Elemente simetrizabile și simetricul

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$x^{\prime }$ se numește simetricul lui $x$; se notează $x^{-1}$ („inversul”) când legea e multiplicativă și $-x$ („opusul”) când e aditivă. Simetricul, când există, este unic. La legea factorizată $(x-a)(y-a)+a$, relația $x\ast x^{\prime }=a+1$ se reduce la $(x-a)(x^{\prime }-a)=1$, de unde formula de mai sus — deci niciun element nu e simetrizabil dacă $x=a$, iar pe $(a,+\infty )$ toate celelalte sunt. ⚠️ Ca și neutrul, simetricul trebuie să aparțină mulțimii pe care lucrezi.

Exemplu: Pentru $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ pe $(2,+\infty )$: simetricul lui $4$ este $x^{\prime }=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$, iar $4\ast \frac{5}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+2=3=e$ ✓.