Test tehnologic: matrice și determinanți

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Calcul matriceal

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

O matrice $T$ are 3 linii și 4 coloane, iar elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ este $t_{ij} = 10 i + j$ . Care dintre afirmațiile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „ $T$ are 7 elemente”; b) „ $t_{32} = 23$ ”; c) „ $t_{24} = 24$ ”; d) „ $T$ este matrice pătratică”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(5 x - 3 y 25 18 x + 2 y) = (20251817)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se dau matricele $A = (120 - 7 16 5 - 9)$ și $B = (410 3 - 6 - 2 7)$ . Calculează $8 A - 9 B$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se dau matricele $A = (611 - 4 9)$ și $B = (5 - 3 127)$ . Calculează $A \cdot B$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Calculează determinantul matricei $(2719 - 14 - 8)$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculează determinantul matricei $5011 - 2 31 147 - 4$ .

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un apicultor are două stupine. Mierea extrasă, în kilograme, pe sortimente (salcâm, tei, floarea-soarelui), cu stupinele pe linii, a fost în iunie $P = (14010026018080120)$ și în iulie $Q = (16012024020010080)$ .

a) (5 puncte) Scrie matricea $S$ a mierii extrase în cele două luni și spune ce arată elementul $s_{22}$ .

b) (5 puncte) Apicultorul păstrează 15 % din fiecare cantitate pentru hrănirea familiilor și vinde restul. Calculează matricea $V = 0, 85 S$ a mierii vândute și spune câte kilograme de miere de tei vinde în total, din ambele stupine.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un depozit de materiale livrează pe două șantiere tuburi PVC, saci de ciment și găleți de adeziv. Matricea $C = (14223615812)$ dă comenzile, cu șantierele pe linii și materialele pe coloane, în ordinea de mai sus. Prețurile unui furnizor, în lei pe bucată, sunt în coloana $p = 583864$ , iar cele ale altui furnizor în coloana $q = 554159$ .

a) (5 puncte) Calculează $C \cdot p$ și spune ce arată elementele rezultatului.

b) (5 puncte) Calculează $C \cdot q$ și stabilește, pentru fiecare șantier, la care furnizor costă comanda mai puțin și cu câți lei.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un tâmplar compară două plăci dreptunghiulare: prima are laturile de $x$ cm și $(x - 6)$ cm, cu $x > 6$ , iar a doua are laturile de 9 cm și 4 cm. El notează laturile în tabloul $(x 4 9 x - 6)$ .

a) (5 puncte) Calculează determinantul tabloului și arată că este diferența dintre aria primei plăci și aria celei de-a doua.

b) (5 puncte) Află $x$ pentru care prima placă are cu 36 cm² mai mult decât a doua.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A = (146 - 9 5)$ , $B = (- 6 11 - 5 4)$ și $I_{2} = (1001)$ .

a) (5 puncte) Calculați $det A$ .

b) (5 puncte) Arătați că $A \cdot A = 19 A - 124 I_{2}$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (A + x B) = 0$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A (x) = 7 - 3 x - 2 x + 4 2 x 9 11156$ și matricea unitate $I_{3}$ .

a) (5 puncte) Calculați $det A (2)$ .

b) (5 puncte) Arătați că $det A (x) = - 7 x^{2} + 176 x - 1290$ , pentru orice număr real $x$ .

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $A (2) + m I_{3} = 12 - 3 0 699111511$ .

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pas cu pas, iar punctul fiecărui pas apare între paranteze; o rezolvare corectă, dar diferită, e tratată la fel, iar rezultatele finale sunt îngroșate. La Partea a III-a, un răspuns corect, dar fără drumul spre el, nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Matricea $T$ are $3 \cdot 4 = 12$ elemente, nu $3 + 4 = 7$ , și nu este pătratică, fiindcă $3 \neq = 4$ (2 p). Pentru $t_{32}$ iese $10 \cdot 3 + 2 = 32$ , nu 23: numărul 23 este $t_{23}$ , elementul de pe linia 2 și coloana 3 (1 p). Pentru $t_{24}$ iese $10 \cdot 2 + 4 = 24$ , deci răspunsul este $c)$ (2 p). Verificare: prima cifră a lui $t_{ij}$ este numărul liniei, iar a doua, numărul coloanei; de aceea $t_{24}$ se scrie 24, iar $t_{32}$ se scrie 32.

Exercițiul 2.

Două matrice sunt egale când elementele de pe aceeași poziție sunt egale. Pozițiile (1, 2) și (2, 1) dau $18 = 18$ și $25 = 25$ , iar pozițiile (1, 1) și (2, 2) dau sistemul $5 x - 3 y = 20$ , $x + 2 y = 17$ (2 p). Din a doua ecuație, $x = 17 - 2 y$ ; în prima, $5 (17 - 2 y) - 3 y = 20$ , adică $85 - 13 y = 20$ , deci $13 y = 65$ și $y = 5$ (2 p). Atunci $x = 17 - 2 \cdot 5 = 7$ (1 p). Verificare: $5 \cdot 7 - 3 \cdot 5 = 20$ și $7 + 2 \cdot 5 = 17$ , deci ambele poziții sunt corecte.

Exercițiul 3.

Matricele $A$ și $B$ au aceeași dimensiune, $2 \times 3$ , deci diferența există (1 p). Înmulțirea cu un număr se face la fiecare element: $8 A = (960 - 56 128 40 - 72)$ și $9 B = (3690 27 - 54 - 18 63)$ (2 p). Scăzând element cu element, $8 A - 9 B = (60 - 90 - 83 182 58 - 135)$ (2 p). Verificare: elementul din colțul de jos, din dreapta, este $8 \cdot (- 9) - 9 \cdot 7 = - 72 - 63 = - 135$ ; cine uită semnul lui $- 9$ obține $72 - 63 = 9$ .

Exercițiul 4.

Produsul a două matrice $2 \times 2$ există și are tot dimensiunea $2 \times 2$ (1 p). Pe prima linie, $6 \cdot 5 + (- 4) (- 3) = 30 + 12 = 42$ și $6 \cdot 12 + (- 4) \cdot 7 = 72 - 28 = 44$ (2 p). Pe a doua linie, $11 \cdot 5 + 9 \cdot (- 3) = 55 - 27 = 28$ și $11 \cdot 12 + 9 \cdot 7 = 132 + 63 = 195$ , deci $A \cdot B = (422844195)$ (2 p). Verificare: în ordinea inversă, $B \cdot A = (162598875)$ , care este altă matrice; ordinea factorilor contează.

Exercițiul 5.

Determinantul este diferența dintre produsul de pe diagonala principală și produsul de pe cea secundară: $27 \cdot (- 8) - (- 14) \cdot 19$ (2 p). Produsele sunt $- 216$ și $- 266$ , iar $- 216 - (- 266) = - 216 + 266$ (2 p), adică $50$ (1 p). Verificare: cine uită că se scade un număr negativ calculează $- 216 - 266 = - 482$ , un rezultat cu totul diferit.

Exercițiul 6.

Cele trei produse cu plus sunt $5 \cdot 3 \cdot (- 4) = - 60$ , $(- 2) \cdot 7 \cdot 11 = - 154$ și $14 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ (2 p). Cele trei produse cu minus sunt $14 \cdot 3 \cdot 11 = 462$ , $5 \cdot 7 \cdot 1 = 35$ și $(- 2) \cdot 0 \cdot (- 4) = 0$ (2 p). Determinantul este $- 60 - 154 + 0 - (462 + 35 + 0) = - 214 - 497 = - 711$ (1 p). Verificare: grupând produsele după a doua linie, $3 \cdot (5 \cdot (- 4) - 14 \cdot 11) + 7 \cdot ((- 2) \cdot 11 - 5 \cdot 1) = 3 \cdot (- 174) + 7 \cdot (- 27) = - 522 - 189 = - 711$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Matricele $P$ și $Q$ au aceeași dimensiune, $2 \times 3$ , deci se adună element cu element (1 p). $S = P + Q = (300220500380180200)$ (2 p). Elementul $s_{22}$ stă pe linia a doua (a doua stupină) și pe coloana a doua (mierea de tei): a doua stupină a extras în cele două luni $380$ kg de miere de tei (2 p).

b) (5 p) Se vinde 85 % din fiecare cantitate, deci fiecare element al lui $S$ se înmulțește cu $0, 85$ (1 p). $V = (255187425323153170)$ (2 p). Mierea de tei este pe coloana a doua, deci se vinde $425 + 323 = 748$ kg (2 p). Verificare: suma elementelor lui $S$ este $300 + 500 + 180 + 220 + 380 + 200 = 1780$ , iar $0, 85 \cdot 1780 = 1513 = 255 + 425 + 153 + 187 + 323 + 170$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) Produsul există: $C$ are dimensiunea $2 \times 3$ , iar $p$ are $3 \times 1$ , deci rezultatul are dimensiunea $2 \times 1$ (1 p). Pe prima linie, $14 \cdot 58 + 36 \cdot 38 + 8 \cdot 64 = 812 + 1368 + 512 = 2692$ (2 p). Pe a doua linie, $22 \cdot 58 + 15 \cdot 38 + 12 \cdot 64 = 1276 + 570 + 768 = 2614$ , deci $C \cdot p = (26922614)$ : costul comenzii fiecărui șantier la primul furnizor, în lei (2 p).

b) (5 p) Pe prima linie, $14 \cdot 55 + 36 \cdot 41 + 8 \cdot 59 = 770 + 1476 + 472 = 2718$ , iar pe a doua, $22 \cdot 55 + 15 \cdot 41 + 12 \cdot 59 = 1210 + 615 + 708 = 2533$ , deci $C \cdot q = (27182533)$ (2 p). Primul șantier plătește $2692$ lei la primul furnizor și $2718$ lei la al doilea, deci îi convine primul furnizor, cu $2718 - 2692 = 26$ lei mai puțin (1 p). Al doilea șantier plătește $2614$ lei, respectiv $2533$ lei, deci îi convine al doilea furnizor, cu $2614 - 2533 = 81$ lei mai puțin (2 p). Verificare: diferența prețurilor este coloana $p - q = 3 - 3 5$ , iar $C \cdot (p - q) = (14 \cdot 3 - 36 \cdot 3 + 8 \cdot 5 22 \cdot 3 - 15 \cdot 3 + 12 \cdot 5) = (- 26 81)$ . Mai ieftin la unul dintre furnizori nu înseamnă mai ieftin la toate comenzile.

Exercițiul 9.

a) (5 p) $det = x (x - 6) - 9 \cdot 4$ (2 p), adică $x^{2} - 6 x - 36$ (1 p). Produsul $x (x - 6)$ este aria primei plăci, iar $9 \cdot 4 = 36$ este aria celei de-a doua, în cm²; determinantul este diferența lor (2 p).

b) (5 p) Diferența de 36 cm² dă ecuația $x^{2} - 6 x - 36 = 36$ , adică $x^{2} - 6 x - 72 = 0$ (1 p). Discriminantul este $Δ = 36 + 288 = 324$ , iar $x = \frac{6 \pm 18}{2}$ dă $x_{1} = 12$ și $x_{2} = - 6$ (2 p). Laturile sunt pozitive și $x > 6$ , deci $x_{2}$ se respinge, iar $x = 12$ cm (2 p). Verificare: placa are $12 \cdot 6 = 72$ cm², iar $72 - 36 = 36$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) $det A = 14 \cdot 5 - (- 9) \cdot 6$ (3 p), adică $70 + 54 = 124$ (2 p).

b) (5 p) $A \cdot A = (14 \cdot 14 + (- 9) \cdot 6 6 \cdot 14 + 5 \cdot 6 14 \cdot (- 9) + (- 9) \cdot 5 6 \cdot (- 9) + 5 \cdot 5) = (142114 - 171 - 29)$ (3 p). Pe de altă parte, $19 A - 124 I_{2} = (266 - 124 114 - 171 95 - 124) = (142114 - 171 - 29)$ , deci egalitatea este adevărată (2 p).

c) (5 p) $A + x B = (14 - 6 x 6 + 11 x - 9 - 5 x 5 + 4 x)$ , iar $det (A + x B) = (14 - 6 x) (5 + 4 x) - (- 9 - 5 x) (6 + 11 x) = (70 + 26 x - 24 x^{2}) - (- 54 - 129 x - 55 x^{2}) = 31 x^{2} + 155 x + 124$ (3 p). Cum $31 x^{2} + 155 x + 124 = 31 (x + 1) (x + 4)$ , ecuația are rădăcinile $x_{1} = - 1$ și $x_{2} = - 4$ (2 p). Verificare: pentru $x = - 1$ , $A + x B = (20 - 5 - 4 1)$ și $20 \cdot 1 - (- 4) (- 5) = 0$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) $A (2) = 7 - 3 0 64911156$ (2 p). Produsele cu plus sunt $7 \cdot 4 \cdot 6 = 168$ , $6 \cdot 15 \cdot 0 = 0$ și $11 \cdot (- 3) \cdot 9 = - 297$ ; cele cu minus sunt $11 \cdot 4 \cdot 0 = 0$ , $7 \cdot 15 \cdot 9 = 945$ și $6 \cdot (- 3) \cdot 6 = - 108$ , iar $det A (2) = (168 + 0 - 297) - (0 + 945 - 108) = - 129 - 837 = - 966$ (3 p).

b) (5 p) Produsele cu plus sunt $7 \cdot 2 x \cdot 6 = 84 x$ , $(x + 4) \cdot 15 \cdot (x - 2) = 15 x^{2} + 30 x - 120$ și $11 \cdot (- 3) \cdot 9 = - 297$ , cu suma $15 x^{2} + 114 x - 417$ ; cele cu minus sunt $11 \cdot 2 x \cdot (x - 2) = 22 x^{2} - 44 x$ , $7 \cdot 15 \cdot 9 = 945$ și $(x + 4) \cdot (- 3) \cdot 6 = - 18 x - 72$ , cu suma $22 x^{2} - 62 x + 873$ (3 p). Atunci $det A (x) = 15 x^{2} + 114 x - 417 - 22 x^{2} + 62 x - 873 = - 7 x^{2} + 176 x - 1290$ (2 p).

c) (5 p) $A (2) + m I_{3} = 7 + m - 3 0 6 4 + m 9 1115 6 + m$ (3 p). Cele șase elemente din afara diagonalei sunt aceleași în ambele matrice; pe diagonală, $7 + m = 12$ , $4 + m = 9$ și $6 + m = 11$ dau, de fiecare dată, $m = 5$ (2 p). Verificare: $A (2) + 5 I_{3}$ are diagonala $12, 9, 11$ , ca matricea dată, iar celelalte elemente nu se schimbă.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea de calcul matriceal a clasei a XI-a, filiera tehnologică, și se sprijină pe cinci lecții: cea despre scrierea unui tabel ca matrice („Matrice la tehnologic: tabelul de comenzi”), cea despre sumă și înmulțirea cu un număr („Adunarea matricelor: loturi, depozite, tehnologic”), cea despre produs („Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple”), cea despre determinantul cu două linii („Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid”) și cea despre determinantul cu trei linii („Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou”). Inversa unei matrice, ecuațiile matriceale și sistemele sunt verificate de testul următor, iar limitele, de un test separat.

Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, cu un maximum de 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: testul se lucrează individual, pe foaie, fără calculator; toate rezultatele ies exacte, fără rotunjiri. La Partea a III-a contează și calculul scris, nu doar răspunsul. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în etape mici: mai întâi o întrebare cu variante, apoi un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită spune unde a apărut greșeala; îl pornești când un exercițiu nu iese.
La 90–100 de puncte: unitatea e stăpânită, poți trece mai departe.
La 75–89 de puncte: refă cu ghidajul doar exercițiile la care ai pierdut puncte.
La 60–74 de puncte: revezi lecțiile din ultima coloană a tabelului pentru exercițiile la care ai strâns mai puțin de jumătate dintre puncte, apoi repeți testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reia toate cele cinci lecții, în ordinea lor, și lucrează testul din nou, cu ghidajul pornit de la primul pas.
Formule de reținut: matricele se adună numai dacă au aceeași dimensiune, $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$ și $k A = (k a_{ij})$ ; $(A B)_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj}$ , iar produsul există numai când numărul coloanelor primului factor este egal cu numărul liniilor celui de-al doilea; în general $A B \neq = B A$ ; $det (a c b d) = a d - b c$ , diagonala principală minus cea secundară; $det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$ pentru o matrice de ordin 3.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 2	elementele unei matrice, egalitatea a două matrice	Matrice la tehnologic: tabelul de comenzi
3, 7	suma, diferența și înmulțirea cu un număr	Adunarea matricelor: loturi, depozite, tehnologic
4, 8	produsul a două matrice, ordinea factorilor	Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple
5, 9, 10	determinantul de ordin 2	Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid (pentru 10, și lecția despre produsul de matrice)
6, 11	determinantul de ordin 3	Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou (pentru 11, și lecția despre egalitatea matricelor)

Exercițiile 10 și 11 au marcajul „tip Bacalaureat M3” și urmează tiparul problemei 1 din Subiectul al II-lea (trei cerințe despre aceleași matrice), cu matrice, numere și relații care nu apar în probele oficiale.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul matriceal și determinanții se cer la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026, suma de matrice a apărut în 44 de probe, produsul în 67 de probe, determinantul de ordin 2 în 79 de probe, determinantul de ordin 3 în 3 probe, iar egalitatea a două matrice, ca temă secundară, într-o singură probă. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.