Probleme care conduc la noțiunea de integrală (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a XII-a → ·

Un autoturism merge o oră cu $60$ km/h și parcurge $60$ km: o înmulțire. Dacă însă viteza se schimbă în fiecare clipă, la pornire, în trafic sau la frânare, înmulțirea nu mai merge, fiindcă nu mai există „viteza” cu care să înmulțești. Aceeași piedică apare la lucrul mecanic al unei forțe care variază, la masa unei bare mai groase la un capăt, la apa adusă de o pompă al cărei debit scade. Toate aceste probleme au același răspuns, iar el deschide capitolul integralei definite în clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2). Rândul „Probleme care conduc la noțiunea de integrală” stă chiar la începutul calculului integral din programa școlară și din programa de examen după care se dă bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029.

Lecția de față nu calculează încă nicio integrală. Ea arată de ce, în probleme foarte diferite, ajungi de fiecare dată la același număr: aria de sub un grafic. Numele și scrierea acestui număr le dă lecția despre integrala definită ca arie de sub grafic. Calculul lui exact îl dă formula Leibniz-Newton, pe drumul deschis la primitive în științe.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o mărime acumulată, care se obține înmulțind o rată cu un interval, și să-i scrii unitatea de măsură.
Vei ști de ce, când rata e constantă, mărimea acumulată este aria unui dreptunghi, iar când rata crește uniform, aria unui trapez.
Vei ști să aproximezi o mărime acumulată împărțind intervalul în bucăți mici și să o încadrezi între două valori sigure.
Vei ști să calculezi cât de strânsă este încadrarea și câte bucăți îți trebuie pentru o precizie dată.
Vei ști să traduci problemele despre drum, lucru mecanic, masă, volum sau sarcină electrică în aceeași întrebare: aria de sub un grafic.
Vei ști să recunoști greșeala de a înmulți cu o singură valoare a unei mărimi care variază.

Hai să descoperim împreună

1. Ce problemă rezolvă o simplă înmulțire?

Mărimea acumulată este o mărime care se obține adunând contribuțiile unei rate pe un interval: drumul, din viteză și timp; volumul, din debit și timp; lucrul mecanic, din forță și deplasare. Când rata este constantă, adunarea se reduce la o înmulțire: drum $=$ viteză $\cdot$ timp, volum $=$ debit $\cdot$ timp, lucru mecanic $=$ forță $\cdot$ deplasare.

Desenează graficul unei viteze constante, de $v_{0}$ metri pe secundă, pe un interval de $T$ secunde. Este un segment orizontal, iar sub el stă un dreptunghi cu baza $T$ și înălțimea $v_{0}$ . Aria lui este $v_{0} \cdot T$ , exact drumul parcurs. Iar unitatea se potrivește: metri pe secundă înmulțiți cu secunde dau metri. Prima observație a lecției este, așadar: la o rată constantă, mărimea acumulată este aria dreptunghiului de sub graficul ratei.

Observația rămâne adevărată și când rata are câteva valori constante pe porțiuni. Dacă un biciclist merge $10$ minute cu o viteză, apoi $5$ minute cu alta, graficul are două trepte, iar drumul total este suma ariilor celor două dreptunghiuri.

2. Ce se schimbă când viteza crește uniform?

Un corp pornește cu viteza $v_{0}$ și accelerează uniform până la viteza $v_{1}$ , în $T$ secunde. Graficul vitezei este acum un segment oblic, iar sub el stă un trapez cu bazele $v_{0}$ și $v_{1}$ și înălțimea $T$ . Aria lui este $\frac{v _{0} + v _{1}}{2} \cdot T$ . Fizica dă același drum: la mișcarea uniform accelerată, viteza medie este media aritmetică a vitezelor de la capete.

Nu e o coincidență. Gândește-te că viteza ar crește în trepte mici, de exemplu la fiecare zecime de secundă. Fiecare treaptă e un dreptunghi îngust, iar dreptunghiurile umplu aproape tot trapezul. Cu cât treptele sunt mai mici, cu atât diferența dintre ele și trapez scade. Așadar și la o rată variabilă, mărimea acumulată se citește ca o arie: aria de sub graficul ratei. Când graficul e un segment, aria o dă geometria. Rămâne de văzut ce faci când graficul e curbat.

3. Cum aproximezi drumul când graficul vitezei e curbat?

Un autoturism trece de semafor și accelerează, iar viteza lui, în metri pe secundă, este $v (t) = t^{2} + 2$ în primele $3$ secunde. Graficul este un arc de parabolă, iar sub el nu mai stă nicio figură cunoscută.

Ideea este să împarți intervalul $[0, 3]$ în bucăți și să tratezi viteza ca fiind constantă pe fiecare bucată. Cu trei bucăți de câte o secundă, viteza crește pe fiecare bucată, deci cea mai mică valoare e la începutul bucății, iar cea mai mare la sfârșit. Dacă pe fiecare secundă ai folosi viteza de la început, ai obține un drum prea mic; dacă ai folosi viteza de la sfârșit, unul prea mare:

$v (0) + v (1) + v (2) = 2 + 3 + 6 = 11, v (1) + v (2) + v (3) = 3 + 6 + 11 = 20.$

Fiecare termen este o viteză înmulțită cu o secundă, deci drumul $d$ verifică $11 < d < 20$ , în metri. Pe desen, prima sumă este aria unei „scări” de dreptunghiuri așezate sub grafic, iar a doua aria unei scări care îl acoperă.

Încadrarea e largă, deci o strângi. Cu șase bucăți de câte o jumătate de secundă, aceeași socoteală dă

$\frac{1}{2} (v (0) + v (0, 5) + \dots + v (2, 5)) = 12, 875, \frac{1}{2} (v (0, 5) + v (1) + \dots + v (3)) = 17, 375.$

Drumul este acum între $12, 875$ m și $17, 375$ m. Lățimea încadrării a scăzut de la $9$ la $4, 5$ metri.

4. De ce încadrarea se strânge oricât de mult?

Privește diferența dintre cele două sume. La trei bucăți ea este $20 - 11 = 9$ , iar la șase bucăți $17, 375 - 12, 875 = 4, 5$ . Motivul se vede direct din sume: aproape toți termenii apar în amândouă, iar după scădere rămâne numai ultima viteză minus prima, înmulțită cu lățimea unei bucăți. Pentru o funcție crescătoare $f$ , pe un interval $[a, b]$ împărțit în $n$ bucăți egale,

$suma de sus - suma de jos = (f (b) - f (a)) \cdot \frac{b - a}{n} .$

Pe desen, toate dreptunghiurile mici rămase între cele două scări, mutate unul sub altul, formează o singură coloană. Ea are lățimea unei bucăți și înălțimea totală $f (b) - f (a)$ . Când dublezi numărul de bucăți, diferența se înjumătățește. La $n = 300$ de bucăți, pentru autoturismul de mai sus, diferența ar fi $9 \cdot \frac{3}{300} = 0, 09$ metri.

Toate încadrările conțin drumul real, iar lățimea lor scade spre zero. Prin urmare există un singur număr care stă între toate sumele de jos și toate sumele de sus. Acel număr este drumul parcurs și, în același timp, aria de sub graficul vitezei. Pentru o funcție descrescătoare raționamentul e același, doar că rolurile se schimbă: valoarea de la începutul bucății este cea mai mare.

5. Ce au în comun drumul, lucrul mecanic și masa unei bare?

Toate se construiesc la fel: o mărime care variază, înmulțită cu bucăți mici dintr-un interval, apoi adunată. Tabelul pune alături problemele cele mai des întâlnite în științe:

problema	mărimea care variază	o bucată mică	mărimea acumulată
aria de sub grafic	înălțimea $f (x)$	$f (x) \cdot Δ x$	aria
drumul	viteza $v (t)$ , în m/s	$v \cdot Δ t$ , în m	drumul, în m
lucrul mecanic	forța $F (x)$ , în N	$F \cdot Δ x$ , în J	lucrul mecanic, în J
masa unei bare	densitatea $λ (x)$ , în kg/m	$λ \cdot Δ x$ , în kg	masa, în kg
volumul pompat	debitul $q (t)$ , în L/min	$q \cdot Δ t$ , în L	volumul, în L
sarcina electrică	intensitatea $I (t)$ , în A	$I \cdot Δ t$ , în C	sarcina, în C

Cu literele schimbate, socoteala e de fiecare dată aceeași, iar rezultatul este aria de sub graficul mărimii care variază. Unitatea rezultatului se obține înmulțind unitatea de pe axa verticală cu cea de pe axa orizontală. Densitatea $λ (x)$ arată câte kilograme are un metru de bară în jurul punctului $x$ , iar o bară mai groasă la un capăt are acolo o densitate mai mare.

6. Cum se leagă aria de primitive?

La primitive în științe ai aflat mărimea acumulată pe alt drum: ai căutat o funcție a cărei derivată este rata și ai făcut diferența valorilor ei la capete. Pentru autoturismul de la secțiunea 3, o primitivă a vitezei este $\frac{t ^{3}}{3} + 2 t$ , iar diferența valorilor ei în $3$ și în $0$ este $9 + 6 = 15$ . Numărul $15$ stă, într-adevăr, între $11$ și $20$ și între $12, 875$ și $17, 375$ . Faptul că cele două drumuri, aria prin bucăți mici și primitiva, dau același număr nu e un accident: el este conținutul formulei Leibniz-Newton, din lecția ei.

Până atunci, încadrarea prin bucăți are două roluri practice. Ea dă o valoare aproximativă când nu ai formula funcției, ci doar măsurători din tabel. Și oferă un control: un rezultat calculat cu primitive care iese în afara încadrării e sigur greșit.

7. Câte bucăți îți trebuie pentru o precizie dată?

Formula de la secțiunea 4 răspunde direct. Dacă $f$ este crescătoare pe $[a, b]$ și vrei ca diferența dintre suma de sus și suma de jos să fie sub o eroare $ε$ , ceri

$(f (b) - f (a)) \cdot \frac{b - a}{n} < ε .$

De aici afli cel mai mic număr natural $n$ potrivit. Atunci orice număr din încadrare, de exemplu mijlocul ei, se abate de la valoarea exactă cu mai puțin de $ε$ . Programele de calcul folosesc exact această idee, cu mii de bucăți. Un calculator de buzunar nu are nevoie de formula primitivei ca să dea aria cu multe zecimale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un drum pe trepte

Un biciclist merge $20$ de minute cu $15$ km/h, apoi urcă o pantă $12$ minute cu $8$ km/h și coboară $6$ minute cu $30$ km/h. Ce distanță a parcurs?

Rezolvare. Graficul vitezei are trei trepte, iar drumul este suma ariilor celor trei dreptunghiuri. Minutele se transformă în ore, ca unitățile să se potrivească: $20$ min $= \frac{1}{3}$ h, $12$ min $= \frac{1}{5}$ h, $6$ min $= \frac{1}{10}$ h. Drumul este

$15 \cdot \frac{1}{3} + 8 \cdot \frac{1}{5} + 30 \cdot \frac{1}{10} = 5 + 1, 6 + 3 = 9, 6 km .$

Viteza medie pe tot drumul este $9, 6$ km împărțiți la $\frac{38}{60}$ h, adică aproximativ $15, 2$ km/h. Nu e media celor trei viteze, $\frac{15 + 8 + 30}{3} \approx 17, 7$ km/h, fiindcă biciclistul a stat mai mult timp pe porțiunile lente.

Exemplul 2 — Viteza care crește uniform

Un tren trece prin stație cu $4$ m/s și accelerează uniform, astfel încât viteza lui este $v (t) = 4 + 0, 5 t$ , în m/s, pentru $t \in [0, 20]$ secunde. Ce distanță parcurge în cele $20$ de secunde?

Rezolvare. Graficul vitezei este un segment de la $v (0) = 4$ la $v (20) = 14$ . Sub el stă un trapez cu bazele $4$ și $14$ și înălțimea $20$ , deci drumul este

$\frac{4 + 14}{2} \cdot 20 = 180 m .$

Controlul cu formula din fizică a mișcării uniform accelerate, $d = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ , cu $v_{0} = 4$ și $a = 0, 5$ : $d = 80 + 100 = 180$ m. Cele două drumuri dau același rezultat.

Exemplul 3 — Masa unei bare care se îngroașă

O bară de oțel cu lungimea de $5$ m se îngroașă uniform de la un capăt la celălalt, iar densitatea ei liniară, la distanța $x$ metri de capătul subțire, este $λ (x) = 2 + 0, 4 x$ kilograme pe metru. Ce masă are bara?

Rezolvare. Pe o bucată scurtă de lungime $Δ x$ , masa este aproximativ $λ (x) \cdot Δ x$ , deci masa totală este aria de sub graficul densității. Graficul este un segment de la $λ (0) = 2$ la $λ (5) = 4$ , iar aria trapezului este

$\frac{2 + 4}{2} \cdot 5 = 15 kg .$

Unitatea se verifică: kilograme pe metru înmulțite cu metri dau kilograme. Controlul de bun-simț: o bară cu densitatea constantă de $2$ kg/m ar avea $10$ kg, una cu $4$ kg/m ar avea $20$ kg, iar bara noastră, între ele, are $15$ kg.

Exemplul 4 — Încadrarea unui volum pompat

O pompă umple un bazin de decantare dintr-o stație de tratare a apei. Debitul ei scade pe măsură ce nivelul apei crește, după legea $q (t) = 12 - t^{2}$ , în litri pe minut, pentru $t \in [0, 3]$ minute. Încadrează volumul pompat împărțind intervalul în trei, apoi în șase bucăți egale.

Rezolvare. Debitul este descrescător, deci pe fiecare bucată valoarea cea mai mare e la început. Cu trei bucăți de câte un minut:

$q (1) + q (2) + q (3) = 11 + 8 + 3 = 22, q (0) + q (1) + q (2) = 12 + 11 + 8 = 31,$

deci $22 < V < 31$ litri. Diferența, $9$ , este $(q (0) - q (3)) \cdot 1$ , ca la secțiunea 4. Cu șase bucăți de câte o jumătate de minut, valorile debitului în $0; 0, 5; 1; \dots; 3$ sunt $12$ ; $11, 75$ ; $11$ ; $9, 75$ ; $8$ ; $5, 75$ ; $3$ . Suma de jos este $\frac{1}{2} (11, 75 + 11 + 9, 75 + 8 + 5, 75 + 3) = 24, 625$ , iar cea de sus $\frac{1}{2} (12 + 11, 75 + 11 + 9, 75 + 8 + 5, 75) = 29, 125$ . Volumul este între $24, 625$ L și $29, 125$ L, iar lățimea încadrării s-a înjumătățit, la $4, 5$ L.

Valoarea exactă, $27$ L, se va obține cu formula Leibniz-Newton. Ea cade în ambele încadrări.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un scuter electric a pornit deja și, la $t = 0$ , are $1$ m/s. Viteza lui, în primele $3$ secunde de la acel moment, este $v (t) = t^{2} + 1$ , în m/s. O colegă calculează drumul ca la mișcarea uniform accelerată: media vitezelor de la capete, $\frac{1 + 10}{2} = 5, 5$ m/s, înmulțită cu $3$ s, adică $16, 5$ m. Unde a greșit?

Rezolvare. Media vitezelor de la capete dă drumul doar când viteza crește uniform, adică atunci când graficul este un segment. Aici graficul este un arc curbat în sus, care stă sub coarda dintre capete, deci aria de sub el e mai mică decât aria trapezului. Încadrarea cu șase bucăți de câte $0, 5$ s confirmă: suma de jos este $\frac{1}{2} (v (0) + v (0, 5) + \dots + v (2, 5)) = 9, 875$ , iar suma de sus $\frac{1}{2} (v (0, 5) + \dots + v (3)) = 14, 375$ . Cum $16, 5 > 14, 375$ , rezultatul colegei este sigur prea mare.

Drumul real, pe care îl vei calcula cu primitive, este $12$ m. Regula de reținut: formula trapezului e exactă numai pentru grafice care sunt segmente; pentru altele dă doar o aproximare.

Exemplul 6 — O problemă cu trei cerințe

O pompă introduce apă într-un rezervor.

a) Câți litri introduce în $8$ minute, la un debit constant de $25$ L/min?

b) Câți litri introduce în $8$ minute, dacă debitul crește uniform de la $25$ L/min la $41$ L/min?

c) Acum debitul crește, dar nu uniform: pornește de la $25$ L/min și ajunge, după $8$ minute, la $41$ L/min. Câte bucăți egale sunt necesare ca suma de jos și suma de sus să difere cu mai puțin de $2$ L?

Rezolvare. a) Aria dreptunghiului: $25 \cdot 8 = 200$ L.

b) Aria trapezului: $\frac{25 + 41}{2} \cdot 8 = 264$ L.

c) Pentru un debit crescător, diferența dintre cele două sume este $(41 - 25) \cdot \frac{8}{n} = \frac{128}{n}$ . Condiția $\frac{128}{n} < 2$ dă $n > 64$ , deci sunt necesare cel puțin $65$ de bucăți. Cu $64$ de bucăți diferența ar fi exact $2$ L, nu mai mică.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată unitatea de măsură a rezultatului și controlează-l cu o estimare grosieră: rata cea mai mică și rata cea mai mare înmulțite cu lungimea intervalului.

1. (Adevărat/Fals cu motivare.) a) Drumul parcurs cu viteză constantă este aria unui dreptunghi. b) Dacă viteza crește, drumul este viteza finală înmulțită cu timpul. c) O forță în newtoni, înmulțită cu o deplasare în metri, dă un lucru mecanic în jouli.

2. Un pieton merge $30$ de minute cu $4$ km/h, apoi $15$ minute cu $6$ km/h și încă $15$ minute cu $2$ km/h. Ce distanță a parcurs?

3. Ce unitate are mărimea acumulată în fiecare caz? a) debit în litri pe secundă, timp în secunde; b) intensitate în amperi, timp în secunde; c) densitate liniară în grame pe centimetru, lungime în centimetri; d) putere în kilowați, timp în ore.

4. Viteza unui corp este $v (t) = 3 + 2 t$ , în m/s, pentru $t \in [0, 5]$ secunde. Calculează drumul parcurs, ca arie a unui trapez.

5. O forță care trage o sanie pe zăpadă crește uniform odată cu distanța: $F (x) = 50 + 20 x$ , în newtoni, pentru $x \in [0, 3]$ metri. Calculează lucrul mecanic efectuat.

6. O bară de cupru lungă de $4$ m are densitatea liniară $λ (x) = 1, 2 + 0, 6 x$ kilograme pe metru. Calculează masa barei.

7. Pentru $f (x) = x^{2} + 3$ , pe intervalul $[1, 3]$ , calculează suma de jos și suma de sus cu două bucăți egale, apoi cu patru bucăți egale.

8. Debitul unui robinet care se închide treptat este $q (t) = 20 - 2 t$ , în litri pe minut, pentru $t \in [0, 6]$ minute. a) Încadrează volumul cu trei bucăți egale. b) Calculează volumul exact, ca arie a unui trapez, și compară-l cu încadrarea.

9. Funcția $f (x) = x$ este crescătoare pe $[0, 9]$ . Câte bucăți egale sunt necesare ca suma de sus și suma de jos să difere cu cel mult $0, 5$ ?

10. O macara ridică o încărcătură: pe primii $5$ metri forța de tracțiune este $1200$ N, iar pe următorii $3$ metri, după ce o parte a încărcăturii a fost descărcată, $900$ N. Ce lucru mecanic efectuează macaraua?

11. Un autobuz pleacă din stație și accelerează uniform de la $0$ la $12$ m/s în $6$ secunde. Merge apoi $8$ secunde cu viteza constantă de $12$ m/s și frânează uniform până la oprire în $4$ secunde. Ce distanță parcurge?

12. Intensitatea curentului într-un circuit crește uniform după legea $I (t) = 0, 2 + 0, 1 t$ , în amperi, pentru $t \in [0, 10]$ secunde. Ce sarcină electrică trece prin circuit?

13. (Găsește greșeala.) Un furtun are debitul de $30$ L/min. Un elev calculează volumul de apă scurs în $90$ de secunde ca $30 \cdot 90 = 2700$ L. Unde a greșit și care este răspunsul corect?

14. Pentru $v (t) = 2 t + 1$ , pe $[0, 4]$ , calculează suma de jos și suma de sus cu patru bucăți egale. Arată că aria trapezului de sub grafic este exact media celor două sume.

15. (Problemă cu trei cerințe.) Intensitatea unei ploi, în milimetri pe oră, se măsoară la o stație meteo. a) Câți milimetri de apă cad în $3$ ore, la o intensitate constantă de $4$ mm/h? b) Câți milimetri cad în $4$ ore, dacă intensitatea scade uniform de la $6$ mm/h la $0$ ? c) Într-o altă zi, intensitatea a fost $i (t) = 8 - \frac{t ^{2}}{2}$ , pentru $t \in [0, 4]$ ore. Încadrează cantitatea de apă căzută folosind patru bucăți de câte o oră.

16. O funcție crescătoare ia valoarea $1$ în $x = 0$ și valoarea $9$ în $x = 4$ . Câte bucăți egale sunt necesare ca suma de sus și suma de jos să difere cu cel mult $0, 5$ ?

17. Explică, folosind unitățile de pe axe, de ce aria de sub graficul vitezei unui corp, desenat în metri pe secundă față de secunde, se măsoară în metri.

18. (Provocare.) Despre un corp se știe doar că viteza lui crește continuu, de la $0$ la $20$ m/s, în $10$ secunde. a) Arată că drumul parcurs este mai mic de $200$ m. b) Se află în plus că după $5$ secunde viteza era de $8$ m/s. Ce încadrare a drumului obții acum?

Răspunsuri și explicații

1. a) Adevărat: graficul unei viteze constante este un segment orizontal, iar aria dreptunghiului de sub el este viteza înmulțită cu timpul. b) Fals: viteza finală e cea mai mare, deci produsul ei cu timpul dă o valoare prea mare. c) Adevărat: $1$ N $\cdot$ $1$ m $= 1$ J.

2. $4 \cdot 0, 5 + 6 \cdot 0, 25 + 2 \cdot 0, 25 = 2 + 1, 5 + 0, 5 = 4$ km.

3. a) litri; b) coulombi, adică amper-secunde; c) grame; d) kilowați-oră.

4. $v (0) = 3$ și $v (5) = 13$ , deci drumul este $\frac{3 + 13}{2} \cdot 5 = 40$ m.

5. $F (0) = 50$ și $F (3) = 110$ , deci lucrul mecanic este $\frac{50 + 110}{2} \cdot 3 = 240$ J.

6. $λ (0) = 1, 2$ și $λ (4) = 3, 6$ , deci masa este $\frac{1 , 2 + 3 , 6}{2} \cdot 4 = 9, 6$ kg.

7. Valorile funcției în $1; 1, 5; 2; 2, 5; 3$ sunt $4$ ; $5, 25$ ; $7$ ; $9, 25$ ; $12$ . Cu două bucăți: suma de jos $4 + 7 = 11$ , suma de sus $7 + 12 = 19$ . Cu patru bucăți: suma de jos $\frac{1}{2} (4 + 5, 25 + 7 + 9, 25) = 12, 75$ , suma de sus $\frac{1}{2} (5, 25 + 7 + 9, 25 + 12) = 16, 75$ . Diferența a scăzut de la $8$ la $4$ .

8. a) Bucăți de câte $2$ minute; debitul e descrescător, deci suma de sus folosește valorile de la început: $2 (20 + 16 + 12) = 96$ , iar suma de jos $2 (16 + 12 + 8) = 72$ . Așadar $72 < V < 96$ litri. b) Graficul este un segment, deci $V = \frac{20 + 8}{2} \cdot 6 = 84$ L, chiar mijlocul încadrării.

9. Diferența este $(9 - 0) \cdot \frac{9}{n} = \frac{27}{n}$ . Condiția $\frac{27}{n} \leq 0, 5$ dă $n \geq 54$ , deci sunt necesare cel puțin $54$ de bucăți.

10. Graficul forței are două trepte: $1200 \cdot 5 + 900 \cdot 3 = 6000 + 2700 = 8700$ J.

11. Graficul vitezei este un trapez format din trei bucăți: un triunghi cu aria $\frac{6 \cdot 12}{2} = 36$ , un dreptunghi cu aria $8 \cdot 12 = 96$ și un triunghi cu aria $\frac{4 \cdot 12}{2} = 24$ . Drumul este $36 + 96 + 24 = 156$ m.

12. $I (0) = 0, 2$ și $I (10) = 1, 2$ , deci sarcina este $\frac{0 , 2 + 1 , 2}{2} \cdot 10 = 7$ C.

13. Debitul e dat pe minut, iar timpul în secunde. Unitățile trebuie aduse la aceeași măsură înainte de înmulțire: $90$ s $= 1, 5$ min, deci volumul este $30 \cdot 1, 5 = 45$ L. Rezultatul elevului, $2700$ L, ar umple aproape trei cuve de câte o tonă.

14. Valorile în $0, 1, 2, 3, 4$ sunt $1, 3, 5, 7, 9$ . Suma de jos este $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ , suma de sus $3 + 5 + 7 + 9 = 24$ , iar media lor $20$ . Trapezul are aria $\frac{1 + 9}{2} \cdot 4 = 20$ . Pentru un grafic care este un segment, triunghiurile care lipsesc din scara de jos sunt egale cu cele care prisosesc în scara de sus.

15. a) $4 \cdot 3 = 12$ mm. b) Aria triunghiului: $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ mm. c) Intensitatea scade, iar valorile în $0, 1, 2, 3, 4$ sunt $8$ ; $7, 5$ ; $6$ ; $3, 5$ ; $0$ . Suma de sus este $8 + 7, 5 + 6 + 3, 5 = 25$ , iar cea de jos $7, 5 + 6 + 3, 5 + 0 = 17$ , deci au căzut între $17$ mm și $25$ mm de apă.

16. Diferența este $(9 - 1) \cdot \frac{4}{n} = \frac{32}{n}$ . Condiția $\frac{32}{n} \leq 0, 5$ dă $n \geq 64$ , deci cel puțin $64$ de bucăți.

17. O arie este produsul dintre o lungime măsurată pe axa verticală și una măsurată pe axa orizontală. Aici axa verticală e în m/s, iar cea orizontală în s, deci aria are unitatea $\frac{m}{s} \cdot s = m$ , adică o lungime: drumul.

18. a) Viteza este tot timpul sub $20$ m/s, cu excepția ultimei clipe, deci drumul este mai mic decât $20 \cdot 10 = 200$ m. b) Cu două bucăți de câte $5$ secunde, suma de jos este $5 \cdot 0 + 5 \cdot 8 = 40$ , iar cea de sus $5 \cdot 8 + 5 \cdot 20 = 140$ . Drumul este între $40$ m și $140$ m.

De reținut

O mărime acumulată se obține înmulțind o rată cu un interval; la o rată constantă, ea este aria unui dreptunghi, iar la o rată care crește uniform, aria unui trapez.
La o rată oarecare, mărimea acumulată este aria de sub graficul ratei. Unitatea ei este produsul unităților de pe cele două axe.
O aproximare se obține împărțind intervalul în bucăți și considerând rata constantă pe fiecare bucată. Pentru o funcție crescătoare, valorile de la începutul bucăților dau o sumă prea mică, iar cele de la sfârșit una prea mare.
Diferența dintre suma de sus și suma de jos este $(f (b) - f (a)) \cdot \frac{b - a}{n}$ pentru o funcție crescătoare; ea scade spre zero când $n$ crește, iar între toate încadrările rămâne un singur număr.
Același număr apare la drum, lucru mecanic, masă, volum sau sarcină electrică; el primește numele de integrală definită.

Greșeli frecvente

Înmulțirea cu o singură valoare. Se înmulțește viteza finală sau inițială cu tot timpul. Corect: o mărime care variază nu are o singură valoare de înmulțit; drumul este aria de sub graficul ei.
Media capetelor folosită la orice grafic. Formula trapezului se aplică și unui grafic curbat. Corect: ea e exactă doar pentru un segment; altfel faci o încadrare.
Rolurile inversate la o funcție descrescătoare. Se folosesc tot valorile de la început pentru suma de jos. Corect: când funcția scade, valoarea de la începutul unei bucăți este cea mai mare.
Unități amestecate. Se înmulțesc litri pe minut cu secunde. Corect: aduci timpul la unitatea din rată înainte de înmulțire.
O singură sumă luată drept rezultat exact. Se scrie suma de jos ca valoare a drumului. Corect: o sumă este doar o margine; valoarea exactă stă între cele două sume.

Aplică acasă

Drumul din telefon. Cu o aplicație de alergare sau de ciclism, notează viteza la fiecare minut al unei ture scurte. Calculează suma de jos și suma de sus și compară-le cu distanța afișată de aplicație.
Pătrățelele de pe caiet. Desenează pe hârtie milimetrică graficul lui $f (x) = 4 - \frac{x ^{2}}{4}$ pe $[0, 4]$ . Fă încadrarea cu patru bucăți, apoi cu opt bucăți, și urmărește cum se strâng cele două scări.
Factura de curent. Caută pe o factură consumul în kilowați-oră. Explică unui membru al familiei de ce el este aria de sub graficul puterii consumate în timp.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul integralei definite cu întrebarea care l-a făcut necesar, nu cu o definiție. Pragul real este ideea că o mărime care variază nu se poate înmulți direct, dar se poate aproxima pe bucăți. Un elev care explică de ce drumul este aria de sub graficul vitezei și care încadrează corect o mărime între două sume a înțeles motivul pentru care există integrala. Calculul exact vine în lecțiile următoare.

Semne de urmărit în caiet: unitatea de măsură scrisă la fiecare rezultat; alegerea corectă a capetelor bucăților după monotonia funcției; refuzul formulei trapezului pentru grafice curbate. Întrebări bune de control: „Ce înmulțești pe o bucată mică?”, „De ce o sumă iese prea mică și cealaltă prea mare?”, „Cât de mult se strânge încadrarea când dublezi numărul de bucăți?”. Lecția nu definește sumele Riemann, cu puncte intermediare oarecare și cu limită formală; acestea țin de programa de la mate-info.

Lecția despre integrala definită ca arie de sub grafic o definește, iar estimarea unei integrale de pe grafic folosește aceleași încadrări pe grafice desenate. Varianta cu sume calculate pentru un număr oarecare de bucăți și cu trecere la limită este problema ariei și subgraficul, la mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară în vigoare la clasa a XII-a pentru științe ale naturii (Programa 2, OMEC 5959/2006), al cărei capitol de calcul integral începe cu rândul „Probleme care conduc la noțiunea de integrală”. Același rând deschide capitolul de calcul integral din programa de examen după care se dă Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014). Exercițiile lecției nu sunt marcate ca exerciții de bacalaureat, fiindcă exersează traducerea unei probleme în arie, nu forma unei cerințe de examen. În programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) și în programa probei MAT_P2 din 2030, aceeași idee apare ca „originea noțiunii de integrală definită ca arie a subgraficului unei funcții continue și pozitive”, alături de estimările făcute pe grafic. La filiera tehnologică rândul e în aceeași programă școlară, dar nu și în programa de examen M_tehnologic. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OMEC 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce probleme conduc la noțiunea de integrală?

Toate problemele în care o mărime se obține înmulțind o rată care variază cu un interval: drumul parcurs cu viteză variabilă, lucrul mecanic al unei forțe care se schimbă, masa unei bare cu densitate neuniformă, volumul adus de un debit variabil, sarcina electrică dintr-un curent variabil. În toate, răspunsul este aria de sub graficul ratei.

De ce drumul parcurs este aria de sub graficul vitezei?

Pe o bucată scurtă de timp, viteza e aproape constantă, iar drumul pe acea bucată este viteza înmulțită cu durata, adică aria unui dreptunghi îngust de sub grafic. Adunând toate bucățile, obții o scară de dreptunghiuri care umple aria de sub grafic cu atât mai bine cu cât bucățile sunt mai scurte.

De ce împărțim intervalul în bucăți mici?

Pentru că pe o bucată mică o mărime care variază se poate trata ca fiind constantă, iar atunci înmulțirea funcționează din nou. Eroarea vine doar din cât se schimbă mărimea pe fiecare bucată. Cu bucăți mai mici, eroarea scade: la o funcție crescătoare, dublarea numărului de bucăți înjumătățește diferența dintre cele două sume.

Ce legătură are lecția cu primitivele?

Mărimea acumulată se poate afla și cu o primitivă a ratei, ca diferența valorilor ei la capetele intervalului. Faptul că acest număr coincide cu aria de sub graficul ratei este conținutul formulei Leibniz-Newton, care leagă cele două capitole. Încadrarea prin bucăți rămâne un control util al rezultatului.

La ce subiect al bacalaureatului M2 se folosește ideea din lecție?

Rândul „Probleme care conduc la noțiunea de integrală” deschide calculul integral în programa de examen M2 pentru sesiunile 2027–2029, iar cerințele cu integrale se dau la Subiectul al III-lea. Ideea din lecție te ajută să traduci o problemă de arie într-o integrală și să controlezi un rezultat printr-o estimare.

Prin ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)?

La mate-info, problema ariei se rezolvă pentru un număr oarecare de bucăți, cu formule de sume și cu trecere la limită, iar apoi se construiesc sumele Riemann. Lecția M2 rămâne la încadrări calculate cu puține bucăți, la estimarea preciziei și la problemele din fizică, chimie și biologie care conduc la aceeași arie.

Ce unitate de măsură are o mărime acumulată?

Produsul dintre unitatea ratei și unitatea intervalului. Metri pe secundă înmulțiți cu secunde dau metri, newtoni înmulțiți cu metri dau jouli, litri pe minut înmulțiți cu minute dau litri. Dacă unitățile intervalului nu se potrivesc cu cele din rată, le transformi înainte de calcul.