Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivata ca ritm, tangenta ca dreaptă

Cum aflu tangenta la o fracție, din definiție?

Calculezi întâi $f (x_{0})$ , apoi aduci diferența $f (x) - f (x_{0})$ la același numitor, ca să apară factorul $x - x_{0}$ la numărător. Exemplu: $f (x) = \frac{7 x + 1}{x + 5}$ în $x_{0} = 1$ . Obții $f (1) = \frac{4}{3}$ ; după simplificare, raportul devine $\frac{17}{3 ( x + 5 )}$ , iar pentru $x = 1$ rezultă $f^{'} (1) = \frac{17}{18}$ . Ecuația dreptei este $y - \frac{4}{3} = \frac{17}{18} (x - 1)$ . Proba: punând $x = 1$ , ecuația dă înapoi $\frac{4}{3}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Derivata într-un punct arată cu cât se schimbă o mărime la fiecare unitate în plus a celeilalte, chiar în punctul cercetat: metri de oprire pentru un kilometru pe oră în plus, grame de furaj pentru un gram de aditiv. Se obține ca limită a raportului dintre creșterea lui $f$ și creșterea lui $x$ , pe măsură ce intervalul dintre cele două valori ale lui $x$ devine tot mai mic. Punctul $x_{0}$ trebuie să aparțină domeniului, iar dacă limita nu există sau este infinită, funcția nu are derivată finită acolo.

Calculul are patru mișcări. Scrii punctul și valoarea funcției în el. Faci raportul și scoți din numărător factorul $x - x_{0}$ : diferență de pătrate sau de cuburi la polinoame, același numitor la fracții, conjugatul la radicali. Simplifici, apoi pui $x = x_{0}$ în ce a rămas. Tangenta se așază cu formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .

Cea mai scumpă greșeală este să împarți valoarea funcției la abscisă: obții panta dreptei dinspre origine, nu ritmul din punct. Încă două scăpări apar la tangentă: se uită $f (x_{0})$ din ecuație sau se amestecă unitățile, de pildă grame cu kilograme.

Verifici în două feluri: punctul de tangență trebuie să stea pe dreapta scrisă, iar panta trebuie să cadă între pantele a două secante luate de o parte și de alta a punctului. Unitatea derivatei este unitatea lui $f$ împărțită la unitatea lui $x$ .

De reținut

derivata în $x_{0}$ este limita raportului dintre creșterea lui $f$ și creșterea lui $x$ , cu $x_{0}$ în domeniu
tangenta este $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
derivata se măsoară în unitățile lui $f$ împărțite la cele ale lui $x$

Greșeala tipică

Se scrie tangenta fără $f (x_{0})$ . La exemplul de mai sus, $y = \frac{17}{18} (x - 1)$ dă pentru $x = 1$ valoarea $0$ , nu $\frac{4}{3}$ , deci dreapta nu trece prin punctul de tangență.

Exerciții din această mini-lecție

Profilul unei rampe de acces din beton este graficul unei funcții $f$ , cu abscisa $x$ în metri și înălțimea $f (x)$ în metri. Se știe că $f (6) = 1, 4$ și $f^{'} (6) = 0, 05$ . Care este ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $6$ ?
- a) $y = 0, 05 x - 0, 3$
- b) $y = 0, 05 x + 1, 4$
- c) $y = 0, 05 x + 1, 1$
- d) $y = 0, 05 x - 1, 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = 0, 05 x + 1, 1$

Tangenta este $y - 1, 4 = 0, 05 (x - 6)$ , adică $y = 0, 05 x + 1, 1$ . Varianta $y = 0, 05 x - 0, 3$ uită $f (6)$ și scrie doar $y = 0, 05 (x - 6)$ . Varianta $y = 0, 05 x + 1, 4$ pune $f (6)$ drept termen liber, iar $y = 0, 05 x - 1, 7$ scade $1, 4$ în loc să-l adune.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 10 x$ . Folosind $x^{3} - 4^{3} = (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)$ , află din definiție $f^{'} (4)$ .
- a) $38$
- b) $48$
- c) $22$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $38$

Raportul se simplifică: $\frac{f ( x ) - f ( 4 )}{x - 4} = x^{2} + 4 x + 16 - 10 = x^{2} + 4 x + 6$ , iar pentru $x = 4$ rezultă $f^{'} (4) = 38$ . Valoarea $48$ uită să scadă $10$ , iar $22$ pierde termenul de mijloc și ia doar $x^{2} + 16 - 10$ . Valoarea $24$ este chiar $f (4) = 64 - 40$ , nu derivata.
Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{18}{x}$ și dreapta $d : y = - 2 x + 7$ . Tangenta la graficul lui $f$ este paralelă cu $d$ în punctul de abscisă:
- a) $9$
- b) $6$
- c) $- 3$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3$

Panta tangentei este $f^{'} (x) = - \frac{18}{x ^{2}}$ și trebuie să fie $- 2$ , deci $x^{2} = 9$ . Domeniul cere $x > 0$ , deci rămâne $x = 3$ , iar $x = - 3$ iese din domeniu. Valoarea $9$ vine din derivata scrisă fără pătrat, $- \frac{18}{x} = - 2$ , iar $6$ este ordonata punctului, $f (3)$ , nu abscisa.

Întrebări conexe

Ce fac dacă numitorul se anulează chiar în punctul cerut?

Nu scrii nicio tangentă: punctul nu aparține domeniului, deci nu există punct pe grafic. De pildă, pentru $f (x) = \frac{5}{x - 8}$ nu se cere tangenta în $x_{0} = 8$ , pentru că $f (8)$ nu are valoare. Verifici domeniul înainte de orice calcul, apoi alegi un punct în care numitorul este nenul.

Cum scot factorul $x - x_{0}$ când funcția are radical?

Amplifici raportul cu conjugatul. Pentru $f (x) = x + 21$ în $x_{0} = 4$ , raportul $\frac{x + 21 - 5}{x - 4}$ devine $\frac{1}{x + 21 + 5}$ , deci $f^{'} (4) = \frac{1}{10}$ . Diferența $x + 21 - 25 = x - 4$ face să apară factorul căutat la numărător, iar după simplificare nu mai rămâne nicio împărțire la zero în punctul cerut.

Cum scriu tangenta când panta iese fracție?

Lași panta ca fracție și aduci totul la același numitor la sfârșit. Pentru panta $\frac{17}{18}$ și punctul $(1; \frac{4}{3})$ obții $y = \frac{17 x + 7}{18}$ , fiindcă $\frac{4}{3} = \frac{24}{18}$ și $24 - 17 = 7$ . Rotunjirile intră doar la o estimare, nu în ecuația tangentei.

Ce fac când valoarea funcției în punct este 0?

Raportul se simplifică: dacă $f (x_{0}) = 0$ , atunci $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = \frac{f ( x )}{x - x _{0}}$ , iar limita lui este chiar $f^{'} (x_{0})$ . Pentru $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 33 x$ avem $f (3) = 0$ și $f (x) = x (x - 3) (x - 11)$ , deci limita în $3$ este $3 \cdot (- 8) = - 24$ .

Ce înseamnă derivata distanței de oprire a unui camion?

Este cu cât se lungește oprirea la fiecare kilometru pe oră în plus, chiar la viteza respectivă. Unitatea ei este metri pe kilometru pe oră. Dacă la o viteză dată derivata este $1, 5$ , atunci creșterea vitezei cu $2$ km/h adaugă aproximativ $3$ m la oprire.

De ce raportul dintre f(x₀) și x₀ nu este panta tangentei?

Raportul $\frac{f ( x _{0} )}{x _{0}}$ este panta dreptei care unește punctul cu originea, o secantă particulară. Pentru $f (x) = x^{2} + 3 x$ în $x_{0} = 2$ el dă $\frac{10}{2} = 5$ , iar derivata este $2 \cdot 2 + 3 = 7$ . Tangenta cere limita pe pași tot mai mici, nu o singură împărțire.

Oamenii mai întreabă și: ecuația tangentei la o funcție cu x la numitor · derivata unei fracții calculată din definiție · tangenta la graficul unei funcții raționale · cum scriu tangenta când funcția este o fracție