Simetricul la pedagogic: cine îl are și cine nu

Un jeton mărit la copiator de două ori revine la lățimea lui dacă îl copiezi apoi la jumătate. Copierea la jumătate „anulează” mărirea, iar matematica o numește simetricul ei față de compunerea copierilor. La profilul pedagogic, simetricul face parte din materia clasei a XI-a: îl afli pentru o lege dată prin formulă și recunoști numerele care nu au simetric. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), simetricul s-a cerut în 5 din cele 60 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

Irina face practica pedagogică la o grădiniță, la grupa mare. Pentru activitatea „Animalele pădurii” are nevoie de jetoane mari, pentru tablă, și de jetoane mici, pentru măsuțele copiilor. Originalele mici au rămas la grupa mijlocie, așa că Irina pornește de la copiile mărite pe care le are deja. Copiatorul grădiniței mărește sau micșorează între 25 % și 400 %, din 1 % în 1 %. O copiere la $p$ % înmulțește toate lungimile cu $\frac{p}{100}$ , adică cu un factor de scară. Valorile din tabel sunt din exemplu.

Jetonul	Lățimea originalului (cm)	Mărirea folosită (%)	Lățimea copiei mari (cm)
Ursulețul	6,5	200	13
Mărul	8	125	10
Steluța	7	300	21

Întrebare: cu ce setare trebuie copiată fiecare copie mare, ca jetonul să revină exact la lățimea originalului? Se poate face asta pe copiatorul grădiniței pentru toate cele trei jetoane?

De la situație la model

În situație	În matematică
mărirea unei copieri, scrisă ca factor (200 % înseamnă 2)	un număr real $k > 0$
două copieri făcute una după alta	legea $k \circ l = k \cdot l$ , pe $(0, + \infty)$
copierea la 100 %, care nu schimbă jetonul	elementul neutru $e = 1$
copierea care readuce jetonul la lățimea lui	simetricul $k^{'}$ al lui $k$ , cu $k \circ k^{'} = 1$
setările copiatorului, de la 25 % la 400 %, din 1 % în 1 %	numerele $\frac{p}{100}$ , cu $p$ natural între 25 și 400

Pentru copieri, simetricul lui $k$ este $\frac{1}{k}$ , adică inversul obișnuit. Simetricul lui 2 este $\frac{1}{2}$ , iar simetricul lui 1,25 este 0,8. La celelalte legi, simetricul se află după aceeași regulă, dar nu mai e inversul.

Ce înseamnă că un element este simetrizabil?

Fie $\circ$ o lege de compoziție pe o mulțime $M$ , cu elementul neutru $e$ . Un element simetrizabil este un $x \in M$ pentru care există $x^{'} \in M$ cu $x \circ x^{'} = x^{'} \circ x = e$ . Numărul $x^{'}$ se numește simetricul lui $x$ . Simetricul are sens doar dacă legea are element neutru: fără $e$ , egalitatea nu se poate scrie. La o lege asociativă, simetricul unui element, dacă există, este unic.

Cum afli simetricul la o lege dată prin formulă?

Scrii $x \circ x^{'} = e$ cu $x$ cunoscut și rezolvi ecuația în necunoscuta $x^{'}$ . De pildă, pentru legea $x \circ y = x + y + 22$ , pe ℝ, neutrul este $e = - 22$ . Simetricul lui 4 verifică $4 + x^{'} + 22 = - 22$ , deci $x^{'} = - 48$ . La o lege comutativă ajunge o singură egalitate, fiindcă $x^{'} \circ x = x \circ x^{'}$ . La o lege necomutativă le verifici pe amândouă.

Cine nu are simetric?

Un element nu are simetric când ecuația $x \circ x^{'} = e$ nu are soluție. La legile din probele M_pedagogic, scrise ca $(x - a) (y - a) + a$ , numărul $a$ „absoarbe”: $a \circ x^{'} = a$ pentru orice $x^{'}$ . Cum $a$ diferă de $e$ , ecuația $a \circ x^{'} = e$ nu are soluție. Elementul care absoarbe nu are niciodată simetric, dacă legea are și un neutru diferit de el.

De ce contează mulțimea pe care lucrezi?

Ecuația $x \circ x^{'} = e$ poate avea soluție, iar soluția să nu fie în mulțime. Atunci $x$ nu e simetrizabil în acea mulțime. Pe $(0, + \infty)$ , orice factor are simetric. Printre setările copiatorului, simetricul lui 3 ar fi $\frac{1}{3}$ , adică $33, 33 \dots$ %, care nu e o setare. Aceeași lege poate avea pe ℚ toate elementele simetrizabile, în afară de cel care absoarbe, și pe ℤ doar două, ca la exercițiul 12.

Metoda pas cu pas

Află elementul neutru $e$ , din $x \circ e = x$ , sau citește-l din cerința precedentă, dacă e dat. Verifică-l cu un număr oarecare: $5 \circ e$ trebuie să dea 5. Fără element neutru nu există simetric, iar un neutru greșit strică toate simetricele care urmează.
Scrie ecuația $x \circ x^{'} = e$ , cu $x$ înlocuit prin numărul dat și $x^{'}$ necunoscut. Dacă legea are forma $k (x - a) (y - a) + a$ , folosește această formă: ecuația devine $k (x - a) (x^{'} - a) + a = e$ , adică o ecuație de gradul I în $x^{'}$ . Numărul $x - a$ e cunoscut, deci îl calculezi înainte să scrii ecuația; așa lucrezi cu fracții mici, nu cu produse lungi.
Rezolvă ecuația și verifică soluția în ambele ordini, $x \circ x^{'} = e$ și $x^{'} \circ x = e$ . La o lege comutativă, a doua egalitate rezultă din prima. Verifică apoi că $x^{'}$ e în mulțimea dată: în ℤ, în ℕ sau într-un interval.
Dacă ecuația nu are soluție sau soluția iese din mulțime, scrie concluzia: „ $x$ nu este simetrizabil în $M$ ”. La „verificați dacă $p$ este simetricul lui $q$ ” nu rezolvi nimic: calculezi $q \circ p$ și compari cu $e$ . La „ $s$ este simetricul lui $x$ , aflați $x$ ”, necunoscuta e $x$ : rezolvi $x \circ s = e$ . Răspunsul se scrie cu mulțimea: „simetricul lui 9 este $\frac{15}{2}$ ”, „7 nu are simetric în ℝ”, „banda de 2 cm nu are simetric în $M$ ”.

Proprietățile legii, inclusiv elementul neutru, sunt în lecția asociativă, comutativă, neutru, la tehnologic. Forma cu paranteze, din care citești neutrul și elementul care absoarbe, e în forma factorizată a unei legi, la pedagogic. Simetricul fiecărui element e una dintre condițiile unui grup, ca la grupul ℤₙ pe turele unei recepții, la tehnologic. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

Legea	Elementul neutru	Simetricul lui $x$	Cine nu are simetric (pe ℝ)
$x + y + c$	$- c$	$- 2 c - x$	nimeni, toate au
$k \cdot x \cdot y$ , pe $(0, + \infty)$	$\frac{1}{k}$	$\frac{1}{k ^{2} x}$	nimeni, toate au
$(x - a) (y - a) + a$	$a + 1$	$a + \frac{1}{x - a}$	$a$
$k (x - a) (y - a) + a$	$a + \frac{1}{k}$	$a + \frac{1}{k ^{2} ( x - a )}$	$a$

$x \circ x^{'} = x^{'} \circ x = e$

Condiții: legea are element neutru, iar $x^{'}$ aparține mulțimii date. Verificare rapidă: compune $x$ cu simetricul găsit; trebuie să obții exact $e$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Jetoanele Irinei

Domeniu: învățământ preșcolar.

Enunț. Reia jetoanele din situația de pornire, cu legea $k \circ l = k \cdot l$ pe $(0, + \infty)$ . a) Află simetricul fiecărei măriri folosite: 2, 1,25 și 3. b) Care dintre simetrice sunt setări ale copiatorului? c) Ce lățime are steluța copiată la 33 % și ce lățime are la 34 %?

Rezolvare. a) Neutrul este 1, deci simetricul lui $k$ verifică $k \cdot k^{'} = 1$ . Pentru 2 obții $k^{'} = 0, 5$ , pentru 1,25 obții $k^{'} = 0, 8$ , iar pentru 3 obții $k^{'} = \frac{1}{3}$ . b) 0,5 înseamnă 50 %, iar 0,8 înseamnă 80 %: ambele sunt setări. $\frac{1}{3}$ înseamnă $33, 33 \dots$ %, care nu e un număr întreg de procente, deci nu e o setare. Ursulețul și mărul revin exact la lățimea lor, steluța nu. c) La 33 %: $21 \cdot 0, 33 = 6, 93$ cm. La 34 %: $21 \cdot 0, 34 = 7, 14$ cm. Niciuna nu dă 7 cm.

Capcană. Cine crede că mărirea de 125 % se anulează cu 75 %, „scăzând” cei 25 % adăugați, obține $10 \cdot 0, 75 = 7, 5$ cm, nu 8 cm. Simetricul se află din produs, nu din diferența procentelor.

Verificare. Pe drumul invers, de la original: $6, 5 \cdot 2 \cdot 0, 5 = 6, 5$ cm și $8 \cdot 1, 25 \cdot 0, 8 = 8$ cm. Pentru steluță, $7 \cdot 3 \cdot 0, 33 = 6, 93$ cm, cât ai obținut la c).

Exemplul 2 — Banda pentru frizul clasei

Domeniu: abilități practice.

Enunț. La clasa pregătitoare, învățătoarea lipește benzi de carton cap la cap, pentru frizul cu literele alfabetului. Fiecare lipire suprapune 1,2 cm, deci două benzi de $x$ și $y$ centimetri dau o bandă de $x \circ y = x + y - 1, 2$ centimetri. O bandă are cel puțin 1,2 cm, ca să poată fi lipită: lucrăm pe $M = [1, 2; + \infty)$ . a) Calculează $29, 7 \circ 21$ . b) Află elementul neutru. c) Ce bandă ar trebui lipită de una de 2 cm, ca să obții banda neutră? Există o asemenea bandă în $M$ ? d) Ce elemente din $M$ au simetric în $M$ ?

Rezolvare. a) $29, 7 \circ 21 = 29, 7 + 21 - 1, 2 = 49, 5$ cm. b) Din $x + e - 1, 2 = x$ rezultă $e = 1, 2$ : o bandă de 1,2 cm se pierde toată în suprapunere și nu schimbă lungimea. c) Din $2 + x^{'} - 1, 2 = 1, 2$ rezultă $x^{'} = 0, 4$ cm. O bandă de 0,4 cm nu poate acoperi o suprapunere de 1,2 cm, deci $0, 4 \in / M$ , iar banda de 2 cm nu are simetric în $M$ . d) Simetricul lui $x$ pe ℝ este $2, 4 - x$ . El e în $M$ doar dacă $2, 4 - x \geq 1, 2$ , adică $x \leq 1, 2$ . Singurul element din $M$ cu simetric în $M$ este chiar neutrul, 1,2.

Capcană. Cine uită de mulțime scrie „simetricul lui 2 este 0,4” și se oprește. Ecuația are soluție, dar soluția nu e o bandă care se poate lipi.

Verificare. $2 \circ 0, 4 = 2 + 0, 4 - 1, 2 = 1, 2$ , deci 0,4 e soluția ecuației pe ℝ. Pentru d), o bandă mai lungă decât neutrul are simetricul $2, 4 - x < 1, 2$ : de pildă $2, 4 - 29, 7 = - 27, 3$ .

Exemplul 3 — Perechile de la cercul de matematică

Domeniu: activitate extrașcolară.

Enunț. La cercul de matematică al liceului, profesoara împarte cartonașe cu numerele 13; 13,75; 14; 14,25; 14,5 și 15 și scrie legea $x \circ y = 2 x y - 28 x - 28 y + 406$ , pe ℝ. Elevii trebuie să formeze perechi de simetrice. a) Arată că $x \circ y = 2 (x - 14) (y - 14) + 14$ . b) Arată că elementul neutru este 14,5. c) Formează perechile și spune ce cartonașe rămân fără pereche.

Rezolvare. a) $2 (x - 14) (y - 14) + 14 = 2 (x y - 14 x - 14 y + 196) + 14 = 2 x y - 28 x - 28 y + 406$ . b) $x \circ 14, 5 = 2 (x - 14) \cdot 0, 5 + 14 = x - 14 + 14 = x$ , iar legea e comutativă, deci și $14, 5 \circ x = x$ . c) Simetricul lui $x$ verifică $2 (x - 14) (x^{'} - 14) + 14 = 14, 5$ , adică $(x - 14) (x^{'} - 14) = 0, 25$ . Pentru 15: $x^{'} - 14 = 0, 25$ , deci $x^{'} = 14, 25$ . Pentru 13: $x^{'} - 14 = - 0, 25$ , deci $x^{'} = 13, 75$ . Pentru 14,5: $x^{'} - 14 = 0, 5$ , deci $x^{'} = 14, 5$ , chiar el. Pentru 14 ecuația devine $0 \cdot (x^{'} - 14) = 0, 25$ , fără soluție. Perechile sunt 15 cu 14,25 și 13 cu 13,75; cartonașul 14,5 e propriul simetric, iar 14 nu are simetric.

Capcană. Cine rezolvă $(x - 14) (x^{'} - 14) = 1$ , ca la legile cu un singur factor în față, obține pentru 15 simetricul 15, adică pune o pereche greșită. Factorul 2 din fața parantezelor schimbă neutrul și simetricele.

Verificare. $15 \circ 14, 25 = 2 \cdot 1 \cdot 0, 25 + 14 = 14, 5$ , iar $13 \circ 13, 75 = 2 \cdot (- 1) \cdot (- 0, 25) + 14 = 14, 5$ . Pentru 14: $14 \circ 11 = 2 \cdot 0 \cdot (- 3) + 14 = 14$ , nu 14,5.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: simetricul cerut în trei feluri

Domeniu: fără context.

Enunț. Exemplul urmează forma Subiectului al II-lea din probele M_pedagogic: un calcul fără context. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 7 (x + y) - x y - 42$ . a) Arătați că $x * y = - (x - 7) (y - 7) + 7$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Arătați că $e = 6$ este elementul neutru al legii. c) Verificați dacă $\frac{15}{2}$ este simetricul lui 9. d) Determinați simetricul numărului $\frac{22}{3}$ . e) Determinați numărul real $x$ , știind că 4 este simetricul lui $x$ . f) Arătați că numărul 7 nu are simetric.

Rezolvare. a) $- (x - 7) (y - 7) + 7 = - (x y - 7 x - 7 y + 49) + 7 = 7 x + 7 y - x y - 42$ . b) $x * 6 = - (x - 7) (- 1) + 7 = x - 7 + 7 = x$ , iar $6 * x = - (- 1) (x - 7) + 7 = x$ . c) $9 * \frac{15}{2} = - 2 \cdot \frac{1}{2} + 7 = 6 = e$ , deci da. d) Simetricul $x^{'}$ verifică $- (\frac{22}{3} - 7) (x^{'} - 7) + 7 = 6$ , adică $\frac{1}{3} (x^{'} - 7) = 1$ , deci $x^{'} = 10$ . e) Necunoscuta e $x$ : $x * 4 = - (x - 7) (- 3) + 7 = 3 (x - 7) + 7 = 6$ , deci $x - 7 = - \frac{1}{3}$ și $x = \frac{20}{3}$ . f) $7 * x^{'} = - 0 \cdot (x^{'} - 7) + 7 = 7$ pentru orice $x^{'}$ , iar $7 \neq = 6$ , deci ecuația $7 * x^{'} = 6$ nu are soluție.

Capcană. Cine pune la d) $\frac{22}{3} * x^{'} = 0$ , cu 0 în locul neutrului, obține $- \frac{1}{3} (x^{'} - 7) = - 7$ , adică $x^{'} = 28$ , un număr greșit.

Verificare. La d): $\frac{22}{3} * 10 = - \frac{1}{3} \cdot 3 + 7 = 6$ . La e): $\frac{20}{3} * 4 = - (- \frac{1}{3}) (- 3) + 7 = - 1 + 7 = 6$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe ℝ se definește $x \circ y = x + y + 22$ . Află elementul neutru, simetricul lui 4 și simetricul lui $- 22$ .

2. Pe $(0, + \infty)$ se definește $x \circ y = \frac{x y}{23}$ . Arată că $e = 23$ este element neutru și află simetricele numerelor 1 și 46.

3. Pe ℝ se definește $x \circ y = 3 x y - 45 x - 45 y + 690$ . Arată că $x \circ y = 3 (x - 15) (y - 15) + 15$ , află elementul neutru și simetricul lui 16.

4. Pe ℤ se definește $x \circ y = x + y - 34$ . Află simetricul oricărui număr întreg $x$ și numără câte numere naturale au simetricul tot în ℕ.

Nivelul 2 — situații

5. Educatoarea cântă la pianul electric al grădiniței, care transpune melodia cu un număr întreg de semitonuri, între $- 6$ și $+ 6$ . Două transpuneri la rând se adună: $x \circ y = x + y$ , pe ℤ. a) Cântecul „Toamna” e transpus întâi cu $- 3$ semitonuri, ca să fie mai jos pentru vocile copiilor, apoi cu $+ 5$ . Cu cât e transpus în final? b) Ce transpunere anulează o coborâre cu 3 semitonuri? c) Arată că simetricul fiecărei setări a butonului e tot o setare. d) Dacă butonul ar permite doar urcări, de la 0 la 6, ce setare ar avea simetric printre setări?

6. La tema pentru acasă, Mihai a primit legea $x \circ y = 2 x y + 10 x + 10 y + 45$ , pe ℝ, cu elementul neutru $e = - \frac{9}{2}$ , și a scris: „simetricul lui $- 4$ este $- \frac{5}{2}$ , fiindcă $(- 4) \circ (- \frac{5}{2}) = 0$ ”. a) Verifică egalitatea scrisă de Mihai. b) Găsește greșeala lui. c) Află simetricul corect.

7. Pentru un joc la clasa a IV-a, Ana are 30 de cartonașe, numerotate de la 1 la 30, și legea $x \circ y = x + y - 26$ . Două cartonașe formează o pereche bună când compunerea lor dă elementul neutru. a) Care este elementul neutru? b) Cu ce cartonaș face pereche cartonașul 25? c) Câte cartonașe au pereche printre cele 30 și care rămân fără?

8. Ioana pregătește o fișă pentru colegi și vrea să ceară „simetricul lui $- 18$ în ℤ” pentru legea $x \circ y = 3 x y + 57 x + 57 y + 1064$ . a) Arată că $x \circ y = 3 (x + 19) (y + 19) - 19$ . b) Află elementul neutru al legii pe ℝ. c) Are legea element neutru pe ℤ? Are sens cerința Ioanei? d) Ce ar putea cere în loc, pe ℚ?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - 37 x - 37 y + 1406$ . a) Arătați că $e = 38$ este elementul neutru al legii. b) Verificați dacă $\frac{75}{2}$ este simetricul lui 39.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = - x y + 9 x + 9 y - 72$ . a) Arătați că $x \circ y = - (x - 9) (y - 9) + 9$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Determinați simetricul numărului $\frac{29}{3}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 3 x y + 18 x + 18 y + 102$ , cu elementul neutru $e = - \frac{17}{3}$ . Determinați numărul real $x$ , știind că $- 5$ este simetricul lui $x$ .

12. (Sinteză.) Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea $x \circ y = x y + 26 x + 26 y + 650$ . a) Arătați că $e = - 25$ este elementul neutru. b) Determinați numerele întregi care au simetricul tot în ℤ. c) Câte dintre numerele întregi de la $- 30$ la 0 au simetric în ℚ?

Răspunsuri și verificări

1. Din $x + e + 22 = x$ rezultă $e = - 22$ . Simetricul lui 4: $4 + x^{'} + 22 = - 22$ , deci $x^{'} = - 48$ . Simetricul lui $- 22$ este chiar $- 22$ , fiindcă e neutrul. Verificare: $4 \circ (- 48) = 4 - 48 + 22 = - 22$ .

2. $x \circ 23 = \frac{23 x}{23} = x$ , iar legea e comutativă, deci $e = 23$ . Simetricul lui 1: $\frac{x ^{'}}{23} = 23$ , deci $x^{'} = 529$ . Simetricul lui 46: $\frac{46 x ^{'}}{23} = 23$ , deci $x^{'} = \frac{23}{2}$ . Verificare: $1 \circ 529 = \frac{529}{23} = 23$ și $46 \circ \frac{23}{2} = \frac{529}{23} = 23$ .

3. $3 (x - 15) (y - 15) + 15 = 3 x y - 45 x - 45 y + 675 + 15 = 3 x y - 45 x - 45 y + 690$ . Neutrul: $3 (x - 15) (e - 15) = x - 15$ pentru orice $x$ , deci $e - 15 = \frac{1}{3}$ și $e = \frac{46}{3}$ . Simetricul lui 16: $3 \cdot 1 \cdot (x^{'} - 15) + 15 = \frac{46}{3}$ , deci $x^{'} - 15 = \frac{1}{9}$ și $x^{'} = \frac{136}{9}$ . Verificare: $16 \circ \frac{136}{9} = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{9} + 15 = \frac{46}{3}$ .

4. Neutrul este $e = 34$ , iar simetricul lui $x$ verifică $x + x^{'} - 34 = 34$ , deci $x^{'} = 68 - x$ , întreg pentru orice $x$ întreg. În ℕ: $68 - x \geq 0$ doar pentru $x \leq 68$ , deci au simetric numerele de la 0 la 68, adică 69 de numere. Verificare: $68 \circ 0 = 68 + 0 - 34 = 34$ , iar pentru 69 simetricul ar fi $- 1 \in / N$ .

5. a) $(- 3) \circ 5 = 2$ : melodia e cu 2 semitonuri mai sus decât originalul. b) $+ 3$ , fiindcă $(- 3) \circ 3 = 0$ , iar 0 e neutrul: nicio transpunere. c) Simetricul lui $x$ este $- x$ , iar dacă $- 6 \leq x \leq 6$ , atunci și $- 6 \leq - x \leq 6$ . d) Doar 0: pentru $x$ de la 1 la 6, $- x$ nu e o urcare. Verificare: $(- 3) \circ 5 \circ (- 2) = 0$ , deci după încă o coborâre cu 2 semitonuri melodia revine la original.

6. a) $(- 4) \circ (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot 10 - 40 - 25 + 45 = 0$ , deci egalitatea e adevărată. b) Mihai a pus 0 în locul elementului neutru: simetricul trebuie să dea $e = - \frac{9}{2}$ , nu 0. c) Legea este $2 (x + 5) (y + 5) - 5$ , deci ecuația e $2 \cdot 1 \cdot (x^{'} + 5) - 5 = - \frac{9}{2}$ , adică $x^{'} + 5 = \frac{1}{4}$ și $x^{'} = - \frac{19}{4}$ . Verificare: $(- 4) \circ (- \frac{19}{4}) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} - 5 = - \frac{9}{2}$ .

7. a) $e = 26$ , din $x + e - 26 = x$ . b) Simetricul lui 25 este $52 - 25 = 27$ . c) Simetricul lui $x$ este $52 - x$ , iar el e între 1 și 30 doar pentru $22 \leq x \leq 30$ . Au pereche 9 cartonașe, de la 22 la 30 (26 e propria pereche), iar cartonașele de la 1 la 21 rămân fără. Verificare: $22 \circ 30 = 22 + 30 - 26 = 26$ , iar pentru 21 ar trebui cartonașul 31.

8. a) $3 (x + 19) (y + 19) - 19 = 3 x y + 57 x + 57 y + 1083 - 19 = 3 x y + 57 x + 57 y + 1064$ . b) $3 (x + 19) (e + 19) = x + 19$ pentru orice $x$ dă $e + 19 = \frac{1}{3}$ , deci $e = - \frac{56}{3}$ . c) $- \frac{56}{3}$ nu e întreg, deci pe ℤ legea nu are element neutru și niciun număr nu are simetric în ℤ: cerința nu are sens. d) Pe ℚ, simetricul lui $- 18$ verifică $3 \cdot 1 \cdot (x^{'} + 19) - 19 = - \frac{56}{3}$ , deci $x^{'} = - \frac{170}{9}$ . Verificare: $(- 18) \circ (- \frac{170}{9}) = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{9} - 19 = - \frac{56}{3}$ .

9. a) Legea se scrie $(x - 37) (y - 37) + 37$ , fiindcă $3 7^{2} + 37 = 1406$ . $x * 38 = (x - 37) \cdot 1 + 37 = x$ și $38 * x = 1 \cdot (x - 37) + 37 = x$ . b) $39 * \frac{75}{2} = (39 - 37) (\frac{75}{2} - 37) + 37 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 37 = 38$ , deci da, $\frac{75}{2}$ este simetricul lui 39. Verificare: $\frac{75}{2} * 39 = \frac{1}{2} \cdot 2 + 37 = 38$ .

10. a) $- (x - 9) (y - 9) + 9 = - x y + 9 x + 9 y - 81 + 9 = - x y + 9 x + 9 y - 72$ . b) Neutrul: $- (x - 9) (e - 9) = x - 9$ dă $e = 8$ . Simetricul $x^{'}$ verifică $- \frac{2}{3} (x^{'} - 9) + 9 = 8$ , adică $x^{'} - 9 = \frac{3}{2}$ . Deci $x^{'} = \frac{21}{2}$ . Verificare: $\frac{29}{3} \circ \frac{21}{2} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} + 9 = 8$ .

11. Legea se scrie $3 (x + 6) (y + 6) - 6$ , fiindcă $3 \cdot 36 - 6 = 102$ . Din $x * (- 5) = e$ : $3 (x + 6) \cdot 1 - 6 = - \frac{17}{3}$ , deci $3 (x + 6) = \frac{1}{3}$ și $x + 6 = \frac{1}{9}$ . Rezultă $x = - \frac{53}{9}$ . Verificare: $(- \frac{53}{9}) * (- 5) = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot 1 - 6 = - \frac{17}{3}$ .

12. a) Legea se scrie $(x + 26) (y + 26) - 26$ , iar $x \circ (- 25) = (x + 26) \cdot 1 - 26 = x$ . b) Simetricul verifică $(x + 26) (x^{'} + 26) = 1$ , deci $x^{'} = - 26 + \frac{1}{x + 26}$ , întreg doar pentru $x + 26 = 1$ sau $x + 26 = - 1$ , adică $x = - 25$ sau $x = - 27$ ; fiecare e propriul simetric. c) În ℚ, toate au simetric, mai puțin $- 26$ , care absoarbe: din cele 31 de numere rămân 30. Verificare: $(- 27) \circ (- 27) = (- 1) (- 1) - 26 = - 25$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), simetricul s-a cerut în 5 din cele 60 de probe din 2013–2026, mereu la Subiectul al II-lea, după cerința despre elementul neutru. Formele au fost trei: verifici o pereche dată, afli simetricul unui număr sau afli numărul când știi simetricul.

Modelul din 2019, cerința 4: se cere să verifici dacă un număr dat este simetricul altuia; e cazul de la pasul 4 din Metodă, iar pagina probei dă 2 puncte pentru prima compunere și 3 puncte pentru cealaltă ordine și concluzie.
August 2025, cerința 4: se cere simetricul unui număr scris ca fracție; folosești pașii 2 și 3, iar pagina probei dă 3 puncte pentru ecuația scrisă cu forma cu paranteze și 2 puncte pentru rezolvare.
August 2026, cerința 5: se dă simetricul și se cere numărul; necunoscuta e $x$ , ca la pasul 4, iar pagina probei dă 3 puncte pentru egalitatea cu neutrul și 2 puncte pentru rezultat.

Celelalte două probe, august 2019 și august 2023, cer tot verificarea unei perechi. În toate cele 5 probe, legea avea forma cu paranteze, iar neutrul era dat sau aflat într-o cerință anterioară (de patru ori chiar în cea de dinainte), deci pasul 1 din Metodă era deja făcut. Exercițiile 9, 10 și 11 reiau, pe rând, cele trei forme.

Greșeli care costă puncte

Pui 0 în locul elementului neutru → la legea lui Mihai obții $- \frac{5}{2}$ în loc de $- \frac{19}{4}$ ; cum o prinzi: compui $x$ cu răspunsul și compari cu $e$ , nu cu 0.
Cauți simetricul înainte să știi neutrul → ecuația $x \circ x^{'} = e$ nu se poate scrie; cum o prinzi: primul rând al rezolvării e „ $e = \dots$ ”.
Iei inversul obișnuit, $\frac{1}{x}$ , drept simetric → la legea $x \circ y = \frac{x y}{23}$ , simetricul lui 46 e $\frac{23}{2}$ , nu $\frac{1}{46}$ ; cum o prinzi: $46 \circ \frac{1}{46} = \frac{1}{23}$ , nu 23.
Uiți de mulțime → banda de 2 cm „are simetricul 0,4 cm”, care nu se poate lipi; cum o prinzi: după rezolvare scrii „ $x^{'} \in M$ ?” și răspunzi.
Încerci să afli simetricul elementului care absoarbe → la legea din Exemplul 4, $7 * x^{'} = 7$ pentru orice $x^{'}$ ; cum o prinzi: dacă în ecuație factorul $(x - a)$ e 0, scrii direct că $a$ nu are simetric.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Conținutul atins este „Legi de compoziție, proprietăți”, cu exemplele pe ℤ, ℚ și ℝ. La examen, simetricul unui element se cere la Subiectul al II-lea; în probele M_pedagogic 2013–2026 a apărut în 5 din cele 60 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce steluța nu poate reveni exact la 7 cm pe copiatorul grădiniței? Fiindcă simetricul factorului 3 este $\frac{1}{3}$ , adică $33, 33 \dots$ %, iar copiatorul are doar procente întregi. La 33 % obții 6,93 cm, la 34 % obții 7,14 cm. Nici două copieri succesive nu ajută: produsul a doi factori cu procente întregi nu poate fi exact $\frac{1}{3}$ .

Ce se schimbă dacă Irina mărește ursulețul la 250 %, nu la 200 %? Copia mare are $6, 5 \cdot 2, 5 = 16, 25$ cm, iar simetricul factorului 2,5 este 0,4, adică 40 %. Setarea există pe copiator, deci ursulețul revine exact la 6,5 cm: $16, 25 \cdot 0, 4 = 6, 5$ . Orice mărire al cărei simetric e un procent întreg între 25 și 400 se poate anula.

Poate o copiere să fie propriul ei simetric? Da, doar copierea la 100 %, adică neutrul: $1 \cdot 1 = 1$ . Pentru orice alt factor $k$ , simetricul $\frac{1}{k}$ diferă de $k$ , fiindcă $k^{2} = 1$ are, pe $(0, + \infty)$ , doar soluția 1. La alte legi pot exista și alte elemente egale cu propriul simetric, ca $- 27$ la exercițiul 12, al cărui simetric e chiar el.

De ce la copiator simetricul e inversul, iar la alte legi nu? Fiindcă la copiator legea este înmulțirea obișnuită, cu neutrul 1, iar $k \cdot \frac{1}{k} = 1$ . La o lege ca $x \circ y = \frac{x y}{23}$ , neutrul e 23, iar simetricul lui 46 e $\frac{23}{2}$ . Inversul obișnuit e simetric doar pentru înmulțire; la orice altă lege rezolvi ecuația $x \circ x^{'} = e$ .

Cât de des a apărut simetricul la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele M_pedagogic 2013–2026, simetricul unui element s-a cerut în 5 din cele 60 de probe, de fiecare dată după elementul neutru. Trei probe au cerut verificarea unei perechi date, una simetricul unui număr, iar una numărul aflat din simetricul lui. Toate au folosit o lege cu forma cu paranteze.

Trebuie să verific și ordinea $x^{'} \circ x$ ? La o lege comutativă, nu: $x^{'} \circ x = x \circ x^{'}$ , iar comutativitatea e de obicei arătată într-o cerință anterioară. Dacă legea nu e comutativă, verifici ambele ordini. La jetoanele Irinei ordinea nu contează: micșorarea urmată de mărire dă aceeași lățime ca mărirea urmată de micșorare.