Exerciții rezolvate — Polinoame (clasa a X-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Polinoame", clasa a X-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Pentru $f=4X^3-X^2+2X-5$ și $g=-4X^3+3X^2-6$, calculați $f+g$.

   • a) $2X^2+2X-11$
   • b) $2X^2-2X-11$
   • c) $8X^3+2X^2+2X-11$
   • d) $2X^2+2X-5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2X^2+2X-11$

   Pe ranguri: $4-4=0$; $-1+3=2$; $2+0=2$; $-5-6=-11$. Termenii de rang $3$ se reduc, deci $f+g=2X^2+2X-11$.

   Lecția: Adunarea și scăderea polinoamelor →

2. Care este ordinea corectă a celor patru mișcări dintr-un pas al algoritmului de împărțire a polinoamelor?

   • a) împarte, înmulțește, scade, coboară
   • b) împarte, scade, înmulțește, coboară
   • c) înmulțește, împarte, coboară, scade
   • d) coboară, împarte, înmulțește, scade
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) împarte, înmulțește, scade, coboară

   Ordinea fixă este: împarți termenii dominanți ca să afli monomul câtului, îl înmulțești cu tot împărțitorul, scazi produsul din restul parțial, apoi cobori termenii rămași și reiei. Orice altă ordine strică schema de calcul.

   Lecția: Algoritmul împărțirii pas cu pas →

3. Pentru $f=5X^4-3X^2+7$, care este coeficientul lui $X^3$?

   • a) $0$
   • b) $5$
   • c) $-3$
   • d) $7$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $0$

   Monomul în $X^3$ lipsește din scriere, deci coeficientul lui este $0$ — un rang „invizibil”, dar existent.

   Lecția: Ce este un polinom. Forma algebrică și gradul →

4. Care este descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ a polinomului $X^4-81$?

   • a) $(X-3)(X+3)(X^2+9)$
   • b) $(X-3{)}^2(X+3{)}^2$
   • c) $(X-9)(X+9)(X^2+3)$
   • d) $(X^2-9{)}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(X-3)(X+3)(X^2+9)$

   $X^4-81=(X^2-9)(X^2+9)=(X-3)(X+3)(X^2+9)$. Trinomul $X^2+9$ are $\Delta =-36<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$ și descompunerea se oprește aici.

   Lecția: Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R →

5. Știind că $X-2$ divide $X^3-8$, care dintre următoarele afirmații rezultă IMEDIAT, fără niciun calcul suplimentar?

   • a) $X-2$ divide $X^5-8X^2$
   • b) $X-2$ divide $X^3-8X^2$
   • c) $X-2$ divide $X^2-8$
   • d) $X-2$ divide $X-8$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $X-2$ divide $X^5-8X^2$

   Din proprietatea P4 (dacă $g\mid f$, atunci $g\mid f\cdot h$ pentru orice $h$), luând $h=X^2$: $X^2(X^3-8)=X^5-8X^2$, deci $X-2$ divide și acest polinom, fără nicio împărțire nouă.

   Lecția: Divizibilitatea polinoamelor →

6. Care sunt soluțiile ecuației $x^3+4x^2-x-4=0$?

   • a) $\{-4,-1,1\}$
   • b) $\{-4,-1,-1\}$
   • c) $\{4,-1,1\}$
   • d) $\{-4,1,4\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\{-4,-1,1\}$

   Prin grupare: $x^2(x+4)-(x+4)=(x+4)(x^2-1)=(x+4)(x-1)(x+1)$. Soluțiile sunt $-4,-1,1$.

   Lecția: Ecuații algebrice cu coeficienți întregi: rădăcini întregi și raționale →

7. Știind că $2+i$ este rădăcină a ecuației $x^3-5x^2+9x-5=0$ cu coeficienți reali, care este factorul real de gradul al doilea corespunzător perechii conjugate?

   • a) $x^2-4x+5$
   • b) $x^2-4x+3$
   • c) $x^2+4x+5$
   • d) $x^2-2x+5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x^2-4x+5$

   Suma este $4$, produsul este $2^2+1^2=5$, deci factorul este $x^2-4x+5$. Împărțind, $f=(x^2-4x+5)(x-1)$, iar a treia rădăcină este $1$.

   Lecția: Ecuații algebrice cu coeficienți reali și raționali: rădăcini conjugate →

8. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-29x^2+100=0$.

   • a) $\{5,-5,2,-2\}$
   • b) $\{25,-25,4,-4\}$
   • c) $\{5,-5,4,-4\}$
   • d) $\{10,-10,2,-2\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\{5,-5,2,-2\}$

   Cu $x^2=y$: $y^2-29y+100=0$, $\Delta =841-400=441$, deci $y=\frac{29\pm 21}{2}$: $y_1=25$, $y_2=4$. Din $x^2=25$: $x=\pm 5$; din $x^2=4$: $x=\pm 2$.

   Lecția: Ecuații bipătrate →

9. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $3x^3+7x^2+7x+3=0$.

   • a) $\left\{-1,\frac{-2+i\sqrt{5}}{3},\frac{-2-i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   • b) $\left\{-1,\frac{2\pm i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   • c) $\left\{-3,\frac{-2\pm i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   • d) $\left\{1,\frac{-2\pm i\sqrt{5}}{3}\right\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\left\{-1,\frac{-2+i\sqrt{5}}{3},\frac{-2-i\sqrt{5}}{3}\right\}$

   Ecuație reciprocă de grad impar, deci $x=-1$ e rădăcină. Horner dă câtul $3x^2+4x+3$, cu $\Delta =16-36=-20$, deci $x=\frac{-4\pm 2i\sqrt{5}}{6}=\frac{-2\pm i\sqrt{5}}{3}$.

   Lecția: Ecuații reciproce →

10. Determinați $a,b,c\in \mathbb{C}$ din $a{X}^2+(b-3)X+c=4X^2+5X-2$.

    • a) $a=4,b=8,c=-2$
    • b) $a=4,b=5,c=-2$
    • c) $a=4,b=8,c=2$
    • d) $a=-4,b=8,c=-2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $a=4,b=8,c=-2$

    Rang $2$: $a=4$. Rang $1$: $b-3=5\Rightarrow b=8$. Rang $0$: $c=-2$.

    Lecția: Egalitatea a două polinoame. Identificarea coeficienților →

11. Determinați restul împărțirii polinomului $f=X^3-3X^2+2X-5$ la $X-4$.

    • a) $19$
    • b) $-19$
    • c) $21$
    • d) $13$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $19$

    Conform teoremei restului, restul este $f(4)=64-48+8-5=19$.

    Lecția: Împărțirea la X − a. Teorema restului →

12. La împărțirea unui polinom $f$ de gradul $8$ la un polinom $g$ de gradul $3$, ce grad are câtul?

    • a) $5$
    • b) $11$
    • c) $3$
    • d) $8$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $5$

    $\mathrm{grad}q=\mathrm{grad}f-\mathrm{grad}g=8-3=5$.

    Lecția: Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.