La regula lui Sarrus pentru o matrice $$A = (a_{ij})$$ de ordin 3, care dintre listele de mai jos conține cele trei produse care intră cu plus?

$$a_{11}a_{22}a_{33},\ a_{12}a_{23}a_{31},\ a_{13}a_{21}a_{32}$$

$$a_{11}a_{22}a_{33},\ a_{13}a_{22}a_{31},\ a_{12}a_{21}a_{33}$$

$$a_{11}a_{23}a_{32},\ a_{12}a_{21}a_{33},\ a_{13}a_{22}a_{31}$$

$$a_{11}a_{22}a_{33},\ a_{12}a_{22}a_{32},\ a_{13}a_{23}a_{33}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sarrus: șase produse, semne

Cum aplic Sarrus când matricea 3×3 conține x?

Scrii fiecare produs cu $x$ între paranteze, cu semnul din regulă, apoi reduci termenii. Pentru $A (x) = - 3 3 x - 1 4 - 2 6 x - 3 - 2$ , cele trei produse cu semnul plus sunt $- 12$ , $- 12 (x - 1)$ și $18 x$ , iar celelalte trei, scăzute, sunt $- 2 x (x - 1)$ , $54$ și $- 24$ . Rezultă că $det A (x)$ este produsul dintre $2$ , $x - 3$ și $x + 5$ ; după dezvoltare, coeficienții sunt $2$ , $4$ și $- 30$ . Proba: la $x = 3$ ambele sume dau 18.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Determinantul unei matrice de ordin 3 se formează din șase produse, câte un factor din fiecare linie și câte unul din fiecare coloană. Regula lui Sarrus le așază pe diagonale: trei produse, cele de pe diagonalele care coboară, intră cu plus, iar celelalte trei, de pe diagonalele care urcă, cu minus. Matricea trebuie să fie pătratică, iar elementele de același fel au aceeași unitate.

Semnele se pierd în două locuri: în regulă, unde plusul sau minusul depinde de diagonală, și în produsul însuși, care iese negativ când are factori negativi în număr impar și pozitiv când îi are în număr par. Prin urmare, notezi semnul fiecărui produs și abia apoi alegi între adunare și scădere. Când sub diagonala principală nu există decât zerouri, determinantul este chiar produsul diagonalei.

Proprietățile de la ordinul 2 rămân valabile: linii proporționale dau 0, schimbarea a două linii inversează semnul, factorul comun iese în față. Matricea întreagă înmulțită cu $k$ are determinantul de $k^{3}$ ori mai mare.

Controlezi grupând aceleași produse după prima linie, ca să nu repeți aceeași greșeală, apoi verifici semnul așteptat și unitatea.

De reținut

cu plus: $a_{11} a_{22} a_{33}$ , $a_{12} a_{23} a_{31}$ , $a_{13} a_{21} a_{32}$ ; celelalte trei cu minus
semnul unui produs depinde de numărul factorilor negativi
$det (k A) = k^{3} det A$ pentru matrice de ordin 3

Greșeala tipică

Un produs ca $(- 2) \cdot 3 \cdot (- 4)$ este trecut negativ, deși are doi factori negativi și este $+ 24$ . Înainte de adunare, numără factorii negativi ai fiecărui produs în parte.

Exerciții din această mini-lecție

La regula lui Sarrus pentru o matrice $A = (a_{ij})$ de ordin 3, care dintre listele de mai jos conține cele trei produse care intră cu plus?
- a) $a_{11} a_{22} a_{33}, a_{12} a_{23} a_{31}, a_{13} a_{21} a_{32}$
- b) $a_{11} a_{22} a_{33}, a_{13} a_{22} a_{31}, a_{12} a_{21} a_{33}$
- c) $a_{11} a_{23} a_{32}, a_{12} a_{21} a_{33}, a_{13} a_{22} a_{31}$
- d) $a_{11} a_{22} a_{33}, a_{12} a_{22} a_{32}, a_{13} a_{23} a_{33}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a_{11} a_{22} a_{33}, a_{12} a_{23} a_{31}, a_{13} a_{21} a_{32}$

Cu plus intră produsul diagonalei principale și cele două produse de pe diagonalele paralele cu ea: $a_{11} a_{22} a_{33}$ , $a_{12} a_{23} a_{31}$ și $a_{13} a_{21} a_{32}$ . A doua listă amestecă un produs cu plus cu două cu minus, a treia este lista produselor cu minus, iar a patra nu respectă regula, pentru că ia două elemente din aceeași coloană.
Variațiile zilnice de stoc ale trei depozite, în sute de pachete, sunt în matricea $T = 479 0 - 2 5 003$ (valorile negative sunt ieșiri). Deasupra diagonalei principale sunt numai zerouri. Cât este $det T$ ?
- a) $24$
- b) $0$
- c) $- 24$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 24$

Deasupra diagonalei principale sunt numai zerouri, deci cele cinci produse cu un element din zona zerourilor dispar, iar $det T = 4 \cdot (- 2) \cdot 3 = - 24$ . Valoarea $24$ pierde semnul lui $- 2$ . Valoarea $0$ confundă prezența unor zerouri cu un determinant nul, iar $5$ este suma diagonalei: $4 - 2 + 3$ .
Reglajele unei freze, în milimetri, sunt scrise în matricea $R = 31 - 2 046 - 2 50$ . Cât este $det R$ ?
- a) $- 94$
- b) $- 118$
- c) $94$
- d) $- 106$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 118$

Produsele cu plus sunt $0$ , $0$ și $(- 2) \cdot 1 \cdot 6 = - 12$ ; cele cu minus sunt $16$ , $90$ și $0$ . Deci $det R = - 12 - 106 = - 118$ . Rezultatul $- 94$ trece produsul $(- 2) \cdot 1 \cdot 6$ cu semnul plus. Rezultatul $94$ adună și produsele cu minus, iar $- 106$ uită produsele cu plus.

Întrebări conexe

Cum calculez un determinant dacă o linie are zecimale?

Scoți un factor comun din linia cu zecimale, ca să rămână numere întregi, apoi înmulțești la sfârșit. Linia $(0, 5; 1, 5; 2)$ este $\frac{1}{2} (1; 3; 4)$ , iar pentru matricea cu liniile $(1; 3; 4)$ , $(2; 0; 5)$ și $(1; 2; 3)$ determinantul este $3$ . Matricea cu zecimale are deci determinantul $1, 5$ .

Ce grad are determinantul dacă x apare pe toată diagonala?

Cel mult 3, fiindcă produsul diagonalei principale conține $x$ de trei ori. Pentru matricea cu liniile $(x; 2; 3)$ , $(3; x; 2)$ și $(2; 3; x)$ , Sarrus dă $x^{3} + 8 + 27 - 6 x - 6 x - 6 x = x^{3} - 18 x + 35$ , adică $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 7)$ . Proba: la $x = 0$ determinantul este 35.

Pentru ce x este pozitiv un determinant cu parametru?

Scrii determinantul ca produs de factori, apoi faci tabelul de semn. Pentru matricea cu liniile $(x; 2; 1)$ , $(1; x; 0)$ și $(0; 1; 1)$ , Sarrus dă $x^{2} + 1 - 2 = (x - 1) (x + 1)$ . Produsul este pozitiv în afara rădăcinilor, deci pentru $x < - 1$ sau $x > 1$ . Proba: la $x = 0$ determinantul este $- 1$ , negativ, cum arată tabelul.

Cum ghicesc o rădăcină a unui determinant cu x?

Cauți valoarea lui $x$ care face două linii egale: atunci determinantul este 0. Pentru liniile $(x; 3; 1)$ , $(3; x; 1)$ și $(1; 1; 1)$ , la $x = 3$ primele două linii coincid, deci $3$ este rădăcină. Sarrus dă $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ , iar a doua rădăcină, $- 1$ , iese din produsul rădăcinilor, $- 3$ .

Cum aflu x dacă matricea este triunghiulară cu x pe diagonală?

Determinantul este produsul diagonalei, deci ecuația se scrie fără Sarrus. Pentru matricea cu diagonala $x$ , $x - 1$ și $2$ și zerouri sub ea, $det = 2 x (x - 1)$ . Dacă determinantul este $24$ , ecuația $x^{2} - x - 12 = 0$ are rădăcinile $x = 4$ și $x = - 3$ .

Cum apare determinantul 3×3 în probele oficiale?

Determinantul 3×3 a apărut în 3 probe M_tehnologic din 2013–2026. Cerințele au dat o matrice numerică, una triunghiulară sau una cu parametrul $x$ , iar de aflat au fost valoarea determinantului ori o expresie dată. Cele șase produse se scriu cu semnul lor, pe rânduri separate.

Oamenii mai întreabă și: regula lui Sarrus pentru o matrice cu parametru · determinant 3×3 cu x descompus în factori · determinant de ordin 3 în funcție de x · cum arăt că un determinant 3×3 este un produs de factori