Exerciții rezolvate — Numere complexe (clasa a X-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Numere complexe", clasa a X-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Calculați $(6-3i)+(-4+5i)$.

   • a) $2+2i$
   • b) $10-8i$
   • c) $-10+2i$
   • d) $2-8i$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2+2i$

   Adunăm separat părțile: $(6-4)+(-3+5)i=2+2i$. Varianta b) adună greșit încrucișat, iar c) și d) greșesc semnul la partea imaginară.

   Lecția: Adunarea și scăderea numerelor complexe →

2. Calculați afixul mijlocului segmentului $[AB]$, pentru $A(3+2i)$ și $B(9+8i)$.

   • a) $6+5i$
   • b) $12+10i$
   • c) $3+3i$
   • d) $6+4i$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $6+5i$

   $z_M=\frac{(3+2i)+(9+8i)}{2}=\frac{12+10i}{2}=6+5i$.

   Lecția: Afixul mijlocului, al centrului de greutate și raportul dat →

3. Pentru $A(2+i)$, $B(5+3i)$, $C(11+7i)$, calculați raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.

   • a) $3$
   • b) $3i$
   • c) $1+i$
   • d) $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $3$

   $z_B-z_A=3+2i$ și $z_C-z_A=9+6i=3(3+2i)$, deci raportul este $3$, real — punctele sunt coliniare.

   Lecția: Coliniaritate, paralelism și perpendicularitate cu numere complexe →

4. Care este conjugatul numărului $z=-9+2i$?

   • a) $-9-2i$
   • b) $9-2i$
   • c) $9+2i$
   • d) $-2+9i$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $-9-2i$

   Conjugarea schimbă doar semnul părții imaginare: $\overline{-9+2i}=-9-2i$. Variantele b) și c) schimbă greșit și semnul părții reale.

   Lecția: Conjugatul unui număr complex →

5. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^2+9=0$.

   • a) $x=\pm 3i$
   • b) $x=\pm 3$
   • c) $x=9i$
   • d) $x=\pm \sqrt{3}i$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x=\pm 3i$

   $x^2=-9$, deci $x=\pm \sqrt{-9}=\pm 3i$, pentru că $(3i{)}^2=9i^2=-9$ și, la fel, $(-3i{)}^2=-9$.

   Lecția: De ce avem nevoie de numere noi: ecuația fără soluții reale →

6. Pentru $A(2+i)$ și $B(2+7i)$, care este argumentul lui $z_B-z_A$?

   • a) $\frac{\pi }{2}$
   • b) $0$
   • c) $\pi$
   • d) $\frac{3\pi }{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{\pi }{2}$

   $z_B-z_A=6i$, un număr pur imaginar pozitiv, deci direcția de la $A$ la $B$ este verticală în sus, cu argumentul $\frac{\pi }{2}$.

   Lecția: Distanțe și unghiuri în planul complex →

7. Care este una dintre rădăcinile pătrate ale numărului $Z=-5+12i$?

   • a) $2+3i$
   • b) $2-3i$
   • c) $3+2i$
   • d) $5+12i$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2+3i$

   $|Z|=13$, deci $u^2=\frac{13-5}{2}=4$, $v^2=\frac{13+5}{2}=9$; cum $y=12>0$, $u,v$ au același semn: $\delta =2+3i$. Verificare: $(2+3i{)}^2=4+12i-9=-5+12i$ ✓.

   Lecția: Ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși →

8. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2-4z+13=0$.

   • a) $2\pm 3i$
   • b) $2\pm 6i$
   • c) $4\pm 3i$
   • d) $-2\pm 3i$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2\pm 3i$

   $\Delta =16-52=-36$, deci $\sqrt{-\Delta }=6$ și $z_{1,2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$.

   Lecția: Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ →

9. Câte soluții are, în $\mathbb{C}$, ecuația $z^5=-32$?

   • a) $5$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $10$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $5$

   O ecuație binomă $z^n=a$ are, în $\mathbb{C}$, întotdeauna exact $n$ soluții, indiferent de semnul lui $a$.

   Lecția: Ecuații binome →

10. Determinați $x,y\in \mathbb{R}$ pentru care $(2x-1)+(y+3)i=5-2i$.

    • a) $x=3,y=-5$
    • b) $x=2,y=1$
    • c) $x=3,y=5$
    • d) $x=-3,y=-5$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $x=3,y=-5$

    Identificăm părțile: $2x-1=5\Rightarrow x=3$; $y+3=-2\Rightarrow y=-5$. Verificare: $(2\cdot 3-1)+(-5+3)i=5-2i$ ✓.

    Lecția: Egalitatea a două numere complexe →

11. Determinați $\mathrm{Im}(z)$ pentru $z=6-9i$.

    • a) $-9$
    • b) $9$
    • c) $-9i$
    • d) $6$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $-9$

    Partea imaginară este numărul real care înmulțește $i$, cu semn: $\mathrm{Im}(6-9i)=-9$, nu $-9i$.

    Lecția: Forma algebrică a unui număr complex →

12. Câte argumente diferite (nu neapărat reduse) poate avea un număr complex nenul $z$?

    • a) o infinitate
    • b) exact unul
    • c) exact doi
    • d) niciunul
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) o infinitate

    Orice $\phi +2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, este un argument valid al lui $z$; dintre toate acestea, unul singur, cel din $[0,2\pi )$, este argumentul redus.

    Lecția: Forma trigonometrică: modul și argument redus →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.