul probei dă 1 punct pentru cele 9 cazuri posibile, 2 puncte pentru numerele 2 și 4 și 2 puncte pentru raportul $\frac{2}{9}$.
• Modelul din 2023, Subiectul I, exercițiul 4: mulțimea este cea a numerelor naturale de două cifre, iar condiția cere ca $\sqrt{n}$ să fie număr natural par, deci pasul 3 caută pătratele perfecte pare: baremul probei acordă 2 puncte pentru cele 90 de cazuri posibile și 3 puncte pentru numerele 16, 36 și 64 și raportul $\frac{3}{90}=\frac{1}{30}$.

Exercițiile 9–11 au condiții de același fel, cu numere proprii: un divizor, o inegalitate și o putere comparată cu un număr.

Greșeli care costă puncte

• Numeri elementele de la $a$ la $b$ cu $b-a$, fără $+1$, sau uiți că numerele naturale de o cifră încep de la 0, care e multiplu al oricărui număr → cum o prinzi: scrii primul și ultimul element și numeri un set mic, de exemplu $\{3,4,5,6\}$, care are 4 elemente, nu 3.
• Împarți o celulă din tabel la totalul rândului ei, nu la tot registrul: la Exemplul 2, părul sănătos ar ieși $\frac{27}{36}=75\%$ → cum o prinzi: pomul se alege din toată livada, deci numitorul este 93; $\frac{27}{36}$ ar fi șansa unui păr ales numai dintre peri.
• Rotunjești procentul și compari rotunjirea cu pragul → cum o prinzi: calculezi câte piese trebuie să fie bune (92% din 142 înseamnă 130,64, deci cel puțin 131) sau compari fracțiile exact.
• Treci la cazuri favorabile numărul de la limită când inegalitatea e strictă, sau îl scoți când e nestrictă → cum o prinzi: pui numărul de la limită în condiția din enunț; 1,5 cm respectă „cel puțin 15 mm”, dar nu „mai mult de 15 mm”.
• Numeri soluțiile inegalității fără să te uiți la mulțime: la exercițiul 10, din $n<8,5$ scrii $0,1,\dots ,8$, adică 9 numere, deși $A$ începe de la 2 → cum o prinzi: cauți fiecare număr din listă în mulțimea din enunț; rămân 7.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, probabilitatea unui eveniment face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a X-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 38 de probe.

Întrebări frecvente

Ar fi atins pragul un lot de 150 de console, dintre care tot 12 cu defect? Da, la limită. Fără defect ar fi fost $150-12=138$ de console, iar $\frac{138}{150}=0,92$, adică exact 92%. Regula cere „cel puțin 92%”, deci egalitatea ajunge. Același număr de console cu defect cântărește mai puțin într-un lot mai mare: $\frac{12}{150}=8\%$, față de $\frac{12}{142}\approx 8,45\%$ la 142.

De ce jetoanele sunt numerotate de la 101 la 242 și nu de la 1 la 142? Numerele sunt doar etichete: probabilitatea depinde de câte jetoane sunt, nu de ce scrie pe ele. Între 101 și 242 sunt $242-101+1=142$ numere, ca între 1 și 142, deci rezultatul rămâne $\frac{65}{71}$. Ele contează abia când condiția privește numărul, ca la exercițiul 7.

Ce probabilitate dă tragerea după ce se repară cele 9 console cu porozități? Reparate, cele 9 devin fără defect, deci lotul are $130+9=139$ de console bune și $P=\frac{139}{142}\approx 97,9\%$. După ce se refac și cele 3 cu fisuri, toate cele 142 sunt bune, iar probabilitatea devine 1: evenimentul sigur. Regula pentru sârmă numără însă consolele bune de la prima sudare, adică tot 130.

Cum se asigură reprezentantul că tragerea dă fiecărei console aceeași șansă? Numără jetoanele înainte să tragă: trebuie să fie 142, câte unul pentru fiecare număr de la 101 la 242, fără lipsă și fără dublură. Dacă jetonul 150 ar fi în sac de două ori, consola 150 ar avea două șanse din 143, iar celelalte câte una. Atunci numărătoarea pe console n-ar mai fi bună.

Din 2022 încoace, ce condiție a trebuit să îndeplinească numărul ales la Bacalaureatul M3? În cele 16 probe din 2022–2026, condiția a fost de 7 ori o inegalitate, de 5 ori divizibilitatea numărului ales sau a unei expresii cu el, de 2 ori un pătrat perfect, o dată suma cifrelor și o dată apartenența la mulțime. Înainte de 2022, inegalitatea venise în doar 2 din 22 de probe; în 2022–2026 a fost forma cea mai des întâlnită. O exersezi la exercițiul 10.