Un camion merge $$2$$ ore cu viteza constantă de $$70$$ km/h. Ce figură de sub graficul vitezei are aria egală cu drumul parcurs?

un dreptunghi cu laturile $$2$$ și $$70$$

un triunghi cu catetele $$2$$ și $$70$$

un trapez cu bazele $$0$$ și $$70$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Spre noțiunea de integrală

De ce drumul e aria de sub graficul vitezei?

Pe un interval scurt viteza e aproape constantă, iar distanța străbătută atunci se află înmulțind viteza cu acel interval de timp: este aria unui dreptunghi îngust. Adunând dreptunghiurile, obții aria de sub grafic. De exemplu, la o viteză care crește uniform de la $5$ m/s la $15$ m/s în $8$ secunde, sub grafic stă un trapez, iar drumul este $\frac{5 + 15}{2} \cdot 8 = 80$ m.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a XII-a → ·

Multe mărimi din științe se obțin înmulțind o rată cu un interval. Drumul vine din viteză și durată, lucrul mecanic din forță și distanța parcursă, masa unei bare din densitatea liniară și lungime, volumul pompat din debit și timp. Când rata e constantă, rezultatul este aria unui dreptunghi de sub graficul ratei; când rata crește uniform, aria unui trapez.

Când rata variază oricum, intervalul se taie în bucăți egale, iar pe fiecare bucată rata se socotește constantă. Dacă funcția crește, alegând pe fiecare bucată valoarea din capătul stâng obții o sumă mai mică decât mărimea căutată, iar alegând capătul drept, una mai mare; mărimea stă între ele.

Diferența dintre cele două sume este $(f (b) - f (a)) \cdot \frac{b - a}{n}$ , deci scade spre zero când numărul de bucăți crește. Între toate încadrările rămâne un singur număr: aria de sub grafic. El primește numele de integrală definită, iar unitatea lui este produsul dintre unitatea ratei și unitatea intervalului.

De reținut

mărimea acumulată = aria de sub graficul ratei
rată constantă: dreptunghi; rată uniformă: trapez
pentru grafice curbate: încadrare între două sume de dreptunghiuri

Greșeala tipică

Se înmulțește viteza finală cu tot timpul; când viteza variază, drumul este aria de sub graficul ei, nu produsul unei singure valori cu durata.

Exerciții din această mini-lecție

Un camion merge $2$ ore cu viteza constantă de $70$ km/h. Ce figură de sub graficul vitezei are aria egală cu drumul parcurs?
- a) un dreptunghi cu laturile $2$ și $70$
- b) un triunghi cu catetele $2$ și $70$
- c) un pătrat cu latura $70$
- d) un trapez cu bazele $0$ și $70$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) un dreptunghi cu laturile $2$ și $70$

Graficul unei viteze constante este un segment orizontal la înălțimea $70$ , deasupra intervalului de $2$ ore. Sub el stă un dreptunghi cu aria $70 \cdot 2 = 140$ , adică exact drumul, în kilometri.
Graficul unei forțe, în newtoni, este desenat în funcție de deplasare, în metri. În ce unitate se măsoară aria de sub grafic?
- a) newton
- b) joule
- c) watt
- d) newton pe metru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) joule

Aria este produsul dintre unitatea axei verticale și cea a axei orizontale: $1$ N $\cdot$ $1$ m $= 1$ J. Aria reprezintă lucrul mecanic al forței.
Viteza unui corp crește uniform de la $6$ m/s la $18$ m/s în $10$ secunde. Ce distanță parcurge corpul?
- a) $60$ m
- b) $180$ m
- c) $240$ m
- d) $120$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $120$ m

Sub graficul vitezei stă un trapez cu bazele $6$ și $18$ și înălțimea $10$ : $\frac{6 + 18}{2} \cdot 10 = 120$ m. Răspunsul $180$ m înmulțește viteza finală cu tot timpul.

Întrebări conexe

Ce mărimi din fizică se calculează ca arie de sub un grafic?

Drumul, ca arie sub graficul vitezei; lucrul mecanic, sub graficul forței în funcție de deplasare; sarcina electrică, sub graficul intensității în funcție de timp; volumul de lichid, sub graficul debitului. Regula comună: o mărime care se schimbă, înmulțită cu bucăți mici de interval și adunată.

Cum încadrez o arie când graficul e curbat?

Împarți intervalul în bucăți egale și construiești două scări de dreptunghiuri, una sub grafic și una peste el. Pentru o funcție crescătoare, scara de jos folosește valorile din capătul stâng al bucăților, iar cea de sus valorile din capătul drept. Aria stă între cele două sume.

Cu cât se strânge încadrarea dacă dublez numărul de bucăți?

Pentru o funcție monotonă, diferența dintre cele două sume este diferența valorilor de la capete înmulțită cu lățimea unei bucăți. Dacă dublezi numărul de bucăți, lățimea se înjumătățește, deci și diferența dintre sume scade la jumătate.

În ce unitate se măsoară aria de sub graficul unui debit?

Faci produsul celor două unități de pe axe. Un debit în litri pe minut, desenat față de minute, dă o arie în litri, adică volumul de lichid. Dacă timpul e în secunde, îl transformi întâi în minute.

Când este exactă formula trapezului pentru un drum?

Doar când viteza crește sau scade uniform, adică atunci când graficul vitezei este un segment. Pentru un grafic curbat, media vitezelor de la capete înmulțită cu timpul dă numai o aproximare, uneori prea mare, alteori prea mică.

Oamenii mai întreabă și: probleme care conduc la integrală · drumul ca arie sub graficul vitezei · de unde vine noțiunea de integrală · mărime acumulată și arie