Razele focale ale elipsei

Formulă din tema Conice, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Razele focale sunt distanțele de la un punct $M(x,y)$ al elipsei la cele două focare; ele depind numai de abscisa punctului, nu și de ordonată. Suma lor este $2a$, ceea ce reconfirmă definiția. Valorile extreme se ating în vârfurile de pe axa mare: distanța minimă la un focar este $a-c=a(1-e)$, iar cea maximă $a+c=a(1+e)$ — la orbitele planetare acestea sunt punctele cele mai apropiate și cele mai depărtate de Soare. Formulele scutesc de radicali în orice problemă în care apar distanțe la focare.

Exemplu: Pentru $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ (deci $a=5$, $e=\frac{3}{5}$) și $M\left(3,\frac{16}{5}\right)$: $MF=5-\frac{3}{5}\cdot 3=\frac{16}{5}$, $M{F}^{\prime }=5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$, cu suma $10=2a$ ✓.