Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

O factură consolidată nu depinde de ordinea în care contabila unește comenzile, dar o reducere aplicată pe perechi depinde. Diferența vine din patru proprietăți ale unei legi de compoziție: comutativitatea, asociativitatea, elementul neutru și simetricul. În liceul tehnologic, la clasa a XII-a, le verifici pe litere, nu pe numere alese. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), ele se verifică la problema 2 din Subiectul al II-lea.

Situația de pornire

La o firmă care distribuie rechizite, contabila Ioana întocmește facturile pentru clienții cu mai multe comenzi pe săptămână. Fiecare comandă are inclusă în valoare taxa de livrare, de 15 lei. Dacă două comenzi ale aceluiași client pleacă împreună, în același colet, taxa se plătește o singură dată: factura consolidată e suma valorilor, minus 15 lei. Programul de facturare aplică o singură formulă, pe perechi, una după alta. Ioana vrea să știe dacă rezultatul depinde de ordinea comenzilor și de gruparea lor, ca să scrie regula o dată pentru toți clienții. Valorile din tabel sunt din exemplu.

Comanda	Valoarea, cu taxa de livrare inclusă (lei)
A	83
B	142
C	56

Întrebare: cât plătește clientul pentru comenzile A, B și C trimise într-un singur colet, dacă firma le unește întâi pe A cu B, și cât dacă le unește întâi pe B cu C? Există o comandă care, unită cu oricare alta, nu schimbă suma?

De la situație la model

În situație	În matematică
valoarea unei comenzi, cu taxa inclusă	un număr real $x \geq 15$
unirea a două comenzi în același colet	legea $x \circ y = x + y - 15$
ordinea celor două comenzi	$x \circ y$ față de $y \circ x$
gruparea a trei comenzi, două câte două	$(x \circ y) \circ z$ față de $x \circ (y \circ z)$
o comandă formată numai din taxă	elementul neutru $e = 15$

Pe valorile comenzilor, $M = [15; + \infty)$ , legea e internă: dacă $x, y \geq 15$ , atunci $x + y - 15 \geq 15$ . Fie $\circ$ o lege de compoziție pe o mulțime $M$ . O lege comutativă este o lege cu $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y \in M$ . O lege asociativă este o lege cu $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ pentru orice $x, y, z \in M$ ; atunci scrii $x \circ y \circ z$ fără paranteze. Un element neutru este un $e \in M$ cu $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x \in M$ . Când legea are element neutru $e$ , simetricul unui element $x \in M$ este un $x^{'} \in M$ cu $x \circ x^{'} = x^{'} \circ x = e$ .

Cum arăți că legea e comutativă?

Scrii $y \circ x$ din formulă și compari cu $x \circ y$ . La comenzi, $y \circ x = y + x - 15 = x + y - 15 = x \circ y$ , pentru orice $x$ și $y$ . Un singur contraexemplu respinge proprietatea. O lege poate fi comutativă fără să fie asociativă, ca reducerea la pachet din exemplul 2.

Cum verifici asociativitatea?

Calculezi ambele grupări cu litere: $(x \circ y) \circ z = (x + y - 15) + z - 15 = x + y + z - 30$ , iar $x \circ (y \circ z) = x + (y + z - 15) - 15 = x + y + z - 30$ . Sunt egale, deci Ioana poate uni comenzile în orice grupare. Pentru $n$ comenzi, taxa se scade de $n - 1$ ori.

Ce este elementul neutru și cum îl afli?

Din $x \circ e = x$ rezultă $x + e - 15 = x$ , deci $e = 15$ . Verifici și $e \circ x = x$ : $15 + x - 15 = x$ . La o lege necomutativă cele două egalități se verifică separat, iar dacă $e$ iese diferit din ele, legea nu are element neutru. Dacă există, neutrul e unic.

Ce este simetricul unui element?

Din $x \circ x^{'} = e$ rezultă $x + x^{'} - 15 = 15$ , deci $x^{'} = 30 - x$ . Pe $R$ orice număr are simetric. Pe mulțimea valorilor de comenzi, $M = [15; + \infty)$ , simetricul $30 - x$ stă în $M$ doar pentru $x \leq 15$ , deci doar elementul neutru are simetric: mulțimea contează.

Cum calculezi un șir lung de compuneri?

La o lege asociativă nu pui paranteze. Caută un element $a$ cu $a \circ x = x \circ a = a$ pentru orice $x$ . Dacă $a$ apare în șir, rezultatul e $a$ : oriunde ai grupa șirul, unirea cu $a$ dă $a$ . La o lege de forma $(x - a) (y - a) + a$ , elementul $a$ are proprietatea aceasta, fiindcă un factor devine 0.

Metoda pas cu pas

Scrie proprietatea cerută ca egalitate valabilă pentru orice element: $x \circ y = y \circ x$ la comutativitate; $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ la asociativitate; $x \circ e = e \circ x = x$ la elementul neutru; $x \circ x^{'} = x^{'} \circ x = e$ la simetric. Scrie și mulțimea pe care lucrezi, fiindcă ea hotărăște dacă un $e$ sau un $x^{'}$ aflat e bun.
Calculează fiecare parte din egalitate cu litere, înlocuind formula legii și desfăcând parantezele. La comutativitate calculezi $y \circ x$ din formulă, la asociativitate ambele grupări. La neutru sau la simetric rezolvi o ecuație în $e$ sau în $x^{'}$ , apoi verifici soluția în ambele sensuri.
Compară. Dacă membrii coincid termen cu termen, proprietatea e arătată. Dacă nu, dai un contraexemplu numeric: o singură pereche sau un singur triplet, calculat până la capăt pe ambele părți. La elementul neutru afli $e$ dintr-o egalitate și verifici și cealaltă; dacă $e$ depinde de $x$ sau cele două egalități dau valori diferite, nu există element neutru. Concluzia o scrii cu mulțimea alături, de pildă „legea e comutativă pe $R$ ”.
La un șir lung dintr-o lege asociativă, caută elementul care absoarbe, $a \circ x = a$ , și vezi dacă el apare în șir. Verifică apoi rezultatul pe un șir scurt, de pildă pe trei termeni, grupat în ambele feluri, înainte să-l dai pentru întregul șir. Dacă legea nu e asociativă, șirul se calculează pe rând, de la stânga la dreapta.

Dacă ți se cere doar valoarea unei compuneri sau forma factorizată, ai lege de compoziție la tehnologic: tabla. Structura care le adună pe toate, grupul, e în lecția despre grupul și grupul claselor de resturi. Restul clasei e în traseul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

Proprietatea	Ce trebuie să fie egal	Cum o arăți	Cum o respingi
comutativă	$x \circ y$ și $y \circ x$	le calculezi cu litere	o pereche cu rezultate diferite
asociativă	$(x \circ y) \circ z$ și $x \circ (y \circ z)$	le calculezi cu litere	un triplet cu rezultate diferite
element neutru	$x \circ e$ , $e \circ x$ și $x$	afli $e$ dintr-o egalitate, verifici și cealaltă	$e$ depinde de $x$ sau cele două egalități dau valori diferite
simetric	$x \circ x^{'}$ , $x^{'} \circ x$ și $e$	afli $x^{'}$ din $x \circ x^{'} = e$ , verifici și $x^{'} \circ x = e$	$x^{'}$ iese din mulțimea dată

$x \circ e = e \circ x = x x \circ x^{'} = x^{'} \circ x = e$

Condiții: toate se cer pentru orice element al mulțimii; elementul neutru, dacă există, e unic. Verificare rapidă: după ce ai aflat $e$ , înlocuiește-l în ambele egalități cu un număr oarecare.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Comenzile unite în același colet

Domeniu: economic.

Enunț. Reia comenzile din situația de pornire, cu legea $x \circ y = x + y - 15$ , în lei. a) Calculează $(83 \circ 142) \circ 56$ și $83 \circ (142 \circ 56)$ . b) Arată că legea e comutativă și asociativă. c) Află elementul neutru. d) Poate comanda de 83 de lei să aibă simetric în $M = [15; + \infty)$ ?

Rezolvare. a) $83 \circ 142 = 210$ , apoi $210 \circ 56 = 251$ . Pe cealaltă grupare, $142 \circ 56 = 183$ , apoi $83 \circ 183 = 251$ . Ambele grupări dau 251 de lei. b) $y \circ x = y + x - 15 = x \circ y$ , deci e comutativă. Apoi $(x \circ y) \circ z = x + y + z - 30 = x \circ (y \circ z)$ , deci e asociativă. c) Din $x + e - 15 = x$ rezultă $e = 15$ , iar $15 + x - 15 = x$ confirmă și cealaltă parte: o comandă formată numai din taxă. d) Simetricul $x^{'}$ al lui 83 verifică $83 + x^{'} - 15 = 15$ , deci $x^{'} = - 53$ . Valoarea $- 53$ nu e în $M$ , fiindcă nicio comandă nu are valoare negativă, așa că 83 nu are simetric în $M$ .

Capcană. Cine scade taxa o singură dată, la trei comenzi, obține $83 + 142 + 56 - 15 = 266$ lei. Sunt două unioni, deci taxa se scade de două ori.

Verificare. Valorile adunate dau $83 + 142 + 56 = 281$ lei, iar $281 - 30 = 251$ lei, cât au dat ambele grupări.

Exemplul 2 — Reducerea la pachet

Domeniu: comert.

Enunț. Un magazin de bricolaj face pachete: două articole puse la pachet primesc 10 % reducere din suma lor, iar un pachet poate fi pus, la rândul lui, la pachet cu alt articol. Aplicată pe perechi, regula e legea $x \circ y = 0, 9 (x + y)$ , în lei. Clientul ia un ferăstrău de 64 de lei, o cutie de șuruburi de 38 de lei și o ruletă de 25 de lei. a) Calculează $(64 \circ 38) \circ 25$ și $64 \circ (38 \circ 25)$ . b) Este legea asociativă? c) Este comutativă? d) Admite element neutru? e) Cât ar plăti clientul dacă reducerea de 10 % s-ar aplica o singură dată, pe tot coșul?

Rezolvare. a) $64 \circ 38 = 0, 9 \cdot 102 = 91, 8$ , apoi $91, 8 \circ 25 = 0, 9 \cdot 116, 8 = 105, 12$ lei. Pe cealaltă grupare, $38 \circ 25 = 0, 9 \cdot 63 = 56, 7$ , apoi $64 \circ 56, 7 = 0, 9 \cdot 120, 7 = 108, 63$ lei. b) Rezultatele diferă, 105,12 față de 108,63 lei, deci legea nu e asociativă: perechea unită prima primește reducerea de două ori. c) $y \circ x = 0, 9 (y + x) = x \circ y$ pentru orice $x$ și $y$ , deci e comutativă. d) Din $0, 9 (x + e) = x$ rezultă $e = \frac{x}{9}$ : depinde de $x$ , deci nu există un $e$ bun pentru toate prețurile. e) $0, 9 \cdot (64 + 38 + 25) = 0, 9 \cdot 127 = 114, 30$ lei.

Capcană. Cine presupune asociativitatea și scrie $64 \circ 38 \circ 25$ fără paranteze are un preț care depinde de grupare, 105,12 sau 108,63 lei.

Verificare. Pe alt drum, pe fiecare articol: în $(64 \circ 38) \circ 25$ , ferăstrăul și șuruburile sunt reduse de două ori, cu factorul $0, 81$ , iar ruleta o singură dată, deci $0, 81 \cdot 102 + 0, 9 \cdot 25 = 82, 62 + 22, 5 = 105, 12$ lei.

Exemplul 3 — Stocul unei magazii

Domeniu: agricol.

Enunț. Magazia unei ferme are 12,4 t de îngrășământ. Fermierul notează $x \circ y = x - y$ stocul rămas după o livrare de $y$ tone, cu stocul $x$ înainte. Livrările sunt de 3 500 kg și de 2,1 t. a) Calculează stocul după ambele livrări, în tone. b) Calculează $12, 4 \circ (3, 5 \circ 2, 1)$ și compară. c) Este legea comutativă? d) Admite element neutru?

Rezolvare. a) Treci 3 500 kg în 3,5 t, ca unitățile să fie aceleași. Calculul pe rând e cel al magaziei reale. Stocul după prima livrare: $12, 4 \circ 3, 5 = 8, 9$ t, apoi $8, 9 \circ 2, 1 = 6, 8$ t. b) $3, 5 \circ 2, 1 = 1, 4$ , iar $12, 4 \circ 1, 4 = 11$ t, diferit de 6,8 t: legea nu e asociativă. c) $3, 5 \circ 2, 1 = 1, 4$ , dar $2, 1 \circ 3, 5 = - 1, 4$ , deci nu e comutativă. d) Presupunem un neutru $e$ . Din $x \circ e = x$ rezultă $x - e = x$ , deci $e = 0$ . Dar $0 \circ x = - x$ , nu $x$ : de pildă $0 \circ 5 = - 5$ , nu 5. Cele două egalități cer lucruri diferite, deci legea nu are element neutru.

Capcană. Cine grupează livrările ca la o lege asociativă, $12, 4 \circ (3, 5 \circ 2, 1)$ , obține 11 t în loc de 6,8 t: în magazia reală, livrările se scad pe rând.

Verificare. Alt drum: livrările însumate sunt $3, 5 + 2, 1 = 5, 6$ t, iar $12, 4 - 5, 6 = 6, 8$ t. Numărul 0 îndeplinește $x \circ 0 = x$ , adică „nicio livrare”, dar doar pe o parte.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: comutativă, neutru, element absorbant

Domeniu: lemn.

Enunț. Exemplul urmează tiparul problemei a doua din Subiectul al II-lea: un calcul pur, fără context de meserie. Legea de compoziție $x \circ y = x y - 27 x - 27 y + 756$ este definită pe $R$ . a) Arătați că legea este comutativă. b) Arătați că $e = 28$ este elementul neutru al legii. c) Determinați numărul real $a$ pentru care $x \circ a = a$ , pentru orice număr real $x$ . d) Arătați că numărul 27 nu are simetric.

Rezolvare. a) $y \circ x = y x - 27 y - 27 x + 756 = x y - 27 x - 27 y + 756 = x \circ y$ , pentru orice $x$ și $y$ . b) $x \circ 28 = 28 x - 27 x - 756 + 756 = x$ , iar comutativitatea de la a) dă și $28 \circ x = x$ . c) Scrii legea ca $x \circ y = (x - 27) (y - 27) + 27$ . Egalitatea $(x - 27) (a - 27) + 27 = a$ înseamnă $(x - 27) (a - 27) = a - 27$ pentru orice $x$ , deci $a - 27 = 0$ și $a = 27$ . d) Simetricul $x^{'}$ al lui 27 ar verifica $27 \circ x^{'} = 28$ . Dar $27 \circ x^{'} = 27$ pentru orice $x^{'}$ , iar $27 \neq = 28$ , deci 27 nu are simetric.

Capcană. Cine ia elementul care absoarbe, 27, drept neutru scrie $x \circ 27 = x$ . Dar $5 \circ 27 = 27$ , nu 5; neutrul e 28, cu $5 \circ 28 = 5$ .

Verificare. $5 \circ 27 = 135 - 135 - 729 + 756 = 27$ , iar $5 \circ 28 = 140 - 135 - 756 + 756 = 5$ . Primul rezultat arată de ce 27 absoarbe, al doilea de ce 28 e neutru.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe $R$ se definește $x \circ y = 3 x + 3 y - 41$ . Arată că legea e comutativă și calculează $12 \circ (- 5)$ .

2. Pe $R$ se definește $x \circ y = x + y + 18$ . Arată că legea e asociativă.

3. Pe $R$ se definește $x \circ y = x + y - 31$ . Află elementul neutru și simetricul lui 40.

4. Pe $R$ se definește $x \circ y = 3 x + y - 8$ . Arată, cu contraexemple numerice, că legea nu e comutativă și nu e asociativă.

Nivelul 2 — situații

5. În cabina de vopsire a unei fabrici de mobilă, aerul trece prin filtre puse în serie. Un filtru „de $x$ %” lasă să treacă $x$ % din praful care ajunge la el, deci două filtre lasă să treacă $x \circ y = \frac{x y}{100}$ %, pe $M = [0; 100]$ . Cabina are filtre de 40 %, 25 % și 10 %. a) Calculează $(40 \circ 25) \circ 10$ și $40 \circ (25 \circ 10)$ . b) Ce filtru e element neutru? c) Arată că 0 absoarbe orice filtru și calculează $40 \circ 25 \circ 10 \circ 0$ . d) Are filtrul de 40 % un simetric în $M$ ?

6. Becul de pe scara unui bloc se aprinde din două întrerupătoare cap-scară, la parter și la etaj. Cu 1 pentru „sus” și 0 pentru „jos”, în montajul acestei scări becul e aprins (1) când întrerupătoarele stau în poziții diferite, deci starea lui este $x \circ y = x + y - 2 x y$ , pe $M = {0; 1}$ . a) Scrie tabla legii. b) Arată că legea e comutativă și că 0 e element neutru. c) Ce simetric are 1? d) Cu un al treilea întrerupător, de tip cruce, pus la etajul din mijloc, becul urmează $x \circ y \circ z$ . Verifică pe tablă că $(1 \circ 1) \circ 1 = 1 \circ (1 \circ 1)$ și spune ce face becul când toate trei sunt sus.

7. Nivelul total de vibrații, în mm/s, al două surse independente de pe un utilaj e rădăcina pătrată din suma pătratelor nivelurilor lor; notăm $x \circ y$ acest nivel. Trei surse dau 3, 4 și 12 mm/s. a) Calculează $(3 \circ 4) \circ 12$ și $3 \circ (4 \circ 12)$ . b) Ce nivel are o sursă care, unită cu oricare alta, nu schimbă nivelul? c) Are sursa de 3 mm/s un simetric?

8. Un service taxează două lucrări făcute la rând astfel: prima la preț dublu, din cauza demontării, a doua la preț simplu, minus un discount fix de 24 de lei, adică $x \circ y = 2 x + y - 24$ , lege studiată pe $R$ . a) Calculează $150 \circ 90$ și $90 \circ 150$ . b) Arată că legea nu e comutativă. c) Arată că nu admite element neutru.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție $x \circ y = x y - 31 x - 31 y + 992$ , definită pe $R$ . a) Arătați că $x \circ y = (x - 31) (y - 31) + 31$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Arătați că $e = 32$ este elementul neutru al legii.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție $x \circ y = 4 x + 5 y + 11$ , definită pe $R$ . Verificați dacă legea este asociativă.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție asociativă $x \circ y = x y - 28 x - 28 y + 812$ , definită pe $R$ . a) Arătați că $28 \circ x = 28$ , pentru orice număr real $x$ . b) Calculați $1 \circ 2 \circ 3 \circ \dots \circ 2027$ .

12. (Sinteză.) Determinați numerele reale $a$ , $b$ și $c$ pentru care legea $x \circ y = a x + b y + c$ este comutativă și are elementul neutru $e = 9$ . Apoi calculați $20 \circ (- 4)$ și simetricul lui 20.

Răspunsuri și verificări

1. $y \circ x = 3 y + 3 x - 41 = 3 x + 3 y - 41 = x \circ y$ , deci e comutativă. $12 \circ (- 5) = 36 - 15 - 41 = - 20$ . Verificare: $(- 5) \circ 12 = - 15 + 36 - 41 = - 20$ .

2. $(x \circ y) \circ z = (x + y + 18) + z + 18 = x + y + z + 36$ și $x \circ (y \circ z) = x + (y + z + 18) + 18 = x + y + z + 36$ . Egale, deci asociativă. Verificare: $(1 \circ 2) \circ 3 = 21 \circ 3 = 42$ și $1 \circ (2 \circ 3) = 1 \circ 23 = 42$ .

3. Din $x + e - 31 = x$ rezultă $e = 31$ , iar $31 + x - 31 = x$ . Simetricul lui 40 verifică $40 + x^{'} - 31 = 31$ , deci $x^{'} = 22$ . Verificare: $40 \circ 22 = 31$ .

4. $1 \circ 2 = 3 + 2 - 8 = - 3$ , dar $2 \circ 1 = 6 + 1 - 8 = - 1$ : nu e comutativă. $(1 \circ 2) \circ 3 = (- 3) \circ 3 = - 14$ , iar $1 \circ (2 \circ 3) = 1 \circ 1 = - 4$ : nu e asociativă. Verificare: $2 \circ 3 = 6 + 3 - 8 = 1$ .

5. a) $40 \circ 25 = 10$ , apoi $10 \circ 10 = 1$ %; pe cealaltă grupare, $25 \circ 10 = 2, 5$ , apoi $40 \circ 2, 5 = 1$ %. Oricum ai grupa, obții $\frac{x y z}{10000}$ , deci legea e asociativă. b) 100: $x \circ 100 = x$ , adică un „filtru” care lasă să treacă tot. c) $0 \circ x = x \circ 0 = 0$ , deci șirul dă 0 %. d) Din $\frac{40 x ^{'}}{100} = 100$ rezultă $x^{'} = 250$ , în afara lui $M$ , deci 40 nu are simetric. Verificare: din 10 000 de particule trec 4 000, apoi 1 000, apoi 100, adică 1 %.

6. a) $0 \circ 0 = 0$ , $0 \circ 1 = 1 \circ 0 = 1$ și $1 \circ 1 = 0$ . b) $y \circ x = y + x - 2 y x = x \circ y$ , iar $x \circ 0 = x + 0 - 0 = x$ . c) $1 \circ 1 = 0$ , deci simetricul lui 1 este chiar 1: încă o comutare readuce becul cum era. d) $(1 \circ 1) \circ 1 = 0 \circ 1 = 1$ și $1 \circ (1 \circ 1) = 1 \circ 0 = 1$ : becul e aprins. Verificare: trei întrerupătoare sus, un număr impar, dau becul aprins, ca un singur întrerupător sus.

7. a) $3 \circ 4 = 9 + 16 = 5$ mm/s, apoi $5 \circ 12 = 25 + 144 = 13$ mm/s. Pe cealaltă grupare, $4 \circ 12 = 160$ , iar $3 \circ 160 = 9 + 160 = 13$ mm/s. b) O sursă de 0 mm/s: $x \circ 0 = x^{2} = x$ . c) Din $3 \circ x^{'} = 0$ ar rezulta $9 + x^{'2} = 0$ , imposibil; doar 0 are simetric. Verificare: $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ .

8. a) $150 \circ 90 = 300 + 90 - 24 = 366$ lei, iar $90 \circ 150 = 180 + 150 - 24 = 306$ lei. b) $366 \neq = 306$ : nu e comutativă. c) Presupunem neutrul $e$ . Din $0 \circ e = 0$ rezultă $e - 24 = 0$ , adică $e = 24$ . Din $e \circ 0 = 0$ rezultă $2 e - 24 = 0$ , adică $e = 12$ . Valorile diferă, deci nu există element neutru. Verificare: $24 \circ 0 = 24$ , nu 0.

9. a) $(x - 31) (y - 31) + 31 = x y - 31 x - 31 y + 961 + 31 = x y - 31 x - 31 y + 992$ . b) $x \circ 32 = (x - 31) \cdot 1 + 31 = x$ . Formula nu se schimbă când schimbi $x$ cu $y$ , deci legea e comutativă și rezultă și $32 \circ x = x$ . Verificare: $7 \circ 32 = 7$ și $32 \circ 7 = 7$ .

10. $(x \circ y) \circ z = 4 (4 x + 5 y + 11) + 5 z + 11 = 16 x + 20 y + 5 z + 55$ . $x \circ (y \circ z) = 4 x + 5 (4 y + 5 z + 11) + 11 = 4 x + 20 y + 25 z + 66$ . Pentru $x = 1$ , $y = 0$ , $z = 0$ obții 71 și 70, deci legea nu este asociativă. Verificare: $1 \circ 0 = 15$ , $15 \circ 0 = 71$ ; $0 \circ 0 = 11$ , $1 \circ 11 = 70$ .

11. a) $28 \circ x = 28 x - 784 - 28 x + 812 = 28$ . b) Legea e asociativă, iar în șir apare 28. Grupezi $(1 \circ \dots \circ 27) \circ 28 \circ (29 \circ \dots \circ 2027)$ : unit cu 28, primul grup dă 28, apoi $28 \circ (\dots) = 28$ . Rezultatul este 28. Verificare: $(1 \circ 28) \circ 3 = 28 \circ 3 = 28$ și $1 \circ (28 \circ 3) = 1 \circ 28 = 28$ .

12. Comutativitatea cere $a x + b y + c = a y + b x + c$ pentru orice $x$ și $y$ , deci $a = b$ . Neutrul 9 cere $a x + 9 a + c = x$ pentru orice $x$ , deci $a = 1$ și $9 a + c = 0$ , adică $c = - 9$ . Legea e $x \circ y = x + y - 9$ . Apoi $20 \circ (- 4) = 7$ . Simetricul lui 20 verifică $20 + x^{'} - 9 = 9$ , deci $x^{'} = - 2$ . Verificare: $20 \circ (- 2) = 9$ .

Așa vine la Bac M3

Din cele 83 de probe de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), 20 au cerut între 2013 și 2026 proprietăți ale unei legi de compoziție, mereu la problema a doua din Subiectul al II-lea, cu 22 de cerințe în total. Cea mai frecventă e calculul unui șir lung de compuneri, în 8 cerințe, urmată de elementul neutru, în 6, și de comutativitate, în 5. Patru cerințe reale, din probe diferite:

Simularea din 2026, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: legea e dată desfăcut și trebuie să arăți că numărul 4 este elementul ei neutru; îl tratezi cu pasul 3 din Metodă, iar în baremul oficial 2 puncte merg pentru egalitatea cu 4 de o parte, iar 3 pentru cealaltă parte și concluzie.
Iunie 2024, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: se cere să demonstrezi comutativitatea; folosești pașii 2 și 3 din Metodă, iar baremul oficial dă 2 puncte pentru calculul lui $y \circ x$ și 3 pentru compararea cu $x \circ y$ .
Proba specială din 2020, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: trebuie arătat că legea nu are element neutru; rezolvarea stă tot în pasul 3, cu 3 puncte în baremul oficial pentru presupunerea unui neutru și cele două ecuații în el, plus 2 pentru contradicție.
Simularea din 2019, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: legea e dată ca asociativă și se cere un șir de la 1 la 2019; aplici pasul 4 din Metodă, iar baremul oficial acordă 2 puncte pentru elementul care absoarbe, 4, și 3 pentru gruparea ce duce la rezultat.

Exercițiile 9 și 11 reiau două dintre aceste forme, elementul neutru și șirul lung, iar exercițiul 10 exersează asociativitatea, cerută o singură dată din cele 22. Cerința despre simetric e în lecția despre grupul ℤₙ, pe turele unei recepții.

Greșeli care costă puncte

Verifici proprietatea pe două-trei perechi de numere → o egalitate numerică nu dovedește una pentru orice $x$ și $y$ ; cum o prinzi: calculezi cu litere și compari termenii.
Verifici elementul neutru doar pe o parte → la legea service-ului, $e$ iese 24 dintr-o egalitate și 12 din cealaltă; cum o prinzi: scrii și $e \circ x = x$ .
Presupui asociativitatea → la reducerea la pachet, 105,12 față de 108,63 lei; cum o prinzi: calculezi ambele grupări pe un exemplu.
Iei elementul care absoarbe drept neutru → $5 \circ 27 = 27$ , nu 5; cum o prinzi: pui un număr oarecare în $x \circ e = x$ .
Cauți simetricul într-o mulțime greșită → simetricul lui 83 e $- 53$ , în afara valorilor de comenzi; cum o prinzi: verifici dacă $x^{'}$ aparține mulțimii date, nu doar dacă ecuația are soluție.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Verificarea proprietăților unei legi de compoziție se cere la Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 20 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

De ce scad 30 de lei, nu 15, când unesc trei comenzi în același colet? Fiindcă sunt două unioni, iar fiecare unire plătește taxa de livrare o singură dată. Trei comenzi aduc trei taxe de 15 lei, dar coletul are una singură, deci rămân de scăzut două taxe: $2 \cdot 15 = 30$ de lei. Pentru $n$ comenzi, se scad $n - 1$ taxe.

Ce se schimbă dacă taxa de livrare ar fi de 18 lei, nu de 15? Legea devine $x \circ y = x + y - 18$ , iar elementul neutru, comanda formată numai din taxă, devine 18. Comenzile A, B și C ajung la $281 - 36 = 245$ de lei, în orice grupare. Legea rămâne comutativă și asociativă, fiindcă se schimbă doar constanta din formulă.

Poate fi comanda de 15 lei, doar taxa, unită cu cea de 83 de lei? Da, iar suma nu se schimbă: $15 \circ 83 = 15 + 83 - 15 = 83$ , la fel ca $83 \circ 15$ . Asta înseamnă că 15 e element neutru. Contabila poate adăuga oricând o asemenea comandă într-un șir de comenzi, fără să modifice factura consolidată a clientului.

De ce nu are 83 de lei simetric, deși ecuația are soluție? Ecuația $83 + x^{'} - 15 = 15$ are soluția $- 53$ , dar o comandă nu poate avea valoare negativă: mulțimea e $[15; + \infty)$ . Pe $R$ , numărul 83 ar avea simetricul $- 53$ . De aceea verifici mereu dacă simetricul aflat aparține mulțimii date, nu doar dacă ecuația se rezolvă.

Care cerință a temei a fost cea mai numeroasă la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În probele oficiale 2013–2026, cea mai numeroasă e calculul unui șir lung de compuneri, în 8 din cele 22 de cerințe ale temei. Urmează elementul neutru, în 6, comutativitatea, în 5, apoi asociativitatea, absența elementului neutru și simetricul, câte una. Pentru șirurile lungi căutați elementul care absoarbe.

Trebuie să arăt asociativitatea la fiecare lege dată la examen? Nu întotdeauna: în 11 dintre cele 54 de probe cu lege de compoziție, enunțul spune chiar că legea e asociativă, iar atunci o iei ca dată și nu pui paranteze. Dacă enunțul nu spune și cerința e un șir lung, verifici asociativitatea, ca la exercițiul 10.