Cât este ∫₀^(π/2)sin³xcos x dx?

Cu t=sin x avem dt=cos x dx, iar limitele devin 0 și 1. Integrala se reduce la ∫₀¹t³ dt= 1/4. Factorul cos x e deja prezent, deci nu trebuie reparat nimic.

Cum integrez (ln x)/x de la 1 la e?

Notezi t=ln x, cu dt= dx/x; limitele devin ln1=0 și ln e=1. Integrala este ∫₀¹t dt= 1/2. Factorul 1/x din integrand este chiar derivata logaritmului. După schimbarea limitelor nu se mai revine la variabila x.

Cum calculez volumul scurs dintr-un debit de forma t/(t²+1)?

Dacă debitul este t/(t²+1) L/min pe [0,3], notezi s=t²+1, cu t dt= ds/2, iar limitele devin 1 și 10. Volumul este 1/2ln10≈1,15 L. Rezultatul iese în litri, fiindcă debitul se măsoară în litri pe minut.

Cum repar factorul care lipsește la x √(x²+5)?

Cu t=x²+5 derivata este 2x, dar în integrand apare doar x, deci x dx= dt/2. Pe [0,2] limitele devin 5 și 9, iar integrala este 1/2∫₅⁹ √t dt= (27-5 √5)/3≈5,27. Rezultatul exact se păstrează până la final, iar aproximarea se scrie doar la sfârșit.

Cât este integrala din 2x·e^(x²) de la 0 la 1?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Schimbarea de variabilă

Rezultatul este $e - 1$ . Notezi $t = x^{2}$ , deci $d t = 2 x d x$ , iar factorul $2 x$ se află deja în integrand. Limitele se schimbă odată cu variabila: pentru $x = 0$ rezultă $t = 0$ , pentru $x = 1$ rezultă $t = 1$ . Integrala devine $\int_{0}^{1} e^{t} d t = e - 1 \approx 1, 72$ . Verificare: $e^{x^{2}}$ are derivata $2 x e^{x^{2}}$ , deci $e^{x^{2}}_{0}^{1} = e - 1$ . Metoda nu cere revenirea la $x$ la sfârșit.

A doua tehnică din programă întoarce pe dos regula de derivare a compunerilor: $\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$ , cu $f$ continuă pe un interval $J$ și cu $u$ derivabilă, de derivată continuă, ale cărei valori cad toate în $J$ . Monotonia lui $u$ nu figurează printre ipoteze, nici injectivitatea: inversa nu apare nicăieri în egalitate.

Trei mișcări, într-o ordine fixă. Se scrie ce anume primește litera $t$ , împreună cu $d t$ ; se calculează numaidecât valorile pe care le ia noua variabilă în capetele vechi; abia la urmă se rescrie ce stă sub semnul integralei. Cine inversează ultimele două mișcări are în față o expresie aparent impecabilă și nimic care să-l trimită înapoi spre limite.

Unde se oprește. Rezultatul fiind o valoare, integrala în $t$ e completă și desfacerea notației nu mai are rost; o expresie în $x$ evaluată între capete care aparțin lui $t$ dă un număr fără înțeles. Când $u$ descrește, capetele vin în ordine descrescătoare — ori le păstrezi așa, ori le muți odată cu semnul.

Proba scurtă. După înlocuire, variabila veche nu mai are voie să apară. Împarte factorul liber la $u^{'} (x)$ : ieșind o constantă, ea se scoate în față; rămânând o expresie cu $x$ , alegerea cade. Un număr care lipsește se poate fabrica, o funcție care lipsește nu.

De reținut

$\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$
se schimbă variabila și limitele în același pas
o constantă care lipsește se repară prin împărțire, o funcție nu

Greșeala tipică

Se schimbă variabila, dar se păstrează limitele lui $x$ ; la $\int_{0}^{2} x x^{2} + 5 d x$ limitele noi sunt $5$ și $9$ , nu $0$ și $2$ .

Exerciții din această mini-lecție

În $\int_{1}^{4} \frac{x}{x ^{2} + 10} d x$ se notează $t = x^{2} + 10$ . Ce devin cele două limite de integrare?
- a) $1$ și $4$
- b) $11$ și $26$
- c) $10$ și $26$
- d) $2$ și $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11$ și $26$

Capetele noi sunt $u (1) = 1^{2} + 10 = 11$ și $u (4) = 4^{2} + 10 = 26$ . Varianta a) păstrează valorile lui $x$ , care nu mai au ce căuta sub semnul integralei în $t$ ; c) înlocuiește numai capătul de sus; d) dublează capetele, confundând $u$ cu derivata ei.
Cât este $\int_{0}^{2} (5 x + 2)^{3} d x$ ?
- a) $1036$
- b) $5180$
- c) $\frac{5184}{5}$
- d) $\frac{4}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $1036$

Cu $t = 5 x + 2$ avem $d x = \frac{d t}{5}$ , iar limitele devin $2$ și $12$ : $\frac{1}{5} \int_{2}^{12} t^{3} d t = \frac{20736 - 16}{20} = 1036$ . Varianta b) uită factorul $\frac{1}{5}$ , c) sare peste valoarea din capătul de jos, iar d) păstrează limitele vechi.
Cât este $\int_{0}^{5} \frac{x}{x ^{2} + 11} d x$ ?
- a) $6 + 11$
- b) $\frac{6 - 11}{2}$
- c) $6 - 11$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6 - 11$

Cu $t = x^{2} + 11$ avem $x d x = \frac{d t}{2}$ , iar limitele devin $11$ și $36$ : $\frac{1}{2} \int_{11}^{36} \frac{d t}{t} = t_{11}^{36} = 6 - 11$ . Varianta a) scade în ordine inversă, b) aplică factorul $\frac{1}{2}$ a doua oară, după ce el a fost deja consumat de primitiva $2 t$ , iar d) păstrează limitele vechi.

Întrebări conexe

Cât este $\int_{0}^{π /2} sin^{3} x cos x d x$ ?

Cu $t = sin x$ avem $d t = cos x d x$ , iar limitele devin $0$ și $1$ . Integrala se reduce la $\int_{0}^{1} t^{3} d t = \frac{1}{4}$ . Factorul $cos x$ e deja prezent, deci nu trebuie reparat nimic.

Cum integrez $\frac{l n x}{x}$ de la $1$ la $e$ ?

Notezi $t = ln x$ , cu $d t = \frac{d x}{x}$ ; limitele devin $ln 1 = 0$ și $ln e = 1$ . Integrala este $\int_{0}^{1} t d t = \frac{1}{2}$ . Factorul $\frac{1}{x}$ din integrand este chiar derivata logaritmului. După schimbarea limitelor nu se mai revine la variabila $x$ .

Cum calculez volumul scurs dintr-un debit de forma $\frac{t}{t ^{2} + 1}$ ?

Dacă debitul este $\frac{t}{t ^{2} + 1}$ L/min pe $[0, 3]$ , notezi $s = t^{2} + 1$ , cu $t d t = \frac{d s}{2}$ , iar limitele devin $1$ și $10$ . Volumul este $\frac{1}{2} ln 10 \approx 1, 15$ L. Rezultatul iese în litri, fiindcă debitul se măsoară în litri pe minut.

Ce fac dacă noua limită de sus iese mai mică decât cea de jos?

Păstrezi ordinea așa cum a ieșit sau o inversezi, schimbând semnul. La $\int_{0}^{1} (1 - x)^{4} d x$ , cu $t = 1 - x$ și $d t = - d x$ , limitele devin $1$ și $0$ : $- \int_{1}^{0} t^{4} d t = \int_{0}^{1} t^{4} d t = \frac{1}{5}$ . Ambele variante dau același rezultat, dacă semnul este urmărit corect.

Cum repar factorul care lipsește la $x x^{2} + 5$ ?

Cu $t = x^{2} + 5$ derivata este $2 x$ , dar în integrand apare doar $x$ , deci $x d x = \frac{d t}{2}$ . Pe $[0, 2]$ limitele devin $5$ și $9$ , iar integrala este $\frac{1}{2} \int_{5}^{9} t d t = \frac{27 - 5 5}{3} \approx 5, 27$ . Rezultatul exact se păstrează până la final, iar aproximarea se scrie doar la sfârșit.

Oamenii mai întreabă și: integrala din 2x e la x pătrat · schimbare de variabilă cu e la x pătrat · substituția t egal x pătrat · integrala lui x e la x la a doua

Cât este integrala din 2x·e^(x²) de la 0 la 1?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este ∫0π/2​sin3xcosxdx?

Cum integrez xlnx​ de la 1 la e?

Cum calculez volumul scurs dintr-un debit de forma t2+1t​?

Ce fac dacă noua limită de sus iese mai mică decât cea de jos?

Cum repar factorul care lipsește la xx2+5​?

Continuă cu

Cât este $\int_{0}^{π /2} sin^{3} x cos x d x$ ?

Cum integrez $\frac{l n x}{x}$ de la $1$ la $e$ ?

Cum calculez volumul scurs dintr-un debit de forma $\frac{t}{t ^{2} + 1}$ ?

Cum repar factorul care lipsește la $x x^{2} + 5$ ?