Cum arăt că o lege nu are element neutru?

Patru proprietăți descriu comportarea unei legi: elementul neutru, simetricul, comutativitatea și asociativitatea. Fiecare se cere pentru orice element al mulțimii, de aceea le arăți cu litere, nu cu perechi alese. Un singur contraexemplu, calculat până la capăt pe ambele părți, respinge o proprietate.

Pentru comutativitate scrii $y\circ x$ din formulă și compari cu $x\circ y$. Pentru asociativitate calculezi ambele grupări, $(x\circ y)\circ z$ și $x\circ (y\circ z)$. Elementul neutru $e$ iese din ecuația $x\circ e=x$, apoi verifici și $e\circ x=x$; dacă $e$ depinde de $x$ sau cele două părți dau valori diferite, nu există neutru. Simetricul $x^{\prime }$ iese din $x\circ x^{\prime }=e$, cu verificare pe ambele părți.

Mulțimea hotărăște: o ecuație poate avea soluție și totuși soluția să stea în afara mulțimii date, caz în care elementul nu are simetric acolo. Nu confunda neutrul cu elementul care absoarbe, adică cel pentru care $x\circ a=a$ pentru orice $x$.

La un șir lung de compuneri, într-o lege asociativă, caută elementul absorbant: dacă apare în șir, rezultatul este el. Proba rapidă: pune în egalități un număr oarecare.

De reținut

• $e$ trebuie să verifice $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$
• valori diferite pentru $e$ din cele două egalități înseamnă că neutrul lipsește
• o singură valoare de probă, ca $x=0$, ajunge pentru contraexemplu

Greșeala tipică

Se rezolvă o singură egalitate și se declară $e=7$ element neutru, deși $7\circ 1=-11$, nu $1$. Se verifică și cealaltă parte, $e\circ x=x$.

Exerciții din această mini-lecție

1. La o casă de marcat, două reduceri consecutive, de $x$ % și apoi de $y$ %, au reducerea totală $x\circ y=x+y-\frac{xy}{100}$ (în %), pe mulțimea $M=[0;100]$. Care este elementul neutru al legii?

   • a) $100$
   • b) $1$
   • c) nu există element neutru
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $0$

   Din $x\circ e=x$ rezultă $e\left(1-\frac{x}{100}\right)=0$ pentru orice $x\in [0;100]$, deci $e=0$: nicio reducere. Varianta $1$ ar da $x\circ 1=x+1-\frac{x}{100}$, diferit de $x$. Varianta $100$ nu este neutru, ci absoarbe: $x\circ 100=x+100-x=100$. Neutrul există, deci nici ultima variantă nu e bună.

2. Prețul făinii scade cu $20$ %. Modificările se compun cu legea $x\circ y=x+y-\frac{xy}{100}$ (în %, iar un număr negativ înseamnă scumpire), al cărei element neutru este $0$. Ce modificare $y$ readuce făina la prețul inițial, adică $20\circ y=0$?

   • a) $-20$
   • b) $-25$
   • c) $20$
   • d) $25$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-25$

   Din $20+y-\frac{20y}{100}=0$ rezultă $0,8y=-20$, deci $y=-25$: o scumpire de $25$ %. Verificare: $0,8\cdot 1,25=1$. Varianta $-20$ crede că procentele se anulează simplu, $25$ este mărimea bună cu semnul greșit, adică încă o reducere, iar $20$ repetă reducerea inițială.

3. Un senzor de nivel dintr-un rezervor memorează cea mai mare dintre două citiri, în ${\text{m}}^3$, pe mulțimea $M=[0;50]$: $x\circ y=\max (x;y)$. Care sunt, în această ordine, elementul neutru și elementul care absoarbe?

   • a) $0$ și $50$
   • b) $1$ și $50$
   • c) $0$ și $0$
   • d) $50$ și $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $0$ și $50$

   Neutrul verifică $\max (x;e)=x$ pentru orice $x\in [0;50]$, deci $e=0$. Elementul absorbant verifică $\max (x;a)=a$ pentru orice $x$, deci $a=50$. Varianta $50$ și $0$ inversează rolurile, varianta $1$ și $50$ ia neutrul de la înmulțire, iar $0$ și $0$ presupune că neutrul absoarbe.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: legea nu admite element neutru · element neutru doar la dreapta · contraexemplu pentru elementul neutru · neutru la stânga și la dreapta diferit