Test tehnologic: continuitate și derivate

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Funcții continue

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$ pentru $x<1$, $f(x)=6-x$ pentru $1\le x<3$ și $f(x)=x^2-4$ pentru $x\ge 3$. Pe care mulțime este continuă funcția $f$?

Variantele: a) „$\mathbb{R}$”; b) „$\mathbb{R}\setminus \{1\}$”; c) „$\mathbb{R}\setminus \{3\}$”; d) „$\mathbb{R}\setminus \{1;3\}$”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $g:[0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x-5\sqrt{x}-12$. Funcția $g$ este continuă și se anulează numai în $x=16$. Stabilește semnul lui $g$ înainte și după rădăcină și află câte numere naturale $x$ verifică inegalitatea $g(x)<0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+15)\sqrt{x}$. Calculează $\underset{x\to 9}{\lim }\frac{f(x)-f(9)}{x-9}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(3;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{x-3}$. Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2(2x-9)}{(x-3{)}^2}$, $x\in (3;+\infty )$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+\frac{6}{x}$. Calculează $f^{\prime \prime }(2)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2\ln x}{x^3-1}$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un arc cu două trepte se comprimă cu $x$ milimetri, $0\le x\le 30$, iar forța de reacție, în newtoni, este $F(x)=8x$ pentru $0\le x\le 12$ și $F(x)=0,5x^2+b$ pentru $12<x\le 30$, unde $b$ este un număr real.

a) (5 puncte) Află $b$ astfel încât forța să nu aibă salt în $x=12$.

b) (5 puncte) Pentru valoarea lui $b$ de la a), arată că forța de 122 N se atinge la o comprimare cuprinsă între 12 mm și 18 mm, restrânge intervalul cu valoarea din mijloc și află comprimarea exactă.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un magazin vinde pâine de casă. La prețul de $p$ lei pe pâine, cererea este de $q(p)=\frac{300}{p+1}$ pâini pe zi, deci venitul zilnic este $V(p)=p\cdot q(p)=\frac{300p}{p+1}$ lei.

a) (5 puncte) Calculează $V^{\prime }(p)$ cu regula produsului și apoi $V^{\prime }(4)$, în lei pe leu, și spune ce arată acest număr.

b) (5 puncte) Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $V$ în punctul de abscisă 4, estimează cu ea venitul la prețul de 5 lei și spune cu cât greșește estimarea față de valoarea exactă.

Exercițiul 9 (10 puncte)

La un banc de probă, un autoturism electric pornește de pe loc, iar distanța parcursă în primele 15 secunde este $s(t)=0,3t^2+0,02t^3$ metri, cu $t$ în secunde. Viteza este derivata $s^{\prime }$, în m/s, iar accelerația este derivata a doua $s^{\prime \prime }$, în m/s².

a) (5 puncte) Calculează viteza și accelerația la $t=5$ s și spune ce arată semnul accelerației.

b) (5 puncte) În ce moment accelerația este de 1,8 m/s² și care este viteza autoturismului atunci?

Partea a III-a – De tip examen și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x-2\sqrt{x}+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{x}$, $x\in (0;+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=4$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Profilul unui drum de acces este graficul funcției $h$, cu $x$ în metri de la începutul drumului și $h(x)$ înălțimea în metri: $h(x)=0,01x^2$ pentru $0\le x\le 20$ și $h(x)=mx+n$ pentru $20<x\le 40$, unde $m$ și $n$ sunt numere reale. La racordarea celor două porțiuni, în $x=20$, drumul nu are treaptă și nici frântură: $h$ este continuă în 20, iar panta primei porțiuni în 20 este egală cu panta celei de-a doua.

a) (5 puncte) Calculează limita la stânga în $x=20$, valoarea $h(20)$ și limita la dreapta în funcție de $m$ și $n$, apoi scrie condiția de continuitate ca ecuație în $m$ și $n$.

b) (5 puncte) Calculează panta primei porțiuni în $x=20$, adică derivata ei, și află $m$ și $n$.

c) (5 puncte) Arată că $h$ este continuă pe $[0;40]$ și că drumul are un singur punct la înălțimea de 6,4 m: existența, cu proprietatea lui Darboux, unicitatea, cu faptul că $h$ crește, și abscisa lui.

Barem și răspunsuri

În barem, fiecare exercițiu are rezolvarea pe pași, iar punctele pașilor sunt scrise între paranteze; dacă ajungi la rezultat pe alt drum corect, primești aceleași puncte. Rezultatele finale apar îngroșate, iar «Verificare» este doar o confirmare, fără puncte.

Exercițiul 1.

Pe fiecare dintre cele trei ramuri $f$ este polinomială, deci continuă; rămân de verificat punctele de legătură, 1 și 3 (1 p). În $x=1$: $l_s=1+4=5$, $l_d=6-1=5$ și $f(1)=6-1=5$, deci $f$ este continuă în 1 (2 p). În $x=3$: $l_s=6-3=3$, iar $l_d=3^2-4=5=f(3)$; cum $3\ne 5$, $f$ nu este continuă în 3, unde are un salt de 2. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}\setminus \{3\}$, adică răspunsul este $\mathbf{c})$ (2 p). Verificare: $f(2,99)=6-2,99=3,01$ și $f(3,01)=3,01^2-4=5,0601$, valori despărțite de salt, iar în 1 ramurile se leagă. Cine alege $\mathbb{R}$ a verificat doar valoarea $f(3)=5$ și nu limita la stânga.

Exercițiul 2.

Funcția $g$ este continuă și nu se anulează nici pe $[0;16)$, nici pe $(16;+\infty )$, deci pe fiecare dintre aceste intervale are un singur semn, pe care îl arată un punct de probă (1 p). Pe $[0;16)$, de exemplu, $g(1)=2-5-12=-15<0$, deci $g(x)<0$ pe tot $[0;16)$ (2 p). Pe $(16;+\infty )$, $g(25)=50-25-12=13>0$, deci acolo $g(x)>0$. Numerele naturale cu $g(x)<0$ sunt $0,1,\dots ,15$, adică $16$ numere (2 p). Verificare: $g(0)=-12<0$, deci 0 se numără, iar $g(16)=32-20-12=0$, deci 16 nu verifică inegalitatea strictă; cine uită de 0 numără 15, iar cine ia și rădăcina numără 17.

Exercițiul 3.

Raportul este creșterea lui $f$ împărțită la creșterea lui $x$, deci limita lui, când $x\to 9$, este derivata $f^{\prime }(9)$ (2 p). Cu regula produsului, primul factor are derivata 1, iar al doilea, $\sqrt{x}$, are derivata $\frac{1}{2\sqrt{x}}$; deci $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}+\frac{x+15}{2\sqrt{x}}$ (2 p). Atunci limita este $f^{\prime }(9)=3+\frac{24}{6}=7$ (1 p). Verificare: $f(9)=24\cdot 3=72$; cu $t=\sqrt{x}$, raportul devine $\frac{t^3+15t-72}{t^2-9}=\frac{t^2+3t+24}{t+3}$, iar pentru $t=3$ acesta dă $\frac{9+9+24}{6}=7$. Cine înlocuiește direct $x=9$ obține $\frac{0}{0}$, care nu este rezultatul, ci semnul că limita trebuie calculată.

Exercițiul 4.

Cu regula câtului, $u=x^3$, $v=x-3$, $u^{\prime }=3x^2$ și $v^{\prime }=1$: $f^{\prime }(x)=\frac{3x^2(x-3)-x^3\cdot 1}{(x-3{)}^2}$ (3 p). Numărătorul este $3x^3-9x^2-x^3=2x^3-9x^2=x^2(2x-9)$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{x^2(2x-9)}{(x-3{)}^2}$ (2 p). Verificare: la $x=5$, $\frac{3\cdot 25\cdot 2-125}{4}=\frac{25}{4}$ și $\frac{25\cdot 1}{4}=\frac{25}{4}$.

Exercițiul 5.

$\frac{6}{x}$ are derivata $-\frac{6}{x^2}$, deci $f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{6}{x^2}$ (1 p). Derivând încă o dată, $f^{\prime \prime }(x)=6x+\frac{12}{x^3}$ (2 p). Atunci $f^{\prime \prime }(2)=6\cdot 2+\frac{12}{8}=12+\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$ (2 p). Verificare: $f^{\prime }(2)=12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}$ și $f^{\prime }(3)=27-\frac{2}{3}=\frac{79}{3}$, iar $f^{\prime }$ crește de la 2 la 3, în acord cu $f^{\prime \prime }(2)>0$.

Exercițiul 6.

Pentru $x\to 1$, numărătorul tinde la $1\cdot \ln 1=0$, iar numitorul la $1-1=0$: forma este $\frac{0}{0}$, deci regula lui l'Hôpital se poate aplica (1 p). Derivăm separat: $(x^2\ln x{)}^{\prime }=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x$, iar numitorul are derivata $3x^2$, deci limita este cea a lui $\frac{2x\ln x+x}{3x^2}$ (2 p). Acest raport nu mai este nedeterminat în 1: înlocuind, $\frac{2\cdot 1\cdot 0+1}{3\cdot 1}=\frac{1}{3}$ (2 p). Verificare: cine derivează $x^2\ln x$ ca produsul derivatelor, $2x\cdot \frac{1}{x}=2$, ajunge la $\frac{2}{3}$; regula produsului adună doi termeni, iar în 1 primul dintre ei se anulează.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Pentru continuitate în 12 trebuie $l_s=l_d=F(12)$ (1 p). Avem $l_s=8\cdot 12=96$ N și $F(12)=96$ N (1 p), iar $l_d=0,5\cdot 12^2+b=72+b$ (1 p). Din $72+b=96$ rezultă $b=24$ (2 p).

b) (5 p) Pe $[12;18]$ funcția $F$ este continuă: ramura $0,5x^2+24$ este polinomială, iar în 12 ramurile se leagă, după a) (1 p). Fie $g(x)=F(x)-122$. Avem $g(12)=96-122=-26<0$ și $g(18)=0,5\cdot 18^2+24-122=64>0$, deci, după Darboux, există $x_0\in (12;18)$ cu $F(x_0)=122$ (2 p). Mijlocul este 15: $g(15)=0,5\cdot 15^2+24-122=14,5>0$, deci $x_0\in (12;15)$ (1 p). Exact, $0,5x^2+24=122$ dă $x^2=196$, adică $x_0=14$ mm (1 p). Verificare: $F(14)=0,5\cdot 196+24=122$ N, iar $14\in (12;15)$.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Din $q(p)=\frac{300}{p+1}$ avem $q^{\prime }(p)=-\frac{300}{(p+1{)}^2}$ (1 p). Regula produsului dă $V^{\prime }(p)=q(p)+p\cdot q^{\prime }(p)=\frac{300}{p+1}-\frac{300p}{(p+1{)}^2}$ (1 p), adică $V^{\prime }(p)=\frac{300(p+1)-300p}{(p+1{)}^2}=\frac{300}{(p+1{)}^2}$ (1 p). Atunci $V^{\prime }(4)=\frac{300}{25}=12$ lei pe leu (1 p): la prețul de 4 lei, fiecare leu în plus pe pâine aduce în ritm de 12 lei pe zi (1 p). Verificare: $V(4)=240$ lei și $V(5)=250$ lei, deci venitul crește cu 10 lei, iar $12>10>\frac{25}{3}=V^{\prime }(5)$.

b) (5 p) $V(4)=\frac{300\cdot 4}{5}=240$ lei (1 p). Tangenta este $y-240=12(p-4)$, adică $\mathbf{y}=12p+192$ (2 p). La $p=5$, tangenta dă $12\cdot 5+192=252$ lei, iar valoarea exactă este $V(5)=\frac{1500}{6}=250$ lei; estimarea este cu 2 lei prea mare (2 p). Verificare: $252-250=2$; tangenta este bună lângă punctul de tangență, nu și departe de el.

Exercițiul 9.

a) (5 p) $s^{\prime }(t)=0,6t+0,06t^2$ (1 p) și $s^{\prime \prime }(t)=0,6+0,12t$ (1 p). La $t=5$: $s^{\prime }(5)=3+1,5=4,5$ m/s (1 p) și $s^{\prime \prime }(5)=0,6+0,6=1,2$ m/s² (1 p). Accelerația este pozitivă, deci viteza autoturismului crește (1 p).

b) (5 p) Ecuația $0,6+0,12t=1,8$ dă $0,12t=1,2$, adică $t=10$ s (2 p), moment aflat în intervalul de 15 secunde (1 p). Viteza este $s^{\prime }(10)=6+6=12$ m/s (2 p). Verificare: $s(10)=30+20=50$ m, deci viteza medie în primele 10 secunde este $\frac{50}{10}=5$ m/s, mai mică decât viteza de 12 m/s din secunda 10; accelerația pozitivă face ca viteza să crească tot timpul.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Derivând termen cu termen: termenul $\ln x$ are derivata $\frac{1}{x}$, termenul $2\sqrt{x}$ are derivata $\frac{1}{\sqrt{x}}$, fiindcă 2 se simplifică cu 2 de la numitorul lui $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, iar constanta dispare; astfel $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ (3 p). Cum $\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$, rezultă $f^{\prime }(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{x}$ (2 p). Verificare: la $x=4$, $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ și $\frac{1-2}{4}=-\frac{1}{4}$.

b) (5 p) Numitorul $x$ tinde la $+\infty$, iar $f(x)$ tinde la $-\infty$, fiindcă $\sqrt{x}$ crește mai repede decât $\ln x$; forma este $\frac{\infty }{\infty }$. Regula lui l'Hôpital cere raportul derivatelor, $\frac{f^{\prime }(x)}{1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ (3 p). Ambii termeni tind la 0, deci limita este $0$ (2 p). Verificare: pentru $x=10000$, $\frac{f^{\prime }(x)}{1}=0,0001-0,01$, număr aproape de 0.

c) (5 p) Tangenta în $x_0=4$ are ecuația $y-f(4)=f^{\prime }(4)(x-4)$ (2 p). Avem $f(4)=\ln 4-2\cdot 2+3=2\ln 2-1$ și $f^{\prime }(4)=-\frac{1}{4}$, deci $y-2\ln 2+1=-\frac{1}{4}(x-4)$, adică $\mathbf{y}=-\frac{\mathbf{x}}{4}+2\ln 2$ (3 p). Verificare: pentru $x=4$, ecuația dă $-\frac{4}{4}+2\ln 2=2\ln 2-1=f(4)$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Limita la stânga este $l_s=0,01\cdot 20^2=4$ m (1 p) și $h(20)=4$ m (1 p); limita la dreapta, cu ramura $mx+n$, este $l_d=20m+n$ (1 p). Cele trei valori trebuie să coincidă, deci $20m+n=4$ (2 p).

b) (5 p) Pe prima porțiune $h^{\prime }(x)=0,02x$, deci panta în 20 este $h^{\prime }(20)=0,02\cdot 20=0,4$ (2 p). A doua porțiune este o dreaptă, cu panta $m$, deci $m=0,4$ (1 p). Din $20\cdot 0,4+n=4$ rezultă $n=4-8=-4$ (2 p).

c) (5 p) Fiecare porțiune este polinomială, deci continuă, iar în 20 ramurile se leagă, după a): $h$ este continuă pe $[0;40]$ (1 p). Avem $h(20)=4$ și $h(40)=0,4\cdot 40-4=12$, iar $4<6,4<12$, deci, după Darboux, există un punct cu $h(x)=6,4$ (1 p). Pe $[0;20]$ funcția $0,01x^2$ crește, iar pe $[20;40]$ funcția $0,4x-4$ crește, deci $h$ crește pe tot drumul și ia valoarea 6,4 o singură dată (1 p). Valoarea 6,4 depășește 4, deci punctul e pe a doua porțiune: $0,4x-4=6,4$ dă $0,4x=10,4$, adică $x=26$ m (2 p). Verificare: $h(26)=0,4\cdot 26-4=6,4$, iar $26\in (20;40)$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică continuitatea și derivatele din clasa a XI-a, filiera tehnologică, pe cele șase lecții ale lor: „Continuitatea la tehnologic: viteza telegondolei”, „Darboux la tehnologic: rădăcină pe interval”, „Derivata, viteza și tangenta pentru tehnologic”, „Reguli de derivare la tehnologic: ritmul în lei”, „Bac tehnologic: derivate de ordinul doi pe exemple” și „Regula l'Hospital: când se aplică, tehnologic”. Limitele și asimptotele sunt verificate de testul despre limite, iar creșterea, scăderea, extremele, convexitatea și graficul unei funcții, de testul despre studiul funcțiilor cu derivate.

• Punctaj: exercițiile valorează în total 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, pentru un maxim de 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se lucrează singur, pe foaie, fără calculator; rezultatele ies exacte, iar acolo unde apare $\ln 2$ el rămâne scris așa. La Partea a III-a contează și calculul, și explicația: un rezultat fără pași nu ia tot punctajul subpunctului. Ghidajul taie fiecare exercițiu în etape: mai întâi o întrebare cu patru variante, la urmă un număr de calculat; fiecare variantă greșită arată de unde vine greșeala, iar tu îl deschizi numai când un exercițiu nu iese.
• Cu 90–100 de puncte: unitatea este stăpânită și mergi la testul următor.
• Cu 75–89 de puncte: refaci, cu ghidajul pornit, exercițiile la care ai pierdut puncte.
• Cu 60–74 de puncte: revezi lecțiile din tabel la exercițiile unde ai luat sub jumătate din puncte, apoi refaci testul după o săptămână.
• Cu sub 60 de puncte: parcurgi cele șase lecții în ordine și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: $f$ este continuă în $a$ exact când $l_s=l_d=f(a)$, iar un salt are mărimea $l_d-l_s$; dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$, există cel puțin un $c\in (a;b)$ cu $f(c)=0$, iar rădăcina este unică dacă $f$ este strict monotonă; o funcție continuă care nu se anulează pe un interval are același semn pe tot intervalul, iar un punct de probă îl arată; derivata $f^{\prime }(x_0)$ este limita raportului dintre creșterea lui $f$ și creșterea lui $x$, când creșterea lui $x$ tinde la 0, iar tangenta în $x_0$ este dreapta de pantă $f^{\prime }(x_0)$ prin punctul de tangență, adică $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $v\ne 0$; $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ și ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; $f^{\prime \prime }=(f^{\prime }{)}^{\prime }$, cu unitatea lui $f$ pe unitatea lui $x$ la pătrat; regula lui l'Hôpital se aplică numai la forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, derivând separat numărătorul și numitorul.

Exercițiile 4 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: exercițiul 4 copiază forma cerinței a) din Subiectul al III-lea, problema 1 („Arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$”), iar exercițiul 10 copiază structura întregii probleme 1 (derivata, limita, tangenta), cu alte funcții și alte numere decât în probele oficiale.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Continuitatea, derivatele, regulile de derivare și regula lui l'Hôpital se cer la Subiectul al III-lea. În probele oficiale 2013–2026, continuitatea a apărut în 5 probe, derivata într-un punct și tangenta în 44, regulile de derivare în 80, derivata a doua în 15 și regula lui l'Hôpital în 7; proprietatea lui Darboux este în programa de examen, dar nu a apărut în aceste probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.