Test tehnologic: numere reale, mulțimi, șiruri

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră intervalele $A = (- 4; 7]$ și $B = [2; 11)$ . Câte numere întregi are mulțimea $(A \cup B) ∖ (A \cap B)$ ?

Exercițiul 2 (5 puncte)

Câte numere întregi $x$ verifică inegalitatea $∣ 5 x - 3 ∣ < 22$ ?

Exercițiul 3 (5 puncte)

Fie numărul $x = 8, 3961$ . Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

Variantele: a) „aproximarea prin lipsă a lui $x$ cu două zecimale este $8, 40$ ”; b) „aproximarea prin adaos a lui $x$ cu două zecimale este $8, 40$ ”; c) „rotunjirea lui $x$ la o zecimală este $8, 3$ ”; d) „aproximarea prin adaos a lui $x$ cu o zecimală este $8, 3$ ”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un birou ține trei liste de coduri de clienți: $A = {507, 513, 520, 526, 539, 547}$ , $B = {513, 526, 547, 561}$ și $C = {507, 513, 526}$ . Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

Variantele: a) „ $B \subseteq A$ ”; b) „ $C \subseteq A \cap B$ ”; c) „ $A ∖ B = {507, 520, 539}$ ”; d) „ $A \cup B$ are 8 elemente”.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pentru numerele naturale nenule $n$ se consideră propoziția $P (n)$ : „ $3^{n} > 10 n + 5$ ”. Determinați cel mai mic număr natural nenul $n_{0}$ pentru care $P (n_{0})$ este adevărată.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ are $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 8$ și $a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}$ pentru orice $n \geq 1$ . Calculați $a_{5} + a_{6}$ .

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pe un șantier, frontonul acoperișului unei case are forma unui triunghi echilateral cu latura de $6$ m, iar înălțimea lui este $h = 33$ m. Se știe că $1, 732 < 3 < 1, 733$ .

a) (5 puncte) Între ce valori, scrise cu trei zecimale, se află înălțimea $h$ ?

b) (5 puncte) Un stâlp de susținere se comandă cu lungimea egală cu aproximarea prin adaos a lui $h$ cu două zecimale, în metri. Ce lungime se comandă și cu cel mult câți milimetri depășește stâlpul înălțimea $h$ ?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un atelier mecanic a executat într-o zi 45 de piese din oțel, de câte 1,4 kg fiecare. Fiecare piesă putea trece prin trei posturi de control: dimensiuni ( $D$ ), duritate ( $H$ ) și rugozitate ( $R$ ). Registrul arată că 26 de piese au trecut prin $D$ , 22 prin $H$ și 18 prin $R$ ; 12 piese au trecut prin $D$ și $H$ , 9 prin $D$ și $R$ , 8 prin $H$ și $R$ , iar 4 piese au trecut prin toate cele trei posturi.

a) (5 puncte) Câte piese au trecut prin cel puțin un post și ce masă, în kilograme, au piesele care nu au trecut prin niciunul?

b) (5 puncte) Câte piese au trecut prin exact un post și câte prin cel puțin două posturi?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un depozit primește de la furnizor țevi de oțel și le stivuiește în rânduri. Pe primul rând sunt 3 țevi, iar fiecare rând următor are cu o țeavă mai mult decât cel dinainte. Notăm cu $S_{n}$ numărul de țevi din primele $n$ rânduri; deci $S_{1} = 3$ .

a) (5 puncte) Scrieți $S_{n + 1}$ în funcție de $S_{n}$ și calculați $S_{8}$ .

b) (5 puncte) Numărul de țevi din primele $n$ rânduri este dat și de formula $S_{n} = \frac{n ( n + 5 )}{2}$ . Verificați formula pentru $n = 8$ , aflați cel mai mic număr de rânduri pentru o stivă cu cel puțin 150 de țevi și calculați masa acelei stive, dacă o țeavă cântărește 38 kg.

Partea a III-a – Subiecte de tip examen și sinteză (30 de puncte)

Aici fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Fiecare dintre cele trei subpuncte are forma cerinței 1 din Subiectul I la probele oficiale.

a) (5 puncte) Pentru $a = 6$ arătați că $\frac{a}{5} - \frac{5}{a} = \frac{11}{30}$ .

b) (5 puncte) Arătați că $(0, 75 - \frac{2}{5}) : \frac{7}{10} + 1, 5 = 2$ .

c) (5 puncte) Arătați că $(0, 4 \cdot 15 - 1, 5) (0, 4 \cdot 15 + 1, 5) = \frac{135}{4}$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 39 X^{2} + m X - 1000$ , cu $m$ număr real. Din clasa a XII-a: dacă $f$ are rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , atunci $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 39$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = m$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = 1000$ . Rădăcinile sunt lungimea, lățimea și înălțimea, în centimetri, ale unei cutii de carton în formă de paralelipiped dreptunghic, cu volumul de 1000 cm³. Subpunctul a) are forma cerinței 2 c) din Subiectul al II-lea al probei de Bacalaureat M3; b) și c) continuă pe aceleași date.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

b) (5 puncte) Pentru valoarea găsită a lui $m$ , determinați cele trei dimensiuni ale cutiei, în ordine crescătoare, și rația progresiei.

c) (5 puncte) O altă cutie are tot suma celor trei dimensiuni de 39 cm, dar dimensiunile ei sunt în progresie aritmetică. Determinați dimensiunea din mijloc a acestei cutii și cu câți centimetri diferă ea de dimensiunea din mijloc de la b).

Barem și răspunsuri

Mai jos, rezolvările sunt scrise pas cu pas; fiecare pas poartă între paranteze punctele lui, iar o altă metodă corectă ia aceleași puncte. La Partea a III-a, un rezultat corect, scris fără calcul și fără justificare, nu ia punctele subpunctului. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Capătul stâng cel mai mare este 2, din $B$ , iar capătul drept cel mai mic este 7, din $A$ ; amândouă sunt incluse, deci $A \cap B = [2; 7]$ (1 p). Reuniunea este un singur interval, $A \cup B = (- 4; 11)$ (1 p). Diferența $(A \cup B) ∖ (A \cap B)$ păstrează din $(- 4; 11)$ ce nu e în $[2; 7]$ , adică $(- 4; 2) \cup (7; 11)$ ; întregii ei sunt $- 3, - 2, - 1, 0, 1$ și $8, 9, 10$ , în total $5 + 3 = 8$ (3 p). Verificare: $(- 4; 11)$ are $10 - (- 3) + 1 = 14$ numere întregi, iar $[2; 7]$ are $7 - 2 + 1 = 6$ ; $14 - 6 = 8$ . Cine pune paranteze pătrate la $- 4$ și la $11$ numără $16 - 6 = 10$ .

Exercițiul 2.

Inegalitatea cu modul înseamnă $- 22 < 5 x - 3 < 22$ (1 p). Aduni 3 la fiecare parte și împarți la 5: $- \frac{19}{5} < x < 5$ , adică $- 3, 8 < x < 5$ (2 p). Numerele întregi sunt $- 3, - 2, \dots, 4$ , în număr de $4 - (- 3) + 1 = 8$ (2 p). Verificare: pentru $x = 5$ , $5 \cdot 5 - 3 = 22$ , iar $∣ 22 ∣ = 22$ nu este mai mic decât 22, deci 5 nu face parte din soluții. Cu „ $\leq$ ” ar fi fost $5 - (- 3) + 1 = 9$ numere.

Exercițiul 3.

Aproximarea prin lipsă cu două zecimale păstrează $8, 39$ și taie restul, iar cea prin adaos urcă ultima cifră păstrată: $8, 40$ (2 p). Rotunjirea la o zecimală: după $8, 3$ urmează cifra 9, deci rotunjirea este $8, 4$ ; aproximarea prin adaos cu o zecimală este tot $8, 4$ (2 p). Singura afirmație adevărată este $b)$ (1 p). Verificare: $8, 39 < 8, 3961 < 8, 40$ , iar $8, 40 - 8, 39 = 0, 01 = 1 0^{- 2}$ . Cine confundă „prin lipsă” cu „prin adaos” alege a); cine taie după prima zecimală, fără să privească cifra următoare, alege c) sau d).

Exercițiul 4.

$B \subseteq A$ ar cere ca toate elementele lui $B$ să fie în $A$ , dar $561 \in / A$ , deci a) e falsă (1 p). $A \cap B = {513, 526, 547}$ (1 p); $507$ face parte din $C$ , dar nu din $A \cap B$ , deci b) e falsă (1 p). $A ∖ B$ păstrează din $A$ ce nu e în $B$ , adică ${507, 520, 539}$ , deci c) e adevărată (1 p). $A \cup B$ are $6 + 4 - 3 = 7$ elemente, nu 8, deci d) e falsă; singura afirmație adevărată este $c)$ (1 p). Verificare: $A \cup B = {507, 513, 520, 526, 539, 547, 561}$ are 7 elemente. Cine scrie $A ∖ B$ cu elementele comune ale celor două mulțimi încurcă diferența cu intersecția.

Exercițiul 5.

Verifici pe rând valorile lui $n$ , începând cu 1 (1 p). Pentru $n = 1$ , $3^{1} = 3$ nu depășește $10 \cdot 1 + 5 = 15$ ; pentru $n = 2$ , $3^{2} = 9$ nu depășește $10 \cdot 2 + 5 = 25$ ; pentru $n = 3$ , $3^{3} = 27$ nu depășește $10 \cdot 3 + 5 = 35$ (2 p). Pentru $n = 4$ , $3^{4} = 81$ depășește $10 \cdot 4 + 5 = 45$ , deci $n_{0} = 4$ (2 p). Verificare: de la $n = 4$ în sus propoziția rămâne adevărată, fiindcă din $3^{k} > 10 k + 5$ rezultă $3^{k + 1} > 30 k + 15 \geq 10 (k + 1) + 5$ , pentru orice $k \geq 1$ . La $n = 3$ valorile sunt apropiate, $27$ față de $35$ , dar inegalitatea încă nu e adevărată.

Exercițiul 6.

Fiecare termen este diferența dintre cei doi dinaintea lui: $a_{3} = a_{2} - a_{1} = 8 - 5 = 3$ și $a_{4} = a_{3} - a_{2} = 3 - 8 = - 5$ (2 p). Mai departe, $a_{5} = a_{4} - a_{3} = - 5 - 3 = - 8$ (1 p) și $a_{6} = a_{5} - a_{4} = - 8 - (- 5) = - 3$ (1 p). Suma este $a_{5} + a_{6} = - 8 + (- 3) = - 11$ (1 p). Verificare: termenii șirului sunt $5, 8, 3, - 5, - 8, - 3$ , apoi $a_{7} = a_{6} - a_{5} = - 3 - (- 8) = 5$ , adică se întoarce la $a_{1}$ . Cine scrie $a_{4} = 8 - 3 = 5$ scade în ordine inversă și obține alt șir.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Înmulțești inegalitatea cu $3$ , un număr pozitiv: $3 \cdot 1, 732 < h < 3 \cdot 1, 733$ (2 p). Calculând, $3 \cdot 1, 732 = 5, 196$ și $3 \cdot 1, 733 = 5, 199$ (2 p), deci $5, 196 < h < 5, 199$ (1 p).

b) (5 p) Orice număr din intervalul $(5, 196; 5, 199)$ are aproximarea prin adaos cu două zecimale egală cu $5, 20$ (2 p), deci se comandă un stâlp de $5, 2$ m (1 p). Excesul față de $h$ este $5, 2 - h < 5, 2 - 5, 196 = 0, 004$ m, adică cel mult $4$ mm (2 p). Verificare: $5, 199 < 5, 2$ , deci stâlpul nu e mai scurt decât $h$ . Cine ia $3 \approx 1, 73$ obține $3 \cdot 1, 73 = 5, 19$ și comandă un stâlp mai scurt decât $h$ cu $5, 196 - 5, 19 = 0, 006$ m, adică peste 5 mm.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Completezi diagrama Venn cu opt zone, de la intersecția triplă spre exterior: 4 piese au trecut prin toate trei posturile; prin $D$ și $H$ , dar nu și prin $R$ , au trecut $12 - 4 = 8$ ; prin $D$ și $R$ numai, $9 - 4 = 5$ ; prin $H$ și $R$ numai, $8 - 4 = 4$ (2 p). Numai prin $D$ : $26 - 8 - 5 - 4 = 9$ ; numai prin $H$ : $22 - 8 - 4 - 4 = 6$ ; numai prin $R$ : $18 - 5 - 4 - 4 = 5$ (1 p). Cel puțin un post: $4 + 8 + 5 + 4 + 9 + 6 + 5 = 41$ piese (1 p), iar niciunul: $45 - 41 = 4$ piese, cu masa $4 \cdot 1, 4 = 5, 6$ kg (1 p).

b) (5 p) Exact un post: $9 + 6 + 5 = 20$ piese (2 p). Exact două posturi: $8 + 5 + 4 = 17$ piese (1 p), deci cel puțin două: $17 + 4 = 21$ piese (2 p). Verificare: $20 + 21 + 4 = 45$ , toate piesele; pe altă cale, $26 + 22 + 18 - 12 - 9 - 8 + 4 = 41$ . Cine adună cele trei numere, $26 + 22 + 18 = 66$ , numără de mai multe ori piesele trecute prin două sau trei posturi.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Pe rândul $n + 1$ sunt $(n + 1) + 2 = n + 3$ țevi (1 p), deci $S_{n + 1} = S_{n} + n + 3$ , cu $S_{1} = 3$ (1 p). Calculând pe rând: $S_{2} = 3 + 4 = 7$ , $S_{3} = 7 + 5 = 12$ , $S_{4} = 12 + 6 = 18$ (1 p), $S_{5} = 18 + 7 = 25$ , $S_{6} = 25 + 8 = 33$ , $S_{7} = 33 + 9 = 42$ (1 p), $S_{8} = 42 + 10 = 52$ (1 p).

b) (5 p) Pentru $n = 8$ : $\frac{8 \cdot 13}{2} = 52$ , la fel ca la a) (1 p). Cauți cel mai mic $n$ cu $\frac{n ( n + 5 )}{2} \geq 150$ , adică $n (n + 5) \geq 300$ (1 p). Pentru $n = 14$ , $14 \cdot 19 = 266$ , mai puțin de 300; pentru $n = 15$ , $15 \cdot 20 = 300$ , exact cât trebuie (1 p). Stiva are $15$ rânduri și $S_{15} = 150$ de țevi (1 p), iar masa ei este $150 \cdot 38 = 5700$ kg, adică $5, 7$ t (1 p). Verificare: $S_{14} = \frac{14 \cdot 19}{2} = 133$ , mai puțin de 150. La $n = 15$ stiva are exact 150 de țevi, iar „cel puțin 150” include egalitatea.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Înlocuiești $a = 6$ : $\frac{6}{5} - \frac{5}{6}$ (2 p). Aduci la numitorul 30: $\frac{36}{30} - \frac{25}{30} = \frac{11}{30}$ (3 p). Verificare: $36 - 25 = 11$ și $6 \cdot 6 = 36$ , $5 \cdot 5 = 25$ .

b) (5 p) Paranteza: $0, 75 - \frac{2}{5} = 0, 75 - 0, 4 = 0, 35 = \frac{7}{20}$ (3 p). Împărțirea: $\frac{7}{20} : \frac{7}{10} = \frac{7}{20} \cdot \frac{10}{7} = \frac{1}{2}$ , iar $\frac{1}{2} + 1, 5 = 2$ (2 p). Verificare: pe fracții, $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20}$ .

c) (5 p) Calculezi $0, 4 \cdot 15 = 6$ , deci primul factor este $6 - 1, 5 = 4, 5$ și al doilea este $6 + 1, 5 = 7, 5$ (2 p). Produsul: $4, 5 \cdot 7, 5 = 33, 75 = \frac{135}{4}$ (3 p). Verificare: $(6 - 1, 5) (6 + 1, 5) = 6^{2} - 1, 5^{2} = 36 - 2, 25 = 33, 75$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) Rădăcinile în progresie geometrică, în ordinea $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , verifică $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ , deci $x_{1} x_{2} x_{3} = x_{2}^{3} = 1000$ și $x_{2} = 10$ (2 p). Atunci $x_{1} + x_{3} = 39 - 10 = 29$ și $x_{1} x_{3} = 1 0^{2} = 100$ ; ecuația $t^{2} - 29 t + 100 = 0$ are $Δ = 841 - 400 = 441$ și rădăcinile $4$ și $25$ , iar $m = 4 \cdot 10 + 4 \cdot 25 + 10 \cdot 25 = 40 + 100 + 250 = 390$ (3 p). Verificare: $4 + 10 + 25 = 39$ , $4 \cdot 10 \cdot 25 = 1000$ și $\frac{10}{4} = \frac{25}{10}$ .

b) (5 p) Din a), dimensiunile în ordine crescătoare sunt $4$ , $10$ și $25$ cm (3 p). Rația este $\frac{10}{4} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ (2 p). Verificare: $4 \cdot \frac{5}{2} = 10$ și $10 \cdot \frac{5}{2} = 25$ .

c) (5 p) În progresie aritmetică, $2 b = a + c$ , deci suma celor trei dimensiuni este $a + b + c = 3 b = 39$ (2 p), de unde dimensiunea din mijloc este $b = 13$ cm (1 p). Față de dimensiunea de $10$ cm de la b), diferența este $13 - 10 = 3$ cm (2 p). Verificare: $13 \cdot 3 = 39$ . În progresie geometrică, suma de 39 cm lasă mijlocul la 10 cm; în progresie aritmetică îl urcă la 13 cm.

Pentru părinți și profesori

Acest test urmărește suplimentul de numere reale, mulțimi și șiruri din clasa a IX-a de liceu tehnologic și se sprijină pe șapte lecții: „Compari numere și intervale: liceu tehnologic”, „Modulul la tehnologic: toleranțe de fabricație”, „Aproximări și rotunjiri pe factură, tehnologic”, „Mulțimi pentru tehnologic: clienți și produse”, „Inducția matematică pas cu pas, pentru tehnologic”, „Șiruri: formulă și recurență, liceu tehnologic” și „Trei numere în progresie: condiția, tehnologic”. Funcțiile, inecuațiile și sistemele sunt lăsate pentru testul „Test tehnologic: funcții, inecuații și sisteme”, iar ecuația de gradul al doilea, pentru testul „Test tehnologic: ecuația și funcția de gradul II”.

Punctaj: 90 de puncte vin din exerciții, iar 10 puncte din oficiu completează lucrarea la 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: lucrezi singur, pe foaie, fără calculator. Răspunsurile sunt numere exacte, iar mărimile au unitatea scrisă acolo unde o dă enunțul. La Partea a III-a se citește fiecare pas: un răspuns corect, dar fără calcul și fără explicație, nu primește punctele subpunctului. Ghidajul desface exercițiul în pași mici, cu întrebări cu patru variante și cu numere de aflat, iar fiecare variantă greșită arată unde s-a rătăcit calculul; îl deschizi numai la exercițiile care nu ies.
La 90–100 de puncte: ai stăpânit suplimentul și poți trece la testul următor.
La 75–89 de puncte: refaci cu ghidajul exercițiile la care ai pierdut puncte.
La 60–74 de puncte: reiei lecțiile din tabel pentru exercițiile cu mai puțin de jumătate din puncte și refaci testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reiei toate cele șapte lecții, în ordine, și faci testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu.
Formule de reținut: $x \in [a; b] ⟺ a \leq x \leq b$ , iar $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} ⟺ a d < b c$ pentru $b > 0$ și $d > 0$ ; $∣ x - c ∣ \leq t ⟺ c - t \leq x \leq c + t$ (cu „ $<$ ” capetele nu fac parte din interval); dacă $x$ are mai mult de $n$ zecimale, aproximările lui prin lipsă și prin adaos cu $n$ zecimale, $L$ și $A$ , încadrează numărul, $L \leq x \leq A$ , și diferă între ele cu $1 0^{- n}$ ; $A ∖ B = A \cap ∁_{U} B$ , iar $A \subseteq B ⟺ A ∖ B = \emptyset$ ; o demonstrație prin inducție cere baza și pasul $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ pentru orice $k \geq n_{0}$ ; un șir se descrie prin formulă, $a_{n} = f (n)$ , sau prin recurență, cu atâția termeni de pornire câți termeni dinainte folosește regula; trei numere $a$ , $b$ , $c$ sunt, în această ordine, în progresie aritmetică dacă $2 b = a + c$ și în progresie geometrică dacă $b^{2} = a c$ , cu termeni nenuli.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 10	intervale: intersecție, reuniune, diferență, numere întregi dintr-un interval; calcul cu fracții, zecimale și paranteze	Compari numere și intervale: liceu tehnologic
2	inecuația cu modul și numerele întregi care o verifică	Modulul la tehnologic: toleranțe de fabricație
3, 7	aproximarea prin lipsă și prin adaos, rotunjirea, limitele unei valori aproximate	Aproximări și rotunjiri pe factură, tehnologic
4, 8	relațiile dintre mulțimi, diferența, numărul de elemente pe trei mulțimi	Mulțimi pentru tehnologic: clienți și produse
5	inducția: valorile de verificat și baza	Inducția matematică pas cu pas, pentru tehnologic
6, 9	șir dat prin recurență, recurență și formulă	Șiruri: formulă și recurență, liceu tehnologic
11	condiția ca trei numere să fie în progresie geometrică sau aritmetică	Trei numere în progresie: condiția, tehnologic

Exercițiile 10 și 11 sunt marcate „tip Bacalaureat M3”. Exercițiul 10 are forma cerinței 1 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026, adică o egalitate numerică de arătat, în trei variante reale; la exercițiul 11, subpunctul a) are forma cerinței 2 c) din Subiectul al II-lea, iar subpunctele b) și c) continuă pe aceleași date. Valorile, expresiile și polinomul sunt noi.

Programa și examenul. Testul de față ține de suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: calculul cu numere reale, ordonarea lor și intervalele, modulul, aproximările, operațiile cu mulțimi, inducția matematică, șirurile și condiția ca trei numere să fie în progresie fac parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu cuprinde aceste teme sau le cuprinde doar în parte. Printre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026, calculul cu numere reale a apărut în 67, la Subiectul I, iar condiția ca trei numere să fie în progresie într-o singură probă, la Subiectul al II-lea; celelalte teme nu au apărut încă și, fiind în programă, pot fi cerute la examen. Pentru examenul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6), operațiile cu mulțimi reapar parțial în unitatea IX.1 (elemente de logică matematică) la toate cele patru profiluri, iar calculul numeric cu numere reale, modulul și aproximările reapar, parțial sau întreg, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la profilurile MAT_P3 și MAT_P4 (modulul, numai la MAT_P3); inducția matematică, șirurile și progresiile nu sunt în programa de examen.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.