Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Un electrician care pregătește calculul curenților dintr-un montaj cu trei bucle trece rezistențele buclelor într-un tablou de nouă numere, iar primul număr pe care îl scoate din tablou este determinantul. La liceul tehnologic, în clasa a XI-a, regula lui Sarrus îl dă din șase produse; aici vezi unde se pierd semnele și cum verifici rezultatul pe un al doilea drum. Determinantul de ordin 3 a apărut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 3 din cele 83 de probe oficiale.

Situația de pornire

Un electrician automatist pregătește un banc de probe. Pe un panou sunt montate șase rezistoare între patru puncte de legătură, astfel încât se formează trei bucle. Valorile au fost măsurate cu ohmmetrul. Rezistoarele R2, R3 și R5 sunt comune: fiecare aparține la două bucle. Pentru calculul curenților, electricianul ia toți curenții de buclă în sens orar și scrie un tablou cu trei linii și trei coloane, câte o linie pentru fiecare buclă. Pe diagonală trece suma rezistoarelor buclei, iar în rest, cu minus, rezistența comună a celor două bucle.

Rezistor	Valoare (Ω)	Toleranță (%)	Buclele care îl străbat
R1	21	5	1
R2	27	1	1 și 2
R3	33	1	2 și 3
R4	24	5	3
R5	19	1	1 și 3
R6	29	5	2

Electricianul știe o regulă practică: pentru un montaj format numai din rezistoare, determinantul acestui tablou este pozitiv. Dacă iese zero sau negativ, a pierdut un semn la scriere sau la calcul. Calculul îl face pe hârtie, lângă banc, și vrea un control înainte să treacă la curenți.

Întrebare: care este tabloul rezistențelor de buclă, cât este determinantul lui și cum te asiguri, înainte să mergi mai departe, că nu ai pierdut un semn?

De la situație la model

Tabloul electricianului este o matrice de ordin 3: trei linii, trei coloane și aceleași numere de o parte și de alta a diagonalei. Dicționarul de mai jos traduce montajul în matematică.

În situație	În matematică
cele trei bucle	cele trei linii, respectiv coloane, ale unei matrice $A$ de ordin 3
rezistența proprie a buclei 1: $21 + 27 + 19$	elementul de pe diagonală $a_{11} = 67$
rezistorul R2, comun buclelor 1 și 2	elementele $a_{12} = a_{21} = - 27$
un număr care rezumă tabloul	determinantul $det A$ , în ohmi la puterea a treia
semnul pe care îl așteaptă electricianul	$det A > 0$

Ce este determinantul de ordin 3?

Determinantul de ordin 3 al matricei $A = (a_{ij})$ este numărul

$det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$

Fiecare produs ia exact un element din fiecare linie și din fiecare coloană; trei produse intră cu plus și trei cu minus. Ca la ordinul 2, îl poți scrie cu bare verticale în loc de paranteze. Proprietățile folosite mai jos le știi din determinantul de ordin 2.

Cum aranjezi cele șase produse, ca să nu pierzi niciunul?

Regula lui Sarrus le așază pe diagonale. Copiază la dreapta tabloului primele două coloane. Cele trei diagonale care coboară de la stânga sus dau produsele cu plus: $a_{11} a_{22} a_{33}$ , $a_{12} a_{23} a_{31}$ și $a_{13} a_{21} a_{32}$ . Cele trei diagonale care urcă de la stânga jos dau produsele cu minus: $a_{31} a_{22} a_{13}$ , $a_{32} a_{23} a_{11}$ și $a_{33} a_{21} a_{12}$ .

Unde se pierd semnele?

Sunt două semne diferite. Primul vine din regulă: plus pe diagonalele care coboară, minus pe cele care urcă. Al doilea vine din produsul însuși: un produs cu un număr impar de factori negativi este negativ, iar unul cu număr par de factori negativi este pozitiv. Când regula cere minus și produsul este $- 8$ , în sumă intră $+ 8$ . De aceea scrii fiecare produs cu semnul lui înainte să-l aduni sau să-l scazi.

Cum folosești proprietățile la ordinul 3?

Proprietățile de la ordinul 2 rămân valabile. Schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului. Factorul comun al unei linii iese în fața determinantului. Adunarea unui multiplu al unei linii la altă linie nu schimbă valoarea. O linie nulă sau două linii proporționale dau determinantul 0. Dacă înmulțești toată matricea cu $k$ , se înmulțesc cele trei linii, deci determinantul se înmulțește cu $k^{3}$ .

Mai e un caz util. Dacă toate elementele de sub diagonala principală sunt 0, celelalte cinci produse conțin fiecare câte un element de sub diagonală, deci $det A = a_{11} a_{22} a_{33}$ .

Cum controlezi un determinant fără să repeți același calcul?

Grupează cele șase produse după elementele primei linii:

$det A = a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) - a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})$

Parantezele sunt determinanți de ordin 2. Sunt aceleași șase produse, dar adunate într-o altă ordine, deci o greșeală de semn din prima trecere nu se repetă în a doua.

Metoda pas cu pas

Scrie matricea și verifică unitățile: aceeași mărime stă peste tot în aceeași unitate, de exemplu toate rezistențele în ohmi, nu unele în ohmi și altele în kiloohmi. Copiază apoi primele două coloane la dreapta ei; coloana a patra trebuie să fie identică cu prima, iar a cincea cu a doua.
Uită-te întâi la structură și alege drumul cel mai scurt. La o linie nulă, la linii proporționale sau la numere mari folosește proprietățile: fă zerouri adunând multipli ai unei linii la alta, până rămân numai zerouri sub diagonală, apoi înmulțește diagonala. La numere de una sau două cifre, regula lui Sarrus merge direct; alegerea drumului schimbă doar volumul de calcul pe hârtie.
Calculează cele șase produse unul câte unul și notează lângă fiecare semnul lui: un număr impar de factori negativi dă un produs negativ. Scrie și din ce diagonală vine produsul, ca să știi cu ce semn din regulă intră în sumă.
Adună cele trei produse de pe diagonalele care coboară, adună-le separat pe cele trei de pe diagonalele care urcă și scade a doua sumă din prima. La o matrice cu parametru, scrie fiecare element între paranteze și reduci termenii asemenea la sfârșit.
Verifică: refă calculul grupând produsele după prima linie sau făcând zerouri; cele două rezultate trebuie să fie egale. Controlează apoi semnul așteptat și unitatea, de exemplu pozitiv și $Ω^{3}$ la rezistențe. Dacă cele două drumuri nu dau același număr, caută mai întâi semnele produselor cu factori negativi, apoi copierea coloanelor din pasul 1.

Fișa de buzunar

$det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$

$det A = a_{11} a_{22} a_{33} c \overset{a}{ˆ} nd sub diagonal \overset{a}{˘} sunt numai zerouri$

Formulele se aplică numai matricelor pătratice de ordin 3, cu elemente numere reale. Prima formulă cere cele șase produse, a doua apare când sub diagonală sunt numai zerouri. Dacă înmulțești toată matricea cu $k$ , determinantul se înmulțește cu $k^{3}$ . Verificare rapidă: dacă schimbi două linii, semnul rezultatului se schimbă; dacă două linii sunt egale, iese 0.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Rezistențele de buclă ale montajului

Domeniu: electric.

Enunț. Reia montajul din situație, cu rezistoarele din tabel. a) Scrie matricea rezistențelor de buclă. b) Calculează determinantul cu regula lui Sarrus. c) Controlează rezultatul grupând produsele după prima linie.

Rezolvare. a) Pe diagonală stau rezistențele proprii: $21 + 27 + 19 = 67$ la bucla 1, $27 + 33 + 29 = 89$ la bucla 2 și $33 + 24 + 19 = 76$ la bucla 3. În rest stau rezistențele comune, cu minus:

$A = 67 - 27 - 19 - 27 89 - 33 - 19 - 33 76$

b) Cele șase produse, fiecare cu semnul lui:

Produs	Valoarea produsului	Intră în sumă cu	Contribuție
$a_{11} a_{22} a_{33} = 67 \cdot 89 \cdot 76$	$453188$	plus	$+ 453188$
$a_{12} a_{23} a_{31} = (- 27) (- 33) (- 19)$	$- 16929$	plus	$- 16929$
$a_{13} a_{21} a_{32} = (- 19) (- 27) (- 33)$	$- 16929$	plus	$- 16929$
$a_{13} a_{22} a_{31} = (- 19) \cdot 89 \cdot (- 19)$	$32129$	minus	$- 32129$
$a_{11} a_{23} a_{32} = 67 \cdot (- 33) (- 33)$	$72963$	minus	$- 72963$
$a_{12} a_{21} a_{33} = (- 27) (- 27) \cdot 76$	$55404$	minus	$- 55404$

Produsele de pe diagonalele care coboară dau $453188 - 16929 - 16929 = 419330$ , iar cele de pe diagonalele care urcă dau $32129 + 72963 + 55404 = 160496$ . Deci $det A = 419330 - 160496 = 258834$ Ω³.

c) Grupat după prima linie, parantezele sunt $89 \cdot 76 - (- 33) (- 33) = 5675$ , apoi $(- 27) \cdot 76 - (- 33) (- 19) = - 2679$ și $(- 27) (- 33) - 89 \cdot (- 19) = 2582$ . Atunci $det A = 67 \cdot 5675 - (- 27) (- 2679) + (- 19) \cdot 2582 = 380225 - 72333 - 49058 = 258834$ .

Capcană. Cine nu ține seama că $(- 27) (- 33) (- 19)$ este negativ îl trece ca $+ 16929$ , la fel și pe celălalt, și obține $326550$ Ω³ în loc de $258834$ Ω³. Rezultatul este pozitiv și pare în regulă; doar al doilea drum îl trădează.

Verificare. Cele două drumuri dau același număr, 258 834. Rezultatul este pozitiv, cum cere regula electricianului, iar unitatea este Ω³, fiindcă fiecare produs are trei rezistențe.

Exemplul 2 — Trei rețete de mortar

Domeniu: constructii.

Enunț. Un șantier folosește trei rețete de mortar, date în kilograme la metru cub:

Rețeta	Ciment (kg)	Var (kg)	Nisip (kg)
A	336	118	1412
B	284	154	1458
C	310	136	1435

Șeful de șantier ar renunța la sortimentul C dacă l-ar putea obține amestecând A și B. a) Calculează determinantul tabloului, fără produse de nouă cifre. b) Se poate obține C din A și B și, dacă da, în ce proporție?

Rezolvare. a) Adaugă linia a doua la prima; determinantul nu se schimbă, iar prima linie devine $(620; 272; 2870)$ . Aceasta este dublul liniei a treia, $2 \cdot (310; 136; 1435)$ . Două linii proporționale dau determinantul 0. b) Determinantul nul arată că C se obține din celelalte două: media lor este $\frac{336 + 284}{2} = 310$ , $\frac{118 + 154}{2} = 136$ și $\frac{1412 + 1458}{2} = 1435$ . Un amestec în părți egale din A și B dă exact C, deci șantierul poate renunța la sortimentul C.

Capcană. Cine scade a doua linie din prima obține $(52; - 36; - 46)$ , care nu seamănă cu linia a treia, și crede că determinantul nu este nul. Legătura se vede în suma celor două rețete, nu în diferența lor.

Verificare. Sumele $336 + 284 = 620$ , $118 + 154 = 272$ și $1412 + 1458 = 2870$ sunt de două ori $310$ , $136$ și $1435$ .

Exemplul 3 — Substraturi de seră, de la procente la litri pe sac

Domeniu: agricol.

Enunț. O seră de răsaduri folosește trei substraturi, cu compoziția de pe fișa tehnică în procente din volum de turbă, perlit și fibră de cocos: A are 52, 9 și 27, B are 58, 8 și 22, iar C are 59, 9 și 24 (restul este nisip). Fișa de calcul a serei cere determinantul tabloului în procente și în litri pe sac. a) Calculează determinantul în procente. b) Transformă tabloul în litri pe un sac de 50 L și află determinantul fără să refaci Sarrus. c) Cât devine determinantul pentru sacii de 25 L?

Rezolvare. a) Matricea în procente este $525859989272224$ . Produsele cu plus sunt $52 \cdot 8 \cdot 24 = 9984$ , $9 \cdot 22 \cdot 59 = 11682$ și $27 \cdot 58 \cdot 9 = 14094$ , iar cele cu minus sunt $27 \cdot 8 \cdot 59 = 12744$ , $52 \cdot 22 \cdot 9 = 10296$ și $9 \cdot 58 \cdot 24 = 12528$ , deci determinantul este $35760 - 35568 = 192$ . b) Un sac de 50 L conține, în litri, jumătate din fiecare procent, deci fiecare linie se împarte la 2: se obține $2629 29, 5 4, 5 4 4, 5 13, 5 1112$ . Din fiecare dintre cele trei linii iese factorul $\frac{1}{2}$ , deci determinantul se înmulțește cu $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ : $\frac{192}{8} = 24$ L³. c) De la 50 L la 25 L fiecare linie se înjumătățește încă o dată, deci $\frac{24}{8} = 3$ L³; direct din procente, factorul este $(\frac{1}{4})^{3}$ , iar $\frac{192}{64} = 3$ .

Capcană. Cine împarte la 2 o singură dată obține $\frac{192}{2} = 96$ . Factorul se aplică pentru fiecare linie, deci de trei ori.

Verificare. Sarrus direct pe tabloul în litri: produsele cu plus dau $1248 + 1460, 25 + 1761, 75 = 4470$ , iar cele cu minus dau $1593 + 1287 + 1566 = 4446$ . Diferența este $24$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: determinantul cu parametru

Domeniu: auto.

Enunț. Cerința de mai jos are forma celor din probele de Bacalaureat M3, cu alte numere: „Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A (x) = 10 x + 4 - 1 128 x - 4 4 - 6 4$ . a) Calculați $det A (2)$ . b) Arătați că $det A (x) = 4 (x - 3) (x + 6)$ , pentru orice număr real $x$ .” Ca situație, tabloul ar fi un tabel de reglaje ale unui utilaj de service, iar $x$ reglajul ales de operator.

Rezolvare. a) Pentru $x = 2$ : $A (2) = 106 - 1 128 - 2 4 - 6 4$ . Produsele cu plus sunt $10 \cdot 8 \cdot 4 = 320$ , $12 \cdot (- 6) (- 1) = 72$ și $4 \cdot 6 \cdot (- 2) = - 48$ . Cele cu minus sunt $4 \cdot 8 \cdot (- 1) = - 32$ , $10 \cdot (- 6) (- 2) = 120$ și $12 \cdot 6 \cdot 4 = 288$ . Deci $det A (2) = 320 + 72 - 48 + 32 - 120 - 288 = - 32$ . b) Cu elementele între paranteze, produsele cu plus sunt $320$ , $72$ și $4 (x + 4) (x - 4)$ , iar cele cu minus sunt $- 32$ , $- 60 (x - 4)$ și $48 (x + 4)$ . Reduci termenii: $det A (x) = 4 x^{2} + 12 x - 72 = 4 (x^{2} + 3 x - 18) = 4 (x - 3) (x + 6)$ .

Capcană. Produsul $12 \cdot (x + 4) \cdot 4$ intră cu minus. Cine îl trece cu plus ajunge la $4 x^{2} + 108 x + 312$ în loc de $4 x^{2} + 12 x - 72$ , care nu se mai descompune în factori cu coeficienți întregi.

Verificare. Pentru $x = 2$ formula dă $4 (2 - 3) (2 + 6) = - 32$ , la fel ca la a). Pentru $x = 3$ formula dă 0, iar în matricea $A (3) = 107 - 1 128 - 1 4 - 6 4$ produsele cu plus dau $320 + 72 - 28 = 364$ , iar cele cu minus dau $- 32 + 60 + 336 = 364$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează cu regula lui Sarrus: a) $83 - 9 - 4 142 19 - 6 7$ ; b) $2340 09 - 3 - 7 018$ ; c) $1900 - 2 210 9 - 4 - 6$ .

2. Fără să aplici Sarrus, spune care dintre determinanții matricelor următoare sunt nuli și de ce: a) $- 4 9 - 6 851214821$ ; b) $19 - 7 - 7 000 - 9 14 - 9$ ; c) $358 7 - 1 6 14418$ ; d) $358 7 - 1 6 14419$ .

3. Scoate câte un factor comun din prima și din a treia linie și calculează $14718 21 - 13 27 3559$ .

4. O matrice $A$ de ordin 3 are $det A = - 34$ . Află determinantul matricei obținute din $A$ prin: a) schimbarea liniilor 1 și 3; b) înmulțirea liniei a doua cu 4; c) adunarea la linia a treia a triplului liniei întâi; d) înmulțirea întregii matrice cu 2.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un montaj are trei bucle înșirate: R1 = 13 Ω aparține numai buclei 1, R2 = 21 Ω buclelor 1 și 2, R3 = 17 Ω buclelor 2 și 3, iar R4 = 19 Ω numai buclei 3. Scrie matricea rezistențelor de buclă, calculează determinantul și spune dacă semnul este cel așteptat.

6. (Problemă aplicată.) La un banc de probe, matricea rezistențelor de buclă ale unui montaj este $M = 66 - 23 - 26 - 23 73 - 31 - 26 - 31 71$ , în ohmi. Un stagiar a scris produsele lui Sarrus în ordinea din lecție, cu plus pe primele trei și cu minus pe ultimele trei: $342078$ , $- 18538$ , $- 18538$ , $49348$ , $- 63426$ și $37559$ , și a obținut $det M = 281521$ Ω³. a) Verifică semnul fiecărui produs și găsește greșeala. b) Corectează determinantul și controlează-l grupând după prima linie.

7. (Problemă aplicată.) Trei rețete de dulceață sunt scrise pe lot ca fructe în kilograme, zahăr în kilograme și pectină în grame: lotul 1 are 19, 8 și 276, lotul 2 are 32, 20 și 404, iar lotul 3 are 25, 8 și 298. Calculează determinantul cu pectina în grame, apoi spune, fără să refaci calculul, cât ar fi dacă pectina ar fi trecută în kilograme.

8. (Problemă aplicată.) Un magazin de bricolaj vinde trei truse de montaj, cu numărul de șuruburi, de dibluri și de cârlige: trusa mică are 24, 18 și 6, trusa medie 31, 22 și 9, iar trusa mare $x$ , 62 și 24. Trusa mare nu aduce nimic nou dacă se poate alcătui din truse mici și medii. Află $x$ pentru care determinantul tabloului este 0 și arată din ce truse se alcătuiește atunci trusa mare.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A = 125 - 8 7149 - 3 62$ . Calculați $det A$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A = - 4 00 2360 8 - 14 13$ . Calculați $det A$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A (x) = - 7 - 2 x - 1 45 - 2 x + 12 12 x - 9$ . Calculați $det A (2)$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A (x) = - 1 211 41 x x + 8 14$ . Arătați că $det A (x) = 2 (x - 5) (x + 8)$ , pentru orice număr real $x$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $det = 3256$ ; b) $det = 3810$ ; c) $det = 19 \cdot 21 \cdot (- 6) = - 2394$ , fiindcă sub diagonală sunt numai zerouri. Verificare: la a), $8 \cdot 110 - (- 4) (- 33) + 19 \cdot 132 = 880 - 132 + 2508 = 3256$ .

2. Nuli sunt a), b) și c); d) nu. a) Linia 3 este $\frac{3}{2}$ din linia 1, deci liniile sunt proporționale. b) A doua coloană este nulă. c) Linia 3 este suma liniilor 1 și 2. d) $det = - 38$ , nenul. Verificare: la c), $3 + 5 = 8$ , $7 - 1 = 6$ și $14 + 4 = 18$ .

3. Din linia 1 iese 7, din linia 3 iese 9, rămâne $272 3 - 13 3 551 = 188$ , deci $det = 7 \cdot 9 \cdot 188 = 11844$ . Verificare: Sarrus pe matricea inițială dă tot 11 844.

4. a) $34$ , schimbarea a două linii inversează semnul; b) $- 136$ ; c) $- 34$ , adunarea unui multiplu nu schimbă nimic; d) $2^{3} \cdot (- 34) = - 272$ . Verificare: pe matricea de la 1c ( $det = - 2394$ ) regulile dau $2394$ , $- 9576$ , $- 2394$ și $- 19152$ , la fel ca Sarrus pe matricele transformate.

5. Matricea este $34 - 21 0 - 21 38 - 17 0 - 17 36$ , iar $det = 20810$ Ω³, pozitiv, deci semnul este cel așteptat. Verificare: după prima linie, $34 \cdot 1079 + 21 \cdot (- 756) = 36686 - 15876 = 20810$ .

6. a) Produsul al cincilea, $a_{11} a_{23} a_{32} = 66 \cdot (- 31) \cdot (- 31)$ , are doi factori negativi, deci este $+ 63426$ , nu $- 63426$ . b) $det M = 342078 - 18538 - 18538 - 49348 - 63426 - 37559 = 154669$ Ω³, pozitiv. Verificare: parantezele după prima linie sunt $4222$ , $- 2439$ și $2611$ , iar $66 \cdot 4222 - 23 \cdot 2439 - 26 \cdot 2611 = 278652 - 56097 - 67886 = 154669$ .

7. Cu pectina în grame, $det = - 11000$ . Coloana a treia se împarte la 1000, deci și determinantul: $- 11$ . Verificare: cu 0,276, 0,404 și 0,298 în coloana a treia, Sarrus dă $- 11$ .

8. Cu Sarrus, $det = 12672 + 162 x + 11532 - 132 x - 13392 - 13392 = 30 x - 2580$ , deci determinantul este 0 pentru $x = 86$ de șuruburi. Atunci trusa mare este o trusă mică plus două truse medii. Verificare: $24 + 2 \cdot 31 = 86$ , $18 + 2 \cdot 22 = 62$ și $6 + 2 \cdot 9 = 24$ .

9. Produsele cu plus sunt $12 \cdot 14 \cdot 2 = 336$ , $7 \cdot 6 \cdot (- 8) = - 336$ și $(- 3) \cdot 5 \cdot 9 = - 135$ . Cele cu minus sunt $(- 3) \cdot 14 \cdot (- 8) = 336$ , $12 \cdot 6 \cdot 9 = 648$ și $7 \cdot 5 \cdot 2 = 70$ . Deci $det A = - 135 - 1054 = - 1189$ . Verificare: după prima linie, $12 \cdot (- 26) - 7 \cdot 58 + (- 3) \cdot 157 = - 312 - 406 - 471 = - 1189$ , cu parantezele $- 26$ , $58$ și $157$ .

10. Sub diagonală sunt numai zerouri, deci rămâne un singur produs. $det A = (- 4) \cdot 6 \cdot 13 = - 312$ . Verificare: la Sarrus, cinci produse conțin un zero, iar al șaselea este $- 312$ .

11. Pentru $x = 2$ : $A (2) = - 7 - 2 1 45 - 2 1412 - 7$ . Produsele cu plus sunt $245$ , $48$ și $56$ , iar cele cu minus sunt $70$ , $168$ și $56$ . Deci $det A (2) = 349 - 294 = 55$ . Verificare: dezvoltat în $x$ , determinantul este $- 5 x^{2} - 30 x + 135 = - 5 (x + 9) (x - 3)$ , care pentru $x = 2$ dă $- 5 \cdot 11 \cdot (- 1) = 55$ .

12. Produsele cu plus sunt $(- 1) \cdot 1 \cdot 4 = - 4$ , $4 \cdot 1 \cdot 11 = 44$ și $(x + 8) \cdot 2 \cdot x$ ; cele cu minus sunt $(x + 8) \cdot 1 \cdot 11$ , $(- 1) \cdot 1 \cdot x$ și $4 \cdot 2 \cdot 4 = 32$ . Rezultă $det A (x) = - 4 + 44 + 2 x (x + 8) - 11 (x + 8) + x - 32$ . Deci $det A (x) = 2 x^{2} + 6 x - 80 = 2 (x - 5) (x + 8)$ . Verificare: pentru $x = 5$ produsele cu plus dau $- 4 + 44 + 130 = 170$ , cele cu minus $143 - 5 + 32 = 170$ , deci determinantul este 0, ca în $2 (5 - 5) (5 + 8)$ .

Așa vine la Bac M3

Determinantul de ordin 3 a apărut în 3 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, în patru cerințe, toate la Subiectul al II-lea, problema 1. Matricea este dată în enunț și se cere o valoare sau o expresie obținută din cele șase produse. Cele patru forme:

Modelul din 2013, Subiectul al II-lea, exercițiul 1a: matricea depinde de un parametru $x$ , iar determinantul se cere pentru o valoare dată a lui $x$ ; baremul probei dă 2 puncte pentru matricea scrisă cu valoarea înlocuită (pasul 1 din Metodă) și 3 puncte pentru calculul determinantului (pașii 3 și 4).
Modelul din 2013, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: aceeași matrice, iar determinantul trebuie arătat egal cu o expresie de gradul al doilea în $x$ , dată în enunț; baremul probei dă 3 puncte pentru cele șase produse scrise în $x$ (pasul 3) și 2 puncte pentru reducerea termenilor până la forma cerută (pasul 4).
Simularea din 2014, Subiectul al II-lea, exercițiul 1a: matrice numerică, cu elemente naturale mici; baremul probei dă 3 puncte pentru cele șase produse scrise (pașii 3 și 4 din Metodă) și 2 puncte pentru valoarea lor.
Simularea din 2016, Subiectul al II-lea, exercițiul 1a: matrice cu zerouri sub diagonala principală; baremul probei dă 3 puncte pentru cele șase produse, dintre care cinci sunt 0, și 2 puncte pentru valoarea finală (pasul 2 din Metodă).

Exercițiile 9–12 repetă aceste patru forme. Inversa unei matrice de ordin 3 pornește de la un determinant calculat așa, iar pașii ei sunt în inversa 3×3 în patru pași. Pentru sisteme cu trei necunoscute vezi Cramer pas cu pas, iar aria triunghiului din coordonate se calculează tot cu un determinant de ordin 3; restul e pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Aduni toate cele șase produse, fără să scazi pe cele de pe diagonalele care urcă → cum o prinzi: calculezi separat cele două sume și le scazi; la o matrice cu două linii egale trebuie să iasă 0.
Pierzi semnul unui produs cu factori negativi → cum o prinzi: numeri factorii negativi ai fiecărui produs înainte să-l scazi sau să-l aduni; la tabloul rezistențelor un rezultat nepozitiv te oprește.
Copiezi greșit coloanele de la dreapta tabloului → cum o prinzi: coloana a patra trebuie să fie identică cu prima, iar a cincea cu a doua.
La o matrice cu parametru, uiți parantezele din jurul lui $x - 4$ → cum o prinzi: pui o valoare, de exemplu $x = 2$ , în matrice și în rezultat; cele două numere trebuie să coincidă, iar la cerința din 2013 cu parametru, peste jumătate din punctaj se dă pentru produsele scrise corect în $x$ .
Înmulțești o linie cu un număr și crezi că determinantul rămâne același → cum o prinzi: numeri operațiile, pentru că doar adunarea unui multiplu nu schimbă valoarea.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul determinantului de ordin 3 prin regula lui Sarrus se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 3 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce arată un determinant negativ sau nul la matricea rezistențelor de buclă?

La un montaj format numai din rezistoare, determinantul matricei de buclă este pozitiv. Un rezultat negativ sau nul arată o greșeală, de obicei un semn de produs pierdut sau un rezistor comun trecut cu plus. La montajul din situație iese 258 834 Ω³; dacă ai obținut altceva, refă calculul grupând produsele după prima linie.

Se schimbă determinantul dacă numerotez buclele altfel?

Nu. Dacă interschimbi două bucle, interschimbi două linii și, odată cu ele, aceleași două coloane. Fiecare interschimbare schimbă semnul, deci cele două se anulează, iar determinantul rămâne 258 834 Ω³. Numărul descrie montajul, nu felul în care ai numerotat buclele.

Ce se schimbă dacă rezistorul R5 este înlocuit cu un conductor?

Valoarea lui devine 0 Ω, deci $a_{13}$ și $a_{31}$ devin 0, iar $a_{11}$ scade la 48 și $a_{33}$ la 57. Trei dintre cele șase produse dispar și determinantul este 149 679 Ω³, tot pozitiv. Buclele 1 și 3 nu mai au nicio rezistență comună.

De ce iese pozitiv determinantul la un montaj făcut numai din rezistoare?

La matricea din situație, pe fiecare linie numărul de pe diagonală întrece suma celorlalte două, luate fără semn: 67 > 27 + 19, 89 > 27 + 33 și 76 > 19 + 33. Diferențele, 21, 29 și 24 Ω, sunt chiar rezistoarele proprii ale buclelor. La matricele simetrice de acest fel determinantul este pozitiv; proprietatea se folosește fără demonstrație.

Cum arată o cerință cu determinant de ordin 3 la Bacalaureatul M3?

În probele oficiale 2013–2026 a apărut la Subiectul al II-lea, problema 1, în 3 din cele 83 de probe. Matricea a fost numerică, cu zerouri sub diagonală sau cu parametrul $x$ , iar cerința a fost valoarea determinantului pentru un $x$ dat ori expresia lui în $x$ . Pașii 3 și 4 din Metodă le rezolvă pe toate.