Exerciții rezolvate — Triunghiul: proprietăți fundamentale (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Triunghiul: proprietăți fundamentale", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Pentru triunghiul $XYZ$ se cunosc $XY=8$ cm, $XZ=5$ cm și unghiul $\angle X=65°$, cuprins între cele două laturi. Ce caz de construcție se aplică?

   • a) LUL
   • b) ULU
   • c) LLL
   • d) Datele nu sunt suficiente
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) LUL

   Sunt date două laturi ($XY$ și $XZ$) și unghiul $\angle X$ cuprins între ele, ambele pornind din vârful $X$. Acesta este exact tiparul cazului LUL (latură, unghi, latură).

   Lecția: Construcția triunghiurilor →

2. Pot segmentele de 6 cm, 9 cm și 17 cm să formeze un triunghi?

   • a) Da, pentru că $17<6+9$
   • b) Nu, pentru că $17>6+9$
   • c) Da, pentru că $6<9+17$
   • d) Nu se poate preciza fără raportor
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Nu, pentru că $17>6+9$

   Comparăm cea mai mare latură cu suma celorlalte două: cea mai mare este 17, iar $6+9=15$. Cum $17>15$, latura mare nu este strict mai mică decât suma celorlalte, deci triunghiul nu se poate forma (este „turtit" sau chiar deschis).

   Lecția: Inegalități între laturile și unghiurile triunghiului →

3. Un triunghi isoscel are laturile laterale de $14\text{cm}$ fiecare și baza de $9\text{cm}$. Cât este perimetrul triunghiului?

   • a) $23\text{cm}$
   • b) $37\text{cm}$
   • c) $28\text{cm}$
   • d) $46\text{cm}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $37\text{cm}$

   Folosim formula pentru isoscel: $P=2\ell +b=2\cdot 14+9=28+9=37\text{cm}$. Varianta a) adună doar $14+9$ (uită de a doua latură laterală); varianta c) folosește greșit doar $2\cdot 14=28$, fără a mai aduna baza; varianta d) dublează greșit toată suma laturii cu baza, $2\cdot (14+9)=46$, în loc să dubleze doar latura laterală.

   Lecția: Perimetrul triunghiului →

4. În triunghiul $DEF$, la vârful $F$ latura $EF$ se prelungește și se formează un unghi exterior de $125°$. Se știe că $m(\angle D)=48°$. Cât este $m(\angle E)$?

   • a) $55°$
   • b) $77°$
   • c) $48°$
   • d) $125°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $77°$

   Unghiul exterior este egal cu suma unghiurilor neadiacente: $125°=m(\angle D)+m(\angle E)=48°+m(\angle E)$, deci $m(\angle E)=125°-48°=77°$.

   Lecția: Probleme cu unghiurile și laturile triunghiului →

5. Într-un triunghi $XYZ$, $m(\angle X)=48°$ și $m(\angle Y)=77°$. Cât măsoară $m(\angle Z)$?

   • a) $45°$
   • b) $55°$
   • c) $65°$
   • d) $125°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $55°$

   Suma unghiurilor unui triunghi este $180°$. Adunăm unghiurile cunoscute: $48°+77°=125°$. Scădem din $180°$: $m(\angle Z)=180°-125°=55°$.

   Lecția: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi →

6. Un triunghi $DEF$ are laturile $DE=6$ cm, $EF=9$ cm și $FD=6$ cm. Ce fel de triunghi este, după laturi?

   • a) scalen
   • b) isoscel
   • c) echilateral
   • d) dreptunghic
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) isoscel

   Comparăm laturile: $DE=6$ cm și $FD=6$ cm sunt egale, iar $EF=9$ cm este diferită. Deci triunghiul are exact două laturi egale, adică este isoscel (varianta d nu este o clasificare după laturi, ci după unghiuri).

   Lecția: Triunghiul: definiție, elemente și clasificare →

7. În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=48°$ și $m(\angle B)=77°$. Cât are unghiul exterior din vârful $C$?

   • a) $55°$
   • b) $103°$
   • c) $125°$
   • d) $150°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $125°$

   Unghiul exterior din $C$ este suma unghiurilor neadiacente $A$ și $B$: $48°+77°=125°$. Verificare: $m(\angle C)=180°-48°-77°=55°$, iar suplementarul lui este $180°-55°=125°$ — aceeași valoare.

   Lecția: Unghiul exterior al unui triunghi. Teorema unghiului exterior →

8. Se poate construi un triunghi cu laturile $5$ cm, $7$ cm și $13$ cm?

   • a) Da, deoarece toate laturile sunt numere pozitive
   • b) Nu, deoarece $13>5+7=12$
   • c) Da, deoarece $13<5\cdot 7$
   • d) Nu, deoarece $5=7-2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Nu, deoarece $13>5+7=12$

   Inegalitatea triunghiului cere ca cea mai lungă latură să fie mai mică decât suma celorlalte două. Aici $13>5+7=12$, deci cele două arce trasate cu compasul nu s-ar întâlni și triunghiul nu se poate construi.

   Lecția: Construcția triunghiurilor →

9. În triunghiul $ABC$ avem $AB=11\text{ cm}$, $BC=6\text{ cm}$, $CA=8\text{ cm}$. Care este cel mai mare unghi al triunghiului?

   • a) Unghiul $A$
   • b) Unghiul $B$
   • c) Unghiul $C$
   • d) Nu se poate determina fără raportor
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Unghiul $C$

   Cea mai lungă latură este $AB=11\text{ cm}$. Latura $AB$ nu trece prin vârful $C$, deci ei i se opune unghiul $C$. Cum laturii mai mari i se opune unghiul mai mare, unghiul $C$ este cel mai mare.

   Lecția: Inegalități între laturile și unghiurile triunghiului →

10. Un triunghi echilateral are latura de $15\text{cm}$. Calculează perimetrul triunghiului.

    • a) $15\text{cm}$
    • b) $35\text{cm}$
    • c) $45\text{cm}$
    • d) $60\text{cm}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $45\text{cm}$

    La echilateral, perimetrul este $P=3\ell =3\times 15=45\text{cm}$. Varianta a) $15\text{cm}$ este doar lungimea unei laturi, fără înmulțire; varianta b) $35\text{cm}$ apare dintr-o eroare de calcul la $3\times 15$; varianta d) $60\text{cm}$ apare dacă aduni greșit patru laturi ($4\times 15$) în loc de trei.

    Lecția: Perimetrul triunghiului →

11. Un triunghi are unghiurile de $35°$, $35°$ și $110°$. Ce fel de triunghi este, după unghiuri și după laturi?

    • a) ascuțitunghic isoscel
    • b) obtuzunghic scalen
    • c) obtuzunghic isoscel
    • d) dreptunghic isoscel
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) obtuzunghic isoscel

    Cel mai mare unghi este $110°>90°$, deci triunghiul este obtuzunghic. Două unghiuri sunt egale ($35°$ și $35°$), deci laturile opuse lor sunt egale, adică triunghiul este și isoscel. Răspuns: obtuzunghic isoscel.

    Lecția: Probleme cu unghiurile și laturile triunghiului →

12. Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele $3$, $5$ și $7$. Cât măsoară cel mai mare unghi al triunghiului?

    • a) $36°$
    • b) $60°$
    • c) $84°$
    • d) $90°$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $84°$

    Notăm unghiurile $3k$, $5k$ și $7k$. Suma lor este $180°$: $3k+5k+7k=15k=180°$, deci $k=12°$. Cel mai mare unghi este $7k=7\cdot 12°=84°$.

    Lecția: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.