Exerciții rezolvate — Piramida, tetraedrul și trunchiul de piramidă (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Piramida, tetraedrul și trunchiul de piramidă", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Într-o piramidă regulată, care dintre următoarele afirmații este corectă?

   • a) $A_t=A_l+2A_b$
   • b) $A_t=A_l+A_b$
   • c) Apotema piramidei este întotdeauna egală cu înălțimea piramidei
   • d) $A_l=P_b\cdot a_p$ (fără împărțire la 2)
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $A_t=A_l+A_b$

   Piramida are o singură bază, deci aria totală este $A_t=A_l+A_b$. Celelalte afirmații sunt greșite: la prismă se adună două baze, apotema piramidei este mereu mai mare decât înălțimea (fiind ipotenuza în triunghiul $VOM$), iar aria laterală se împarte la 2 fiindcă fețele sunt triunghiuri.

   Lecția: Aria laterală și aria totală a piramidei regulate →

2. Care este formula corectă a ariei totale a unui trunchi de piramidă regulată, unde $A_l$ este aria laterală, iar $A_B$ și $A_b$ sunt ariile celor două baze?

   • a) $A_t=A_l+A_B$
   • b) $A_t=A_l+A_B+A_b$
   • c) $A_t=A_l-A_B-A_b$
   • d) $A_t=\frac{A_l+A_B+A_b}{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $A_t=A_l+A_B+A_b$

   Trunchiul de piramidă are două baze, deci aria totală se obține adunând la aria laterală ambele arii ale bazelor: $A_t=A_l+A_B+A_b$.

   Lecția: Aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă regulată →

3. Care dintre următoarele este condiția CORECTĂ pentru ca o piramidă să fie regulată?

   • a) Toate fețele laterale sunt echilaterale
   • b) Baza este poligon regulat și piciorul înălțimii cade în centrul bazei
   • c) Piramida are exact două baze congruente
   • d) Muchia laterală este egală cu apotema bazei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Baza este poligon regulat și piciorul înălțimii cade în centrul bazei

   Definiția piramidei regulate cere două condiții: baza să fie poligon regulat și piciorul înălțimii ($O$) să cadă exact în centrul bazei. Din acestea rezultă că muchiile laterale sunt egale, deci fețele laterale sunt triunghiuri isoscele — dar nu neapărat echilaterale, deci a) nu este condiția din definiție. Piramida are o singură bază (două baze congruente are prisma), iar muchia laterală este mereu mai lungă decât apotema bazei.

   Lecția: Piramida și piramida regulată: descriere, elemente și desfășurare →

4. Un corp are 4 fețe, toate triunghiuri echilaterale congruente (adică este un tetraedru regulat). Câte muchii și câte vârfuri are?

   • a) 6 muchii și 4 vârfuri
   • b) 4 muchii și 6 vârfuri
   • c) 6 muchii și 6 vârfuri
   • d) 4 muchii și 4 vârfuri
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) 6 muchii și 4 vârfuri

   Tetraedrul are 3 laturi de bază + 3 muchii laterale = 6 muchii, și 3 vârfuri de bază + vârful de sus = 4 vârfuri. Verificare Euler: $4-6+4=2$.

   Lecția: Tetraedrul regulat: descriere, elemente și desfășurare →

5. Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?

   • a) Dreptunghiuri
   • b) Pătrate
   • c) Trapeze isoscele congruente
   • d) Triunghiuri echilaterale
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Trapeze isoscele congruente

   Bazele mare și mică au laturi corespunzătoare paralele, dar inegale ($L\ne l$), iar muchiile laterale (provenite dintr-o piramidă regulată) sunt egale între ele — de aceea fiecare față laterală este un trapez isoscel, iar toate sunt congruente.

   Lecția: Trunchiul de piramidă regulată: descriere, reprezentare și elemente →

6. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l=8$ cm și înălțimea $h=9$ cm. Calculează volumul piramidei.

   • a) $576{\text{cm}}^3$
   • b) $72{\text{cm}}^3$
   • c) $192{\text{cm}}^3$
   • d) $312{\text{cm}}^3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $192{\text{cm}}^3$

   Baza e pătrat, deci $A_b=l^2=8^2=64{\text{cm}}^2$. Volumul: $V=\frac{A_b\cdot h}{3}=\frac{64\cdot 9}{3}=192{\text{cm}}^3$. Varianta a apare dacă uiți împărțirea la 3 ($64\cdot 9=576$).

   Lecția: Volumul piramidei regulate →

7. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l=9$ cm și apotema piramidei $a_p=8$ cm. Care este aria totală?

   • a) $225{\text{ cm}}^2$
   • b) $144{\text{ cm}}^2$
   • c) $305{\text{ cm}}^2$
   • d) $215{\text{ cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $225{\text{ cm}}^2$

   Baza fiind pătrat, $P_b=4l=4\cdot 9=36$ cm. Aria laterală: $A_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2}=\frac{36\cdot 8}{2}=144{\text{ cm}}^2$. Aria bazei: $A_b=9^2=81{\text{ cm}}^2$. Aria totală: $A_t=A_l+A_b=144+81=225{\text{ cm}}^2$.

   Lecția: Aria laterală și aria totală a piramidei regulate →

8. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari $L=10\text{cm}$, latura bazei mici $l=6\text{cm}$ și apotema trunchiului $a_p=4\text{cm}$. Cât este aria laterală?

   • a) $100{\text{cm}}^2$
   • b) $128{\text{cm}}^2$
   • c) $144{\text{cm}}^2$
   • d) $160{\text{cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $128{\text{cm}}^2$

   $P_B=4\cdot 10=40\text{cm}$, $p_b=4\cdot 6=24\text{cm}$. $A_l=\frac{40+24}{2}\cdot 4=32\cdot 4=128{\text{cm}}^2$.

   Lecția: Aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă regulată →

9. Într-o piramidă regulată, ce relație leagă înălțimea $h$, apotema bazei $a_b$ și apotema piramidei $a_p$?

   • a) $a_p^2=h^2+a_b^2$
   • b) $h^2=a_p^2+a_b^2$
   • c) $a_b^2=h^2+a_p^2$
   • d) $a_p=h+a_b$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $a_p^2=h^2+a_b^2$

   În triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în $O$), apotema piramidei este ipotenuza, deci $a_p^2=h^2+a_b^2$.

   Lecția: Piramida și piramida regulată: descriere, elemente și desfășurare →

10. O desfășurare corectă a unui tetraedru regulat trebuie să conțină:

    • a) 4 triunghiuri echilaterale congruente
    • b) 3 triunghiuri echilaterale congruente
    • c) 4 triunghiuri, dar de mărimi diferite
    • d) un pătrat central și 3 triunghiuri echilaterale
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) 4 triunghiuri echilaterale congruente

    Tetraedrul regulat are 4 fețe identice, deci desfășurarea are un triunghi echilateral central (baza) și alte trei, congruente, alipite pe laturile lui (fețele laterale) — în total 4 triunghiuri echilaterale congruente.

    Lecția: Tetraedrul regulat: descriere, elemente și desfășurare →

11. Un trunchi de piramidă heptagonală regulată are baza un poligon cu 7 laturi ($n=7$). Câte fețe are trunchiul?

    • a) 7
    • b) 9
    • c) 14
    • d) 21
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) 9

    Fețele sunt cele $n$ trapeze laterale plus cele 2 baze: $F=n+2=7+2=9$.

    Lecția: Trunchiul de piramidă regulată: descriere, reprezentare și elemente →

12. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $l=6$ cm și apotema piramidei $a_p=5$ cm. Calculează volumul piramidei.

    • a) $144{\text{cm}}^3$
    • b) $28{\text{cm}}^3$
    • c) $48{\text{cm}}^3$
    • d) $68{\text{cm}}^3$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $48{\text{cm}}^3$

    Apotema bazei: $a_b=\frac{l}{2}=3$ cm. Din triunghiul $VOM$: $h^2=a_p^2-a_b^2=25-9=16\Rightarrow h=4$ cm. Aria bazei $A_b=6^2=36{\text{cm}}^2$, deci $V=\frac{36\cdot 4}{3}=48{\text{cm}}^3$. Varianta a apare dacă uiți împărțirea la 3.

    Lecția: Volumul piramidei regulate →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.