Lecția pe scurt · clasa a X-a · Reuniune și intersecție

Cum aflu șansa să apară cel puțin o problemă?

Aduni probabilitatea fiecărei probleme și scazi probabilitatea ca ambele să apară, fiindcă obiectele cu două probleme au fost numărate de două ori. Dintr-un lot de 60 de corpuri de iluminat, 9 au sticla crăpată, 7 au soclul slab, iar 3 le au pe amândouă: $\frac{9 + 7 - 3}{60} = \frac{13}{60} \approx 21, 7 %$ . Proba: 47 de corpuri nu au nicio problemă, iar $13 + 47 = 60$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Când un enunț leagă două evenimente prin «sau», cauți probabilitatea reuniunii: cazurile în care apare cel puțin unul dintre ele. Când le leagă prin «și», cauți intersecția: ambele evenimente la aceeași alegere. Fiecare probabilitate se află ca la orice experiment cu cazuri la fel de șanse, adică prin numărare.

Metoda cere trei mișcări. Scrii evenimentele în cuvinte, numeri cazurile din $A$ , din $B$ și pe cele comune, apoi aplici $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Intersecția se scade, fiindcă elementele cu ambele însușiri au intrat de două ori în sumă. Pentru «niciunul» iei contrarul reuniunii, iar pentru «exact unul» scoți intersecția încă o dată. Evenimentele fără element comun se adună direct.

Capcana obișnuită este să tratezi intersecția ca pe un produs, $P (A) \cdot P (B)$ , sau să rotunjești fiecare probabilitate înainte de adunare. Alta este să iei reuniunea drept tot lotul și să uiți elementele fără nicio problemă. Verifici pe alt drum: regiunile «numai $A$ », «numai $B$ », «ambele» și «niciuna» trebuie să adune 1, iar reuniunea nu poate fi mai mică decât cel mai mare dintre cele două evenimente.

Calculul apare la controlul unui lot, la fișe de recepție, la liste de comenzi sau la rezervări: procentul cu cel puțin o problemă te ajută să hotărăști dacă reclami, repari sau livrezi.

De reținut

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
«niciunul» înseamnă $1 - P (A \cup B)$
evenimentele fără caz comun se adună direct

Greșeala tipică

Se calculează intersecția ca produs al probabilităților și reuniunea iese greșită. Intersecția se obține prin numărare în tabel sau scăzând reuniunea din suma celor două probabilități, iar proba se face pe regiuni: «numai $A$ », «numai $B$ », «ambele» și «niciuna» adună 1.

Exerciții din această mini-lecție

O pensiune a avut într-un sezon 80 de rezervări. Dintre ele, 36 au inclus micul dejun, 28 au inclus parcarea, iar 12 au inclus ambele servicii. Care este probabilitatea ca o rezervare aleasă la întâmplare să fi inclus cel puțin unul dintre cele două servicii?
- a) 80 %
- b) 65 %
- c) 50 %
- d) 35 %
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 65 %

Rezervările cu cel puțin un serviciu sunt $36 + 28 - 12 = 52$ , deci $P = \frac{52}{80} = 65 %$ . Varianta 80 % adună 36 și 28 fără să scadă cele 12 numărate de două ori. Varianta 50 % scade intersecția de două ori. Varianta 35 % este probabilitatea să nu ai niciunul dintre servicii.
Un salon de înfrumusețare a primit într-o săptămână 150 de programări, fiecare pentru un singur serviciu: 45 pentru tuns, 60 pentru vopsit, 30 pentru manichiură și 15 pentru coafuri de eveniment. Se alege la întâmplare o programare. Care este probabilitatea ca ea să fie pentru tuns sau pentru vopsit?
- a) 12 %
- b) 30 %
- c) 40 %
- d) 70 %
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 70 %

Fiecare programare are un singur serviciu, deci evenimentele nu au nicio programare comună și probabilitățile se adună direct: $\frac{45 + 60}{150} = \frac{105}{150} = 70 %$ . Produsul $0, 3 \cdot 0, 4 = 12 %$ ar fi o intersecție, care aici este zero. Varianta 30 % este probabilitatea contrară, iar 40 % numără doar vopsitul.
La inventarul unui depozit de țevi din PVC se controlează fiecare țeavă. Se constată că 30 % dintre țevi au capătul deteriorat, 25 % au lungimea sub toleranță, iar 10 % au ambele probleme. Ce procent dintre țevi au exact una dintre cele două probleme?
- a) 35 %
- b) 45 %
- c) 55 %
- d) 20 %
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 35 %

«Exact una» înseamnă reuniunea fără intersecție: $30 + 25 - 2 \cdot 10 = 35$ , adică 35 %. Varianta 45 % este «cel puțin una», $30 + 25 - 10$ . Varianta 55 % este suma simplă, fără nicio scădere. Varianta 20 % numără doar capetele deteriorate care au lungimea corectă, $30 - 10$ .

Întrebări conexe

Cum aflu șansa ca un produs să nu aibă nicio problemă?

Scazi din 1 probabilitatea reuniunii. La 40 de pachete, 6 deteriorate, 5 incomplete și 2 cu amândouă, reuniunea are $6 + 5 - 2 = 9$ pachete. Fără nicio problemă rămân $40 - 9 = 31$ de pachete, adică $\frac{31}{40} = 77, 5 %$ .

Pot afla reuniunea dacă am procente, nu numere?

Da, procentele se combină ca probabilitățile. Dacă 22 % dintre piese au un defect, 14 % au alt defect, iar 6 % le au pe amândouă, reuniunea este $22 + 14 - 6 = 30$ , adică 30 %. Pe un lot de 350 de piese, asta înseamnă $0, 30 \cdot 350 = 105$ piese.

Cât de mare poate fi cel mult intersecția?

Cel mult cât cea mai mică dintre cele două probabilități, fiindcă obiectele cu ambele probleme sunt și printre cele cu o problemă anume. Dacă 18 % dintre colete sunt întârziate și 11 % sunt deteriorate, cel mult 11 % le au pe amândouă; atunci reuniunea este cea mai mică posibilă, de 18 %.

Pot afla intersecția dacă știu reuniunea?

Da, din aceeași formulă: $P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$ . Dacă 45 % dintre clienți au un voucher, 35 % au card de fidelitate, iar 60 % au cel puțin unul, atunci $45 + 35 - 60 = 20$ , adică 20 % le au pe amândouă.

Cum verific pe regiuni că am numărat bine?

Împarți lotul în patru regiuni: numai $A$ , numai $B$ , ambele și niciuna. Numerele lor trebuie să adune totalul lotului. La 70 de piese: 14 numai $A$ , 8 numai $B$ , 6 ambele și 42 niciuna, iar $14 + 8 + 6 + 42 = 70$ .

Cum fac reuniunea dintr-o listă de valori?

Treci valorile în aceeași unitate, marchezi cele care respectă prima condiție, apoi cele care o respectă pe a doua. Numeri marcajele și scazi elementele marcate de două ori. Din 8 valori, cu 3 și 4 marcate și una comună, reuniunea are $3 + 4 - 1 = 6$ valori.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea să apară cel puțin o problemă la un lot · formula reuniunii pentru două defecte · cum aflu șansa a cel puțin unuia dintre două defecte · de ce scad intersecția la reuniune