Lege de compoziție la pedagogic: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

Un copil din clasa a II-a poate scrie suma a două numere naturale, dar nu și diferența $7-12$. Întrebarea „rezultatul rămâne mereu în mulțime?” desparte o lege de compoziție de o regulă care doar pare una. Ca elev la profilul pedagogic, în clasa a XI-a, înveți să recunoști o lege pe ℕ, ℤ, ℚ și ℝ și să o respingi cu un singur contraexemplu. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), în toate probele din 2013–2026, Subiectul al II-lea a pornit de la o lege de compoziție.

Situația de pornire

Învățătoarea unei clase a II-a pregătește jocul „Două cartonașe”: fiecare cartonaș are între 0 și 20 de buline. Copilul trage două cartonașe, le pune pe bancă în ordinea tragerii și scrie suma bulinelor și diferența „primul minus al doilea”; produsul îl calculează învățătoarea. Copiii lucrează numai cu numere naturale, deci un rezultat negativ nu îl pot scrie. Fișa de la sfârșitul orei arată așa.

Întrebare: pentru care dintre cele trei operații poate fi scris rezultatul oricare ar fi cartonașele trase? Ce ar trebui să știe copiii ca diferența să poată fi scrisă pentru orice pereche?

De la situație la model

Jocul cu cartonașe este un mic laborator de legi de compoziție. Tabelul de mai jos traduce cuvintele de la clasă în cuvinte de matematică.

Fie $M$ o mulțime nevidă. O lege de compoziție pe $M$ este o regulă care asociază fiecărei perechi ordonate $(x,y)$ de elemente din $M$ un singur element din $M$, notat $x\circ y$. Rezultatul trebuie să existe pentru orice pereche, să fie unul singur și să aparțină tot lui $M$. Semnul $\circ$ (sau $\ast$) nu înseamnă înmulțirea.

Ce înseamnă „pentru orice pereche”?

Condiția privește toate perechile, nu doar pe cele încercate. La Ana, Ioana și Radu diferența a mers, dar perechea lui Matei a ieșit din $\mathbb{N}$, iar o singură pereche rea ajunge: scăderea nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$. Pe $\mathbb{Z}$, diferența a două numere întregi este întreagă, deci scăderea este lege pe $\mathbb{Z}$; copiii vor învăța numerele negative abia în gimnaziu.

Cum arăți că o regulă nu este lege de compoziție?

Dai un contraexemplu: o pereche concretă din $M$ pentru care rezultatul nu există sau nu aparține lui $M$. Scrii perechea, calculul și concluzia: „$7\circ 12=-5\notin \mathbb{N}$, deci $\circ$ nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$”.

Cum arăți că o regulă este lege de compoziție?

Exemplele nu ajung, oricât de multe ar fi. Folosești o proprietate valabilă pentru toate elementele: suma și produsul a două numere naturale sunt naturale; suma, diferența și produsul a două întregi sunt întregi; la ℚ și ℝ se adaugă împărțirea la un număr nenul. Așa, adunarea și înmulțirea din fișă sunt legi pe $\mathbb{N}$.

Ce se întâmplă cu împărțirea?

Pe $\mathbb{N}$ și pe $\mathbb{Z}$, câtul poate să nu fie întreg: $14:9$ nu este natural. Pe $\mathbb{Q}$ și pe $\mathbb{R}$, perechea $(5,0)$ nu are rezultat. Împărțirea este lege de compoziție abia pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ și pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, mulțimile fără 0.

Metoda pas cu pas

1. Scrie mulțimea $M$ și regula. Aceeași formulă poate fi lege pe $\mathbb{Z}$ și să nu fie pe $\mathbb{N}$.
2. Încearcă perechile „de margine”: 0 și 1, numere negative dacă $M$ le are, al doilea număr mai mare decât primul, un împărțitor 0, numere de paritate diferită când formula împarte la 2.
3. Dacă o pereche dă un rezultat care nu există sau nu e în $M$, scrie contraexemplul complet: perechea, calculul, apartenența.
4. Altfel, justifică pentru orice $x,y\in M$, cu o proprietate generală, de felul „produsul a două numere întregi este întreg”.
5. Verifică: refă calculul contraexemplului pe alt drum, de pildă pe axa numerelor.

Pașii aceștia îi folosești și când legea e dată de o formulă mai lungă, ca în calculul cu o lege dată prin formulă, sau de un tabel, ca în tabla operației pe o mulțime finită. Lecția M3 Lege de compoziție la tehnologic: tabla arată aceleași idei pe alte situații. Restul clasei este pe pagina clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$$\circ \text{ este lege de compoziție pe }M⟺x\circ y\text{ exista˘ și }x\circ y\in M\text{ pentru orice }x,y\in M$$

Împărțirea devine lege pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ și pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Verificare rapidă a tabelului: fiecare „nu” are lângă el o pereche din mulțimea coloanei sale, iar rezultatul acelei perechi fie nu există, fie iese din mulțime.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cartonașele din clasa a II-a

Domeniu: învățământ primar.

Enunț. Reia fișa din situația de pornire. a) Este diferența $x\circ y=x-y$ lege de compoziție pe $\mathbb{N}$? Dar pe $\mathbb{Z}$? b) Este produsul lege de compoziție pe $\mathbb{N}$? c) Învățătoarea schimbă regula: copilul scrie cu câte buline are mai mult cartonașul mai mare, adică $x\ast y=|x-y|$. Este $\ast$ lege de compoziție pe $\mathbb{N}$?

Rezolvare. a) Pe $\mathbb{N}$, perechea lui Matei dă $7\circ 12=-5\notin \mathbb{N}$, deci nu. Pe $\mathbb{Z}$, diferența a două întregi e întreagă, deci da. b) Produsul a două numere naturale este natural, deci da. c) $x-y$ e întreg, iar modulul unui întreg este natural, deci $|x-y|\in \mathbb{N}$ pentru orice pereche: $\ast$ este lege pe $\mathbb{N}$. Pentru Matei, $7\ast 12=5$.

Capcană. Cine vede doar perechile lui Ana, Ioana și Radu spune că diferența „merge mereu”: rezultatele 5, 0 și 15 sunt naturale. Perechea $(7,12)$ strică totul.

Verificare. Pe axa numerelor, de la 7 faci 12 pași spre stânga: după 7 pași ești la 0, iar ultimii 5 te duc la $-5$. La regula nouă, $12-7=5$.

Exemplul 2 — Bomboanele de la grădiniță

Domeniu: învățământ preșcolar.

Enunț. O educatoare împarte $x$ bomboane în mod egal la $y$ copii, fără să rupă bomboanele, iar regula este $x\circ y=x:y$. a) Calculează $24\circ 6$. b) Arată că $\circ$ nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$. c) Este $\circ$ lege de compoziție pe $\mathbb{Q}$? Dar pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$?

Rezolvare. a) $24\circ 6=4$ bomboane de copil. b) $25\circ 6=\frac{25}{6}$ nu este natural, fiindcă $25=6\cdot 4+1$: perechea $(25,6)$ e contraexemplul. c) Pe $\mathbb{Q}$, perechea $(25,0)$ nu are rezultat, deci $\circ$ nu este lege. Pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, câtul a două numere raționale nenule este rațional și nenul, deci $\circ$ este lege de compoziție.

Capcană. Cine spune „pe $\mathbb{Q}$ orice împărțire are rezultat” uită perechile cu al doilea număr 0, care sunt tot perechi din $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$.

Verificare. $4\cdot 6=24$. Cu 4 bomboane de copil se dau 24 și rămâne una, iar cu 5 de copil ar trebui 30. Pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, de pildă $\frac{3}{4}:\frac{5}{2}=\frac{3}{10}$.

Exemplul 3 — Media a două măsurători

Domeniu: științe la clasa a IV-a.

Enunț. La ora de științe, două grupe de copii măsoară, în centimetri, aceeași tulpină de fasole, iar în caiet se trece media celor două măsurători: $x\circ y=\frac{x+y}{2}$. a) Prima grupă citește 23 cm, a doua 24 cm. Ce se trece în caiet? b) Este $\circ$ lege de compoziție pe $\mathbb{N}$? Dar pe $\mathbb{Q}$? c) Dă două numere naturale diferite a căror medie este număr natural.

Rezolvare. a) $23\circ 24=\frac{47}{2}=23,5$ cm. b) Perechea $(23,24)$ dă $23,5\notin \mathbb{N}$, deci $\circ$ nu este lege pe $\mathbb{N}$. Pe $\mathbb{Q}$, suma a două numere raționale, împărțită la 2, rămâne rațională: $\circ$ este lege. c) Media e naturală când suma e pară, adică numerele au aceeași paritate: $21\circ 27=24$.

Capcană. „Media a două numere întregi e întreagă” e fals: media lui 23 și 24 nu este. Același contraexemplu arată că $\circ$ nu e lege nici pe $\mathbb{Z}$.

Verificare. Media stă la mijloc: de la 23 la 24 e 1 cm, iar jumătate din el duce la 23,5 cm. De la 21 la 27 sunt 6 unități, deci mijlocul e la 24.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: valoare și mulțime

Domeniu: fără context.

Enunț. Forma e cea a Subiectului al II-lea: o lege dată prin formulă și cerințe scurte. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=3xy-5x-5y+12$. a) Arătați că $2\circ 3=5$. b) Arătați că $x\circ y$ este număr întreg pentru orice numere întregi $x$ și $y$. c) Verificați dacă aceeași formulă definește o lege de compoziție pe $\mathbb{N}$.

Rezolvare. a) $2\circ 3=3\cdot 2\cdot 3-5\cdot 2-5\cdot 3+12=18-10-15+12=5$. b) Pentru $x,y\in \mathbb{Z}$, numerele $3xy$, $5x$ și $5y$ sunt întregi, ca produse de întregi; suma și diferența lor cu 12 rămân întregi. c) Încerci o pereche cu un factor mic și unul mare: $1\circ 4=12-5-20+12=-1\notin \mathbb{N}$. Formula nu definește o lege de compoziție pe $\mathbb{N}$.

Capcană. Cine se oprește la $2\circ 3=5$ și la $1\circ 1=3-10+12=5$ conchide greșit că formula „rămâne în $\mathbb{N}$”.

Verificare. Cu termenii grupați: $1\circ 4=3\cdot 4-5\cdot (1+4)+12=12-25+12=-1$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru regula $x\circ y=3x-4y$, spune dacă este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$, pe $\mathbb{Z}$ și pe $\mathbb{Q}$. Unde nu este, dă un contraexemplu.

2. Pentru regula $x\circ y=x+y-17$, spune dacă este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$ și pe $\mathbb{N}$.

3. Pentru regula $x\circ y=\frac{x+2y}{5}$, spune dacă este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$ și pe $\mathbb{Q}$.

4. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=2xy-x+7$. Calculează $(-3)\circ 5$ și $0,5\circ 6$.

Nivelul 2 — situații

5. La clasa pregătitoare, copiii așază jetoane în dreptunghiuri de $x$ rânduri a câte $y$ jetoane, deci folosesc $x\circ y=xy$ jetoane. a) Câte jetoane are un dreptunghi de 4 rânduri a câte 7? b) Este $\circ$ lege de compoziție pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$? c) Dar pe $\{1,2,3,\dots ,9\}$?

6. La jocul „Cine are mai multe?”, doi copii își arată ghindele strânse în parc: $x\circ y$ este cel mai mare dintre $x$ și $y$. a) Calculează $17\circ 23$, $23\circ 17$ și $9\circ 9$. b) Este $\circ$ lege de compoziție pe $\mathbb{N}$? c) Dar pe $\{0,1,2,\dots ,10\}$?

7. La ora de educație fizică, învățătorul notează diferența de înălțime dintre doi copii, în centimetri: $x\circ y=|x-y|$. a) Calculează $15\circ 22$. b) Este $\circ$ lege de compoziție pe $\mathbb{N}$? c) Dar pe $\{1,2,3,\dots ,10\}$?

8. La grădiniță, un trenuleț de lemn are o locomotivă și vagoane. Când educatoarea cuplează un trenuleț de $x$ piese cu unul de $y$ piese, scoate o locomotivă, deci noul trenuleț are $x\circ y=x+y-1$ piese. a) Câte piese rezultă din trenulețe de 5 și de 8 piese? b) Arată că $\circ$ este lege de compoziție pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$. c) Arată că nu este lege pe $\mathbb{N}$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-4x-4y+23$. a) Arătați că $5\circ 7=10$. b) Verificați dacă aceeași formulă definește o lege de compoziție pe $\mathbb{N}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{x+y}{5}+2$. a) Arătați că $3\ast 7=4$. b) Dați exemplu de două numere întregi $a$ și $b$ pentru care $a\ast b$ nu este număr întreg.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x^2+y^2-9$. a) Arătați că $2\circ (-1)=-4$. b) Arătați că $x\circ y\ge -9$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

12. (Sinteză.) Completează tabelul cu „da” sau „nu” și justifică fiecare „nu” printr-un contraexemplu.

Răspunsuri și verificări

1. Pe $\mathbb{N}$ nu: $1\circ 1=3-4=-1\notin \mathbb{N}$. Pe $\mathbb{Z}$ și pe $\mathbb{Q}$ da: multiplii și diferențele rămân în aceeași mulțime. Verificare: $3\cdot 1-4\cdot 1=-1$.

2. Pe $\mathbb{Z}$ da: suma a două întregi minus 17 e întreagă. Pe $\mathbb{N}$ nu: $2\circ 3=5-17=-12\notin \mathbb{N}$. Verificare: $x+y-17\ge 0$ cere $x+y\ge 17$, iar $2+3=5<17$.

3. Pe $\mathbb{Z}$ nu: $1\circ 0=\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z}$. Pe $\mathbb{Q}$ da: $x+2y$ e rațional, iar împărțirea la 5 păstrează un număr rațional. Verificare: $5\cdot \frac{1}{5}=1=1+2\cdot 0$.

4. $(-3)\circ 5=2\cdot (-3)\cdot 5-(-3)+7=-30+3+7=-20$ și $0,5\circ 6=2\cdot 0,5\cdot 6-0,5+7=6-0,5+7=12,5$. Verificare: scris ca $x(2y-1)+7$, avem $(-3)\cdot 9+7=-20$ și $0,5\cdot 11+7=12,5$.

5. a) $4\circ 7=28$ de jetoane. b) Da: produsul a două numere naturale nenule este natural și nenul. c) Nu: $3\circ 4=12$, iar 12 nu este în mulțime. Verificare: 4 rânduri a câte 7 înseamnă $7+7+7+7=28$.

6. a) $17\circ 23=23$, $23\circ 17=23$ și $9\circ 9=9$. b) și c) Da: rezultatul este unul dintre cele două numere, deci rămâne în mulțime. Verificare: $23>17$.

7. a) $15\circ 22=7$ cm. b) Da: modulul unui număr întreg este număr natural. c) Nu: $4\circ 4=0$, iar 0 nu este în $\{1,2,\dots ,10\}$. Verificare: $22-15=7$.

8. a) $5\circ 8=5+8-1=12$ piese. b) Dacă $x\ge 1$ și $y\ge 1$, atunci $x+y-1\ge 1$, deci $x\circ y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. c) $0\circ 0=-1\notin \mathbb{N}$. Verificare: două locomotive și 11 vagoane, minus o locomotivă, înseamnă 1 locomotivă și 11 vagoane, adică 12 piese.

9. a) $5\circ 7=35-20-28+23=10$. b) Încerci un factor mic și unul mare: $1\circ 9=9-4-36+23=-8\notin \mathbb{N}$. Deci formula nu definește o lege de compoziție pe $\mathbb{N}$. Verificare: $1\circ 9=1\cdot 9-4\cdot (1+9)+23=9-40+23=-8$.

10. a) $3\ast 7=\frac{10}{5}+2=2+2=4$. b) De exemplu $a=1$, $b=0$: $1\ast 0=\frac{1}{5}+2=\frac{11}{5}$, care nu este întreg. Rezultatul e întreg doar când $a+b$ este multiplu de 5. Verificare: $5\cdot \frac{11}{5}=11$, iar $11=1+0+10$, adică $5(a\ast b)=a+b+10$.

11. a) $2\circ (-1)=4+1-9=-4$. b) Pătratele sunt nenegative: $x^2\ge 0$ și $y^2\ge 0$, deci $x^2+y^2\ge 0$. Scăzând 9, $x\circ y\ge -9$, cu egalitate la $x=y=0$. Verificare: $0\circ 0=0+0-9=-9$.

12. $(x-y{)}^2$: da pe toate patru; pentru $x,y$ întregi, pătratul diferenței e natural. $\frac{x}{y^2+1}$: pe $\mathbb{N}$ și pe $\mathbb{Z}$ nu, fiindcă $1\circ 1=\frac{1}{2}$. Pe $\mathbb{Q}$ și pe $\mathbb{R}$ da: numitorul $y^2+1\ge 1$ nu e niciodată 0. Verificare: $(3-7{)}^2=16\in \mathbb{N}$, iar $\frac{2}{3^2+1}=\frac{1}{5}\in \mathbb{Q}$.

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), Subiectul al II-lea valorează 30 de puncte: o lege de compoziție, urmată de șase cerințe a câte 5 puncte. Așa arată el în toate cele 60 de probe din 2013–2026. În 59 dintre ele, legea e definită pe mulțimea numerelor reale, iar într-una, pe intervalul $(0,+\infty )$. În cele 360 de cerințe nu există niciuna de forma „arătați că regula este lege de compoziție”; mulțimea contează totuși, cum arată trei cerințe reale.

• Iunie 2024, cerința 1: legea e definită pe $(0,+\infty )$, nu pe ℝ, fiindcă formula ei împarte la $x$ și la $y$. Se cere valoarea legii într-o pereche, adică pasul 1 din Metodă, iar pagina probei dă 3 puncte pentru înlocuire și 2 puncte pentru rezultat.
• Simularea din 2016, cerința 6: se cer două numere iraționale pentru care rezultatul legii este număr natural, deci întrebarea „în ce mulțime cade rezultatul?” din pașii 2–4. Pagina probei dă 3 puncte pentru condiția pe care o pune rezultatul și 2 puncte pentru exemplu.
• Iunie 2018, cerința 6: se cer două numere raționale care nu sunt întregi, cu rezultatul legii întreg. Pagina probei dă 2 puncte pentru condiție și 3 puncte pentru exemplu.

Cerințele „dați exemplu de numere…” au apărut în 3 probe din 60; exercițiul 10 b) le exersează pe dos.

Greșeli care costă puncte

• Declari regula lege după câteva perechi reușite → la diferența pe $\mathbb{N}$, perechile $(14,9)$, $(16,16)$ și $(18,3)$ merg, dar $(7,12)$ nu; cum o prinzi: încerci întâi perechile de margine.
• Uiți împărțitorul 0 → spui că împărțirea e lege pe $\mathbb{Q}$, deși $(25,0)$ nu are rezultat; cum o prinzi: cauți orice numitor și te întrebi când e 0.
• Muți concluzia de pe o mulțime pe alta → scăderea e lege pe $\mathbb{Z}$, nu și pe $\mathbb{N}$; cum o prinzi: scrii mulțimea în fiecare concluzie.
• Dai un contraexemplu fără calcul → scrie $1\circ 9=-8\notin \mathbb{N}$, cu tot calculul, ca în exercițiul 9.
• Citești $\circ$ ca pe o înmulțire → la exercițiul 9 ai obține $5\circ 7=35$ în loc de 10; cum o prinzi: înlocuiești în formula legii.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Conținuturile atinse sunt „Legi de compoziție, proprietăți” și exemplele pe mulțimile ℕ, ℤ, ℚ și ℝ. La examen, legea de compoziție este tema Subiectului al II-lea, în toate cele 60 de probe din 2013–2026. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce nu poate Matei să scrie rezultatul $7-12$ în clasa a II-a? Pentru că rezultatul este $-5$, un număr negativ, iar copiii din clasa a II-a lucrează numai cu numere naturale. Perechea $(7,12)$ arată că scăderea nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$. Pe $\mathbb{Z}$, unde există numerele negative, scăderea este lege, iar Matei ar scrie $-5$.

Ce se schimbă dacă învățătoarea pune primul cartonaș mereu pe cel mai mare? Atunci copilul calculează „mare minus mic”, adică $|x-y|$, care dă un număr natural pentru orice pereche: este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$, ca în Exemplul 1 c). Scăderea „primul minus al doilea” rămâne însă fără rezultat natural pentru perechea $(7,12)$.

Este împărțirea bomboanelor lege de compoziție dacă educatoarea alege numai numere care se împart exact? Nu, fiindcă legea de compoziție trebuie să dea rezultat pentru orice pereche din mulțime, nu doar pentru perechile alese. Faptul că $24:6=4$ e natural nu acoperă perechea $(25,6)$. Împărțirea devine lege abia pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ sau pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, unde orice cât există și rămâne în mulțime.

Pe ce mulțimi este media a două măsurători o lege de compoziție? Pe $\mathbb{Q}$ și pe $\mathbb{R}$, fiindcă suma a două numere raționale, împărțită la 2, rămâne rațională. Pe $\mathbb{N}$ și pe $\mathbb{Z}$ nu este, din cauza perechii $(23,24)$, cu media 23,5. Nici numerele pare nu ajung: media lui 4 și a lui 10 este 7, un număr impar.

Câte perechi de cartonașe trebuie încercate ca să fim siguri că produsul merge mereu? Nicio listă de perechi nu ajunge, pentru că perechile sunt infinit de multe. Siguranța vine dintr-o proprietate generală: produsul a două numere naturale este natural. Fișa, cu produsele 126, 84, 256 și 54, doar ilustrează proprietatea; dovada este propoziția generală.

Cum apare legea de compoziție la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În toate cele 60 de probe din 2013–2026, Subiectul al II-lea are o lege de compoziție dată prin formulă, cu șase cerințe a câte 5 puncte. În 59 de probe legea este pe ℝ, iar într-una pe $(0,+\infty )$. Niciuna dintre cele 360 de cerințe nu cere să arăți că regula este lege; mulțimea intră însă în cerințele de tip „dați exemplu de numere”.