Când e o regulă lege de compoziție pe ℕ sau ℤ?

O lege de compoziție pe o mulțime $M$ ia două elemente din $M$, într-o ordine dată, și le asociază un singur element, tot din $M$, notat $x\circ y$. Trei condiții trebuie îndeplinite pentru orice pereche: rezultatul există, este unul singur și aparține lui $M$.

Ca să arăți că o regulă NU este lege, ajunge un contraexemplu: scăderea nu e lege pe $\mathbb{N}$, fiindcă $3-8=-5\notin \mathbb{N}$; împărțirea nu e lege pe $\mathbb{R}$, fiindcă perechea $(5,0)$ nu are rezultat. Ca să arăți că ESTE lege, folosești o proprietate generală, nu exemple: suma și produsul a două numere întregi sunt întregi.

Mulțimea face parte din răspuns: aceeași regulă poate fi lege pe $\mathbb{Z}$ și să nu fie pe $\mathbb{N}$, sau lege pe $\mathbb{Q}$ și nu pe $\mathbb{Z}$, cum e media $\frac{x+y}{2}$. Împărțirea devine lege pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ și pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), legea vine dată în Subiectul al II-lea, iar întrebarea despre mulțime apare în cerințe de felul „dați exemplu de numere raționale neîntregi pentru care rezultatul este întreg”.

De reținut

• lege pe $M$: rezultat pentru orice pereche, unul singur, tot în $M$
• un contraexemplu ajunge ca să respingi; o proprietate generală, ca să accepți
• împărțirea e lege pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ și ${\mathbb{R}}^{\ast }$, nu pe $\mathbb{Q}$ sau $\mathbb{R}$

Greșeala tipică

Se declară regula lege după câteva perechi care merg: $9-4$ și $12-5$ sunt naturale, dar $4-9$ nu. Corect se caută întâi perechile de margine, apoi se justifică pentru orice pereche.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe care dintre mulțimile de mai jos este scăderea $x\circ y=x-y$ lege de compoziție?

   • a) $\mathbb{N}$
   • b) $\mathbb{Z}$
   • c) $\{0,1,2,\dots ,10\}$
   • d) ${\mathbb{N}}^{\ast }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\mathbb{Z}$

   Diferența a două numere întregi este număr întreg, deci scăderea este lege pe $\mathbb{Z}$. Pe $\mathbb{N}$ și pe $\{0,1,\dots ,10\}$, perechea $(3,8)$ dă $-5$, care iese din mulțime. Pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$, perechea $(4,4)$ dă $0\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$.

2. Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=4xy-3x+5$. Cât este $(-2)\circ 3$?

   • a) $-13$
   • b) $-25$
   • c) $23$
   • d) $-19$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-13$

   Înlocuiești cu paranteză: $4\cdot (-2)\cdot 3-3\cdot (-2)+5=-24+6+5=-13$. Varianta $-25$ ia termenul $-3x$ drept $-6$ în loc de $+6$, varianta $23$ calculează $2\circ 3$, adică pierde minusul lui $-2$, iar $-19$ uită termenul $-3x$.

3. Pe care dintre mulțimi este media $x\circ y=\frac{x+y}{2}$ lege de compoziție?

   • a) $\mathbb{N}$
   • b) $\mathbb{Z}$
   • c) mulțimea numerelor naturale pare
   • d) $\mathbb{Q}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\mathbb{Q}$

   Suma a două numere raționale, împărțită la $2$, rămâne rațională, deci media este lege pe $\mathbb{Q}$. Pe $\mathbb{N}$ și pe $\mathbb{Z}$, perechea $(5,6)$ dă $5,5$. Pe numerele pare, perechea $(4,10)$ dă $7$, care e impar.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă lege de compoziție pe o mulțime · cum arăt că o operație nu este lege de compoziție · lege de compoziție pe numere naturale și întregi · când este scăderea lege de compoziție