Derivata, viteza și tangenta pentru tehnologic

Dispecerul unei firme de transport vrea să mute limitatorul camioanelor de la 86 la 90 km/h și întreabă cu câți metri se lungește oprirea. Tabelul probelor nu răspunde, dar derivata distanței de oprire o face, iar tangenta la grafic o transformă într-o estimare pe loc. Derivata, pe care la tehnologic o începi în clasa a XI-a, pornește aici de la o limită pe care o calculezi singur. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), derivata într-un punct și ecuația tangentei se cer la Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

O firmă de transport are patru camioane de 7,5 t și le trimite, înainte de sezon, la poligonul unei școli de șoferi profesioniști. Instructorul aduce camionul la viteza dorită, citită cu un radar, dă semnalul de oprire și măsoară cu ruleta distanța de la semnal până la oprire. Distanța cuprinde drumul făcut în timpul de reacție și drumul de frânare. Pista e uscată, anvelopele sunt noi, iar încărcătura e aceeași la toate probele.

Mecanicul firmei a observat că cele patru măsurători, rotunjite la zecimi de metru, se potrivesc cu formula $d(v)=0,0055v^2+0,28v$. Limitatorul este reglat la 86 km/h, iar dispecerul vrea să-l mute la 90 km/h, ca livrările pe autostradă să ajungă mai repede.

Întrebare: la 86 km/h, cu câți metri crește distanța de oprire pentru fiecare kilometru pe oră în plus, și ce distanță de oprire estimează tangenta pentru 90 km/h?

De la situație la model

Ai nevoie de simplificarea unei fracții cu numitorul $x-a$, pe care o știi de la nedeterminările de tip 0/0, și de ideea de funcție continuă din continuitatea la tehnologic. Ordinea lecțiilor de analiză o vezi pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Cum măsori cât de repede crește distanța?

Între 86 și 90 km/h distanța crește de la $d(86)=64,758$ m la $d(90)=69,75$ m, adică cu 4,992 m pe 4 km/h, deci cu 1,248 m pentru fiecare km/h. Numărul acesta e o medie pe tot intervalul și se numește panta secantei: este panta dreptei care taie graficul în punctele de abscise 86 și 90. Dispecerul vrea însă ritmul exact la 86 km/h. Scrie raportul pentru o viteză $v\ne 86$ și scoate factorul $v-86$, folosind $v^2-86^2=(v-86)(v+86)$:

$$\frac{d(v)-d(86)}{v-86}=\frac{0,0055(v^2-86^2)+0,28(v-86)}{v-86}=0,0055(v+86)+0,28$$

Pentru $v=90$ raportul dă 1,248, pentru $v=88$ dă 1,237, iar când $v$ se apropie de 86 ajunge la $0,0055\cdot 172+0,28=1,226$.

Ce este derivata într-un punct?

Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ este numărul spre care se apropie panta secantei, adică raportul dintre cât crește $f$ și cât crește $x$, când pasul pe care crește $x$ se micșorează spre 0. Notezi pasul cu $h$ și scrii

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Calculele din lecție folosesc aceeași limită, cu $x=x_0+h$: raportul dintre $f(x)-f(x_0)$ și $x-x_0$, când $x$ se apropie de $x_0$. Limita trebuie să existe și să fie un număr real. Unitatea derivatei e unitatea lui $f$ împărțită la unitatea lui $x$: aici, metri pe kilometru pe oră. Deci $d^{\prime }(86)=1,226$ înseamnă că, la 86 km/h, fiecare km/h în plus aduce 1,226 m de oprire în ritmul de acolo. Spunem „în ritmul de acolo”, fiindcă ritmul se schimbă cu viteza: la 90 km/h el este 1,27.

Cum scrii tangenta și la ce o folosești?

Tangenta la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0$ este dreapta care trece prin $(x_0;f(x_0))$ și are panta $f^{\prime }(x_0)$. Ecuația ei este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Aproape de $x_0$ graficul și tangenta aproape se confundă, deci tangenta dă o estimare liniară: $f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. La 86 km/h tangenta este $y-64,758=1,226(v-86)$, adică $y=1,226v-40,678$, iar pentru 90 km/h ea dă 69,662 m, față de 69,75 m cât dă formula. Estimarea greșește cu aproximativ 9 cm, iar greșeala crește cu depărtarea de punctul tangentei.

Ce înseamnă „funcție derivabilă”?

O funcție este derivabilă în $x_0$ dacă limita raportului există și este finită, iar pe un interval dacă este derivabilă în fiecare punct al lui. Funcția $d$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, ca orice polinom. O funcție derivabilă într-un punct este acolo continuă, fără demonstrație, iar graficul ei are tangentă neverticală. Un colț nu are tangentă: pentru $f(x)=|x|$ raportul în 0 dă $-1$ la stânga și $1$ la dreapta, deci nu are limită. La $\sqrt{x}$ derivata există numai pentru $x>0$, fiindcă în 0 raportul $\frac{1}{\sqrt{x}}$ crește peste orice număr.

Metoda pas cu pas

1. Notează punctul. Scrie $x_0$ și calculează $f(x_0)$, cu unitatea ei. Punctul $(x_0;f(x_0))$ trebuie să fie pe grafic, deci $x_0$ aparține domeniului funcției, nu doar axei reale.
2. Scrie raportul și simplifică. Scrie raportul dintre $f(x)-f(x_0)$ și $x-x_0$ și descompune numărătorul, ca să apară factorul $x-x_0$. Folosești $x^2-x_0^2=(x-x_0)(x+x_0)$ și $x^3-x_0^3=(x-x_0)(x^2+x{x}_0+x_0^2)$; la fracții aduci la același numitor, iar la radicali amplifici cu conjugatul.
3. Treci la limită. Înlocuiește $x=x_0$ în ce a rămas după simplificare. Rezultatul este $f^{\prime }(x_0)$, cu unitatea lui.
4. Scrie tangenta. Ecuația este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Dacă enunțul dă panta, scrie ecuația $f^{\prime }(x_0)=\text{panta}$ și rezolv-o.
5. Verifică. Punctul $(x_0;f(x_0))$ trebuie să verifice ecuația tangentei. Panta trebuie să se apropie de pantele secantelor pe pași mici, făcuți de mână, la stânga și la dreapta lui $x_0$. Estimarea dată de tangentă se compară cu valoarea reală într-un punct apropiat.

Când enunțul nu dă punctul, ci o condiție asupra pantei, calculezi întâi derivata într-un punct oarecare $x_0$, ca la Exemplul 2, apoi condiția devine o ecuație în $x_0$, iar soluția trebuie să fie în domeniu. Alege tehnica după forma funcției. La un polinom folosești descompunerile de mai sus. La o fracție de forma $\frac{ax+b}{cx+d}$ aduci diferența la același numitor, iar numărătorul devine un multiplu al lui $x-x_0$. La $\sqrt{x+k}$ amplifici cu $\sqrt{x+k}+\sqrt{x_0+k}$, ca să apară diferența $x-x_0$ la numărător. Pasul 2 este singurul care cere ochi: dacă după simplificare mai rămâne $x-x_0$ la numitor, factorul nu a fost scos bine și limita încă nu se poate calcula. La pasul 5, un „pas mic” înseamnă o unitate a situației, un kilometru pe oră sau o zi, sau o zecime pe numere ușoare.

Fișa de buzunar

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

Condiții: $x_0$ este în domeniul funcției, iar limita există și este finită. Tangenta este orizontală dacă $f^{\prime }(x_0)=0$ și paralelă cu o dreaptă de pantă $m$ dacă $f^{\prime }(x_0)=m$. Unitatea derivatei este unitatea lui $f$ pe unitatea lui $x$. Dacă $f(x_0)=0$, limita lui $\frac{f(x)}{x-x_0}$ este chiar $f^{\prime }(x_0)$. Verificare rapidă: punctul de tangență verifică ecuația tangentei.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Distanța de oprire la 86 km/h

Domeniu: auto.

Enunț. Revenim la camioanele firmei, cu $d(v)=0,0055v^2+0,28v$, unde $v$ e în km/h și $d$ în metri. a) Calculează $d^{\prime }(86)$ din definiție. b) Scrie tangenta la grafic în punctul de abscisă 86 și estimează cu ea distanța de oprire la 90 km/h. c) Cu cât greșește estimarea față de formulă?

Rezolvare. a) $d(86)=0,0055\cdot 7396+0,28\cdot 86=40,678+24,08=64,758$ m. Raportul se simplifică prin $v-86$ și dă $0,0055(v+86)+0,28$, deci $d^{\prime }(86)=0,0055\cdot 172+0,28=1,226$ m pe km/h. b) Tangenta este $y-64,758=1,226(v-86)$. Pentru $v=90$ obținem $64,758+4\cdot 1,226=69,662$ m. c) Formula dă $d(90)=69,75$ m, deci estimarea e cu $69,75-69,662=0,088$ m prea mică, adică 8,8 cm. Pentru un camion care frânează de la 90 km/h, diferența e mică, deci tangenta ajunge pentru o discuție rapidă cu dispecerul.

Capcană. Cine împarte distanța la viteză, $64,758:86\approx 0,753$, a găsit panta dreptei dintre origine și punct, nu ritmul din punct. Cu ea ar estima $64,758+4\cdot 0,753\approx 67,77$ m, cu aproape 2 m sub valoarea reală.

Verificare. De la 86 la 87 km/h distanța crește cu $d(87)-d(86)=65,9895-64,758=1,2315$ m, aproape de 1,226. Panta secantei până la 90 km/h, 1,248, e mai mare, fiindcă ritmul crește de la 1,226 la 86 km/h până la 1,27 la 90 km/h.

Exemplul 2 — Uzura unei plăcuțe de strung

Domeniu: mecanica.

Enunț. La strunjirea unor arbori de oțel, uzura flancului unei plăcuțe crește după $u(t)=0,006t^3-0,27t^2+10,6t$ micrometri (µm), cu $t$ în minute de așchiere, $0\le t\le 30$. Ritmul de uzură, în µm pe minut, este derivata $u^{\prime }(t)$. a) Calculează $u^{\prime }(t_0)$ pentru un $t_0$ oarecare. b) Scrie tangenta în punctul de la 12 minute. c) În ce momente ritmul de uzură este de 7 µm pe minut?

Rezolvare. a) Raportul este $\frac{0,006(t^3-t_0^3)-0,27(t^2-t_0^2)+10,6(t-t_0)}{t-t_0}$. După simplificare rămâne $0,006(t^2+t{t}_0+t_0^2)-0,27(t+t_0)+10,6$, iar pentru $t=t_0$ obținem $u^{\prime }(t_0)=0,018t_0^2-0,54t_0+10,6$. b) $u(12)=98,688$ µm și $u^{\prime }(12)=2,592-6,48+10,6=6,712$ µm pe minut. Tangenta este $y-98,688=6,712(t-12)$. c) Din $0,018t_0^2-0,54t_0+10,6=7$ rezultă $t_0^2-30t_0+200=0$, deci $t_0=10$ sau $t_0=20$, ambele în $[0;30]$. Între ele ritmul e sub 7 µm pe minut: plăcuța a trecut de rodaj și nu a intrat încă în uzura accelerată.

Capcană. Cine scrie $t^2+t_0^2$ în loc de $t^2+t{t}_0+t_0^2$ pierde termenul de mijloc: factorul devine $2t_0^2$, nu $3t_0^2$, și ritmul la 12 minute iese 5,848 µm pe minut, cu aproape 0,9 sub cel real.

Verificare. De la minutul 12 la 13 uzura crește cu $u(13)-u(12)=105,352-98,688=6,664$ µm, aproape de 6,712. La 10 minute ritmul e $1,8-5,4+10,6=7$, iar la 20 de minute e $7,2-10,8+10,6=7$.

Exemplul 3 — Rația de concentrat a unei vaci

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Ieslea automată a unei vaci e programată în grame: 6 000 g de concentrat pe zi. Producția de lapte, în litri pe zi, depinde de rația zilnică $x$, în kilograme, după $f(x)=11+\frac{26x}{x+4}$. Concentratul costă 1 920 lei pe tonă, iar laptele se vinde cu 2,40 lei pe litru. a) Transformă rația în kilograme și calculează $f^{\prime }(x_0)$ pentru un $x_0$ oarecare. b) Cu cât estimează tangenta producția pentru o rație mărită cu 0,5 kg? c) Merită un kilogram de concentrat în plus, la rația de acum?

Rezolvare. a) 6 000 g înseamnă 6 kg, iar $f(6)=11+\frac{156}{10}=26,6$ litri. Diferența este $f(x)-f(x_0)=26\left(\frac{x}{x+4}-\frac{x_0}{x_0+4}\right)=\frac{104(x-x_0)}{(x+4)(x_0+4)}$, deci $f^{\prime }(x_0)=\frac{104}{(x_0+4{)}^2}$ și $f^{\prime }(6)=1,04$ litri pe kilogram. b) Pentru 0,5 kg în plus: $1,04\cdot 0,5=0,52$ litri. c) Concentratul costă 1,92 lei pe kilogram, iar 1,04 litri aduc $1,04\cdot 2,40=2,496$ lei, deci merită. Câștigul dispare când ritmul coboară la $1,92:2,40=0,8$ litri pe kilogram, adică $\frac{104}{(x_0+4{)}^2}=0,8$, de unde $x_0=\sqrt{130}-4\approx 7,40$ kg.

Capcană. Cine lasă rația în grame și pune $x_0=6000$ în formulă obține $f^{\prime }(6000)=\frac{104}{6004^2}\approx 0,0000029$ litri pe kilogram, adică ideea absurdă că laptele nu mai crește deloc cu rația. Formula cere kilograme.

Verificare. De la 6 la 7 kg producția crește cu $f(7)-f(6)=27,5455-26,6=0,9455$ litri. Numărul stă între ritmurile de la capete, $f^{\prime }(6)=1,04$ și $f^{\prime }(7)=0,8595$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: conturul unei tăblii de pat

Domeniu: lemn.

Enunț. Cerințele de acest fel se dau la problema 1 din Subiectul al III-lea. Aici funcția vine de la un atelier de tâmplărie, unde tăblia unui pat se frezează după un șablon: conturul superior este graficul funcției $g$, cu $x$ în decimetri și $g(x)$ în milimetri. Se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^3-11x^2+22x+27$. a) Demonstrați că $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{g(x)-g(7)}{x-7}=15$. b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $g$ în punctul de abscisă $x_0=7$.

Rezolvare. a) $g(7)=343-539+154+27=-15$, deci numărătorul este $g(x)+15=x^3-11x^2+22x+42=(x-7)(x^2-4x-6)$. După simplificare rămâne $x^2-4x-6$, care pentru $x=7$ dă $49-28-6=15$. b) Limita de la a) este $g^{\prime }(7)=15$, iar $g(7)=-15$. Tangenta este $y+15=15(x-7)$, adică $y=15x-120$. Panta înseamnă 15 mm în sus pe fiecare decimetru.

Capcană. Cine scrie $+6$ în loc de $-6$ la ultimul termen al factorului obține $49-28+6=27$ și concluzia greșită că limita este 27. Înmulțirea la loc prinde greșeala: termenul liber al produsului ar fi $(-7)\cdot 6=-42$, nu 42, cât are numărătorul.

Verificare. Tangenta trece prin punctul de tangență: $15\cdot 7-120=-15$. În jurul lui 7, pe pași de o zecime, $g(6,9)=-16,401$ și $g(7,1)=-13,399$, deci pantele secantelor sunt $14,01$ și $16,01$, iar 15 stă între ele.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru $f(x)=6x^2-11x+2$, calculează din definiție $f^{\prime }(3)$ și scrie ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=3$.

2. Pentru $g(x)=2x^3+5x$, calculează din definiție $g^{\prime }(-2)$ și scrie tangenta în punctul de abscisă $-2$.

3. Pentru $h(x)=\frac{x+9}{x-3}$, cu $x\ne 3$, adu diferența $h(x)-h(5)$ la același numitor, calculează $h^{\prime }(5)$ și scrie tangenta în $x_0=5$.

4. Pentru $q(x)=\sqrt{x+11}$, cu $x\ge -11$, amplifică cu conjugatul și calculează $q^{\prime }(5)$, apoi scrie tangenta în $x_0=5$. Arată că $q$ nu este derivabilă în $-11$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Într-o cramă, un senzor notează temperatura mustului care fermentează într-o cisternă, în grade Celsius, la $t$ ore de la începutul fermentației. Pe grafic, tangenta la curbă în punctul $A(38;22,4)$ trece și prin $B(14;19,4)$, iar curba rămâne sub tangentă în jurul lui $A$. Calculează panta tangentei și spune ce arată ea în °C pe oră. Estimează cu tangenta temperatura la ora 46 și spune dacă estimarea e prea mare sau prea mică.

6. (Problemă aplicată.) Un râu primește apă tratată de la o stație de epurare, iar concentrația de nitrați, în mg/l, la $x$ km în aval de gura de evacuare este $c(x)=\frac{48}{x+4}$. Calculează din definiție $c^{\prime }(6)$ și explică semnul și unitatea ei. Scrie tangenta în $x_0=6$ și estimează cu ea concentrația la 7 km, apoi compar-o cu valoarea exactă.

7. (Problemă aplicată.) La grâul de toamnă, producția în funcție de doza de azot $N$, în kg pe hectar, urmează formula $r(N)=3200+aN-0,05N^2$, cu $r$ în kg pe hectar. La doza de 86 kg pe hectar, fiecare kilogram de azot în plus aduce în ritm de 12 kg de grâu. Determină $a$. La ce doză acest ritm este de 6 kg de grâu pe kilogram de azot?

8. (Problemă aplicată.) Stocul unui magazin de ulei de motor, în bucăți, la $t$ zile de la inventar, este $S(t)=520-24t+0,4t^2$ pentru $0\le t\le 30$. Calculează $S^{\prime }(t_0)$ din definiție, apoi ritmul de scădere a stocului la $t_0=13$. În ce zi ritmul de scădere este de 8 bucăți pe zi?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x-1}{x}$. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^2-24x+13$. Verificați dacă dreapta de ecuație $y=16x-67$ este tangentă la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=4$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2+14x$. Arătați că $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{f(x)}{x-7}=35$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2+12x+7$. Aflați abscisele punctelor de pe graficul funcției $f$ în care tangenta este paralelă cu dreapta de ecuație $y=-12x+19$.

Răspunsuri și verificări

1. $f(3)=23$, raportul se simplifică în $6(x+3)-11$, deci $f^{\prime }(3)=25$. Tangenta este $y-23=25(x-3)$, adică $y=25x-52$. Verificare: pentru $x=3$ ecuația dă $75-52=23$, iar secanta de la 3 la 3,1 are panta $(25,56-23):0,1=25,6$, aproape de 25.

2. $g(-2)=-26$ și raportul se simplifică în $2(x^2-2x+4)+5$, deci $g^{\prime }(-2)=2\cdot 12+5=29$. Tangenta este $y+26=29(x+2)$, adică $y=29x+32$. Verificare: pentru $x=-2$ ecuația dă $-58+32=-26$.

3. $h(5)=7$ și $h(x)-h(5)=\frac{-6(x-5)}{x-3}$, deci, după simplificarea prin $x-5$, raportul în $x=5$ este $\frac{-6}{5-3}=-3$ și $h^{\prime }(5)=-3$. Tangenta este $y-7=-3(x-5)$, adică $y=-3x+22$. Verificare: pentru $x=5$ ecuația dă $-15+22=7$.

4. $q(5)=4$ și raportul este $\frac{1}{\sqrt{x+11}+4}$, deci $q^{\prime }(5)=\frac{1}{8}$. Tangenta este $y-4=\frac{1}{8}(x-5)$, adică $y=\frac{x}{8}+\frac{27}{8}$. În $-11$ raportul este $\frac{1}{\sqrt{x+11}}$ și crește peste orice număr: $q$ nu e derivabilă acolo. Verificare: $q(5,8)=\sqrt{16,8}\approx 4,0988$; tangenta dă $4,1$.

5. Panta este $\frac{22,4-19,4}{38-14}=0,125$ °C pe oră: la ora 38 mustul se încălzește în ritm de 0,125 °C pe oră. Estimarea pentru ora 46 este $22,4+8\cdot 0,125=23,4$ °C. Curba e sub tangentă, deci valoarea reală e mai mică și estimarea e prea mare. Verificare: ecuația $y=0,125t+17,65$ dă pentru $t=14$ valoarea $19,4$, punctul $B$.

6. $c(6)=4,8$ mg/l, iar raportul $\frac{c(x)-c(6)}{x-6}$ se simplifică în $\frac{-4,8}{x+4}$, deci $c^{\prime }(6)=-0,48$ mg/l pe km: minusul arată că nitrații scad în aval. Tangenta este $y-4,8=-0,48(x-6)$; la 7 km estimează $4,32$ mg/l, față de $c(7)=4,36$ mg/l, deci cu 0,04 mai puțin. Verificare: scăderea reală pe tronsonul 6–7 km este $4,8-4,36=0,44$ mg/l, între $0,48$ și $\left|c^{\prime }(7)\right|=\frac{48}{121}\approx 0,40$.

7. Raportul este $a-0,05(N+86)$, deci $r^{\prime }(86)=a-8,6$. Din $a-8,6=12$ rezultă $a=20,6$. Ritmul $r^{\prime }(N)=20,6-0,1N$ este 6 când $N=\frac{14,6}{0,1}=146$ kg pe hectar. Verificare: $r^{\prime }(146)=20,6-14,6=6$.

8. Raportul se simplifică în $-24+0,4(t+t_0)$, deci $S^{\prime }(t_0)=-24+0,8t_0$. La $t_0=13$: $-24+10,4=-13,6$ bucăți pe zi, adică stocul scade în ritm de 13,6 bucăți pe zi. Ritmul este $-8$ când $0,8t_0=16$, deci în ziua 20. Verificare: $S(14)-S(13)=262,4-275,6=-13,2$, aproape de $-13,6$.

9. $f(2)=\frac{5}{2}$ și $f(x)-f(2)=\frac{x-2}{2x}$, deci raportul este $\frac{1}{2x}$ și $f^{\prime }(2)=\frac{1}{4}$. Tangenta este $y-\frac{5}{2}=\frac{1}{4}(x-2)$, adică $y=\frac{x}{4}+2$. Verificare: pentru $x=2$ ecuația dă $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

10. $f(4)=80-96+13=-3$ și $16\cdot 4-67=-3$, deci punctul este pe dreaptă. Numărătorul raportului se descompune: $f(x)-f(4)=5x^2-24x+16=(x-4)(5x-4)$, deci $f^{\prime }(4)=5\cdot 4-4=16$, egală cu panta dreptei. Dreapta trece prin punct și are panta $f^{\prime }(4)$, deci este tangentă. Verificare: secantele de la 3,9 la 4 și de la 4 la 4,1 au pantele 15,5 și 16,5, iar 16 stă între ele.

11. $f(7)=343-441+98=0$, deci $f(x)=f(x)-f(7)$ și limita cerută este $f^{\prime }(7)$. Descompunerea $f(x)=x(x-2)(x-7)$ dă raportul $x(x-2)$, iar pentru $x=7$ rezultă $7\cdot 5=35$. Verificare: $x(x-2)(x-7)=x(x^2-9x+14)=x^3-9x^2+14x$.

12. Raportul se simplifică în $x^2+x{x}_0+x_0^2-9(x+x_0)+12$, deci $f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-18x_0+12$. Panta dreptei date este $-12$, deci $3x_0^2-18x_0+12=-12$, adică $3x_0^2-18x_0+24=0$, de unde $3(x_0-2)(x_0-4)=0$ și $x_0=2$ sau $x_0=4$. Verificare: $f^{\prime }(2)=12-36+12=-12$ și $f^{\prime }(4)=48-72+12=-12$; punctele de tangență sunt $(2;3)$ și $(4;-25)$.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, derivata într-un punct apare în 44 din cele 83 de probe, în 47 de cerințe, toate la problema 1 din Subiectul al III-lea. Dintre ele, 32 cer ecuația tangentei, 10 cer valoarea unei limite a raportului dintre $f(x)-f(a)$ și $x-a$, iar celelalte 5 au alte forme; patru dintre acestea pun o condiție asupra unei tangente: panta, paralelismul sau verificarea unei tangente date. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele:

• Iunie 2013, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: se cere ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=1$, pentru o funcție cu $x$ la numitor; baremul probei dă 2 puncte pentru formula tangentei (pasul 4 din Metodă) și 3 puncte pentru valorile $f^{\prime }(1)$ și $f(1)$ și ecuația finală (pașii 1 și 3).
• Iunie 2013, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: se cere să verifici dacă o dreaptă dată este tangentă la graficul unei funcții cu radical în $x_0=4$; baremul probei dă 2 puncte pentru formula tangentei și 3 puncte pentru $f(4)$, $f^{\prime }(4)$ și ecuația obținută, pe care o compari cu dreapta dată (pasul 4 pentru formulă, pasul 5 pentru comparație).
• Modelul din 2020, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: se cere o limită a raportului dintre $f(x)-f(3)$ și $x-3$, pentru un polinom de gradul al treilea; baremul probei dă 3 puncte pentru recunoașterea raportului de la pasul 2 ca $f^{\prime }(3)$ și 2 puncte pentru valoarea lui, aflată cu $f^{\prime }$ de la cerința a).
• Proba specială din 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: se cere $a$ pentru care panta tangentei într-un punct este 1, la un cât de două funcții de gradul I; baremul probei dă 2 puncte pentru condiția $f^{\prime }(a)=1$ (pasul 4) și 3 puncte pentru rezolvarea ei, cu alegerea soluției din domeniu (pasul 4).

La toate patru, derivata $f^{\prime }$ se calculează la o cerință anterioară a problemei, a) sau b), iar cerința citată o folosește. Aici o calculezi din limită, iar la regulile de derivare o afli mai repede. Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru tipuri de cerințe, cu alte funcții.

Greșeli care costă puncte

• Raportul cu originea în loc de limită. Împarți $f(x_0)$ la $x_0$, ca la 64,758 : 86 → compari cu secanta pe un pas de 1 km/h, care dă 1,23 și nu 0,75.
• Tangenta fără $f(x_0)$. Scrii $y=1,226(v-86)$ → ecuația trebuie să treacă prin punctul de tangență, adică pentru $v=86$ să dea 64,758.
• Factor scris cu semn greșit. Scrii $+6$ în loc de $-6$ la ultimul termen al factorului → înmulțești factorii la loc și compari termenul liber cu cel al numărătorului.
• Unități amestecate. Pui 6 000 g în formula scrisă pentru kilograme → verifici dacă rezultatul are sens: laptele nu poate să nu mai crească deloc.
• Punct din afara domeniului. Derivezi $\sqrt{x+11}$ în $-11$ → raportul crește peste orice număr, deci acolo nu există derivată finită; domeniul se scrie înainte de orice calcul.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul derivatei într-un punct, cu ecuația tangentei la grafic, se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 44 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cât estimează tangenta de la 86 km/h dacă limitatorul coboară la 78 km/h, pentru un consum mai mic?

Tangenta dă $64,758-8\cdot 1,226=54,95$ m, iar formula dă 55,302 m. Greșeala e de 0,352 m, de patru ori mai mare decât la 90 km/h, unde era 0,088 m, fiindcă distanța față de 86 s-a dublat. Estimarea liniară ține aproape de punctul tangentei, nu departe de el.

Ce se schimbă la 86 km/h dacă pista e udă și termenul de frânare devine $0,0077v^2$?

Distanța devine $d(86)=56,9492+24,08=81,0292$ m, iar derivata $2\cdot 0,0077\cdot 86+0,28=1,6044$ m pe km/h, adică mai mare decât pe uscat. Pe ud, fiecare km/h în plus costă mai mulți metri de oprire, iar camionul se oprește cu 16,27 m mai departe decât pe uscat.

Cât este derivata distanței de oprire la viteză foarte mică?

Din raportul simplificat, $d^{\prime }(v_0)=0,011v_0+0,28$. Pentru $v_0$ aproape de 0 rămâne 0,28 m pe km/h, adică exact termenul din timpul de reacție: la viteză mică, frânarea abia contează, iar tot ritmul vine din reacție. La 38 km/h, cea mai mică viteză din tabel, ritmul este 0,698 m pe km/h, din care 0,28 vine din reacție.

La ce viteză fiecare km/h în plus aduce 1,5 m de oprire?

Rezolvi $0,011v_0+0,28=1,5$, deci $v_0=\frac{1,22}{0,011}\approx 110,9$ km/h. Ritmul crește cu viteza: 1,226 m la 86 km/h, 1,27 m la 90 km/h și 1,5 m abia în apropiere de 111 km/h, adică mult peste limitatorul unui camion. Creșterea limitatorului cu 4 km/h adaugă 4,992 m de oprire.

Cum apare derivata într-un punct la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)?

Derivata într-un punct apare în 44 dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026, cu 47 de cerințe, toate la problema 1 din Subiectul al III-lea. Dintre ele, 32 cer ecuația tangentei și 10 cer o limită a raportului dintre $f(x)-f(a)$ și $x-a$, care este chiar derivata în $a$.

Pot afla derivata fără să scriu limita?

Da, cu regulile de derivare (derivata sumei, a produsului și a câtului), dar limita rămâne definiția. Cerința „Arătați că limita raportului dintre $f(x)-f(a)$ și $x-a$ este …” se rezolvă tot prin derivată, fiindcă raportul este definiția ei, ca în exercițiul 11, unde $f(7)=0$. Regulile scurtează calculul, dar nu schimbă ce înseamnă rezultatul: unitatea și tangenta se scriu la fel.