Evaluare finală

Matematică · Clasa a VIII-a

Exerciții

Exercițiul 1 — Intervale de numere reale (6 puncte)

Se dau intervalele $A=[-3,5)$ și $B=(1,8]$.

a) Determinați $A\cap B$. (2 p)

b) Determinați $A\cup B$. (2 p)

c) Determinați $A\setminus B$. (2 p)

Exercițiul 2 — Inecuații de gradul I (6 puncte)

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuațiile:

a) $3x-7\le 5x+1$ (3 p)

b) $\frac{2x-1}{3}>x-2$ (3 p)

Exercițiul 3 — Calcul algebric (7 puncte)

Calculați, folosind formulele de calcul prescurtat unde este cazul:

a) $(2x-3{)}^2-(2x+3{)}^2$ (3 p)

b) $(x+2)(x-2)-(x-1{)}^2$ (2 p)

c) $3(x-1)-2(2x+3)+5$ (2 p)

Exercițiul 4 — Descompuneri în factori (7 puncte)

Descompuneți în factori:

a) $x^2-9$ (1 p)

b) $x^2+6x+9$ (2 p)

c) $2x^2-8$ (2 p)

d) $x^2-5x+6$ (2 p)

Exercițiul 5 — Fracții algebrice (8 puncte)

Se dă expresia $E(x)=\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$.

a) Precizați domeniul de definiție al expresiei $E(x)$. (2 p)

b) Aduceți $E(x)$ la o singură fracție (același numitor), sub formă cât mai simplă. (4 p)

c) Calculați $E(3)$. (2 p)

Exercițiul 6 — Ecuații de gradul al II-lea (8 puncte)

a) Rezolvați ecuația $x^2-5x+6=0$. (3 p)

b) Rezolvați ecuația $2x^2-3x-2=0$. (3 p)

c) Fără a rezolva ecuația $x^2-7x+10=0$, precizați suma și produsul rădăcinilor ei (relațiile lui Viète). (2 p)

Exercițiul 7 — Funcții (8 puncte)

Se dă funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+4$.

a) Calculați $f(0)$, $f(2)$ și $f(-1)$. (3 p)

b) Reprezentați grafic funcția $f$, indicând punctele de intersecție cu axele de coordonate. (3 p)

c) Precizați panta (coeficientul unghiular) al dreptei asociate funcției și stabiliți dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare. (2 p)

Exercițiul 8 — Statistică (7 puncte)

Notele obținute de 20 de elevi la un test de matematică sunt date în tabelul de frecvențe:

a) Calculați media aritmetică a notelor clasei. (3 p)

b) Determinați nota cea mai frecventă (modulul seriei de date). (2 p)

c) Ce procent din elevi au obținut cel puțin nota 9? (2 p)

Exercițiul 9 — Paralelism și perpendicularitate în spațiu (7 puncte)

Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Precizați poziția dreptelor $AB$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (paralele, concurente sau necoplanare) și justificați răspunsul. (2 p)

b) Precizați poziția dreptelor $AB$ și $C{C}^{\prime }$ și justificați răspunsul. (2 p)

c) Arătați că $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ și precizați ce unghi formează $A{A}^{\prime }$ cu orice dreaptă conținută în planul $(ABC)$. (3 p)

Exercițiul 10 — Prisma (8 puncte)

O prismă dreaptă are ca bază un triunghi dreptunghic cu catetele $6\text{cm}$ și $8\text{cm}$, iar înălțimea prismei este $10\text{cm}$.

a) Calculați aria bazei. (2 p)

b) Calculați aria laterală a prismei. (3 p)

c) Calculați volumul prismei. (3 p)

Exercițiul 11 — Piramida (9 puncte)

O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura de $6\text{cm}$, iar apotema piramidei (apotema unei fețe laterale) este $5\text{cm}$.

a) Calculați aria bazei. (2 p)

b) Calculați aria laterală a piramidei. (3 p)

c) Calculați aria totală a piramidei. (2 p)

d) Calculați înălțimea piramidei. (2 p)

Exercițiul 12 — Corpuri rotunde (9 puncte)

Un con circular drept are raza bazei $r=3\text{cm}$ și generatoarea $g=5\text{cm}$.

a) Calculați înălțimea conului. (2 p)

b) Calculați aria laterală a conului. (2 p)

c) Calculați aria totală a conului. (2 p)

d) Calculați volumul conului. (3 p)

Barem și rezolvări

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota = punctaj total : 10.

Exercițiul 1 (6 p)

$A=[-3,5)$, $B=(1,8]$.

• a) $A\cap B=(1,5)$ — valorile comune trebuie să fie $>1$ (din $B$) și $<5$ (din $A$). (2 p)
• b) $A\cup B=[-3,8]$ — intervalele se suprapun (au parte comună), deci reuniunea este un singur interval, de la $-3$ (inclus, din $A$) la $8$ (inclus, din $B$). (2 p)
• c) $A\setminus B=[-3,1]$ — elementele din $A$ care nu sunt în $B$ (adică $x\le 1$, deoarece $B$ nu conține pe $1$). (2 p)

Exercițiul 2 (6 p)

• a) $3x-7\le 5x+1\Rightarrow -2x\le 8\Rightarrow x\ge -4$ (la împărțirea cu $-2$ inegalitatea se inversează). Soluție: $x\in [-4,+\infty )$. (3 p)
• b) $\frac{2x-1}{3}>x-2\Rightarrow 2x-1>3x-6\Rightarrow -x>-5\Rightarrow x<5$. Soluție: $x\in (-\infty ,5)$. (3 p)

Exercițiul 3 (7 p)

• a) $(2x-3{)}^2-(2x+3{)}^2=(4x^2-12x+9)-(4x^2+12x+9)=-24x$. (3 p)
• b) $(x+2)(x-2)-(x-1{)}^2=(x^2-4)-(x^2-2x+1)=2x-5$. (2 p)
• c) $3(x-1)-2(2x+3)+5=3x-3-4x-6+5=-x-4$. (2 p)

Exercițiul 4 (7 p)

• a) $x^2-9=(x-3)(x+3)$. (1 p)
• b) $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$. (2 p)
• c) $2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$. (2 p)
• d) $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ (rădăcini $2$ și $3$, sumă $5$, produs $6$). (2 p)

Exercițiul 5 (8 p)

• a) Numitorii trebuie să fie nenuli: $x-1\ne 0$ și $x+1\ne 0$, deci domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. (2 p)
• b) Numitor comun $(x-1)(x+1)=x^2-1$: $$E(x)=\frac{2(x+1)+3(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2+3x-3}{x^2-1}=\frac{5x-1}{x^2-1}.$$ (4 p)
• c) $E(3)=\frac{5\cdot 3-1}{3^2-1}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4}$. (2 p)

(Verificare directă: $E(3)=\frac{2}{2}+\frac{3}{4}=1+0,75=1,75=\frac{7}{4}$. ✓)

Exercițiul 6 (8 p)

• a) $x^2-5x+6=0$: $\Delta =25-24=1$, $\sqrt{\Delta }=1$, $x=\frac{5\pm 1}{2}$, deci $x_1=3$, $x_2=2$. (3 p)
• b) $2x^2-3x-2=0$: $\Delta =9+16=25$, $\sqrt{\Delta }=5$, $x=\frac{3\pm 5}{4}$, deci $x_1=2$, $x_2=-\frac{1}{2}$. (3 p)
• c) Pentru $x^2-7x+10=0$ (formă $x^2-Sx+P=0$): $S=x_1+x_2=7$ și $P=x_1\cdot x_2=10$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 p)

• a) $f(0)=-2\cdot 0+4=4$; $f(2)=-4+4=0$; $f(-1)=2+4=6$. (3 p)
• b) Graficul este o dreaptă care intersectează axa $Oy$ în $(0,4)$ și axa $Ox$ în $(2,0)$ — se unesc aceste două puncte cu o linie dreaptă. (3 p)
• c) Panta este $m=-2$. Cum $m<0$, funcția este descrescătoare. (2 p)

Exercițiul 8 (7 p)

• a) Suma notelor: $5\cdot 1+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 6+9\cdot 4+10\cdot 1=5+18+35+48+36+10=152$. Media $=152:20=7,6$. (3 p)
• b) Nota cea mai frecventă este 8 (apare de $6$ ori, frecvența cea mai mare). (2 p)
• c) Elevi cu nota $\ge 9$: $4+1=5$ elevi din $20$. Procent $=\frac{5}{20}=25\%$. (2 p)

Exercițiul 9 (7 p)

• a) $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ — cele două drepte sunt laturi opuse ale feței $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, care este un pătrat (paralelogram), deci laturile opuse sunt paralele. (2 p)
• b) $AB$ și $C{C}^{\prime }$ sunt necoplanare (drepte oarecare în spațiu) — $AB$ este conținută în planul bazei $(ABC)$, iar $C{C}^{\prime }$ este perpendiculară pe acest plan; cele două drepte nu se intersectează (nu au niciun punct comun) și nu sunt nici paralele, deci nu pot fi cuprinse într-un același plan. (2 p)
• c) Într-un cub, toate muchiile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei, deci $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$. Conform proprietății dreptei perpendiculare pe un plan (nu se confundă cu teorema celor trei perpendiculare, care se referă la proiecții), o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă conținută în acel plan — deci $A{A}^{\prime }$ formează un unghi de $90°$ cu orice dreaptă din planul $(ABC)$. (3 p)

Exercițiul 10 (8 p)

Ipotenuza triunghiului dreptunghic: $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}$.

• a) Aria bazei $=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{cm}}^2$. (2 p)
• b) Perimetrul bazei $=6+8+10=24\text{cm}$. Aria laterală $=P_{baz\breve{a}}\cdot h=24\cdot 10=240{\text{cm}}^2$. (3 p)
• c) Volumul $=A_{baz\breve{a}}\cdot h=24\cdot 10=240{\text{cm}}^3$. (3 p)

Exercițiul 11 (9 p)

• a) Aria bazei (pătrat cu latura $6$): $A_b=6^2=36{\text{cm}}^2$. (2 p)
• b) Perimetrul bazei $=4\cdot 6=24\text{cm}$. Aria laterală $=\frac{P_{baz\breve{a}}\cdot a_p}{2}=\frac{24\cdot 5}{2}=60{\text{cm}}^2$ (unde $a_p$ este apotema piramidei). (3 p)
• c) Aria totală $=A_l+A_b=60+36=96{\text{cm}}^2$. (2 p)
• d) Apotema bazei (pătratului) $=\frac{\text{latura}}{2}=3\text{cm}$. În triunghiul dreptunghic format de înălțimea piramidei $h$, apotema bazei ($3$) și apotema piramidei ($5$, ipotenuză): $h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\text{cm}$. (2 p)

Exercițiul 12 (9 p)

• a) Înălțimea conului: $h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\text{cm}$. (2 p)
• b) Aria laterală $=\pi rg=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi {\text{cm}}^2$. (2 p)
• c) Aria totală $=A_l+\pi r^2=15\pi +\pi \cdot 3^2=15\pi +9\pi =24\pi {\text{cm}}^2$. (2 p)
• d) Volumul $=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 4=12\pi {\text{cm}}^3$. (3 p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test recapitulează, la final de an, cele mai importante teme din toate cele 15 unități parcurse în clasa a VIII-a: din semestrul I — intervale de numere reale, inecuații, calcul algebric, descompuneri în factori, fracții algebrice, ecuații de gradul al II-lea, funcții, statistică — și din semestrul II — geometrie în spațiu (paralelism și perpendicularitate, prisme, piramide, corpuri rotunde). Itemii sunt așezați în ordinea crescătoare a dificultății.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute (aproximativ două ore de curs), ca la o evaluare cuprinzătoare de final de an.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, cu toate calculele scrise; pentru itemii de geometrie în spațiu sunt utile o riglă și un echer pentru eventuale schițe ajutătoare. Notarea: împărțiți punctajul obținut la 10 (ex.: 87 de puncte → nota 8,7 ≈ 9, prin rotunjire conform practicii școlare, sau se păstrează nota cu zecimale).
• Sfat: fiind un test de recapitulare pe tot anul, e util să lucrați pe etape — mai întâi itemii de algebră (1-8), apoi cei de geometrie în spațiu (9-12) — și să reveniți separat asupra fiecărei grupe greșite, cu lecția aferentă la îndemână.