Modulul la tehnologic: toleranțe de fabricație

La controlul unei piese strunjite contează cât se abate diametrul de la cota din desen și în ce parte. Mărimea abaterii, adică modulul diferenței, spune dacă piesa e bună; semnul ei spune dacă piesa se mai reprelucrează sau e rebut. În clasa a IX-a, la filiera tehnologică, regula ține în trei verbe: scrii condiția cu un singur modul, o transformi în interval și hotărăști ce faci cu fiecare piesă. Tema face parte din programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un atelier de prelucrări mecanice strunjește axe pentru rolele unui transportor cu bandă. Desenul de execuție dă pentru fusul fiecărei axe diametrul de 48 mm, cu abaterea admisă ±0,05 mm: piesa se acceptă dacă diametrul ei nu se abate de la 48 mm cu mai mult de 0,05 mm, nici în plus, nici în minus. La sfârșitul schimbului, controlorul ia cinci axe din lot și măsoară fusul cu un micrometru de exterior.

Diviziunea micrometrului este de 0,01 mm. Maistrul vrea o regulă care să dea același verdict oricui o aplică, nu o privire la ochi. Vrea să știe și ce se întâmplă cu axele respinse: unele pot reveni la strung, altele nu.

Întrebare: care dintre cele cinci axe sunt în toleranță, între ce limite trebuie să stea diametrul fusului și ce faci cu axele respinse?

De la situație la model

Notează cu $x$ diametrul măsurat al unei axe. Desenul îți dă două numere, cota nominală de 48 mm și abaterea admisă de 0,05 mm. Tabelul traduce cuvintele din atelier în cuvinte din matematică.

Modulul unui număr real $x$ este distanța dintre $x$ și $0$, măsurată pe axa numerelor; se mai numește valoarea absolută. Scris pe cazuri, $|x|=x$ când $x\ge 0$ și $|x|=-x$ când $x<0$. Distanța dintre două numere $a$ și $b$ este $|a-b|$, iar ordinea nu contează: $|a-b|=|b-a|$. Fiind o distanță, modulul nu iese niciodată negativ, iar $|x-48|=0$ numai pentru o axă de exact 48 mm. Abaterea admisă $t$, scrisă pe desen cu semnul ±, este cea mai mare abatere pe care o îngăduie desenul față de centrul zonei. Toleranța este lățimea întregii zone, $T=2t$, iar zona însăși, $[c-t;c+t]$, se numește câmp de toleranță.

Cum scrii „axa e în toleranță” cu un singur modul?

Axa e bună dacă distanța dintre $x$ și $48$ este cel mult $0,05$, adică $|x-48|\le 0,05$. Pe axa numerelor, asta înseamnă că $x$ stă între $48-0,05=47,95$ și $48+0,05=48,05$, cu ambele limite incluse: $x\in [47,95;48,05]$. Cu $<$ în loc de $\le$ limitele ies din interval. Piesele respinse au $|x-c|>t$, adică $x<c-t$ sau $x>c+t$; cu $\ge$ ai respinge și cele două limite, care sunt bune. Ecuația $|x-c|=t$ dă exact cele două limite. Despre intervale vezi ordonarea numerelor reale și intervale. Când în loc de $x$ stă $7x-23$, rezolvi inecuația fără modul ca în inecuațiile de gradul I pe condiții de lucru.

Ce arată modulul și ce arată semnul?

Axele 4 și 5 sunt respinse, dar din motive diferite. Abaterea axei 4 este $48,08-48=+0,08$ mm, iar a axei 5 este $47,93-48=-0,07$ mm. Modulul păstrează mărimea abaterii și șterge sensul ei: ambele depășesc 0,05, deci ambele axe ies din toleranță. Semnul spune ce faci cu piesa. La un fus, material în plus se îndepărtează la strung, deci axa 4 se poate reprelucra; material în minus nu se mai pune la loc în producția de serie, deci axa 5 e rebut definitiv. La un alezaj, adică la o gaură, e invers: prea mic se lărgește, prea mare nu se mai repară.

Ce faci când zona de toleranță nu e simetrică?

Unele desene dau abateri diferite, de exemplu 48 mm cu $+0,06$ și $-0,02$ mm. Limitele sunt $48-0,02=47,98$ și $48+0,06=48,06$. Ca să ai un singur modul, cauți mijlocul zonei și jumătate din toleranță: $c=\frac{47,98+48,06}{2}=48,02$ și $t=\frac{48,06-47,98}{2}=0,04$. Condiția devine $|x-48,02|\le 0,04$. Axa de 47,96 mm, bună la ±0,05, e respinsă aici: $|47,96-48,02|=0,06>0,04$.

Metoda pas cu pas

1. Citește din desen cota nominală și abaterea admisă, cu unitatea lor, și scrie centrul $c$ și abaterea admisă $t$. La axele din lot, $c=48$ mm și $t=0,05$ mm. Dacă desenul dă două limite, află $c$ și $t$ cu formulele din fișă; dacă abaterea admisă e în procente, calculează procentul din cota nominală.
2. Calculează abaterea fiecărei piese, $x-c$, cu semn, în aceeași unitate ca desenul: pentru axa 4, $48,08-48=+0,08$ mm. Păstrează semnul, fiindcă îți trebuie la pasul 4. Dacă unitățile diferă, convertește înainte de scădere, de pildă metrii în milimetri.
3. Ia modulul abaterii și compară-l cu $t$: la axa 4, $|+0,08|=0,08>0,05$. Dacă $|x-c|\le t$, piesa e în toleranță, și atunci când egalitatea se atinge; altfel e în afara toleranței. Nu compara abaterea cu semn: $-0,07\le 0,05$ ar primi o axă cu fusul prea subțire.
4. La piesele din afară, citește semnul abaterii și hotărăște după el: material în plus la un fus înseamnă reprelucrare, material în minus înseamnă rebut definitiv; la un alezaj, invers. Axa 4, cu abaterea $+0,08$ mm, se strunjește din nou.
5. Scrie zona de toleranță ca interval, $[c-t;c+t]$, adică $[47,95;48,05]$ mm, ca să o poată citi oricine din atelier. La un desen cu abateri diferite, folosești $c$ și $t$ calculați la pasul 1.
6. Verifică pe alt drum: vezi dacă fiecare măsurătoare cade în intervalul de la pasul 5 sau în afara lui, la fel cum a ieșit la pasul 3; controlează unitățile și vezi dacă diviziunea instrumentului e mai mică decât abaterea admisă; altfel verdictul nu e sigur. Când o citire se rotunjește, vezi aproximările prin lipsă și prin adaos.

Fișa de buzunar

$$|x-c|\le t⟺c-t\le x\le c+t$$

$$c=\frac{x_{\min }+x_{\max }}{2},t=\frac{T}{2}=\frac{x_{\max }-x_{\min }}{2}$$

Prima relație include limitele; cu $<$ le exclude. A doua dă centrul și abaterea admisă ($T$ e toleranța, lățimea zonei) când desenul dă limitele $x_{\min }$ și $x_{\max }$. Se aplică numai când $t\ge 0$, adică $x_{\min }\le x_{\max }$. Semnul lui $x-c$ arată sensul abaterii, iar modulul îi arată mărimea. Verificare rapidă: $c-t$ și $c+t$ trebuie să dea exact limitele din desen.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cinci axe din lotul pentru transportor

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia axele din situația de pornire: cota nominală 48 mm, abaterea admisă ±0,05 mm și diametrele măsurate 48,03; 47,96; 48,05; 48,08 și 47,93 mm. a) Care axe sunt în toleranță? b) Între ce limite trebuie să stea diametrul? c) Ce faci cu axele respinse? d) Cât scoți din diametrul axei cu fusul prea gros, ca ea să intre în toleranță?

Rezolvare. a) Abaterile $x-48$ sunt $+0,03$; $-0,04$; $+0,05$; $+0,08$ și $-0,07$ mm, deci modulele lor sunt $0,03$; $0,04$; $0,05$; $0,08$ și $0,07$ mm. Primele trei sunt cel mult 0,05, deci axele 1, 2 și 3 sunt în toleranță; axa 3 stă chiar pe limită și se acceptă. Axele 4 și 5 depășesc 0,05.

b) Din $|x-48|\le 0,05$ rezultă $x\in [47,95;48,05]$ mm.

c) Abaterea axei 4 e pozitivă: fusul e prea gros, deci axa se strunjește din nou. Abaterea axei 5 e negativă: fusul e prea subțire, iar axa e rebut definitiv.

d) Dacă scoți $r$ mm din diametrul axei 4, noul diametru este $48,08-r$, iar condiția $|48,08-r-48|\le 0,05$ devine $|0,08-r|\le 0,05$, adică $0,03\le r\le 0,13$. Strungarul țintește mijlocul zonei și scoate 0,08 mm din diametru, adică 0,04 mm de pe fiecare parte.

Capcană. Cine compară abaterea cu semn, $x-48\le 0,05$, acceptă și axa 5, fiindcă $-0,07\le 0,05$. Ar ieși patru axe bune din cinci, între ele una cu fusul prea subțire, care nu se mai repară. Axa 5 trebuie respinsă: abaterea ei are mărimea $0,07>0,05$.

Verificare. Pe alt drum, cu limitele în locul abaterilor, ca la un calibru „trece – nu trece”: 48,03; 47,96 și 48,05 stau între 47,95 și 48,05, axa 4 depășește limita de sus, iar axa 5 coboară sub cea de jos. Axa 4, redusă cu 0,08 mm, ajunge la 48,00 mm, exact în mijlocul zonei.

Exemplul 2 — Tensiunea la tabloul unui atelier

Domeniu: electric.

Enunț. Un înregistrator montat pe tabloul electric al unui atelier a notat patru tensiuni: 214 V, 252 V, 258 V și 206 V. Tensiunea nominală a rețelei este 230 V, cu abaterea admisă ±10 %. Care citiri sunt în limite și cu câți volți depășește limita fiecare citire din afară?

Rezolvare. Abaterea admisă în volți este 10 % din 230 V: $t=0,1\cdot 230=23$ V. Condiția este $|U-230|\le 23$, adică $U\in [207;253]$ V. Abaterile sunt $-16$, $+22$, $+28$ și $-24$ V. Primele două au modulul cel mult 23, deci citirile de 214 V și 252 V sunt în limite. Citirea de 258 V depășește limita de sus cu 5 V ($258-253$), iar cea de 206 V depășește limita de jos cu 1 V ($207-206$).

Capcană. Cine citește ±10 % ca ±10 V obține limitele 220 V și 240 V și respinge două citiri bune, 214 V și 252 V. Procentul se calculează din cota nominală: 10 % din 230 V înseamnă 23 V.

Verificare. Pe alt drum: $230\cdot 0,9=207$ V și $230\cdot 1,1=253$ V, aceleași limite. Citirile în ordine crescătoare sunt 206, 214, 252 și 258 V; doar prima și ultima stau în afara intervalului.

Exemplul 3 — Țevi tăiate la lungime

Domeniu: constructii.

Enunț. Un instalator taie țevi de cupru pentru o coloană de apă. Fișa de debitare dă lungimea de 2,34 m, cu abaterea admisă ±3,5 mm. Ruleta se citește în milimetri întregi, iar patru țevi au dat 2341 mm, 2345 mm, 2336 mm și 2343 mm. a) Scrie limitele în metri. b) Care țevi sunt în toleranță? c) Ce faci cu cele din afară?

Rezolvare. Unitățile diferă, deci convertești întâi: 2,34 m = 2340 mm, și rămâi în milimetri. a) Din $|x-2340|\le 3,5$ rezultă $x\in [2336,5;2343,5]$ mm, adică $[2,3365;2,3435]$ m. Ruleta arată numai milimetri întregi, deci valorile posibile în limite sunt 2337, 2338, ..., 2343 mm. b) Abaterile sunt $+1$, $+5$, $-4$ și $+3$ mm: țevile de 2341 mm și 2343 mm sunt în toleranță, iar cele de 2345 mm și 2336 mm sunt în afară. c) Țeava de 2345 mm e prea lungă: o scurtezi, de exemplu cu 4 mm, și ajunge la 2341 mm. Țeava de 2336 mm e prea scurtă și nu se mai lungește: o treci la rebut sau o folosești la alt reper.

Capcană. Cine rotunjește abaterea admisă în sus, de la 3,5 la 4 mm, acceptă și țeava de 2336 mm, fiindcă $|2336-2340|=4\le 4$. Câmpul de toleranță nu se lărgește: pe o ruletă cu milimetri întregi, ±3,5 mm înseamnă practic ±3 mm.

Verificare. Calculul în metri dă același verdict: $|2,341-2,34|=0,001\le 0,0035$, iar $|2,336-2,34|=0,004>0,0035$. Țeava scurtată, de 2341 mm, e în interval, iar diviziunea ruletei, de 1 mm, e mai mică decât abaterea admisă de 3,5 mm.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce abatere a ținut de fapt aluatul

Domeniu: alimentar.

Enunț. Acum mergi invers față de exemplele de până aici: din măsurători afli abaterea. La o brutărie, fișa de lucru cere ca aluatul să iasă din malaxor la 27 °C, cu abaterea admisă ±1,5 °C. Brutarul a notat în cursul dimineții cinci valori: 26,2; 27,9; 25,4; 28,3 și 26,8 °C. Care este cea mai mică abatere $t$ pentru care toate cele cinci valori ar fi în limite, adică abaterea pe care a ținut-o de fapt frământarea? A respectat dimineața fișa?

Rezolvare. Abaterile față de 27 °C sunt $-0,8$; $+0,9$; $-1,6$; $+1,3$ și $-0,2$. Toate valorile sunt în limite dacă $t$ este cel puțin cât cel mai mare dintre module: $\max (0,8;0,9;1,6;1,3;0,2)=1,6$. Deci $t_{\min }=1,6$ °C, condiția este $|x-27|\le 1,6$, iar limitele sunt $27-1,6=25,4$ și $27+1,6=28,6$ °C. Fișa cere $t=1,5$ °C, adică limitele 25,5 și 28,5 °C, iar valoarea de 25,4 °C rămâne în afară: dimineața nu a respectat fișa.

Capcană. Cine se uită numai la cea mai mare citire, 28,3 °C, obține $t=1,3$ °C și crede că fișa a fost respectată. Abaterea cea mai mare ca mărime este $-1,6$ °C, la o valoare sub 27: cauți cel mai mare modul, nu cea mai mare abatere cu semn.

Verificare. La $t=1,6$ °C intervalul $[25,4;28,6]$ conține toate cele cinci valori, iar 25,4 °C stă chiar pe limita de jos. La $t=1,59$ °C valoarea de 25,4 °C ar ieși din interval, deci 1,6 °C este într-adevăr minimul.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie fără semnul modulului: a) $|47,91-48|$; b) $|48-47,91|$; c) $|3,6-9,1|$; d) $|15,4-15,4|$.

2. Scrie ca interval sau ca reuniune de intervale mulțimea numerelor reale $x$ cu: a) $|x-63|\le 0,8$; b) $|x+3|<2$; c) $|x-7|\ge 4$.

3. Rezolvă ecuațiile: a) $|x-25,4|=0,6$; b) $|6,1-x|=2,7$; c) $|x-5,8|+1,4=0$.

4. Scrie condiția cu modul și intervalul pentru: a) $x$ se află la cel mult 0,3 de 17,4; b) un rezistor de 390 Ω, cu abaterea admisă ±5 %.

Nivelul 2 — situații

5. La un service auto, presiunea prescrisă pentru anvelope este 2,6 bar, cu abaterea admisă ±0,1 bar. Un manometru digital arată la cele patru roți 2,54; 2,74; 2,49 și 2,64 bar. a) Care roți sunt în toleranță? b) La fiecare roată din afară, spune dacă o umfli sau o dezumfli.

6. Pe o conductă de irigații stau două aspersoare, la 12,6 m și la 24,2 m de capătul ei; $x$ e poziția unui punct al conductei, în metri de la capăt. Primul aspersor udă punctele aflate la cel mult 8,3 m de el, al doilea pe cele aflate la cel mult 9,1 m de el. a) Scrie cele două condiții cu modul și intervalele lor. b) Scrie ca interval zona udată de ambele aspersoare și află lungimea ei.

7. Fișa de control a unei stații de tratare a apei dă pentru pH limitele 6,5 și 9,5, incluse. Șase probe de la robinete au dat 7,2; 9,7; 6,4; 8,9; 9,5 și 6,5. a) Află centrul $c$ și abaterea admisă $t$ și scrie condiția cu modul. b) Câte probe sunt în limite? c) Câte ar rămâne dacă limitele n-ar fi incluse?

8. Desenul dă pentru un alezaj diametrul de 32 mm cu abaterile $+0,03$ și $0$ mm, deci limitele 32,00 și 32,03 mm. a) Scrie condiția cu un singur modul. b) Două alezaje au dat 31,99 mm și 32,05 mm: la care se mai poate repara piesa și cum? c) Cu cât trebuie mărit diametrul alezajului de 31,99 mm, ca să fie bun?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Se consideră mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |7x-23|\le 16\}$. a) Arătați că $A=\left[1;\frac{39}{7}\right]$. b) Determinați numerele $c$ și $t$ pentru care $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-c|\le t\}$.

10. (Sinteză.) O placă pătrată de oțel are latura de 40 mm, deci diagonala de $40\sqrt{2}$ mm. Arătați că diagonala diferă de cota 56,6 mm din desen cu cel mult 0,1 mm, adică $|40\sqrt{2}-56,6|\le 0,1$.

11. (Sinteză.) Trei piese se montează cap la cap: 24,7 mm cu abaterea admisă ±0,04 mm, 36,2 mm cu ±0,06 mm și 15,9 mm cu ±0,05 mm. a) Determinați intervalul în care se află lungimea totală $L$. b) Ansamblul trebuie să respecte $|L-76,8|\le 0,12$. Arătați că abaterile admise ale pieselor nu garantează asta, dând un exemplu cu toate piesele în toleranță și $L$ în afara limitei.

12. (Sinteză.) Un strung automat face bucșe de 36 mm ±0,08 mm. Regula atelierului, pentru diametrul măsurat $x$: dacă $|x-36|\le 0,04$, strungul merge; dacă $0,04<|x-36|\le 0,08$, operatorul reglează cuțitul; altfel oprește strungul. a) Scrieți ca reuniune de intervale zona de reglaj. b) Determinați ce face operatorul la bucșele de 35,95 mm și 36,09 mm.

Răspunsuri și verificări

1. a) 0,09; b) 0,09; c) 5,5; d) 0. Verificare: a) și b) sunt diferențe opuse, cu același modul.

2. a) $[62,2;63,8]$; b) $(-5;-1)$; c) $(-\infty ;3]\cup [11;+\infty )$. Verificare: la b) valorile $-5$ și $-1$ dau $|x+3|=2$, deci sunt excluse.

3. a) $x=24,8$ sau $x=26$; b) $x=3,4$ sau $x=8,8$; c) nicio soluție: $|x-5,8|=-1,4$, iar un modul nu e negativ. Verificare: $|24,8-25,4|=0,6=|26-25,4|$ și $|6,1-3,4|=2,7=|6,1-8,8|$.

4. a) $|x-17,4|\le 0,3$, deci $x\in [17,1;17,7]$. b) $t=0,05\cdot 390=19,5$ Ω, deci $|R-390|\le 19,5$ și $R\in [370,5;409,5]$ Ω. Verificare: $(17,1+17,7):2=17,4$.

5. a) În toleranță sunt roțile cu 2,54 bar (abaterea $-0,06$) și 2,64 bar ($+0,04$). b) Roata cu 2,74 bar ($+0,14$) o dezumfli; roata cu 2,49 bar ($-0,11$) o umfli. Verificare: intervalul admis e $[2,5;2,7]$ bar.

6. a) $|x-12,6|\le 8,3$ dă $[4,3;20,9]$ m, iar $|x-24,2|\le 9,1$ dă $[15,1;33,3]$ m. b) Ambele udă zona $[15,1;20,9]$, lungă de $20,9-15,1=5,8$ m. Verificare: 15,1 e la 9,1 m de al doilea aspersor, iar 20,9 e la 8,3 m de primul.

7. a) $c=(6,5+9,5):2=8$ și $t=(9,5-6,5):2=1,5$, deci $|\mathrm{pH}-8|\le 1,5$. b) Abaterile sunt $-0,8$; $+1,7$; $-1,6$; $+0,9$; $+1,5$ și $-1,5$: în limite sunt 7,2; 8,9; 9,5 și 6,5, adică 4 probe. c) Rămân 7,2 și 8,9, adică 2 probe. Verificare: 9,7 și 6,4 sunt la 1,7 și 1,6 de 8.

8. a) $c=(32,00+32,03):2=32,015$ mm, $t=0,015$ mm, deci $|x-32,015|\le 0,015$. b) $31,99<32,00$: alezajul e prea mic și se poate lărgi. $32,05>32,03$: alezajul e prea mare și e rebut definitiv. c) $31,99+r\in [32,00;32,03]$ dă $0,01\le r\le 0,04$ mm. Verificare: la $r=0,025$ mm diametrul e 32,015 mm, centrul zonei.

9. a) Inegalitatea înseamnă $-16\le 7x-23\le 16$. Adaugi 23 peste tot: $7\le 7x\le 39$, deci $A=\left[1;\frac{39}{7}\right]$. b) Mijlocul lui $A$ e $c=\left(1+\frac{39}{7}\right):2=\frac{23}{7}$, iar $t=\frac{23}{7}-1=\frac{16}{7}$. Verificare: la capete, $|7\cdot 1-23|=16$ și $|39-23|=16$, iar la centru $7\cdot \frac{23}{7}-23=0$.

10. Pătratul numărului este $(40\sqrt{2}{)}^2=3200$. Cum $56,5^2=3192,25<3200<3214,89=56,7^2$, rezultă $56,5<40\sqrt{2}<56,7$. Scazi 56,6 peste tot: $|40\sqrt{2}-56,6|<0,1$. Verificare: $40\sqrt{2}\approx 56,5685$ mm, la 0,0315 mm de 56,6 mm.

11. a) Capătul de jos este $24,66+36,14+15,85=76,65$ mm, iar cel de sus $24,74+36,26+15,95=76,95$ mm. Deci $L\in [76,65;76,95]$ mm. b) Cu toate piesele la limita de sus, $L=76,95$ mm și $|76,95-76,8|=0,15>0,12$. Verificare: abaterile admise se adună, $0,04+0,06+0,05=0,15$ mm.

12. a) Zona admisă e $[35,92;36,08]$, iar strungul merge pe $[35,96;36,04]$. Reglajul se face în rest: $[35,92;35,96)\cup (36,04;36,08]$ mm. b) La 35,95 mm, $|35,95-36|=0,05\in (0,04;0,08]$: se reglează cuțitul. La 36,09 mm, $0,09>0,08$: se oprește strungul. Verificare: 35,96 și 36,04 dau exact 0,04, deci strungul merge.

Așa vine la Bac M3

Modulul unui număr real e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) îl trece în primul bloc de conținuturi al clasei a IX-a, lângă ordonarea numerelor reale, aproximările și operațiile cu intervale. Indexul cerințelor, făcut din cele 83 de probe oficiale, nu are nicio cerință al cărei subiect principal sau secundar să fie modulul. Din acest motiv, secțiunea nu are trimiteri la cerințe reale și nici cerințe-model.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), pun modulul în forme scurte, cu verbe ca „Arătați” și „Determinați”. Nu sunt copii după probe și nu spun cum ar arăta o cerință reală. Ele exersează ce ai învățat aici: traduci condiția în interval, verifici limitele și deosebești mărimea unei abateri de sensul ei. Restul blocului e în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Compari abaterea cu semn cu abaterea admisă, $x-c\le t$ → axa de 47,93 mm, cu abaterea $-0,07$, ar trece, deși fusul e prea subțire; cum o prinzi: pui modulul sau verifici dacă măsurătoarea cade în $[c-t;c+t]$.
• Respingi o piesă aflată exact pe limită, de pildă axa de 48,05 mm → semnul ± înseamnă „cel mult”, iar limita e inclusă; cum o prinzi: ecuația $|x-c|=t$ dă chiar cele două limite, care se acceptă.
• Iei lățimea zonei drept abatere admisă, $t=0,08$ la limitele 47,98 și 48,06 → axa de 48,07 mm ar părea bună, deși depășește limita; cum o prinzi: $c-t$ și $c+t$ trebuie să dea limitele din desen, iar aici $t=T/2=0,04$.
• Rotunjești abaterea admisă în sus, de la 3,5 mm la 4 mm → accepți țevi în afara limitelor, ca aceea de 2336 mm; cum o prinzi: compari citirea cu limitele exacte, 2336,5 și 2343,5 mm.
• Compari 2341 mm cu 2,34 m fără conversie → obții o abatere absurdă, de 2338,66; cum o prinzi: aduci ambele mărimi în aceeași unitate înainte de scădere.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: noțiunea de modul al unui număr real face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilul MAT_P3.

Întrebări frecvente

Axa cu fusul de exact 48,05 mm trece sau nu trece controlul? Trece. Abaterea admisă ±0,05 mm înseamnă o abatere de cel mult 0,05 mm, deci limita de 48,05 mm e inclusă: $|48,05-48|=0,05\le 0,05$. Dacă desenul ar cere o abatere mai mică de 0,05 mm, axa ar fi respinsă.

Cum scriu cu un singur modul un diametru de 48 mm cu abaterile +0,06 și −0,02 mm? Limitele sunt 47,98 și 48,06 mm. Centrul zonei e media lor, 48,02 mm, iar abaterea admisă e jumătate din toleranță, adică din lățimea zonei: 0,04 mm. Condiția devine $|x-48,02|\le 0,04$. Verificare: 48,02 − 0,04 = 47,98 și 48,02 + 0,04 = 48,06, adică limitele desenului.

Ce se schimbă dacă desenul dă ±0,04 mm, nu ±0,05 mm? Zona devine $[47,96;48,04]$ mm. Din cele cinci axe măsurate rămân în toleranță doar cele cu 48,03 și 47,96 mm. Axa de 48,05 mm, bună la ±0,05, e respinsă, fiindcă $|48,05-48|=0,05>0,04$. Aici, zona mai îngustă respinge o axă în plus.

Ce fac cu o axă de 48,08 mm: o arunc? Nu. Abaterea e +0,08 mm, deci fusul e prea gros și axa se poate strunji din nou. Scoți din diametru între 0,03 și 0,13 mm, ca să ajungă între 47,95 și 48,05 mm; țintești mijlocul, 48,00 mm. O axă de 47,93 mm, în schimb, e prea subțire și e rebut definitiv.

Intră modulul în programa pentru Bacalaureatul M3? Da: programa de examen M_tehnologic îl are în blocul de conținuturi al clasei a IX-a, dar în probele oficiale 2013–2026 nu a apărut ca temă a vreunei cerințe, după indexul făcut din cele 83 de probe. Fiind în programă, poate fi cerut; de aceea exercițiile 9–12 îl repetă în forme scurte.