Aproximări și rotunjiri pe factură, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Pe o factură, banul este cea mai mică sumă care se plătește, dar prețurile unitare vin cu patru zecimale, iar cantitățile se numără în mii. Cine rotunjește la momentul nepotrivit plătește sau încasează diferențe de zeci de lei. Înveți, la matematica din clasa a IX-a, să alegi aproximarea potrivită, prin lipsă, prin adaos sau rotunjirea, și să spui cât greșești. Programa liceului tehnologic pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) cuprinde aproximările prin lipsă și prin adaos.

Situația de pornire

Un magazin de papetărie din Brașov își completează stocul înainte de începutul anului școlar. Distribuitorul a trimis factura pentru trei produse, cu prețurile unitare scrise cu patru zecimale. Contabila magazinului o verifică înainte de plată, într-un program care afișează prețurile la bani, ca în catalogul furnizorului. Pe factură, valoarea fiecărei linii se calculează cu prețul exact și se trece rotunjită la ban. TVA-ul, de 21 % (cotă dată ca exemplu), se calculează o singură dată, pe valoarea totală fără TVA, și se rotunjește tot la ban.

Produs	Cantitate (buc)	Preț pe factură, fără TVA (lei/buc)	Preț în catalog (lei/buc)
Plic C6 autoadeziv	3 461	0,0873	0,09
Folie de protecție A4	2 647	0,0561	0,06
Creion HB	1 874	0,3412	0,34

Întrebare: ce total de plată trebuie să găsească contabila pe factură și cu cât ar greși dacă ar calcula cu prețurile din catalog în loc de cele de pe factură?

De la situație la model

Notează cu $p$ prețul unitar exact de pe factură și cu $q$ cantitatea. Valoarea unei linii este produsul $q \cdot p$ , calculat fără să rotunjești nimic pe parcurs.

În situație	În matematică
prețul unitar de pe factură, cu patru zecimale	numărul exact $p$
prețul din catalog, la bani	o aproximare a lui $p$ cu două zecimale
valoarea unei linii, înainte de rotunjire	produsul exact $q \cdot p$
suma în bani care nu depășește valoarea exactă	aproximarea prin lipsă cu două zecimale
suma în bani care acoperă valoarea exactă	aproximarea prin adaos cu două zecimale
suma în bani cea mai apropiată de valoarea exactă	rotunjirea cu două zecimale

Aproximarea prin lipsă a lui $x$ este primul număr cu cel mult $n$ zecimale pe care îl întâlnești mergând de la $x$ spre stânga, chiar $x$ dacă are cel mult $n$ zecimale; o notăm $L$ . Aproximarea prin adaos este primul număr cu cel mult $n$ zecimale întâlnit mergând spre dreapta; o notăm $A$ . Dacă $x$ are mai mult de $n$ zecimale, $A = L + 1 0^{- n}$ și $x$ stă între ele; dacă are cel mult $n$ , $L = A = x$ . Rotunjirea $R$ este cea mai apropiată dintre $L$ și $A$ ; la jumătate, adică atunci când $x - L = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- n}$ , convenția lecției alege valoarea mai depărtată de 0: $A$ la un număr pozitiv, $L$ la unul negativ. Eroarea absolută a aproximării $a$ este $∣ x - a ∣$ : pe factură o scrii în lei, la cântar în kilograme. Se ia modulul fiindcă interesează cât de departe e $a$ de $x$ , nu în ce parte, ca la abaterile din lecția despre modul.

Cum afli cele două aproximări ale unei valori?

Te uiți la cifrele de după a $n$ -a zecimală; dacă toate sunt zero, ai terminat. Altfel, $L$ este numărul în care ai tăiat cifrele, iar $A$ este $L$ plus o unitate de ordinul $n$ . Pentru $19, 6482$ lei, cu $n = 2$ , cifrele tăiate sunt $82$ , deci $L = 19, 64$ și $A = 19, 65$ . La un număr pozitiv, rotunjirea se uită la prima cifră tăiată: dacă este cel puțin 5, alege $A$ , altfel $L$ . Aici este 8, deci $R = 19, 65$ .

Cu cât greșești când înlocuiești valoarea exactă?

Aproximările cu $n$ zecimale sunt la o distanță mai mică de $1 0^{- n}$ de $x$ . Eroarea lui $L$ este $19, 6482 - 19, 64 = 0, 0082$ lei, iar a lui $A$ este $19, 65 - 19, 6482 = 0, 0018$ lei: ambele sub un ban.

De ce nu rotunjești prețul unitar înainte de înmulțire?

Dacă înlocuiești prețul $p$ cu aproximarea $a$ , valoarea liniei greșește cu $q \cdot ∣ p - a ∣$ : eroarea unui singur articol se înmulțește cu numărul de articole. De aceea înmulțești cu valorile exacte și rotunjești rezultatul; valoarea liniei crește odată cu $q$ , ca în funcția de gradul I.

Ce se schimbă la sumele negative?

La o factură de stornare, adică la un retur de marfă, sumele sunt negative. Aproximarea prin lipsă rămâne numărul din stânga lui $x$ pe axă. Pentru $x = - 4, 2371$ și $n = 2$ avem $- 4, 24 < - 4, 2371 < - 4, 23$ , deci $L = - 4, 24$ și $A = - 4, 23$ . Trunchierea înseamnă tăierea cifrelor de după a $n$ -a zecimală; ea dă $- 4, 23$ , adică $A$ . Rotunjirea unui număr negativ este tot cea mai apropiată dintre $L$ și $A$ : $- 4, 2371$ este la $0, 0029$ de $- 4, 24$ și la $0, 0071$ de $- 4, 23$ , deci devine $- 4, 24$ . La jumătate se alege $L$ , ca stornarea să anuleze exact linia: $10, 245$ lei se trec $10, 25$ lei, iar $- 10, 245$ lei se trec $- 10, 25$ lei.

Metoda pas cu pas

Hotărăște câte zecimale cere mărimea, după cea mai mică unitate pe care o poți plăti, tăia sau număra: pentru lei, $n = 2$ , fiindcă un leu are 100 de bani; pentru obiecte numărate întregi, $n = 0$ ; pentru lungimi măsurate în milimetri, dar scrise în centimetri, $n = 1$ .
Calculează valoarea exactă, fără să rotunjești niciun factor. La plicuri, $3461 \cdot 0, 0873 = 302, 1453$ lei; păstrezi toate zecimalele până la capătul calculului.
Scrie $L$ și $A$ , ca în Model: tai cifrele de după a $n$ -a zecimală, iar dacă ai tăiat ceva nenul, adaugi $1 0^{- n}$ . Pentru $302, 1453$ lei obții $L = 302, 14$ și $A = 302, 15$ . La un număr negativ, verifică pe axă care dintre ele e în stânga lui $x$ : aceea este $L$ .
Alege aproximarea după cuvântul din fișă sau din comandă: „cel mult” cere $L$ , „cel puțin” cere $A$ , iar „cât mai aproape” cere rotunjirea: la un număr pozitiv, $A$ dacă prima cifră tăiată este cel puțin 5 și $L$ în rest, iar la unul negativ compari distanțele $x - L$ și $A - x$ , cu $L$ la egalitate. Valoarea unei linii de factură se rotunjește; o doză care nu are voie să treacă de fișă se ia prin lipsă; o lungime de tăiat, prin adaos.
Scrie eroarea în unitatea mărimii, adică în lei, în kilograme sau în milimetri: sub $1 0^{- n}$ pentru $L$ și $A$ , cel mult jumătate din $1 0^{- n}$ pentru rotunjire; dacă aproximarea a fost înmulțită cu o cantitate $q$ , și eroarea se înmulțește cu $q$ .
Verifică: $L \leq x \leq A$ și $A - L = 1 0^{- n}$ . Apoi refă calculul pe alt drum, de pildă fără nicio rotunjire, cu marginea de eroare de la pasul 5. Dacă drumurile nu se potrivesc, cauți greșeala înainte să scrii suma.

Fișa de buzunar

$L \leq x \leq A, A - L = 1 0^{- n}$

$∣ x - L ∣ < 1 0^{- n}, ∣ x - A ∣ < 1 0^{- n}, ∣ x - R ∣ \leq \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- n}$

Prima relație se aplică atunci când $x$ are mai mult de $n$ zecimale; dacă are cel mult $n$ , $L = A = x$ . A doua arată cât greșești la o singură valoare; la o cantitate $q$ , eroarea se înmulțește cu $q$ . Trunchierea este egală cu $L$ pentru $x \geq 0$ și cu $A$ pentru $x < 0$ . Verificare rapidă: la $n = 2$ , $A - L$ trebuie să fie exact un ban, $0, 01$ lei.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Factura de papetărie

Domeniu: comert.

Enunț. Reia factura din situația de pornire: 3 461 de plicuri la 0,0873 lei bucata, 2 647 de folii la 0,0561 lei și 1 874 de creioane la 0,3412 lei, toate fără TVA. Prețurile din catalog sunt 0,09 lei, 0,06 lei și 0,34 lei, iar TVA-ul este de 21 %. a) Află valoarea exactă a fiecărei linii, aproximările ei prin lipsă și prin adaos la bani și suma trecută pe factură. b) Află totalul de plată, cu TVA. c) Află totalul obținut cu prețurile din catalog și diferența față de cel corect.

Rezolvare. a) Valorile exacte ale liniilor sunt $3461 \cdot 0, 0873 = 302, 1453$ , $2647 \cdot 0, 0561 = 148, 4967$ și $1874 \cdot 0, 3412 = 639, 4088$ lei. Cu două zecimale, $L$ și $A$ sunt: 302,14 și 302,15; 148,49 și 148,50; 639,40 și 639,41 lei. Primele cifre tăiate sunt 5, 6 și 8, deci factura trece 302,15, 148,50 și 639,41 lei.

b) Valoarea fără TVA este $302, 15 + 148, 50 + 639, 41 = 1090, 06$ lei. TVA-ul este $0, 21 \cdot 1090, 06 = 228, 9126$ lei; prima cifră tăiată este 2, deci se trec 228,91 lei. Totalul de plată este $1090, 06 + 228, 91 = 1318, 97$ lei.

c) Cu prețurile din catalog, liniile ies exact $311, 49$ , $158, 82$ și $637, 16$ lei, valoarea fără TVA $1107, 47$ lei, TVA-ul $0, 21 \cdot 1107, 47 = 232, 5687$ , adică 232,57 lei, iar totalul 1 340,04 lei. Diferența este $1340, 04 - 1318, 97 = 21, 07$ lei.

Capcană. Cine consideră că „banul este unitatea” rotunjește prețul unitar și abia apoi înmulțește. Eroarea unui singur plic este de $0, 0027$ lei, sub un ban, dar la 3 461 de plicuri ajunge la 9,3447 lei. Rezultatul greșit este 1 340,04 lei, cu 21,07 lei mai mult decât trebuie plătit.

Verificare. Pe alt drum, fără nicio rotunjire: $302, 1453 + 148, 4967 + 639, 4088 = 1090, 0508$ lei fără TVA și $1, 21 \cdot 1090, 0508 = 1318, 961468$ lei cu TVA. Fiecare linie rotunjită greșește cu cel mult $0, 005$ lei, deci valoarea fără TVA greșește cu cel mult $0, 015$ lei, iar totalul cu cel mult $1, 21 \cdot 0, 015 + 0, 005 = 0, 02315$ lei. Diferența reală, $1318, 97 - 1318, 961468 = 0, 008532$ lei, este sub această margine.

Exemplul 2 — Șarja de nutreț pentru găini

Domeniu: zootehnie.

Enunț. O fermă de găini ouătoare prepară o șarjă de 1 370 kg de nutreț combinat. Fișa rețetei cere carbonat de calciu cel puțin 8,6 % din șarjă, premix de vitamine 1 % și ulei vegetal cât mai aproape de 2,35 %. Componentele se cântăresc pe un cântar care arată kilogramele cu o zecimală. Cât cântărește tehnicianul din fiecare componentă?

Rezolvare. Carbonatul: $1370 \cdot 0, 086 = 117, 82$ kg, cu $L = 117, 8$ kg și $A = 117, 9$ kg. „Cel puțin” cere aproximarea prin adaos: 117,9 kg. Premixul: $1370 \cdot 0, 01 = 13, 7$ kg, un număr cu o singură zecimală, deci $L = A = 13, 7$ kg și se cântăresc exact 13,7 kg. Uleiul: $1370 \cdot 0, 0235 = 32, 195$ kg, cu $L = 32, 1$ kg și $A = 32, 2$ kg; prima cifră tăiată este 9, deci rotunjirea dă 32,2 kg.

Capcană. Cine rotunjește și carbonatul obține 117,8 kg, fiindcă prima cifră tăiată este 2. Șarja ar avea cu $117, 82 - 117, 8 = 0, 02$ kg, adică 20 g, mai puțin carbonat decât minimul din fișă.

Verificare. Înapoi în procente: $117, 9 : 1370 \approx 0, 08606$ , peste 8,6 %, iar $117, 8 : 1370 \approx 0, 08599$ , sub 8,6 %. La ulei, $32, 2 - 32, 195 = 0, 005$ kg, iar $32, 195 - 32, 1 = 0, 095$ kg, deci 32,2 kg este valoarea cea mai apropiată.

Exemplul 3 — Cantul unui blat rotund

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de mobilă face blaturi rotunde de masă din PAL, cu diametrul de 90 cm. Pe muchia fiecărui blat se lipește o bandă de cant, care se taie puțin mai lungă și se retează după lipire. Lungimea muchiei este $π \cdot 90$ cm, iar $3, 141 < π < 3, 142$ . a) Calculează lungimea cu aproximările lui $π$ prin lipsă și prin adaos cu trei zecimale. Care dintre ele dă o bandă care ajunge sigur? b) Pe comanda către furnizor, cantul se trece în metri, cu o zecimală. Ce scrie atelierul pentru 12 blaturi?

Rezolvare. a) Cu $3, 141$ , aproximarea lui $π$ prin lipsă, banda are $90 \cdot 3, 141 = 282, 69$ cm. Cu $3, 142$ , aproximarea prin adaos, are $90 \cdot 3, 142 = 282, 78$ cm. Diametrul este pozitiv, deci $90 \cdot 3, 141 < 90 π < 90 \cdot 3, 142$ : numai banda de 282,78 cm acoperă sigur toată muchia, iar surplusul ei se retează.

b) Pentru 12 blaturi trebuie $12 \cdot 282, 78 = 3393, 36$ cm, adică $33, 9336$ m. Comanda nu are voie să rămână sub necesar, deci se trece aproximarea prin adaos cu o zecimală: 34,0 m.

Capcană. Cine folosește din obișnuință $π \approx 3, 14$ taie $90 \cdot 3, 14 = 282, 6$ cm. Lungimea reală a muchiei este $90 π \approx 282, 743$ cm, deci la fiecare blat banda rămâne mai scurtă cu peste 1,4 mm și nu se închide.

Verificare. Pe alt drum, cu mai multe zecimale: $90 \cdot 3, 1416 = 282, 744$ cm, între 282,69 și 282,78 cm. Distanța dintre cele două lungimi este $90 \cdot (3, 142 - 3, 141) = 0, 09$ cm, adică exact $282, 78 - 282, 69$ : eroarea lui $π$ s-a înmulțit cu diametrul.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce masă are de fapt camionul

Domeniu: agricol.

Enunț. Acum mergi invers: din afișaj afli unde poate fi valoarea exactă. La o stație de recepție a cerealelor, podul-basculă afișează masa camionului în kilograme, din 20 în 20 de kilograme. Un camion încărcat cu grâu apare pe afișaj cu 11 980 kg, iar certificatul lui de înmatriculare admite o masă totală de cel mult 11 990 kg. Între ce limite se află masa reală dacă aparatul: a) rotunjește, cu convenția lecției; b) afișează aproximarea prin lipsă; c) afișează aproximarea prin adaos? În care dintre cazuri poate masa reală să depășească 11 990 kg?

Rezolvare. Notează cu $x$ masa reală, în kg. a) La rotunjire, afișajul este multiplul de 20 cel mai apropiat de masă, deci $x$ stă la cel mult 10 kg de 11 980: $11970 \leq x < 11990$ . b) Prin lipsă, afișajul este cel mai mare multiplu de 20 care nu depășește masa: $11980 \leq x < 12000$ . c) Prin adaos, afișajul este cel mai mic multiplu de 20 care nu e sub masă: $11960 < x \leq 11980$ . Doar la b) intervalul conține valori peste 11 990 kg, cele din $(11990; 12000)$ .

Capcană. Cine citește afișajul ca pe o valoare exactă conchide că masa este 11 980 kg, sub limită, la orice aparat. La cântarul care afișează prin lipsă, masa poate fi aproape de 12 000 kg, adică peste limită cu aproape 10 kg.

Verificare. Încerci capetele: la rotunjire, 11 970 kg dă 11 980, iar 11 990 kg dă 12 000; prin lipsă, 11 999,9 kg dă 11 980; prin adaos, 11 980,1 kg dă 12 000.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru fiecare număr, scrie $L$ și $A$ cu două zecimale: a) $48, 3167$ ; b) $0, 0509$ ; c) $126, 4$ ; d) $7, 998$ .

2. Rotunjește: a) $6, 0749$ la o zecimală; b) $0, 2951$ la două zecimale; c) $59, 95$ la o zecimală; d) $2, 0049$ la două zecimale.

3. O ladă de 13 kg de mere costă 41 de lei. a) Scrie aproximările prin lipsă și prin adaos, la bani, ale prețului unui kilogram. b) Cu cât diferă de 41 de lei prețul celor 13 kg calculat cu fiecare aproximare?

4. Scrie ca interval mulțimea numerelor reale $x$ pentru care: a) aproximarea prin lipsă cu o zecimală este $8, 3$ ; b) aproximarea prin adaos cu două zecimale este $12, 40$ .

Nivelul 2 — situații

5. O factură de stornare, pentru marfa returnată, trece suma $- 27, 3469$ lei. Scrie aproximările ei prin lipsă și prin adaos la bani, rotunjirea și trunchierea.

6. Un hotel din Sinaia percepe o taxă de stațiune de 1,5 % din tariful nopții (cotă dată ca exemplu), calculată și rotunjită la ban pentru fiecare noapte. Camera dublă costă 683 de lei pe noapte. a) Ce taxă se trece pentru o noapte? b) Într-o lună s-au vândut 418 nopți în camere duble. Cu cât diferă suma taxelor rotunjite de 1,5 % din încasarea pe aceste nopți?

7. Un brutar pregătește 38,6 kg de aluat. Fișa de lucru admite cel mult 16,4 g de sare pe kilogram de aluat, iar cântarul de sare arată numai grame întregi. a) Câte grame de sare cântărește brutarul? b) Cu cât este aceasta mai mică decât cantitatea exactă?

8. Bordul unei dube arată distanța zilei tăind tot ce trece de zecimi: 214,68 km apar ca 214,6 km. a) Bordul arată 214,6 km. Între ce valori e distanța reală? b) În foaia de parcurs, șoferul trece distanța rotunjită la kilometru. Ce scrie? Poate greși din cauza afișajului? c) Altă dubă rotunjește la zecimi și arată 214,5 km. Se poate ști sigur rotunjirea la kilometru?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Fie $x$ un număr real cu mai mult de $n$ zecimale, iar $L$ și $A$ aproximările lui prin lipsă și prin adaos cu $n$ zecimale. a) Arătați că $∣ x - L ∣ + ∣ A - x ∣ = 1 0^{- n}$ . b) Verificați egalitatea pentru $x = 148, 4967$ și $n = 2$ . c) Deduceți că rotunjirea greșește cel mult $\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- n}$ .

10. (Sinteză.) Pe etichetă, un metru pătrat de tablă zincată costă 23,67 lei, rotunjit la ban. Se cumpără 8,4 m². a) Determinați intervalul prețului exact al unui metru pătrat. b) Determinați intervalul costului exact al tablei. c) Câte sume diferite, în bani, pot apărea pe bon prin rotunjirea costului?

11. (Sinteză.) Fie $M$ mulțimea numerelor reale $x$ pentru care aproximarea prin lipsă cu o zecimală este $5, 7$ și aproximarea prin adaos cu o zecimală este $5, 8$ . a) Scrieți $M$ ca interval. b) Determinați câte numere cu exact două zecimale are $M$ . c) Arătați că $5, 7 \in / M$ .

12. (Sinteză.) a) Arătați că, dacă rotunjirea la bani a unui număr pozitiv $x$ este $18, 60$ , atunci $∣ x - 18, 60 ∣ \leq 0, 005$ . b) Dați un număr $x$ cu $∣ x - 18, 60 ∣ \leq 0, 005$ a cărui rotunjire nu este $18, 60$ . c) Determinați numerele negative a căror rotunjire la bani este $- 18, 60$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) 48,31 și 48,32; b) 0,05 și 0,06; c) 126,40 și 126,40, căci are o singură zecimală; d) 7,99 și 8,00. Verificare: la a), b) și d), $A - L = 0, 01$ .

2. a) 6,1; b) 0,30; c) 60,0; d) 2,00. Verificare: primele cifre tăiate sunt 7, 5, 5 și 4.

3. a) $41 : 13 \approx 3, 1538$ lei pe kg, deci $L = 3, 15$ lei și $A = 3, 16$ lei. b) $13 \cdot 3, 15 = 40, 95$ lei, cu $0, 05$ lei sub 41, iar $13 \cdot 3, 16 = 41, 08$ lei, cu $0, 08$ lei peste. Verificare: $40, 95 < 41 < 41, 08$ .

4. a) $[8, 3; 8, 4)$ ; b) $(12, 39; 12, 40]$ . Verificare: 8,4 are $L = 8, 4$ , iar 12,39 are $A = 12, 39$ .

5. $L = - 27, 35$ lei și $A = - 27, 34$ lei; rotunjirea este $- 27, 35$ lei, iar trunchierea $- 27, 34$ lei. Verificare: $- 27, 35 < - 27, 3469 < - 27, 34$ .

6. a) $0, 015 \cdot 683 = 10, 245$ lei, exact la jumătate: se trec 10,25 lei. b) Taxele rotunjite dau $418 \cdot 10, 25 = 4284, 50$ lei, față de $0, 015 \cdot 418 \cdot 683 = 0, 015 \cdot 285494 = 4282, 41$ lei, adică $2, 09$ lei în plus. Verificare: fiecare noapte adaugă exact $10, 25 - 10, 245 = 0, 005$ lei, iar $418 \cdot 0, 005 = 2, 09$ lei.

7. a) Exact $38, 6 \cdot 16, 4 = 633, 04$ g, iar „cel mult” cere lipsa fără zecimale: 633 g. b) $633, 04 - 633 = 0, 04$ g. Verificare: 634 g ar depăși fișa.

8. a) Afișajul este aproximarea prin lipsă: $214, 6 \leq d < 214, 7$ km. b) Prima zecimală a lui $d$ este 6, deci sigur 215 km. c) Nu: $d$ este în $[214, 45; 214, 55)$ km, iar 214,47 km dă 214 km, pe când 214,52 km dă 215 km. Verificare: 214,6 km și 214,69 km dau amândouă 215 km.

9. a) Cum $L \leq x \leq A$ , avem $∣ x - L ∣ = x - L$ și $∣ A - x ∣ = A - x$ . Suma lor este $A - L = 1 0^{- n}$ . b) $∣ 148, 4967 - 148, 49 ∣ + ∣ 148, 50 - 148, 4967 ∣ = 0, 0067 + 0, 0033 = 0, 01$ . c) Suma distanțelor este $1 0^{- n}$ , deci cea mai mică nu depășește $\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- n}$ , iar rotunjirea o alege pe ea. Verificare: la $x = 148, 4967$ , cea mai mică este $0, 0033 \leq 0, 005$ .

10. a) $23, 665 \leq p < 23, 675$ lei pe metru pătrat. b) Costul $8, 4 \cdot p$ este între $8, 4 \cdot 23, 665 = 198, 786$ și $8, 4 \cdot 23, 675 = 198, 87$ lei, fără capătul de sus. c) 198,79; 198,80; ...; 198,87, adică 9 sume. Verificare: 198,786 se rotunjește la 198,79, iar 198,869 la 198,87.

11. a) Din $L = 5, 7$ , $5, 7 \leq x < 5, 8$ ; din $A = 5, 8$ , $5, 7 < x \leq 5, 8$ . Deci $M = (5, 7; 5, 8)$ . b) 5,71; 5,72; ...; 5,79, adică 9 numere. c) Pentru $x = 5, 7$ avem $L = A = 5, 7$ , deci $A \neq = 5, 8$ și $5, 7 \in / M$ . Verificare: la fel pentru $5, 8$ .

12. a) Rotunjirea este $18, 60$ lei exact când $18, 595 \leq x < 18, 605$ , deci $- 0, 005 \leq x - 18, 60 < 0, 005$ și $∣ x - 18, 60 ∣ \leq 0, 005$ . b) $x = 18, 605$ : distanța este $0, 005$ , dar la jumătate se alege $A$ , deci rotunjirea este $18, 61$ . c) La jumătate se alege valoarea mai depărtată de 0: $- 18, 605$ devine $- 18, 61$ , iar $- 18, 595$ devine $- 18, 60$ , deci mulțimea este $(- 18, 605; - 18, 595]$ . Verificare: $- 18, 5951$ dă $- 18, 60$ , iar $- 18, 605$ nu.

Așa vine la Bac M3

Tema este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Aproximările prin lipsă sau prin adaos sunt așezate de programa de examen M_tehnologic în primul bloc de conținuturi al clasei a IX-a, după modulul unui număr real și înaintea operațiilor cu intervale. În indexul cerințelor celor 83 de probe oficiale, nicio cerință nu e etichetată cu această temă, iar în enunțuri nu apare niciun cuvânt din familia «aproximare», «rotunjire» sau «trunchiere». Fiindcă nu există cerințe reale pe temă, secțiunea nu trimite la nicio probă și nu inventează cerințe-model.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), țin aproximările lângă modul și intervale: legi eroarea de o distanță pe axă, scrii o mulțime ca interval și vezi că o eroare de cel mult o jumătate de ban nu garantează rotunjirea. Toate lecțiile clasei sunt adunate pe pagina clasei a IX-a, filiera tehnologică. Intervalele și compararea numerelor le găsești în ordonarea numerelor reale și intervalele.

Greșeli care costă puncte

Rotunjești prețul unitar înainte de înmulțire → plicurile ies cu 9,34 lei în plus pe factură; cum o prinzi: refaci linia cu prețul de pe factură, cu toate zecimalele, și compari rezultatele.
Rotunjești o cantitate pentru care fișa cere un minim, $117, 82 \to 117, 8$ kg de carbonat → șarja are cu 20 g mai puțin decât minimul; cum o prinzi: împarți înapoi la masa șarjei și compari cu 8,6 %.
Tai cifrele unui număr negativ și crezi că ai aproximat prin lipsă, $- 40, 2616 \to - 40, 26$ → ai obținut aproximarea prin adaos; cum o prinzi: verifici pe axă că $L \leq x$ , iar aici $- 40, 26 > - 40, 2616$ , deci corect este $- 40, 27$ .
Citești un afișaj rotunjit ca pe o valoare exactă → camionul de 11 980 kg poate avea aproape 12 000 kg; cum o prinzi: afli regula de afișare și scrii intervalul valorilor posibile.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: aproximarea prin lipsă sau prin adaos a numerelor reale face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la unele profiluri (MAT_P3 și MAT_P4).

Întrebări frecvente

Cum împart totalul facturii în două plăți egale? Împarți: $1318, 97 : 2 = 659, 485$ lei, o sumă care nu se poate plăti în bani. Prin lipsă ies 659,48 lei, prin adaos 659,49 lei, iar rotunjirea, fiind la jumătate, alege tot 659,49 lei. Două plăți rotunjite ar da 1 318,98 lei, cu un ban prea mult, deci o plată se face prin lipsă și cealaltă prin adaos: $659, 48 + 659, 49 = 1318, 97$ lei.

De ce totalul meu iese cu un ban mai puțin decât cel de pe factură? Fiindcă ai rotunjit o singură dată, la sfârșit: fără rotunjiri pe linii ieși la 1 318,961468 lei, adică 1 318,96 lei. Factura rotunjește fiecare linie la ban, iar aici cele trei rotunjiri adaugă aproape un ban. Fiecare greșește cu cel mult o jumătate de ban, deci nu e o greșeală de calcul.

Cum aflu prețul fără TVA dacă pe lista de prețuri văd prețul cu TVA, de 0,1056 lei pe plic? Împarți la $1, 21$ : $0, 1056 : 1, 21 = 0, 08727 \dots$ lei. Cu patru zecimale, aproximarea prin lipsă este $0, 0872$ , cea prin adaos $0, 0873$ , iar rotunjirea $0, 0873$ , adică exact prețul de pe factură. Verifici înmulțind: $0, 0873 \cdot 1, 21 = 0, 105633$ , care se rotunjește la $0, 1056$ , prețul din listă.

Dacă în catalog plicul costă 0,09 lei, ce preț poate avea pe factură? Cu convenția lecției, prețul exact este în intervalul $[0, 085; 0, 095)$ . Pentru 3 461 de plicuri, valoarea liniei poate fi oriunde între $3461 \cdot 0, 085 = 294, 185$ și $3461 \cdot 0, 095 = 328, 795$ lei. Linia de 302,1453 lei se încadrează, dar catalogul singur nu o poate da.

Cum tratează programa pentru Bacalaureatul M3 aproximările prin lipsă și prin adaos? Le găsești în primul bloc de conținuturi al clasei a IX-a din programa M_tehnologic. Indexul celor 83 de probe oficiale din 2013–2026 nu are nicio cerință pe această temă. Fiind în programă, tema poate fi cerută; exercițiile 9–12 o leagă de modul și intervale.