Exerciții rezolvate — Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică (clasa a X-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică", clasa a X-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. O sumă de $2000$ de lei este depusă cu dobândă anuală de $5\%$, capitalizată. Ce sumă este în cont după $2$ ani?

   • a) $2205$ lei
   • b) $2200$ lei
   • c) $2100$ lei
   • d) $2500$ lei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2205$ lei

   $S_2=2000\cdot 1,05^2=2000\cdot 1,1025=2205$ lei. Dobânda simplă ar da doar $2200$ lei — diferența de $5$ lei este «dobânda la dobândă».

   Lecția: Aplicații: dobândă compusă, scara Richter, pH și dezintegrare →

2. Comparați ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^7$: care este mai mare?

   • a) sunt egale
   • b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^7$
   • c) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$
   • d) nu se poate determina fără calcul
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$

   Bază subunitară: exponentul mai mic dă valoarea mai mare, deci ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4>{\left(\frac{1}{3}\right)}^7$.

   Lecția: Compararea puterilor cu aceeași bază →

3. Ecuația $a^x=b$, cu $a>0,a\ne 1$, nu are soluții atunci când:

   • a) $b\le 0$
   • b) $b=a$
   • c) $b>0$
   • d) $b=1$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $b\le 0$

   Cum $a^x>0$ pentru orice $x$, ecuația nu poate avea soluții dacă membrul drept este zero sau negativ.

   Lecția: Ecuații exponențiale elementare →

4. Pentru o ecuație de forma $\alpha a^{2x}+\beta a^x+\gamma =0$, notația potrivită este:

   • a) $t=a^x$
   • b) $t=2x$
   • c) $t=x^2$
   • d) $t=a^{2x}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $t=a^x$

   Cu $t=a^x$, rezultă $a^{2x}=t^2$, iar ecuația devine un trinom de gradul al doilea în $t$.

   Lecția: Ecuații exponențiale rezolvate prin substituție →

5. Rezolvați ecuația ${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x+3)=4$, ținând cont de condițiile de existență.

   • a) $S=\{5\}$
   • b) $S=\{-5,5\}$
   • c) $S=\{-5\}$
   • d) $S=\{4\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $S=\{5\}$

   CE: $x>3$. Restrângem: ${\log }_2((x-3)(x+3))=4\Rightarrow x^2-9=16\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=\pm 5$. Cum $-5$ nu verifică $x>3$, se respinge. Rămâne $S=\{5\}$; verificare: ${\log }_{2}2+{\log }_{2}8=1+3=4$ ✓.

   Lecția: Ecuații logaritmice →

6. Calculați ${\log }_{9}27$.

   • a) $\frac{3}{2}$
   • b) $\frac{2}{3}$
   • c) $3$
   • d) $9$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{3}{2}$

   Aducem la baza $3$: $9=3^2$, $27=3^3$, deci ${\log }_{9}27=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_{3}9}=\frac{3}{2}$. Verificare: $9^{3/2}=(3^2{)}^{3/2}=3^3=27$ ✓.

   Lecția: Formula de schimbare a bazei. Logaritmi zecimali și naturali →

7. Funcția exponențială $f(x)=a^x$ este definită pentru:

   • a) $a>0,a\ne 1$
   • b) doar $a>1$
   • c) $a<0$
   • d) $a\in \mathbb{R}$, oricare
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $a>0,a\ne 1$

   Condițiile obligatorii asupra bazei: strict pozitivă și diferită de $1$ (altfel funcția ar fi constantă sau nedefinită).

   Lecția: Funcția exponențială: definiție și reprezentare grafică →

8. Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)={\log }_{x-1}(6-x)$.

   • a) $(1,2)\cup (2,6)$
   • b) $(1,6)$
   • c) $(-\infty ,6)$
   • d) $(2,6)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(1,2)\cup (2,6)$

   Trei condiții: $6-x>0\Rightarrow x<6$; $x-1>0\Rightarrow x>1$; $x-1\ne 1\Rightarrow x\ne 2$. Intersectând: $(1,2)\cup (2,6)$. Varianta b) uită condiția asupra bazei.

   Lecția: Funcția logaritmică: grafic și proprietăți →

9. Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=x^{3/2}$ este:

   • a) $[0,+\infty )$
   • b) ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • c) $\mathbb{R}$
   • d) $(0,+\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $[0,+\infty )$

   Exponentul $3/2$ este neîntreg și pozitiv, deci, conform tabelului canonic, domeniul este $[0,+\infty )$.

   Lecția: Funcția putere cu exponent real: definiție și domeniu →

10. Pe $(0,+\infty )$, funcția $f(x)=x^{\alpha }$ este strict crescătoare dacă:

    • a) $\alpha >0$
    • b) $\alpha =0$
    • c) pentru orice $\alpha$
    • d) $\alpha <0$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\alpha >0$

    Monotonia depinde doar de semnul exponentului: pozitiv înseamnă strict crescătoare pe $(0,+\infty )$.

    Lecția: Graficul funcției putere; monotonie și comparări →

11. Inecuația $2^{f(x)}<-3$ are ca mulțime de soluții:

    • a) $(0,\infty )$
    • b) depinde de $f(x)$
    • c) mulțimea vidă
    • d) $\mathbb{R}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) mulțimea vidă

    Cum $2^{f(x)}>0$ întotdeauna, el nu poate fi mai mic decât $-3$ pentru niciun $x$: soluția este $\varnothing$.

    Lecția: Inecuații exponențiale →

12. Rezolvați inecuația ${\log }_{2}x<3$.

    • a) $(0,8)$
    • b) $(-\infty ,8)$
    • c) $(8,\infty )$
    • d) $(0,3)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $(0,8)$

    Baza $2$ e supraunitară, sensul se păstrează: $0<x<2^3=8$. Condiția $x>0$ nu dispare niciodată la logaritmi.

    Lecția: Inecuații logaritmice →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.