Terminologia înmulțirii: factor și produs

Bună, micule matematician! Astăzi învățăm cuvintele speciale ale înmulțirii. Așa cum fiecare prieten al tău are un nume, și numerele dintr-o înmulțire au nume frumoase: ele se numesc factori, iar rezultatul lor se numește produs. Hai să le cunoaștem împreună, pe îndelete, cu multe exemple vesele!

Ce vei învăța

• Vei ști să numești corect numerele dintr-o înmulțire: ele se cheamă factori.
• Vei ști că rezultatul unei înmulțiri se numește produs.
• Vei ști să recunoști semnul înmulțirii (·) și să citești corect o înmulțire.
• Vei ști să arăți cu degetul care este factorul și care este produsul într-o operație.
• Vei ști să folosești aceste cuvinte noi când vorbești despre o problemă.

Hai să descoperim împreună

În lecția trecută am învățat ce înseamnă înmulțirea: ea este adunarea repetată de termeni egali. Dacă vrei să-ți reamintești, poți reciti lecția Înmulțirea: adunarea repetată de termeni egali. Astăzi facem un pas mai departe: dăm nume numerelor din înmulțire.

Numele au putere

Gândește-te la familia ta. Tu ai un nume. Mama are un nume. Frățiorul sau bunica au nume. Când spui „mama", toată lumea știe despre cine vorbești. La fel se întâmplă în matematică: ca să vorbim ușor despre numere, le dăm nume.

La adunare, deja cunoști numele: numerele care se adună se cheamă termeni, iar rezultatul se cheamă sumă sau total. Ai învățat asta în lecția Terminologia adunării și a scăderii. Acum facem același lucru, dar pentru înmulțire.

Semnul înmulțirii

Mai întâi, să ne uităm la semnul înmulțirii. El se scrie ca un punct ridicat, așa: ·. Iată o înmulțire:

$$3\cdot 4=12$$

Acel punct mic, ridicat între cifre, este semnul înmulțirii. Când îl vezi, știi că trebuie să înmulțești. În unele cărți vei mai vedea și semnul „x", care înseamnă tot înmulțire. Dar la școală noi folosim punctul ridicat (·), ca să nu îl confundăm cu litera x.

Atenție! Punctul înmulțirii este ridicat, stă la mijlocul rândului, nu jos ca punctul de la sfârșitul propoziției. Compară:

• Punct de propoziție (stă jos): „Mă joc."
• Punct de înmulțire (stă la mijloc, ridicat): 2 · 5.

Cum citim o înmulțire

Înmulțirea $3\cdot 4=12$ se citește în mai multe feluri, toate corecte:

• „trei ori patru egal doisprezece";
• „trei înmulțit cu patru este egal cu doisprezece";
• „trei înmulțit cu patru fac doisprezece".

Cel mai des spunem „ori": trei ori patru. Cuvântul „ori" ne arată de câte ori repetăm. „Trei ori patru" înseamnă: îl iau pe 4 de trei ori, adică $4+4+4=12$.

Numerele care se înmulțesc se numesc FACTORI

Acum vine cuvântul cel mai important al lecției. Privește din nou:

$$3\cdot 4=12$$

Numerele care se înmulțesc — adică 3 și 4 — se numesc factori.

• 3 este primul factor.
• 4 este al doilea factor.

Cuvântul „factor" este nou pentru tine, dar e ușor de ținut minte. Factorii sunt cei care fac munca: ei se înmulțesc ca să dea rezultatul. Imaginează-ți doi muncitori harnici, 3 și 4, care lucrează împreună. Ei sunt factorii.

Reține regula de aur:

Numerele care se înmulțesc se numesc factori.

Într-o înmulțire simplă sunt doi factori: unul în stânga semnului · și unul în dreapta lui.

Rezultatul înmulțirii se numește PRODUS

Și rezultatul are un nume. Privește:

$$3\cdot 4=12$$

Numărul 12, care este rezultatul înmulțirii, se numește produs.

Reține și această regulă de aur:

Rezultatul înmulțirii se numește produs.

De ce „produs"? Pentru că cei doi factori harnici produc (fac, creează) un rezultat. Factorii lucrează, iar produsul este ce iese din munca lor. Ca atunci când o albină și o floare „produc" miere — tot „produs" se cheamă!

Punem totul la un loc

Acum cunoști toate numele dintr-o înmulțire. Hai să le așezăm într-un tablou:

$$\underset{\text{factor}}{\underbrace{3}}\cdot \underset{\text{factor}}{\underbrace{4}}=\underset{\text{produs}}{\underbrace{12}}$$

• 3 — factor
• 4 — factor
• 12 — produs

Și citim cu glas tare: „Trei ori patru egal doisprezece. Trei și patru sunt factorii, iar doisprezece este produsul."

O poveste scurtă: brutăria celor doi factori

Era odată o brutărie veselă. Acolo lucrau doi pitici tare harnici. Pe unul îl chema Factorel cel Mare, iar pe celălalt Factorel cel Mic. Ei nu coceau singuri, ci mereu împreună.

Într-o zi, Factorel cel Mare a spus: „Hai să facem 5 tăvi cu prăjituri!" Iar Factorel cel Mic a răspuns: „Bine, dar pe fiecare tavă punem câte 2 prăjituri!"

Așa au lucrat: 5 tăvi, fiecare cu 2 prăjituri. Câte prăjituri au ieșit?

$$5\cdot 2=10$$

Cei doi factori, 5 și 2, au produs 10 prăjituri delicioase. Iată de ce rezultatul se cheamă produs: el este ceea ce produc factorii când lucrează împreună!

Atenție: cuvintele se schimbă cu operația

E foarte important să nu amesteci cuvintele. Fiecare operație are numele ei:

Așadar, dacă vezi semnul ·, numerele se numesc factori, iar rezultatul produs. Ține minte: factor și produs merg împreună cu înmulțirea, la fel cum termen și sumă merg împreună cu adunarea.

Cum aflăm produsul

Ca să afli produsul, faci înmulțirea, adică aduni de mai multe ori. De exemplu, ca să afli produsul lui 4 · 3, te gândești: „4 luat de 3 ori", adică $4+4+4=12$. Deci produsul este 12.

În lecțiile următoare vei învăța tablele înmulțirii și vei afla produsele tot mai repede, fără să mai aduni de fiecare dată. Vei începe cu Tabla înmulțirii cu 2. Dar astăzi cel mai important este să știi numele: factor, factor, produs.

Mai exersăm cu numele

Hai să ne uităm la încă trei înmulțiri și să le „botezăm" împreună. La fiecare, întreabă-te: care sunt factorii? Care este produsul?

Prima: $2\cdot 7=14$. Factorii sunt 2 și 7. Produsul este 14. Citim: „doi ori șapte egal paisprezece".

A doua: $8\cdot 1=8$. Factorii sunt 8 și 1. Produsul este 8. Citim: „opt ori unu egal opt".

A treia: $5\cdot 5=25$. Aici cei doi factori sunt la fel: 5 și 5. Produsul este 25. Citim: „cinci ori cinci egal douăzeci și cinci". Vezi? Chiar dacă factorii sunt egali, tot factori se cheamă, iar rezultatul rămâne produs.

Un mic truc ca să nu uiți

Ca să ții minte cuvintele, gândește-te așa:

• Factor începe cu litera F, ca în „Fac munca". Factorii fac înmulțirea.
• Produs începe cu litera P, ca în „Primesc rezultatul". Produsul este ce primim la final.

Și mai e un truc: produsul stă mereu lângă semnul =, după el. Dacă te uiți unde e semnul egal, numărul de după el este produsul. Numerele dinaintea semnului egal sunt factorii.

Unde întâlnim factori și produs în viața de zi cu zi

Înmulțirea, cu factorii și produsul ei, este peste tot în jurul nostru:

• Un cofraj de ouă are 2 rânduri a câte 5 ouă: factorii sunt 2 și 5, produsul este 10 ouă.
• O tabletă de ciocolată are 3 rânduri a câte 4 pătrățele: factorii sunt 3 și 4, produsul este 12 pătrățele.
• Pe o stradă sunt 4 case, fiecare cu câte 2 ferestre la etaj: factorii sunt 4 și 2, produsul este 8 ferestre.

De fiecare dată când vezi obiecte așezate în grupe egale, poți scrie o înmulțire. Iar acum știi și cum se numesc numerele din ea: factori și produs.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem factorii și produsul

Privim înmulțirea: $6\cdot 2=12$.

Cum gândim:

• Numerele care se înmulțesc sunt 6 și 2. Ele se numesc factori.
• Rezultatul este 12. El se numește produs.

Răspuns: factorii sunt 6 și 2; produsul este 12. Citim: „șase ori doi egal doisprezece".

Exemplul 2 — Citim corect o înmulțire

Avem scris: $4\cdot 5=20$.

Cum gândim: primul factor este 4, al doilea factor este 5, semnul · înseamnă „ori", iar 20 este produsul.

Citim cu glas tare: „patru ori cinci egal douăzeci". Sau: „patru înmulțit cu cinci este egal cu douăzeci".

Răspuns: se citește „patru ori cinci egal douăzeci".

Exemplul 3 — Aflăm produsul prin adunare repetată

Cât este produsul lui $3\cdot 5$?

Cum gândim: „3 ori 5" înseamnă că îl iau pe 5 de 3 ori. $$5+5+5=15$$

Răspuns: produsul lui 3 · 5 este 15. Factorii sunt 3 și 5.

Exemplul 4 — Numim numerele într-o problemă

Maria pune în 4 vaze câte 2 lalele. Scriem înmulțirea și numim numerele.

Cum gândim: avem 4 vaze, fiecare cu 2 lalele. Scriem: $4\cdot 2=8$.

• Factorii sunt 4 și 2 (ei se înmulțesc).
• Produsul este 8 (atâtea lalele are Maria în total).

Răspuns: Maria are 8 lalele. Factorii sunt 4 și 2, iar produsul este 8.

Exemplul 5 — Completăm cu numele corect

Completează: În înmulțirea $7\cdot 1=7$, numărul 7 din rezultat se numește ______ .

Cum gândim: rezultatul unei înmulțiri se numește mereu produs. Aici rezultatul este 7.

Răspuns: se numește produs. (Factorii sunt 7 și 1.)

Exemplul 6 — Adevărat sau fals

Spune dacă este adevărat: „În înmulțirea 2 · 9 = 18, numerele 2 și 9 se numesc termeni."

Cum gândim: la înmulțire numerele care se înmulțesc NU se numesc termeni (termenii sunt la adunare). Ele se numesc factori. Deci propoziția este falsă.

Răspuns: Fals. Corect este: 2 și 9 se numesc factori, iar 18 este produsul.

Exemplul 7 — Construim o înmulțire din nume

Scrie o înmulțire care are factorii 5 și 2, apoi spune care este produsul.

Cum gândim: factorii sunt numerele care se înmulțesc, deci punem 5 și 2 de o parte și de alta a semnului ·. Scriem: $5\cdot 2=?$. Aflăm produsul: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 (sau 5 + 5 = 10).

Răspuns: înmulțirea este $5\cdot 2=10$. Produsul este 10.

Exemplul 8 — Găsim greșeala

Andrei a scris: „În 4 · 6 = 24, produsul este 4." Are dreptate?

Cum gândim: produsul este rezultatul, numărul de după semnul =. Aici rezultatul este 24, nu 4. Numărul 4 este un factor, nu produsul.

Răspuns: Andrei a greșit. Produsul este 24, iar 4 și 6 sunt factorii.

Să exersăm

Ia un creion și hai la treabă! Exercițiile sunt de la ușor la mai greu.

1. Scrie cum se numesc numerele dintr-o înmulțire. Numerele care se înmulțesc se numesc ______ , iar rezultatul se numește ______ .

2. În înmulțirea $5\cdot 3=15$, scrie cine sunt factorii și care este produsul.

3. Citește cu glas tare și scrie în cuvinte: $2\cdot 6=12$.

4. Încercuiește semnul înmulțirii din șirul de semne: $+\cdot -=$

5. Completează cu „factor" sau „produs":

• a) În 8 · 2 = 16, numărul 8 este un ______ .
• b) În 8 · 2 = 16, numărul 16 este ______ .
• c) În 8 · 2 = 16, numărul 2 este un ______ .

6. Adevărat (A) sau fals (F)?

• a) Rezultatul înmulțirii se numește produs.
• b) Numerele care se înmulțesc se numesc termeni.
• c) Semnul înmulțirii este punctul ridicat (·).

7. Află produsul prin adunare repetată: $4\cdot 2=?$

8. Află produsul prin adunare repetată: $3\cdot 6=?$

9. Potrivește fiecare înmulțire cu produsul ei (trage o linie):

• a) 2 · 5 — ( ) 6
• b) 3 · 2 — ( ) 10
• c) 4 · 5 — ( ) 20

10. Scrie înmulțirea care are factorii 6 și 3, apoi află produsul.

11. În înmulțirea $9\cdot 2=18$, scrie:

• a) primul factor: ______
• b) al doilea factor: ______
• c) produsul: ______

12. Desenează 3 farfurii cu câte 2 biscuiți pe fiecare. Scrie înmulțirea potrivită și spune care este produsul.

spațiu gol cu trei cercuri (farfurii) de completat

13. Mică problemă: Într-o cutie sunt 5 rânduri de creioane, câte 2 creioane pe fiecare rând. Scrie înmulțirea, numește factorii și produsul.

14. Găsește produsul: $5\cdot 4=?$ . Apoi scrie o propoziție folosind cuvintele „factori" și „produs".

15. Încercuiește produsul (rezultatul) din fiecare înmulțire:

• a) 2 · 7 = 14
• b) 3 · 3 = 9
• c) 6 · 2 = 12

16. Completează tabelul:

17. Mică problemă mai grea: La cofetărie sunt 4 cutii cu prăjituri. În fiecare cutie sunt câte 5 prăjituri. Câte prăjituri sunt în total? Scrie înmulțirea și spune care este produsul.

18. Provocare: Doi factori se înmulțesc și dau produsul 10. Scrie două înmulțiri diferite care au produsul 10. (Indiciu: gândește-te la 2 · 5 și 1 · 10.)

19. Găsește greșeala și corecteaz-o: „În 3 · 4 = 12, numerele 3 și 4 se numesc produs."

20. Scrie în cuvinte ce vezi: $7\cdot 2=14$ . Folosește cuvântul „ori".

21. Completează cu numărul potrivit: O înmulțire are primul factor 6 și produsul 12. Care este al doilea factor? (Indiciu: 6 ori cât fac 12?)

22. Mică problemă: Bunica pune pe masă 3 coșulețe, fiecare cu câte 6 nuci. Scrie înmulțirea, numește factorii și află produsul. Câte nuci sunt în total?

Răspunsuri și explicații

1. Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul se numește produs. (Acestea sunt cele două reguli de aur ale lecției.)

2. Factorii sunt 5 și 3; produsul este 15. (5 și 3 se înmulțesc, 15 este rezultatul.)

3. Se scrie/citește: „doi ori șase egal doisprezece" (sau „doi înmulțit cu șase este egal cu doisprezece").

4. Se încercuiește · (punctul ridicat). Acela este semnul înmulțirii.

5. a) factor; b) produs; c) factor. (8 și 2 sunt factori, 16 este produsul.)

6. a) A (adevărat); b) F (fals — la înmulțire se numesc factori, nu termeni); c) A (adevărat).

7. $4\cdot 2=4+4=8$. Produsul este 8.

8. $3\cdot 6=6+6+6=18$. Produsul este 18. (3 ori 6 înseamnă 6 luat de 3 ori.)

9. a) 2 · 5 = 10; b) 3 · 2 = 6; c) 4 · 5 = 20. (Verificare: 5+5=10; 2+2+2=6; 5+5+5+5=20.)

10. Înmulțirea este $6\cdot 3=18$. Produsul este 18. (6 luat de 3 ori: 6+6+6=18.)

11. a) primul factor: 9; b) al doilea factor: 2; c) produsul: 18.

12. Înmulțirea este $3\cdot 2=6$ (sau 3 farfurii × 2 biscuiți). Produsul este 6. (Desenul are 3 farfurii cu câte 2 biscuiți: 2+2+2=6.)

13. Înmulțirea: $5\cdot 2=10$. Factorii sunt 5 și 2; produsul este 10 creioane. (5 rânduri a câte 2 creioane: 2+2+2+2+2=10.)

14. $5\cdot 4=20$. Produsul este 20. Propoziție-model: „Factorii 5 și 4 au produsul 20." (Sau: „În înmulțirea 5 · 4 = 20, factorii sunt 5 și 4, iar produsul este 20.")

15. Se încercuiește: a) 14; b) 9; c) 12. (Produsul este mereu numărul de după semnul =.)

16.

17. Înmulțirea: $4\cdot 5=20$. Produsul este 20 de prăjituri. (4 cutii a câte 5 prăjituri: 5+5+5+5=20.)

18. Două înmulțiri cu produsul 10: $2\cdot 5=10$ și $1\cdot 10=10$. (Mai există și $5\cdot 2=10$ și $10\cdot 1=10$ — oricare două răspunsuri corecte sunt bune.)

19. Greșeala: 3 și 4 NU se numesc produs, ci factori. Corect: „În 3 · 4 = 12, numerele 3 și 4 se numesc factori, iar 12 este produsul."

20. Se scrie: „șapte ori doi egal paisprezece". (Factorii 7 și 2 dau produsul 14.)

21. Al doilea factor este 2, pentru că 6 · 2 = 12. (6 luat de 2 ori: 6 + 6 = 12.)

22. Înmulțirea: $3\cdot 6=18$. Factorii sunt 3 și 6; produsul este 18 nuci. (3 coșulețe a câte 6 nuci: 6 + 6 + 6 = 18.)

De reținut

• Numerele care se înmulțesc se numesc factori. Într-o înmulțire simplă sunt doi factori.
• Rezultatul înmulțirii se numește produs.
• Semnul înmulțirii este punctul ridicat (·) și se citește „ori" sau „înmulțit cu".
• Schema de reținut: factor · factor = produs.
• La adunare avem termeni și sumă; la înmulțire avem factori și produs — nu le amesteca!

Greșeli frecvente

• „Numerele se numesc termeni." Nu! Termenii sunt la adunare. La înmulțire numerele se numesc factori. Ține minte: factor merge cu · (înmulțirea).
• „Rezultatul se numește sumă (sau total)." Nu! Suma este la adunare. La înmulțire rezultatul se numește produs.
• Confuzia dintre semne. Punctul înmulțirii (·) stă ridicat, la mijlocul rândului. Nu îl confunda cu semnul plus (+) și nici cu punctul de la sfârșitul propoziției, care stă jos.
• „Produsul este unul dintre numerele care se înmulțesc." Nu! Produsul este rezultatul, numărul de după semnul =. Factorii sunt numerele dinaintea semnului =.

Joc acasă

1. Joc: Eticheta corectă. Scrie pe o foaie mare o înmulțire simplă, de exemplu 3 · 2 = 6. Decupează trei cartonașe cu cuvintele „factor", „factor" și „produs". Copilul așază fiecare cartonaș sub numărul potrivit. Schimbați înmulțirea și repetați de mai multe ori.

2. Joc: Brutăria factorilor. Folosiți nasturi, boabe de fasole sau bezele. Părintele spune: „Fă 4 grămăjoare cu câte 2 boabe!" Copilul face grămăjoarele, le numără și spune: „Factorii sunt 4 și 2, iar produsul este 8." Schimbați numerele de fiecare dată.

3. Joc: Vânătoarea de semne. Căutați împreună prin reviste, ambalaje sau cărți semne de înmulțire (· sau x) și semne de adunare (+). De câte ori găsiți semnul înmulțirii, spuneți tare: „Aici sunt factori și produs!"

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce vocabularul înmulțirii (factor, produs) și semnul ·, în continuarea lecției despre înțelesul înmulțirii ca adunare repetată. Scopul nu este calculul rapid, ci ca cei mici să numească corect numerele.

Cum sprijiniți copilul:

• Verbalizați des. După fiecare înmulțire, cereți copilului să spună cu glas tare: „Factorii sunt ___ și ___, produsul este ___." Repetarea fixează cuvintele.
• Folosiți obiecte concrete. Așezați obiecte în grupe egale (rânduri de creioane, ouă în cofraj, mașinuțe în garaj) și legați mereu situația reală de înmulțire și de cuvintele noi.
• Faceți legătura cu adunarea. Reamintiți că la adunare avem termeni și sumă, iar acum la înmulțire avem factori și produs. Tabelul din lecție îi ajută enorm.
• Atenție la semn. Insistați că punctul înmulțirii este ridicat și se citește „ori". Mulți copii îl confundă cu punctul de propoziție.

Întrebări bune de pus:

• „Arată-mi cu degetul factorii. Acum arată produsul."
• „Cum se cheamă rezultatul unei înmulțiri?"
• „Citește înmulțirea asta cu glas tare."
• „Inventează tu o înmulțire și spune-mi cine sunt factorii."

Cum verificați înțelegerea: dacă, dintr-o înmulțire dată, copilul arată corect factorii și produsul și citește operația cu „ori", lecția este însușită. Dacă încă spune „termeni" sau „sumă", reluați comparația cu adunarea, cu calm. Următorul pas firesc este Comutativitatea înmulțirii.

Întrebări frecvente

Cum se numesc numerele care se înmulțesc la clasa a II-a? Numerele care se înmulțesc se numesc factori. Într-o înmulțire simplă, ca 3 · 4, avem doi factori: primul factor (3) și al doilea factor (4).

Ce este produsul la matematică în clasa a II-a? Produsul este rezultatul înmulțirii. De exemplu, în 3 · 4 = 12, numărul 12 este produsul. El se află după semnul egal și arată cât fac factorii înmulțiți.

Care este semnul înmulțirii și cum se citește? Semnul înmulțirii este punctul ridicat (·), scris la mijlocul rândului. Se citește „ori" sau „înmulțit cu". De exemplu, 2 · 5 se citește „doi ori cinci".

Care e diferența dintre termeni și factori? Termenii sunt numerele de la adunare (rezultatul lor este suma). Factorii sunt numerele de la înmulțire (rezultatul lor este produsul). Cuvintele se schimbă odată cu operația.

Câți factori are o înmulțire? O înmulțire simplă are doi factori: unul în stânga semnului · și unul în dreapta lui. Mai târziu vei întâlni și înmulțiri cu mai mulți factori, dar acum lucrăm cu doi.

Cum aflu produsul a doi factori? Faci înmulțirea, adică aduni de mai multe ori. De exemplu, produsul lui 4 · 3 se află astfel: 4 + 4 + 4 = 12. Deci produsul este 12. Mai târziu vei folosi tabla înmulțirii.

De ce se numește „produs" rezultatul înmulțirii? Pentru că cei doi factori, lucrând împreună, produc (fac) un rezultat. Acel rezultat se cheamă produs, la fel cum spunem că o fabrică produce ceva.

Pot să folosesc semnul „x" în loc de „·"? Da, semnul „x" înseamnă tot înmulțire și îl vei vedea în multe cărți. La școală în România folosim de obicei punctul ridicat (·), ca să nu îl confundăm cu litera x.