Reuniunea și intersecția evenimentelor, tehnologic

La recepția unui lot de colete, magazinul vrea să știe cât de probabil este ca un colet tras la sorți să aibă ambalajul deteriorat sau conținutul incomplet, ori chiar ambele. Răspunsul vine din reuniunea și intersecția a două evenimente, calculate număr cu număr. Liceul tehnologic le predă în clasa a X-a, iar Bacalaureatul 2030 le are în programa de examen.

Situația de pornire

Un magazin de bricolaj a primit de la furnizor, pe un singur camion, un lot de 191 de colete cu piese pentru mobilă. La recepție, gestionarul de depozit a controlat fiecare colet după factură și a notat două probleme posibile: ambalajul deteriorat și conținutul incomplet, adică piese lipsă față de factură. Coletele cu probleme se înlocuiesc pe cheltuiala furnizorului. Contractul cu furnizorul spune că lotul se reclamă dacă mai mult de un sfert dintre colete au cel puțin o problemă. Pentru raport, gestionarul scrie numărul fiecărui colet pe un jeton, amestecă jetoanele într-o cutie și trage unul.

Întrebare: cu ce probabilitate are un colet tras la sorți cel puțin o problemă și se justifică reclamația?

De la situație la model

Fiecare colet are aceeași șansă să fie tras, deci probabilitățile se calculează ca în lecția Probabilitatea la tehnologic: controlul calității: cazuri favorabile împărțite la cazuri posibile.

Probabilitatea intersecției este probabilitatea ca ambele evenimente să aibă loc la aceeași tragere: cazurile favorabile sunt cele din regiunea comună. Probabilitatea reuniunii este probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimente să aibă loc. Evenimentele și diagrama Venn le-ai văzut în lecția Evenimente compuse: Venn și arbore. Pe diagramă, fiecare regiune are probabilitatea ei, adică numărul ei de colete împărțit la 191.

Cum afli probabilitatea intersecției?

Numeri cazurile din regiunea comună și le împarți la toate cazurile: $P(A\cap B)=\frac{9}{191}\approx 4,7\%$. Produsul $P(A)\cdot P(B)$ nu dă, în general, intersecția: aici ar ieși $\frac{34}{191}\cdot \frac{27}{191}\approx 2,5\%$, deși în tabel sunt 9 colete cu ambele probleme. Intersecția se numără în tabel sau se află din reuniune, ca mai jos.

De ce se scade intersecția la reuniune?

Cele 9 colete cu ambele probleme se află și printre cele 34, și printre cele 27. Dacă aduni $34+27=61$, ele sunt numărate de două ori, iar $61$ este mai mare decât numărul coletelor cu vreo problemă. Scazi o dată cele 9 și rămân $52$ de colete. Împărțit la 191, același calcul este formula reuniunii:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Ce limite are o probabilitate de reuniune sau de intersecție?

Coletele cu cel puțin o problemă le cuprind pe toate cele 34 cu ambalaj deteriorat, deci reuniunea nu poate avea mai puțin de 34 de colete și nici mai mult decât lotul de 191. Coletele cu ambele probleme sunt printre cele 27 cu conținut incomplet, deci intersecția nu poate depăși 27. Pe probabilități, $P(A\cup B)$ nu e mai mică decât cea mai mare dintre $P(A)$ și $P(B)$, iar $P(A\cap B)$ nu e mai mare decât cea mai mică dintre ele.

Cum treci de la procente la numere de obiecte?

Un raport dă adesea numai procente. Un procent din lot este chiar probabilitatea evenimentului: dacă 8 % dintre comenzi sunt anulate, un jeton tras la sorți arată o comandă anulată cu probabilitatea $0,08$. Ca să afli câte obiecte sunt, aplici probabilitatea la volumul lotului: din 250 de comenzi, $0,08\cdot 250=20$.

Ce se schimbă când evenimentele nu au colete comune?

Dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte, $P(A\cap B)=0$ și probabilitățile se adună direct. „Ambalaj deteriorat” și „fără nicio problemă” nu au niciun colet comun: probabilitatea să aibă una sau alta este $\frac{34+139}{191}=\frac{173}{191}$. Evenimentul „niciuna dintre cele două probleme” este contrarul reuniunii, deci are probabilitatea $1-P(A\cup B)$.

Metoda pas cu pas

1. Spune ce se alege la întâmplare și scrie în cuvinte evenimentele $A$ și $B$, de exemplu „coletul are ambalajul deteriorat” și „coletul are conținutul incomplet”. Verifică dacă fiecare caz are aceeași șansă, ca la un jeton tras dintr-o cutie amestecată.
2. Află numărul cazurilor posibile și al cazurilor din $A$, din $B$ și din $A\cap B$. Într-un tabel, cazurile din $A$ sunt toate rândurile în care $A$ are loc, cu tot cu rândul comun lui $B$; nu le număra de două ori. Dacă enunțul dă procente, aplică-le volumului lotului ca să obții numere întregi de obiecte.
3. Alege formula după cuvântul din enunț: „sau” cere reuniunea, „și” cere intersecția, „niciuna” cere complementul reuniunii, „exact una” cere $P(A\cup B)-P(A\cap B)$, iar la evenimente disjuncte aduni direct.
4. Calculează cu fracții, simplifică și rotunjește abia la sfârșit. Un prag se compară cu fracția exactă: „mai mult de” și „peste” exclud valoarea de la limită, „cel puțin” o include.
5. Verifică pe alt drum: adună regiunile (numai $A$, numai $B$, ambele, niciuna) sau calculează complementul reuniunii. Reuniunea nu poate fi mai mică decât unul dintre evenimente, iar intersecția nu poate fi mai mare decât cel mai mic dintre ele. Cele patru probabilități ale regiunilor trebuie să adune 1.

„Și” cere ambele evenimente la aceeași tragere, nu două trageri. „Sau” cere cel puțin unul, deci include și coletele cu ambele probleme, pe când „exact una” le lasă deoparte.

Probleme cu două etape găsești în lecția Probabilitate condiționată și independență. Lecția are locul ei, în unitatea Probabilități, în traseul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

$$P(\text{niciunul})=1-P(A\cup B)$$

$$P(\text{exact unul})=P(A\cup B)-P(A\cap B)$$

Condiții de aplicare: toate cazurile aparțin aceluiași experiment și au aceeași șansă, iar la evenimente disjuncte $P(A\cap B)=0$. Formula „exact una” scoate regiunea comună din reuniune, ca să rămână doar regiunile cu o singură problemă. Verificare rapidă: probabilitățile celor patru regiuni adună 1.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Coletele cu probleme

Domeniu: comert.

Enunț. Reia lotul din situația de pornire: 191 de colete, cu 9, 25, 18 și 139 în cele patru rânduri ale fișei. Gestionarul trage un jeton. a) Calculați $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cap B)$. b) Calculați probabilitatea ca coletul să aibă cel puțin o problemă, ca fracție și ca procent rotunjit la o zecimală. c) Se justifică reclamația?

Rezolvare. Ambalajul deteriorat îl au $9+25=34$ de colete, iar conținutul incomplet $9+18=27$. a) $P(A)=\frac{34}{191}$, $P(B)=\frac{27}{191}$ și $P(A\cap B)=\frac{9}{191}$. b) Prin formula reuniunii, $P(A\cup B)=\frac{34}{191}+\frac{27}{191}-\frac{9}{191}=\frac{52}{191}\approx 27,2\%$. c) Un sfert din 191 este 47,75, iar $52>47,75$; exact, $4\cdot 52=208>191$, deci $P(A\cup B)>\frac{1}{4}$ și lotul se reclamă.

Capcană. Cine ia intersecția ca produs, $P(A)\cdot P(B)=\frac{34}{191}\cdot \frac{27}{191}\approx 2,5\%$, obține o reuniune de $17,8\%+14,1\%-2,5\%=29,4\%$. Cele 9 colete cu ambele probleme sunt însă $4,7\%$ din lot, iar reuniunea este de $27,2\%$.

Verificare. Fără nicio problemă sunt 139 de colete, deci $\frac{139}{191}+\frac{52}{191}=1$. Pe regiuni, $25+18+9=52$.

Exemplul 2 — Ușile livrate

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de tâmplărie a livrat într-un trimestru 214 uși: 96 interioare, 71 exterioare și 47 de garaj. Fiecare ușă are fișa ei, iar fișele sunt numerotate. Se alege la întâmplare o fișă. a) Calculați probabilitatea ca ușa să fie interioară sau exterioară, ca fracție și ca procent rotunjit la o zecimală. b) Calculați probabilitatea ca ea să fie și interioară, și exterioară.

Rezolvare. Un tip de ușă exclude celelalte, deci $A$ = „interioară” și $B$ = „exterioară” sunt disjuncte, iar $P(A\cap B)=0$. a) Probabilitățile se adună direct: $\frac{96}{214}+\frac{71}{214}=\frac{167}{214}\approx 78,0\%$. b) O ușă nu e și interioară, și exterioară, deci probabilitatea este 0.

Capcană. Cine rotunjește fiecare probabilitate la o zecimală înainte să adune obține $44,9\%+33,2\%=78,1\%$. Fracția exactă dă $\frac{167}{214}\approx 78,04\%$, adică $78,0\%$.

Verificare. Ușile de garaj sunt contrarul lui „interioară sau exterioară”: $\frac{47}{214}+\frac{167}{214}=1$.

Exemplul 3 — Facturile scumpe sau întârziate

Domeniu: economic.

Enunț. Contabila unei firme de transport trece pe lista de urmărire facturile emise care au valoarea cu TVA peste 2 000 de lei sau o întârziere a plății de peste 30 de zile. Tabelul dă, pentru 14 facturi, valoarea fără TVA și întârzierea plății.

Fie $A$ evenimentul „valoarea cu TVA depășește 2 000 de lei” și $B$ evenimentul „plata a întârziat cu mai mult de 30 de zile”; TVA este 21 % (valoare din exemplu). Se alege la sorți o factură. Calculați $P(A\cup B)$ ca fracție și ca procent rotunjit la o zecimală.

Rezolvare. Valoarea cu TVA este valoarea fără TVA înmulțită cu 1,21, deci $A$ cere o valoare fără TVA de peste $2000:1,21\approx 1652,9$ lei. Au această valoare facturile 1, 3, 5, 7, 9, 12 și 14, deci $A$ are 7 facturi. Peste 30 de zile au întârziat facturile 2, 3, 5, 7, 10 și 11, deci $B$ are 6 facturi. Factura 10 are exact 1 650 de lei fără TVA, adică 1 996,5 lei cu TVA, iar factura 14 are exact 30 de zile: nici una nu intră. În $A\cap B$ sunt facturile 3, 5 și 7, adică 3. Atunci $P(A\cup B)=\frac{7+6-3}{14}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\approx 71,4\%$.

Capcană. Cine compară valoarea fără TVA cu 2 000 de lei numără doar facturile 3 și 9 în $A$. Reuniunea ar avea 7 facturi, adică $50,0\%$, în loc de 10 facturi, $71,4\%$.

Verificare. Facturile din afara reuniunii sunt 4, 6, 8 și 13, iar $\frac{10}{14}+\frac{4}{14}=1$.

Exemplul 4 — Problema inversă: ambele echipe din service

Domeniu: auto.

Enunț. Raportul lunar al unui service auto spune că, din 1 300 de intrări, 46 % au avut lucrări de mecanică, 38 % lucrări de electrică, iar 29 % au avut alte lucrări (anvelope, caroserie), fără mecanică și fără electrică. Șeful de atelier vrea să știe câte intrări au nevoie de mecanic și de electrician în aceeași zi, adică au ambele lucrări.

Rezolvare. Notez cu $A$ lucrările de mecanică și cu $B$ pe cele de electrică. Probabilitatea să aibă cel puțin una dintre cele două lucrări este $1-0,29=0,71$. Din formula reuniunii, $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0,46+0,38-0,71=0,13$. Pe 1 300 de intrări, $0,13\cdot 1300=169$ de intrări au ambele lucrări.

Capcană. Cine uită intrările cu alte lucrări ia reuniunea drept 100 % și obține $0,46+0,38-1=-0,16$, o probabilitate negativă. Dacă păstrează doar mărimea, 16 %, ar programa ambele echipe pentru 208 intrări, în loc de 169.

Verificare. Numai mecanică au $0,33\cdot 1300=429$ de intrări, numai electrică $0,25\cdot 1300=325$, ambele 169, iar niciuna dintre cele două $0,29\cdot 1300=377$; suma este $429+325+169+377=1300$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. La o casă de marcat, 28 % dintre bonuri au un produs la promoție, 41 % sunt plătite cu cardul, iar 12 % le au pe amândouă. Ce probabilitate are un bon tras la sorți să aibă cel puțin una dintre ele? Dar niciuna?

2. Un depozit are 160 de lăzi: 72 cu tomate, 44 cu ardei, 31 cu castraveți și 13 cu varză. Calculați probabilitatea ca lada trasă să fie cu tomate sau cu ardei; verificați cu evenimentul contrar.

3. Un magazin a primit 72 de comenzi de electrocasnice mari:

Ce probabilitate are o comandă să fie de frigider și cu montaj? Dar de frigider sau cu montaj?

4. Din 300 de colete, probabilitatea ca un colet să aibă cel puțin o problemă este $0,23$. Câte colete au cel puțin o problemă și câte nu au niciuna?

Nivelul 2 — situații

5. Un parc are 84 de autobuze: 21 cu probleme la frâne, 17 la climatizare, 6 la ambele. Atelierul cheamă o echipă suplimentară dacă probabilitatea ca un autobuz ales la întâmplare să aibă cel puțin o problemă depășește $\frac{1}{3}$. O cheamă?

6. Din 120 de tablouri electrice, 18 au carcasa zgâriată, 14 eticheta lipsă și 7 ambele. Regula A reclamă lotul dacă probabilitatea a cel puțin unei probleme depășește $\frac{1}{4}$, regula B dacă probabilitatea ambelor depășește $\frac{1}{20}$. Ce reguli îl reclamă?

7. Dintre 120 de vaci, 42 au fost tratate pentru copite, 35 pentru mamite, 15 pentru amândouă. Ce probabilitate are o vacă aleasă la întâmplare să fi fost tratată pentru exact una dintre boli?

8. La stația de sortare, din 90 de containere de colectare selectivă, $\frac{7}{18}$ aveau deșeuri puse greșit, $\frac{4}{15}$ erau supraîncărcate, iar $\frac{1}{9}$ ambele. Calculați probabilitatea ca un container tras la sorți să aibă cel puțin o problemă și câte n-au niciuna.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) O brutărie cântărește cei 200 de saci de făină primiți și le verifică ambalajul. Arborele: 188 de saci au masa corectă, dintre care 9 cu ambalajul rupt; 12 au masa prea mică, dintre care 3 cu ambalajul rupt. Ce probabilitate are un sac să aibă cel puțin o problemă? Dar ambele?

10. (Sinteză.) Din 250 de produse la raft, 36 % au prețul redus, 72 % TVA redus, iar 12 % ambele. Calculați probabilitatea ca un produs să aibă prețul redus sau TVA redus și câte produse n-au niciuna.

11. (Sinteză.) 90 de cutii cu feronerie, pe clase de masă (kg): $[4;7)$ cu 11, $[7;10)$ cu 29, $[10;13)$ cu 37, $[13;16)$ cu 13. Calculați probabilitatea ca masa să fie între 7 și 13 kg, apoi sub 10 kg sau peste 11,5 kg; 22 dintre cutiile clasei $[10;13)$ au cel mult 11,5 kg.

12. (Sinteză.) Din cele 160 de piese auto ale unui raft, 52 sunt din stocul vechi, iar cele 20 de la promoție sunt toate din stocul vechi. Ce probabilitate are o piesă aleasă la întâmplare să fie la promoție sau din stocul vechi? Dar la promoție și din stocul vechi?

Răspunsuri și verificări

1. Cel puțin una: $0,28+0,41-0,12=0,57$, adică 57 %; niciuna: $1-0,57=0,43$, adică 43 %. Verificare: pe regiuni, $16+12+29+43=100$ de procente.

2. $P=\frac{72+44}{160}=\frac{29}{40}=72,5\%$, fiindcă lada nu poate fi și cu tomate, și cu ardei. Contrarul, castraveți sau varză, are $\frac{31+13}{160}=\frac{11}{40}$. Verificare: $\frac{29}{40}+\frac{11}{40}=1$.

3. Frigider și cu montaj: $\frac{14}{72}=\frac{7}{36}\approx 19,4\%$. Frigider sau cu montaj: $\frac{37+23-14}{72}=\frac{46}{72}=\frac{23}{36}\approx 63,9\%$, fiindcă frigiderele sunt $14+23=37$, iar comenzile cu montaj $14+9=23$. Verificare: în afara reuniunii sunt 26 de comenzi, iar $46+26=72$.

4. Cu cel puțin o problemă: $0,23\cdot 300=69$ de colete; fără nicio problemă: $300-69=231$ de colete. Verificare: $\frac{69}{300}=0,23$.

5. Cel puțin o problemă: $21+17-6=32$ de autobuze, deci $P=\frac{32}{84}=\frac{8}{21}\approx 38,1\%$. Pragul: $3\cdot 32=96>84$, deci $P>\frac{1}{3}$ și atelierul cheamă echipa suplimentară. Verificare: fără nicio problemă sunt $84-32=52$ de autobuze.

6. Cel puțin o problemă: $18+14-7=25$ de tablouri, deci $P(A\cup B)=\frac{25}{120}$, iar $\frac{1}{4}=\frac{30}{120}$: $25<30$, deci regula A nu reclamă lotul. Ambele probleme: $\frac{7}{120}$, iar $\frac{1}{20}=\frac{6}{120}$: $7>6$, deci regula B reclamă lotul. Verificare: $11+7+7+95=120$ de tablouri, cu 11 numai carcasă și 7 numai etichetă.

7. Exact una: $42+35-2\cdot 15=47$ de vaci, deci $P=\frac{47}{120}\approx 39,2\%$. Verificare: numai copite $42-15=27$ și numai mamite $35-15=20$, iar $27+20=47$.

8. Cu deșeuri puse greșit sunt $\frac{7}{18}\cdot 90=35$ de containere, supraîncărcate $\frac{4}{15}\cdot 90=24$, iar cu ambele probleme $\frac{1}{9}\cdot 90=10$. Cel puțin o problemă au $35+24-10=49$ de containere, deci $P=\frac{49}{90}\approx 54,4\%$. Fără nicio problemă sunt $90-49=41$ de containere. Verificare: $\frac{49}{90}+\frac{41}{90}=1$.

9. Cel puțin o problemă au toți cei 12 saci cu masa mică și cei 9 cu masa corectă, dar ambalajul rupt: $12+9=21$ de saci, deci $P=\frac{21}{200}=10,5\%$. Ambele probleme au cei 3 saci cu masa mică și ambalajul rupt: $P=\frac{3}{200}=1,5\%$. Verificare: ambalajul rupt îl au $9+3=12$ saci, iar formula reuniunii dă $\frac{12+12-3}{200}=\frac{21}{200}$.

10. Prețul redus au $0,36\cdot 250=90$ de produse, TVA redus $0,72\cdot 250=180$, iar ambele $0,12\cdot 250=30$. Cel puțin una: $90+180-30=240$ de produse, deci $P=\frac{240}{250}=0,96$, adică 96 %. Fără niciuna: $250-240=10$ produse. Verificare: $60+150+30+10=250$ de produse, cu 60 numai preț redus și 150 numai TVA redus.

11. Între 7 și 13 kg sunt clasele $[7;10)$ și $[10;13)$: $\frac{29+37}{90}=\frac{66}{90}\approx 73,3\%$. Sub 10 kg sunt $11+29=40$ de cutii; peste 11,5 kg sunt $(37-22)+13=28$; evenimentele sunt disjuncte, deci $\frac{40+28}{90}=\frac{68}{90}\approx 75,6\%$. Verificare: cutiile între 10 și 11,5 kg sunt 22, iar $68+22=90$.

12. Toate piesele de la promoție sunt din stocul vechi, deci reuniunea e chiar stocul vechi: $P=\frac{52}{160}=\frac{13}{40}=32,5\%$. Intersecția e chiar promoția: $P=\frac{20}{160}=\frac{1}{8}=12,5\%$. Verificare: formula reuniunii dă $\frac{20+52-20}{160}=\frac{52}{160}$.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen M_tehnologic din 2014 nu conține formula probabilității reuniunii a două evenimente: la clasa a X-a ea trece doar probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile, adică numărarea cazurilor favorabile. Printre cerințele celor 83 de probe oficiale nu există niciuna care să ceară probabilitatea reuniunii sau a intersecției a două evenimente date, așa că secțiunea nu dă trimiteri la probe. Pentru 2030, operațiile cu probabilități stau în unitatea «X.4. Probabilități» a programelor MAT_P3–MAT_P6.

Greșeli care costă puncte

• Aduni la reuniune și sacii cu ambalajul rupt de pe ramura „masă prea mică”: la exercițiul 9 obții $12+9+3=24$ de saci, nu 21 → cum o prinzi: sacii cu masa mică sunt deja toți în reuniune; de pe ramura lor nu mai aduni nimic, iar formula reuniunii dă $\frac{12+12-3}{200}$.
• Rotunjești fiecare probabilitate înainte să le aduni: la Exemplul 2 obții $78,1\%$ în loc de $78,0\%$ → cum o prinzi: aduni fracțiile, $\frac{96}{214}+\frac{71}{214}=\frac{167}{214}$, și rotunjești numai rezultatul.
• Compari valoarea fără TVA cu pragul cu TVA: la Exemplul 3 ai 2 facturi în loc de 7 → cum o prinzi: aduci valorile în aceeași formă, $2000:1,21\approx 1652,9$ lei fără TVA.
• Iei reuniunea drept 100 %, uitând intrările cu alte lucrări: la Exemplul 4 obții −16 % sau 16 % în loc de 13 % → cum o prinzi: reuniunea este $100\%-29\%=71\%$, iar regiunile trebuie să adune 100 %.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); formula probabilității reuniunii a două evenimente nu se cere la acel examen, fiindcă programa de examen M_tehnologic din 2014 nu o conține. La profilul pedagogic, programa M_pedagogic din 2014 numește „operații cu evenimente”, deci reuniunea și intersecția evenimentelor pot apărea acolo. Tema intră în programa Bacalaureatului din 2030, în unitatea «X.4. Probabilități» din MAT_P3–MAT_P6.

Întrebări frecvente

Ce probabilitate rămâne pentru un colet cu probleme, dacă furnizorul înlocuiește coletele cu ambalaj deteriorat? Rămân cu probleme doar coletele cu conținut incomplet și ambalaj intact, adică cele 18 din tabel. Probabilitatea scade la $\frac{18}{191}\approx 9,4\%$, sub pragul de un sfert. Cele 9 colete cu ambele probleme dispar și ele din numărătoare, fiindcă coletul nou nu mai are niciuna.

Cu ce probabilitate are coletul tras numai ambalajul deteriorat? Conținutul e complet la 25 dintre cele 34 de colete cu ambalaj deteriorat, deci probabilitatea este $\frac{25}{191}\approx 13,1\%$. Pe formule, din $P(A)$ scazi zona comună: $\frac{34}{191}-\frac{9}{191}=\frac{25}{191}$. La aceste colete furnizorul schimbă doar cutia, fără piese de completat.

Contează dacă contractul spune „mai mult de un sfert” sau „cel puțin un sfert”? La acest lot, nu. Un sfert din 191 înseamnă 47,75 colete, iar numărul coletelor e întreg: cu 47 de colete cu probleme, $\frac{47}{191}\approx 24,6\%$, sub prag; cu 48, $25,1\%$, peste prag, în ambele formulări. La un lot de 192 de colete, 48 ar da exact un sfert: „cel puțin” l-ar reclama, „mai mult de” nu.

Se schimbă probabilitatea reclamației dacă cele 9 colete cu ambele probleme ar fi avut numai ambalajul deteriorat? Nu. Coletele cu cel puțin o problemă rămân aceleași 52, deci $P(A\cup B)=\frac{52}{191}$. Se schimbă doar regiunile: $B$ ar avea 18 colete, iar intersecția 0, și formula dă $\frac{34}{191}+\frac{18}{191}-0=\frac{52}{191}$. Reuniunea numără coletele cu probleme, nu problemele lor.

Apare probabilitatea reuniunii în programa Bacalaureatului din 2030? Da. Programele MAT_P3–MAT_P6 (OMEC 5077/2026) trec la unitatea X.4 operațiile cu probabilități, adică probabilitatea intersecției și a reuniunii de evenimente. Lecția nu spune cum vor arăta cerințele din 2030: ea exersează calculul pe fișe și registre, nu un model de subiect.