Credit și buget familial: liceu tehnologic

Banca nu judecă o cerere după rata nouă: adună toate ratele familiei și le compară cu venitul, iar familia are și ea o limită, banii rămași după rată. Cu exemplele de mai jos, gândite pentru clasa a X-a a liceelor tehnologice, afli rata maximă din cele două limite, aduni comisioanele și alegi oferta cea mai ieftină dintre cele care încap. Tema este în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), deși probele din 2013–2026 nu au cerut-o.

Situația de pornire

O familie cu doi salariați vrea să schimbe ferestrele vechi cu geamuri termopan. Lucrarea costă 28 600 de lei. Familia are 6 400 de lei economii, deci îi trebuie un credit de 22 200 de lei. Bugetul lunar și cele trei oferte primite pe fișe sunt în tabele.

Creditorul primește cererea numai dacă toate ratele familiei, cu cea nouă cu tot, nu trec de 40 % din venitul net lunar (plafonul de îndatorare, valoare din exemplu). Familia mai are o regulă a ei: după rata nouă să-i rămână cel puțin 400 de lei pe lună.

Întrebare: care dintre cele trei oferte pot fi aprobate și încap în bugetul familiei, care dintre ele costă mai puțin în total și cu cât mai mult decât suma primită?

De la situație la model

Notează cu $V$ venitul net lunar, cu $r_0$ rata existentă și cu $S$ suma împrumutată. Tabelul traduce cuvintele de la bancă în cuvinte din matematică.

Plafonul de îndatorare este suma maximă pe care creditorul acceptă s-o plătești lunar pentru toate creditele la un loc. Obligația lunară a unei oferte este rata plus comisionul lunar. Comisionul de analiză se plătește o singură dată, la semnare, iar comisionul lunar de administrare se plătește în fiecare lună. Costul creditului, $K$, este ce plătești în total mai mult decât ai primit; în el intră dobânzile din rate și toate comisioanele.

Cât poate plăti familia pe lună?

Sunt două limite. Creditorul îți lasă loc pentru rata nouă până la plafon: $0,4\cdot V-r_0$. Familia își pune a doua limită din buget: soldul minus rezerva dorită, $s-400$. Rata maximă este cea mai mică dintre ele, $r_{\max }=\min (0,4\cdot V-r_0,s-400)$. Există și credite cu rate care scad de la o lună la alta; unul de acest fel apare în lecția despre progresia aritmetică, la rate și salarii. Fișele din situație au rate egale, așa că se compară prin total.

De ce elimini întâi și abia apoi compari?

O ofertă care nu încape nu intră în comparație, oricât de puțin ar costa. La familia din situație, oferta C are cel mai mic cost, $12\cdot 1940+222-22200=1302$ lei, dar obligația ei lunară, 1 940 de lei, ar lăsa familia cu $1495-1940=-445$ de lei pe lună. De aceea întâi elimini ofertele a căror obligație lunară trece de $r_{\max }$, apoi compari costul celor rămase.

De ce un comision lunar mic nu e mic?

Un comision de 24 de lei pe lună pare nimic, iar procentele din comisioane se calculează ca în lecția despre procente și TVA pe factură. Comisionul lunar se plătește însă la fiecare rată: în 24 de luni înseamnă $24\cdot 24=576$ de lei, mai mult decât comisionul de analiză de 266,40 lei, plătit o singură dată la oferta A.

Metoda pas cu pas

1. Scrie venitul net lunar, cheltuielile curente și ratele existente, toate pe lună, și calculează soldul lunar $s$. Dacă una dintre sume e dată pe an, împarte-o la 12.
2. Calculează cele două limite: locul lăsat de plafon, $0,4\cdot V-r_0$, și locul lăsat de buget, $s$ minus rezerva. Păstrează-o pe cea mai mică, $r_{\max }$.
3. Pentru fiecare ofertă scrie obligația lunară, rata plus comisionul lunar. Comisionul de analiză nu intră aici, fiindcă se plătește o singură dată.
4. Elimină ofertele a căror obligație lunară depășește $r_{\max }$. Rămâne în joc și oferta cu obligația egală cu $r_{\max }$.
5. La ofertele rămase calculează totalul plătit, $T=n\cdot o+a$, și costul creditului, $K=T-S$. Alege oferta cu cel mai mic $K$.
6. Verifică pe alt drum: adună plățile din graficul ofertei alese și compară suma cu $T$, apoi controlează că soldul rămas după rata aleasă nu coboară sub rezervă. Scrie răspunsul în lei, cu oferta aleasă, rata ei și costul ei.

Fișa de buzunar

$$r_{\max }=\min (0,4\cdot V-r_0,s-\text{rezerva}),o=r+f$$

$$T=n\cdot o+a,K=T-S$$

Condiții: toate sumele se iau pe aceeași unitate de timp, aici luna, iar $T$ cuprinde toate plățile din contract. Oferta încape dacă $o\le r_{\max }$, iar egalitatea e permisă: „cel mult 40 %” îl include pe 40 %. Verificare rapidă: $T-S$ trebuie să fie pozitiv, fiindcă nimeni nu dă bani cu un cost negativ.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Ferestrele familiei

Domeniu: economic.

Enunț. Reia familia din situația de pornire. a) Care este rata maximă pe care o poate plăti? b) Care dintre ofertele A, B și C încap? c) Care dintre ele costă mai puțin în total și cu cât mai mult decât suma primită? d) Cât îi rămâne familiei pe lună după rata aleasă?

Rezolvare. a) Venitul este $V=3480+2940=6420$ lei, iar plafonul $0,4\cdot 6420=2568$ lei. Locul lăsat de plafon este $2568-1185=1383$ lei. Soldul este $s=6420-3740-1185=1495$ lei, deci locul lăsat de buget este $1495-400=1095$ lei. Rata maximă este cea mai mică: $r_{\max }=1095$ lei.

b) Obligațiile lunare sunt $712$ lei la A, $1016+24=1040$ lei la B și $1940$ lei la C. Încap A și B; C se elimină, fiindcă $1940>1095$, deși e cea mai ieftină în total.

c) Totalul la A este $36\cdot 712+266,40=25898,40$ lei, deci $K=25898,40-22200=3698,40$ lei. La B, $T=24\cdot 1040=24960$ lei, iar $K=24960-22200=2760$ lei. Alege B: costă cu $3698,40-2760=938,40$ lei mai puțin decât A.

d) După rata B rămân $1495-1040=455$ lei pe lună, mai mult de 400.

Capcană. Cine scade din plafon doar rata nouă, uitând rata veche, crede că are loc de 2 568 de lei pe lună și, dacă nu se uită nici la buget, alege C, cea mai ieftină în total, cu un cost de 1 302 lei. Banca o respinge însă: ratele familiei ar ajunge la $1185+1940=3125$ de lei, peste plafonul de 2 568 de lei, iar soldul ar deveni $1495-1940=-445$ de lei pe lună.

Verificare. Pe alt drum, la oferta A: după 24 de luni familia a plătit $24\cdot 712+266,40=17354,40$ lei și mai are 12 rate de 712 lei, adică $8544$ lei. Împreună fac $25898,40$ lei, cu $938,40$ lei mai mult decât $24960$ lei, totalul de la B.

Exemplul 2 — Venit care nu e același în fiecare lună

Domeniu: infrumusetare.

Enunț. Un frizer cu activitate proprie cumpără echipamente de 9 800 de lei, fără alte credite. Veniturile nete din ultimele 6 luni au fost 4 120, 3 880, 4 540, 5 260, 3 940 și 4 480 de lei. Banca ia în calcul venitul mediu și plafonul de 40 %. Oferta D: 5 luni, rata de 2 019 lei, comision de analiză de 98 de lei. Oferta E: 18 luni, rata de 598 de lei, comision de analiză de 98 de lei. a) Ce plafon are frizerul? b) Care ofertă poate fi aprobată? c) Cât costă creditul ales?

Rezolvare. a) Venitul mediu este $\frac{4120+3880+4540+5260+3940+4480}{6}=\frac{26220}{6}=4370$ lei, iar plafonul $0,4\cdot 4370=1748$ lei. b) Obligația ofertei D este $2019>1748$, deci D se elimină; la E, $598\le 1748$, deci E încape. c) $T=18\cdot 598+98=10862$ lei, iar $K=10862-9800=1062$ lei.

Capcană. Cine ia drept venit luna cea mai bună, 5 260 de lei, obține plafonul $0,4\cdot 5260=2104$ lei și acceptă oferta D, mai ieftină: $T=5\cdot 2019+98=10193$ lei și $K=393$ de lei. Banca nu o aprobă însă, fiindcă lucrează cu media, nu cu cea mai bună lună.

Verificare. Pe alt drum, cele 6 luni cu venitul mediu dau $6\cdot 4370=26220$ lei, exact suma lunilor. Rata lui D, 2 019 lei, este cu $271$ de lei peste plafonul de 1 748 de lei.

Exemplul 3 — Un utilaj cu avans

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un atelier cumpără un aparat de tăiat cu plasmă de 18 600 de lei. Plătește un avans de 25 % din preț, iar restul îl ia credit, pe 3 ani. Rata este de 442,17 lei pe lună, iar comisionul de acordare este 0,9 % din suma creditului. a) Cât plătește atelierul în total pentru aparat? b) Cu cât a plătit mai mult decât prețul?

Rezolvare. Convertești: 3 ani înseamnă $3\cdot 12=36$ de luni. Avansul este $0,25\cdot 18600=4650$ lei, deci creditul este $18600-4650=13950$ lei. Comisionul este $0,009\cdot 13950=125,55$ lei, iar ratele însumează $36\cdot 442,17=15918,12$ lei. a) Totalul este $4650+15918,12+125,55=20693,67$ lei. b) Diferența față de preț este $20693,67-18600=2093,67$ lei.

Capcană. Cine uită avansul din total obține $15918,12+125,55=16043,67$ lei, mai puțin decât prețul de 18 600 de lei. Ar ieși un cost negativ, adică atelierul ar fi câștigat bani din credit, ceea ce nu se poate.

Verificare. Pe alt drum, costul finanțării este ce a returnat peste ce a primit plus comisionul: $15918,12-13950+125,55=2093,67$ lei, aceeași valoare. Cum intră un utilaj în prețul de cost al pieselor făcute cu el vezi la profit și preț de cost.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce venit cere banca

Domeniu: agricol.

Enunț. Banca îi oferă unui fermier un credit de 31 000 de lei pe 18 luni, cu rata de 1 874 de lei. Fermierul mai are o rată de 620 de lei pe lună. Ce venit net lunar trebuie să aibă familia lui ca banca să aprobe cererea, la plafonul de 40 %?

Rezolvare. Familia plătește lunar $1874+620=2494$ lei. Condiția este $2494\le 0,4\cdot V$, adică $V\ge 2494:0,4=6235$ lei. Venitul net minim este 6 235 de lei, iar la acest venit rata se potrivește exact în plafon.

Capcană. Cine uită rata veche cere doar $1874:0,4=4685$ de lei și crede că un venit de 5 100 de lei ajunge. La 5 100 de lei plafonul este $0,4\cdot 5100=2040$ lei, mai puțin decât cele 2 494 de lei de plătit, deci cererea ar fi respinsă.

Verificare. $0,4\cdot 6235=2494$ lei, exact $1874+620$. La un venit cu un leu mai mic, plafonul $0,4\cdot 6234=2493,60$ lei nu mai ajunge.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Venitul net al unei familii este de 5 840 de lei pe lună, iar ratele existente însumează 760 de lei. Calculează plafonul de 40 % și locul rămas pentru o rată nouă.

2. Un credit de 13 800 de lei se rambursează în 28 de rate de câte 538 de lei, cu un comision de analiză de 190 de lei. Calculează totalul plătit și costul creditului.

3. Un credit de 18 000 de lei are comision de analiză de 1,5 %, plătit o singură dată, și comision lunar de 15 lei, pe 30 de luni. Câți lei costă toate comisioanele?

4. O familie depune 6 400 de lei la bancă pe 6 luni, cu dobândă simplă de 4,2 % pe an. Calculează dobânda și suma de la scadență.

Nivelul 2 — situații

5. O familie de fermieri care cultivă 14 ha de grâu și porumb are venituri nete de 2 800 și de 3 150 de lei pe lună, cheltuieli curente de 3 210 lei și o rată existentă de 640 de lei. Vrea să-i rămână cel puțin 350 de lei pe lună. a) Care este rata maximă pe care o poate plăti? b) Care limită este mai strictă, cea a băncii sau cea a familiei?

6. Un magazin de electrocasnice vinde un cuptor cu prețul de listă de 5 280 de lei. Plătit pe loc, cuptorul are o reducere de 4 %; magazinul oferă și 12 rate de câte 449 de lei, fără avans. Cu cât costă mai mult varianta cu rate și ce procent din prețul plătit pe loc reprezintă diferența?

7. O pensiune cu 14 camere de cazare a luat un credit de 31 500 de lei pe 36 de luni, cu rata de 1 003 lei, pentru renovarea băilor. După 20 de rate, rambursează anticipat soldul de 15 060 de lei, cu un comision de 1 % din sold. Cât a plătit în total și cât a economisit față de planul inițial?

8. O fermă de porci vrea un credit pentru un adăpost nou și poate plăti cel mult 1 570 de lei pe lună. Banca cere o rată lunară de 31,40 lei la fiecare 1 000 de lei împrumutați, pe 36 de luni. a) Care este suma maximă pe care o poate lua? b) Ce rată ar avea pentru 38 000 de lei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un cuptor costă 3 400 de lei fără TVA, cu TVA de 21 % (valoare din exemplu). Cumpărătorul dă un avans de 25 % din prețul cu TVA, iar restul îl plătește în 10 rate de câte 318 lei. a) Calculați prețul cu TVA. b) Determinați avansul și suma finanțată. c) Determinați costul finanțării.

10. (Sinteză.) O bancă a analizat 40 de dosare de credit de nevoi personale și a respins 7 pentru depășirea plafonului. Se alege la întâmplare un dosar. a) Determinați probabilitatea ca dosarul ales să fi fost respins. b) Determinați probabilitatea ca el să fi fost aprobat.

11. (Sinteză.) Un buget lunar de 7 400 de lei are cheltuieli curente de 60 % din venit, rate de 17 % din venit și un sold de 23 %. Bugetul se reprezintă printr-o diagramă circulară. a) Determinați suma, în lei, a fiecărei categorii. b) Determinați unghiul fiecărui sector și arătați că suma unghiurilor este de 360°.

12. (Sinteză.) Venitul net al unei familii este de 5 600 de lei, rata existentă de 780 de lei, iar noua rată propusă de 1 150 de lei. Plafonul băncii este 40 % din venit. a) Arătați că oferta încape. b) După o reducere a venitului cu 15 %, arătați că nu mai încape. c) Cu câți lei ar trebui să scadă noua rată ca să încapă din nou?

Răspunsuri și verificări

1. Plafonul este $0,4\cdot 5840=2336$ lei, iar locul pentru rata nouă $2336-760=1576$ lei. Verificare: $1576+760=2336$ lei.

2. Totalul este $28\cdot 538+190=15254$ lei, deci costul creditului este $15254-13800=1454$ lei. Verificare: $15064+190=15254$ lei, iar $15254-1454=13800$ lei.

3. Comisionul de analiză este $0,015\cdot 18000=270$ lei, cel lunar $15\cdot 30=450$ lei. Împreună costă $270+450=720$ lei. Verificare: $720:18000=0,04$, adică 4 % din sumă.

4. Dobânda este $6400\cdot 0,042\cdot \frac{6}{12}=134,40$ lei, iar suma de la scadență $6400+134,40=6534,40$ lei. Verificare: pe un an dobânda ar fi $6400\cdot 0,042=268,80$ lei, iar jumătate din ea este $134,40$ lei.

5. Venitul este $2800+3150=5950$ lei. a) Plafonul este $0,4\cdot 5950=2380$ lei, deci locul lăsat de plafon este $2380-640=1740$ lei. Soldul este $5950-3210-640=2100$ lei, iar locul lăsat de buget $2100-350=1750$ lei. Rata maximă este $\min (1740;1750)=1740$ lei. b) Mai strictă este limita băncii, cu 10 lei. Verificare: la o rată de 1 740 de lei rămân $2100-1740=360\ge 350$ lei.

6. Plătit pe loc, cuptorul costă $0,96\cdot 5280=5068,80$ lei. Cu rate costă $12\cdot 449=5388$ lei, deci cu $5388-5068,80=319,20$ lei mai mult. Raportat la prețul plătit pe loc: $319,20:5068,80\approx 0,063$, adică 6,3 %. Verificare: $5068,80+319,20=5388$ lei.

7. Pensiunea a plătit $20\cdot 1003=20060$ lei în ratele de până atunci, apoi $15060$ lei soldul și $0,01\cdot 15060=150,60$ lei comision. În total a plătit $20060+15060+150,60=35270,60$ lei. Planul inițial costa $36\cdot 1003=36108$ lei, deci economia este $36108-35270,60=837,40$ lei. Verificare: cele 16 rate rămase ar fi însemnat $16\cdot 1003=16048$ lei, iar $16048-15060-150,60=837,40$ lei.

8. a) Suma maximă este $1570:31,40=50$ de mii de lei, adică 50 000 de lei. b) Pentru 38 000 de lei rata este $38\cdot 31,40=1193,20$ lei. Verificare: $50\cdot 31,40=1570$ lei, iar $1193,20<1570$ lei.

9. a) Prețul cu TVA este $3400\cdot 1,21=4114$ lei. b) Avansul este $0,25\cdot 4114=1028,50$ lei, deci suma finanțată este $4114-1028,50=3085,50$ lei. c) Ratele însumează $10\cdot 318=3180$ lei, iar costul finanțării este $3180-3085,50=94,50$ lei. Verificare: $1028,50+3180=4208,50$ lei plătiți în total, cu $4208,50-4114=94,50$ lei mai mult decât prețul.

10. a) Cazurile posibile sunt cele 40 de dosare, iar cele favorabile 7. Probabilitatea este $\frac{7}{40}=0,175$. b) Dosarele aprobate sunt $40-7=33$, deci probabilitatea este $\frac{33}{40}=0,825$. Verificare: $0,175+0,825=1$, deoarece evenimentele sunt contrare.

11. a) Cheltuielile curente sunt $0,6\cdot 7400=4440$ lei, ratele $0,17\cdot 7400=1258$ lei, soldul $0,23\cdot 7400=1702$ lei. b) Unghiurile sunt $0,6\cdot 360^{\circ }=216^{\circ }$, $0,17\cdot 360^{\circ }=61,2^{\circ }$ și $0,23\cdot 360^{\circ }=82,8^{\circ }$. Verificare: $216+61,2+82,8=360$, iar $4440+1258+1702=7400$ lei.

12. a) Plafonul este $0,4\cdot 5600=2240$ lei, iar ratele însumează $780+1150=1930\le 2240$ lei, deci oferta încape. b) Venitul scade la $0,85\cdot 5600=4760$ lei, iar plafonul la $0,4\cdot 4760=1904$ lei. Ratele rămân $1930>1904$ lei, deci nu mai încape. c) Noua rată trebuie să fie cel mult $1904-780=1124$ lei, deci să scadă cu $1150-1124=26$ de lei. Verificare: $780+1124=1904$ lei, exact plafonul.

Așa vine la Bac M3

Alegerea unui credit pe baza bugetului familial este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. La clasa a X-a, Nota blocului de matematici financiare din programa M_tehnologic o așază lângă profit, prețul de cost, amortizări și metodele de finanțare. Din cele 83 de probe oficiale, strânse în indexul nostru de cerințe, niciuna nu are o cerință etichetată cu această temă, nici ca temă principală, nici ca secundară. Cuvintele „credit”, „rată”, „dobândă” și „buget” lipsesc din toate enunțurile indexate, iar procentele, care aici sunt unealta de lucru, au venit în 39 de probe.

Nu avem nicio cerință reală de arătat, așa că locul ei nu e luat de una inventată. Exercițiile 9–12, notate (Sinteză.), leagă tema de TVA, de probabilitate și de diagrama circulară, tot teme din același bloc, și te pun să verifici o limită când venitul se schimbă. Pe aceeași treaptă a programei mai sunt și lecțiile clasei a X-a de la filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• La exercițiul 6 compari prețul cu rate cu prețul de listă, nu cu prețul plătit pe loc → diferența iese 108 lei, nu 319,20 lei; cum o prinzi: plata pe loc se face la prețul redus cu 4 %, adică la 5 068,80 lei.
• Citești numai plafonul băncii, nu și soldul familiei → rata maximă ar ieși 1 383 de lei, nu 1 095; cum o prinzi: scazi rezerva din sold și păstrezi cea mai mică dintre cele două limite.
• Treci comisionul lunar de 24 de lei o singură dată, nu de 24 de ori → totalul de la B ar ieși cu 552 de lei prea mic; cum o prinzi: înmulțești comisionul lunar cu numărul de luni.
• Calculezi plafonul fără rata veche de 1 185 de lei → și oferta C, de 1 940 de lei, ar părea că încape în plafon; cum o prinzi: scazi mai întâi ratele existente din plafon.
• Ții 40 % din venitul unei singure luni bune, nu din venitul mediu → accepți o ofertă pe care banca o respinge; cum o prinzi: calculezi media venitului pe lunile din tabel.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: alegerea unui credit pe baza bugetului familial face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă cu oferta B dacă familia vrea o rezervă de cel puțin 500 de lei, nu de 400? Locul lăsat de buget scade la $1495-500=995$ lei, iar obligația lunară a lui B, 1 040 de lei, nu mai încape. Rămâne oferta A, cu 712 lei pe lună. Familia ar plăti atunci 938,40 lei mai mult în total, dar ar avea un sold lunar mai mare, de 783 de lei.

Ce grad de îndatorare ar avea familia cu oferta B? Gradul de îndatorare este partea din venit dusă pe rate. La B, familia plătește $1040+1185=2225$ lei din $6420$ lei, adică $\frac{2225}{6420}\approx 0,347$, deci 34,7 %. La A ar fi $\frac{712+1185}{6420}\approx 0,295$, adică 29,5 %. Ambele sunt sub plafonul de 40 %.

Cum verifică familia, din contract, costul ofertei B? Adună toate plățile din graficul de rambursare: 24 de rate de câte 1 016 lei fac $24384$ lei, iar 24 de comisioane lunare de câte 24 de lei fac $576$ lei. Totalul este $24960$ lei, iar după scăderea sumei primite, 22 200 de lei, rămâne costul de 2 760 de lei.

De ce comisionul de la A se plătește o dată, iar cel de la B de 24 de ori? Comisionul de analiză acoperă munca băncii la dosar și se plătește la semnare: 266,40 lei la A. Comisionul de administrare plătește ținerea contului și se percepe în fiecare lună: 24 de lei la B, adică 576 de lei în 24 de luni. Comisionul lunar „mic” a ieșit mai mare decât cel unic.

De unde știi că alegerea unui credit ține de Bacalaureatul M3, dacă n-a apărut în probe? Din programa de examen M_tehnologic: la clasa a X-a, Nota blocului de matematici financiare trece creditele, metodele de finanțare și bugetul familial printre aplicații. Indexul celor 83 de probe nu are nicio cerință pe temă, deci nu știi în ce formă ar veni. Fiind în programă, poate fi cerută; exercițiile 9–12 o leagă de TVA, de probabilități și de diagrame.