Inducția matematică pas cu pas, pentru tehnologic

O regulă care merge la 18, la 37 și la 39 de lei nu spune încă nimic despre 60 de lei, despre 100 de lei sau despre orice altă sumă. Nu le poți încerca pe toate, iar un afiș nu are voie să promită ce nu e adevărat. Inducția dovedește regula pentru toate valorile deodată, din câteva verificări de început și dintr-un singur pas. Lecția, așezată în clasa a IX-a a traseului tehnologic, îți dă această metodă, pe care programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) o trece în primul ei bloc.

Situația de pornire

Un magazin de articole pentru casă din Sibiu a pus în circulație două feluri de bonuri de reducere, de 4 lei și de 7 lei. Casiera primește bonurile în orice număr, dar nu dă rest: bonurile trebuie să acopere exact reducerea cuvenită. Pentru campania de toamnă, directorul vrea să scrie pe afiș: „Orice reducere întreagă, de la 18 lei în sus, se acoperă exact cu bonurile noastre.” Casiera a încercat câteva sume și le-a notat în tabel, dar directorul nu poate încerca toate sumele.

Întrebare: poate directorul să scrie pe afiș că orice sumă întreagă de la 18 lei în sus se acoperă exact cu bonuri de 4 lei și de 7 lei?

De la situație la model

Notează cu $n$ suma de acoperit, în lei, și cu $P(n)$ propoziția „suma de $n$ lei se acoperă exact cu bonuri de 4 lei și de 7 lei”. Directorul vrea să știe dacă $P(n)$ este adevărată pentru fiecare număr natural $n\ge 18$.

Inducția matematică este metoda care dovedește o propoziție $P(n)$ pentru toate numerele naturale $n\ge n_0$, în doi pași. Baza verifică propoziția la începutul domeniului, la $n_0$. Pasul inductiv dovedește, pentru orice $k\ge n_0$, implicația $P(k)\Rightarrow P(k+1)$: dacă propoziția e adevărată la $k$, e adevărată și la $k+1$. Presupunerea că $P(k)$ este adevărată se numește ipoteza inductivă.

De ce nu ajunge să încerci sumele una câte una?

Oricâte sume ai încerca, rămân infinit de multe neîncercate, iar cazurile bune nu garantează cazul următor: 17 lei stă chiar înaintea lui 18 și nu se acoperă. Inducția arată o singură dată, pentru un $k$ oarecare, că mersul bun la $k$ aduce mersul bun mai departe.

Cum arată pasul inductiv?

Presupui că $P(k)$ este adevărată, adică ai o combinație de bonuri care dă $k$ lei. Dacă adaugi un bon de 4 lei, obții $k+4$ lei. Deci $P(k)\Rightarrow P(k+4)$. Pasul nu spune că $k$ lei se pot acoperi, ci numai că, dacă se pot, se pot acoperi și $k+4$.

De ce baza are patru valori, nu una?

Pasul de mai sus sare din 4 în 4, nu din 1 în 1. Din 18 ajungi numai la $18+4$, $18+8$ și așa mai departe; din 19, numai la $19+4$, $19+8$. Sunt patru șiruri de sume, iar fiecare cere propriul început. Deci grupezi sumele în blocuri de câte patru valori consecutive: baza verifică primul bloc, iar pasul mută un bloc adevărat în blocul următor. Este tot inducția obișnuită, aplicată blocurilor. La un salt $s$, baza are $s$ valori consecutive.

Cum se scrie o demonstrație completă?

Scrii, în ordine: propoziția $P(n)$ și numărul $n_0$; baza; ipoteza pentru un $k\ge n_0$ oarecare; pasul, de la $P(k)$ la $P(k+s)$; concluzia, cu „prin inducție matematică” și cu domeniul $n\ge n_0$. Despre implicații și despre „pentru orice” vezi operațiile logice și cuantificatorii și negarea lor.

Metoda pas cu pas

1. Scrie propoziția $P(n)$ cu cuvintele problemei și hotărăște de la ce număr $n_0$ o susții. La bonuri, $P(n)$ este „suma de $n$ lei se acoperă exact”, iar $n_0=18$. Dacă nu știi de la ce număr, încearcă pe rând valorile mici și caută prima de la care propoziția rămâne adevărată.
2. Află saltul $s$ al pasului, adică cu cât crește $n$ când adaugi ceva la o soluție: la bonuri, $s=4$; la majoritatea formulelor, $s=1$. Verifică în bază $s$ valori consecutive, de la $n_0$ la $n_0+s-1$. Dacă pasul se sprijină pe două propoziții anterioare, ca la un șir în care fiecare termen se obține din ultimii doi, baza are două valori. Scrie fiecare verificare pe rând, nu o lăsa pe seama memoriei.
3. Scrie ipoteza inductivă: presupune că $P(k)$ este adevărată pentru un $k\ge n_0$ oarecare, adică o tratezi ca știută. Nu presupui propoziția pentru toate valorile, ci numai pentru acest $k$; despre $k+s$ nu presupui nimic.
4. Dovedește pasul: pornind numai de la $P(k)$, arată că $P(k+s)$ este adevărată. La formule, înlocuiește $n$ cu $k+s$ peste tot, nu doar într-un loc, și marchează rândul în care folosești ipoteza.
5. Scrie concluzia: prin inducție matematică, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge n_0$. Fără această propoziție și fără domeniul $n\ge n_0$, demonstrația nu este terminată.
6. Verifică: numără valorile din bază, trebuie să fie $s$. Încearcă apoi o valoare care nu a fost în bază, de pildă 47 de lei, și valoarea de dinainte de $n_0$: 17 lei nu se acoperă, deci limita 18 nu poate fi coborâtă. Dacă propoziția are o formulă, încearc-o și pe un caz calculat direct din enunț, nu din formulă.

Fișa de buzunar

$$P(n_0)\text{ adeva˘rata˘},P(k)\Rightarrow P(k+1)\text{ pentru orice }k\ge n_0⟹P(n)\text{ adeva˘rata˘ pentru orice }n\ge n_0$$

$$P(n_0),\dots ,P(n_0+s-1)\text{ adeva˘rate},P(k)\Rightarrow P(k+s)\text{ pentru orice }k\ge n_0⟹P(n)\text{ adeva˘rata˘ pentru orice }n\ge n_0$$

Cele două condiții sunt obligatorii: baza și pasul pentru orice $k\ge n_0$. Dacă una lipsește, concluzia nu urmează. A doua relație este prima aplicată blocurilor de câte $s$ valori; la $s=1$ ele coincid. Ipoteza $P(k)$ se folosește numai în pas. Verificare rapidă: numără valorile din bază; trebuie să fie $s$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Afișul cu bonurile de reducere

Domeniu: comert.

Enunț. Reia situația de pornire: bonuri de 4 lei și de 7 lei, fără rest. Demonstrează că orice sumă întreagă $n\ge 18$ se acoperă exact.

Rezolvare. Fie $P(n)$ propoziția „suma de $n$ lei se acoperă exact cu bonuri de 4 lei și de 7 lei”. Baza. $18=4+7+7$, $19=4+4+4+7$, $20=4+4+4+4+4$ și $21=7+7+7$, deci $P(18)$, $P(19)$, $P(20)$ și $P(21)$ sunt adevărate. Ipoteza. Pentru un $k\ge 18$, suma de $k$ lei se acoperă cu o combinație de bonuri. Pasul. Adaug un bon de 4 lei la combinația pentru $k$ și acopăr $k+4$ lei, deci $P(k)\Rightarrow P(k+4)$. Concluzia. Orice $n\ge 22$ se obține din $n-4\ge 18$ prin adăugarea unui bon de 4 lei, iar sumele 18–21 sunt în bază. Prin inducție matematică, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 18$, deci directorul poate scrie afișul.

Capcană. Cine verifică numai 14 ($7+7$), 15 ($4+4+7$) și 16 ($4+4+4+4$) și aplică același pas conchide „de la 14 în sus”. Baza are însă trei valori, iar saltul cere patru: lipsește 17, care nu se acoperă, fiindcă 17, $17-7=10$ și $17-14=3$ nu se împart la 4.

Verificare. Pe alt drum, direct, pe o sumă din afara bazei: $47=5\cdot 7+3\cdot 4$. Sub 18, sumele care nu se acoperă sunt 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13 și 17; ultima, 17, arată că limita 18 nu poate fi coborâtă.

Exemplul 2 — Clorul dintr-un bazin

Domeniu: chimie.

Enunț. La un bazin de înot în aer liber, cu 100 m³ de apă, soarele distruge în fiecare zi un sfert din clorul liber aflat în apă dimineața, iar seara se adaugă o doză de 30 g. Luni dimineață, în ziua 0, în apă sunt 200 g de clor liber. Notează cu $s_n$ masa clorului liber de dimineață din ziua $n$, în g: $s_0=200$ și $s_{n+1}=\frac{3}{4}{s}_n+30$. a) Demonstrează prin inducție că $s_n=120+80\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$ pentru orice $n\ge 0$. b) Deduce că masa clorului liber de dimineață nu coboară niciodată sub 120 g.

Rezolvare. a) Fie $P(n)$: $s_n=120+80\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$. Baza: pentru $n=0$, $120+80=200=s_0$. Ipoteza: $s_k=120+80\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^k$, pentru un $k\ge 0$. Pasul: $s_{k+1}=\frac{3}{4}{s}_k+30=\frac{3}{4}\cdot 120+80\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{k+1}+30=120+80\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{k+1}$. Deci $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ și, prin inducție, formula este adevărată pentru orice $n\ge 0$. b) Termenul $80\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$ este pozitiv, deci $s_n>120$ pentru orice $n$.

Capcană. Cine înmulțește cu $\frac{3}{4}$ numai termenul cu putere, nu și pe 120, obține $s_{k+1}=150+80\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{k+1}$. Formula ar da pentru dimineața următoare $150+60=210$ g, deși regula dă $\frac{3}{4}\cdot 200+30=180$ g.

Verificare. Din regulă: $s_1=180$, $s_2=165$ și $s_3=153,75$ g. Din formulă: $120+80\cdot 0,75=180$, $120+80\cdot 0,5625=165$ și $120+80\cdot 0,421875=153,75$ g, aceleași valori.

Exemplul 3 — Variantele unui dulap

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de mobilă face un dulap la care clientul alege, pentru fiecare dintre cele $n$ accesorii opționale (oglindă, sertar în plus și altele), dacă îl vrea sau nu. Pe site, fiecare variantă de dulap, de la „fără niciun accesoriu” până la „cu toate”, are imaginea ei. a) Demonstrează prin inducție că $n$ accesorii dau exact $2^n$ variante. b) Câte variante sunt pentru $n=7$? c) O imagine de catalog, făcută de un grafician, costă 35 de lei, iar bugetul pentru imaginile acestui dulap este de 3 000 de lei. Câte accesorii opționale poate oferi atelierul?

Rezolvare. a) Fie $P(n)$: „$n$ accesorii opționale dau exact $2^n$ variante”. Baza: pentru $n=1$ sunt două variante, cu accesoriul sau fără el, iar $2^1=2$. Ipoteza: cu $k$ accesorii există $2^k$ variante, pentru un $k\ge 1$. Pasul: adaug al $(k+1)$-lea accesoriu. Fiecare dintre cele $2^k$ variante vechi se face în două feluri, fără accesoriul nou sau cu el, iar două variante făcute astfel nu coincid. Numărul variantelor se dublează, deci sunt $2^{k+1}$, iar $P(k)\Rightarrow P(k+1)$. Prin inducție, formula este adevărată pentru orice $n\ge 1$. b) Sunt $2^7=128$ de variante. c) Bugetul ajunge pentru $3000:35\approx 85,7$, adică 85 de imagini, aproximarea prin lipsă. Cum $2^6=64\le 85<128=2^7$, iar numărul variantelor se dublează la fiecare accesoriu nou, atelierul poate oferi cel mult 6 accesorii opționale.

Capcană. Cine crede că fiecare accesoriu nou adaugă o singură variantă numără pentru 7 accesorii $7+1=8$ variante în loc de 128 și plănuiește 280 de lei pentru imagini în loc de 4 480 de lei.

Verificare. Pe alt drum, prin enumerare, pentru $n=3$ accesorii $a$, $b$, $c$: nimic, $a$, $b$, $c$, $ab$, $ac$, $bc$, $abc$, adică $8=2^3$ variante. La c), 6 accesorii cer $64\cdot 35=2240$ lei, sub buget, iar 7 ar cere $128\cdot 35=4480$ lei.

Exemplul 4 — Problema inversă: de la ce sumă merge totul

Domeniu: turism.

Enunț. Acum mergi invers: pragul nu ți se dă, îl cauți. Un parc de distracții vinde tichete de 5 lei și de 6 lei, iar casa nu dă rest. Directorul vrea să știe de la ce sumă în sus orice sumă întreagă se plătește exact. a) Află cea mai mare sumă care nu se poate plăti. b) Demonstrează prin inducție că, de la suma următoare în sus, orice sumă se poate plăti.

Rezolvare. a) Sumele de la 1 la 19 care nu se pot plăti sunt 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14 și 19. De pildă, 19 nu se poate: după 0, 1, 2 sau 3 tichete de 6 lei rămân 19, 13, 7 sau 1 lei, iar niciunul nu se împarte la 5. Cea mai mare sumă imposibilă este 19 lei. b) Fie $P(n)$ propoziția „suma de $n$ lei se plătește exact cu tichete de 5 lei și de 6 lei”. Pasul adaugă un tichet de 5 lei, deci saltul este 5 și baza are cinci valori: $20=5\cdot 4$, $21=3\cdot 5+6$, $22=2\cdot 5+2\cdot 6$, $23=5+3\cdot 6$ și $24=4\cdot 6$. Ipoteza: $P(k)$ este adevărată pentru un $k\ge 20$. Pasul: cu un tichet de 5 lei în plus se plătesc $k+5$ lei, deci $P(k)\Rightarrow P(k+5)$. Prin inducție, orice sumă de la 20 de lei în sus se plătește exact.

Capcană. Cine ia pragul egal cu suma celor două tichete, $5+6=11$, vede că 11 ($5+6$) și 12 ($6+6$) se plătesc, dar 13 nu: $13-6=7$ și $13-12=1$, iar nici 7, nici 1, nici 13 nu se împart la 5. De la 11 în sus nu merge.

Verificare. Pe alt drum, prin încercare directă, toate sumele de la 20 la 60 se plătesc; de pildă, $53=5+8\cdot 6$. Singurele sume imposibile sunt cele zece de mai sus, iar 19 este ultima.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie propozițiile $P(0),P(k),P(k+1)$ pentru a) „$r_n=45-18\cdot 0,5^n$”; apoi $P(1),P(k),P(k+1)$ pentru b) „$8^n-3^n$ este multiplu de 5”; apoi $P(8),P(k),P(k+3)$ pentru c) „$n$ se scrie ca sumă de termeni 3 sau 5”.

2. Află valorile lui $n$ de la 1 la 8 pentru care propoziția e adevărată: a) $n^2+12\le 7n$; b) $n^2+12\le 8n$.

3. Pasul unei demonstrații este $P(k)\Rightarrow P(k+6)$. Câte valori consecutive verifici în bază și de ce nu ajunge una?

4. Demonstrează prin inducție, cu pasul $P(k)\Rightarrow P(k+3)$, că orice număr natural $n\ge 8$ se scrie ca sumă de termeni 3 sau 5.

Nivelul 2 — situații

5. Un camion se încarcă numai cu baxuri de 12 doze și navete de 20 de sticle. a) Demonstrează prin inducție după numărul $n$ de unități încărcate că numărul recipientelor este multiplu de 4. b) Fișa unui șofer arată 162 de recipiente. Poate fi corectă? c) Dă o încărcătură cu 76 de recipiente.

6. Rezervorul unui compresor de atelier are supapa de siguranță reglată la 8 bar. La începutul ciclului $n$, presiunea este $p_n$ bar; în ciclu, scula consumă o zecime din ea, iar compresorul adaugă 0,8 bar: $p_{n+1}=0,9\cdot p_n+0,8$, cu $p_0=3$. Calculează $p_1$, $p_2$ și $p_3$ și demonstrează prin inducție că $p_n<8$ pentru orice $n\ge 0$.

7. Un elev „demonstrează” că toate produsele dintr-un raft au același preț: „Pentru $n=1$ e clar. Presupun că oricare $k$ produse au același preț. Iau $k+1$ produse: fără primul rămân $k$ cu același preț, fără ultimul tot $k$. Grupurile se suprapun, deci toate cele $k+1$ au același preț.” La ce valoare a lui $k$ cade pasul?

8. Un laborator de vopseluri cântărește pigmenții pe un cântar cu grame întregi: masa reală $x$ se afișează $a$ când $a-0,5\le x<a+0,5$. a) Demonstrează prin inducție că, la afișajele $a_1,\dots ,a_n$, masa totală reală $T$ verifică $a_1+\cdots +a_n-\frac{n}{2}\le T<a_1+\cdots +a_n+\frac{n}{2}$. b) Afișajele pentru șase pigmenți sunt 38, 45, 52, 27, 61 și 33 g. Între ce limite se află masa totală? c) Rețeta cere cel puțin 255 g. Se poate garanta?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Într-o hală, alarma de incendiu sună dacă $p_1\vee p_2\vee \dots \vee p_n$ este adevărată, unde $p_i$ înseamnă „senzorul $i$ detectează fum”. a) Demonstrați prin inducție după $n\ge 2$ că negația acestei propoziții este $\neg p_1\wedge \neg p_2\wedge \dots \wedge \neg p_n$, pornind de la $\neg (a\vee b)\iff \neg a\wedge \neg b$. b) Spuneți în cuvinte când tace alarma. c) Dacă $A_i$ este mulțimea minutelor zilei în care senzorul $i$ detectează fum, scrieți cu mulțimi minutele în care alarma tace.

10. (Sinteză.) Trei agenți comerciali au vizitat clienții din mulțimile $A_1$, $A_2$ și $A_3$, cu 9, 6 și respectiv 8 clienți. a) Demonstrați prin inducție după $n$ că $|A_1\cup \cdots \cup A_n|\le |A_1|+\cdots +|A_n|$, folosind $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$. b) Arătați că numărul clienților vizitați de cel puțin un agent se află între 9 și 23.

11. (Sinteză.) Un angajat propune afișul „Orice sumă întreagă $n\ge 12$ se acoperă exact cu bonuri de 4 lei și de 7 lei.” a) Scrieți negația propoziției, cu un cuantificator existențial. b) Aflați cel mai mic contraexemplu. c) Verificați sumele de la 12 la 15 și spuneți care face imposibilă o demonstrație cu pasul $P(k)\Rightarrow P(k+4)$.

12. (Sinteză.) Șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ are $a_1=11$, $a_2=23$ și $a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n$ pentru orice $n\ge 1$. a) Calculați $a_3$, $a_4$ și $a_5$. b) Arătați prin inducție că $a_n=2\cdot 3^n+5$ pentru orice $n\ge 1$. c) De ce baza are două valori?

Răspunsuri și verificări

1. a) $P(0):r_0=45-18=27;P(k):r_k=45-18\cdot 0,5^k;P(k+1):r_{k+1}=45-18\cdot 0,5^{k+1}$. b) $P(1):8-3=5=5\cdot 1;P(k):8^k-3^k=5t;P(k+1):8^{k+1}-3^{k+1}=5t^{\prime }$. c) $P(8)$: „8 se scrie cu termeni 3 sau 5”, la fel $P(k)$ și $P(k+3)$. Verificare: $k$ se înlocuiește peste tot.

2. a) 3 și 4, falsă de la 5. b) De la 2 la 6, falsă la 1 și de la 7. Verificare: $21\le 21,28\le 28,37>35$ și $16\le 16,48\le 48,61>56$.

3. Șase: dintr-una singură, pasul atinge doar $n_0+6,n_0+12,\dots$, iar celelalte cinci șiruri n-au început. Verificare: la bonuri, saltul 4 cerea 4 valori.

4. Baza, cu trei valori (saltul e 3): $8=3+5,9=3+3+3,10=5+5$. Ipoteza: $k\ge 8$ se scrie astfel. Pasul: un termen 3 în plus dă $k+3$. Prin inducție, orice $n\ge 8$ se scrie așa. Verificare: 7 nu, iar $11=3+3+5$.

5. a) Baza: 0 recipiente la $n=0$. Pasul: de la $4t$, unitatea următoare duce la $4t+12=4(t+3)$ sau $4t+20=4(t+5)$. b) Nu: $162=4\cdot 40+2$. c) 3 baxuri și 2 navete: $36+40=76=4\cdot 19$. Verificare: pe alt drum, $12a+20b=4(3a+5b)$.

6. $p_1=3,5$ bar, $p_2=3,95$ bar și $p_3=4,355$ bar. Baza: $p_0=3<8$. Pasul: din $p_k<8$ rezultă $p_{k+1}=0,9\cdot p_k+0,8<0,9\cdot 8+0,8=8$. Deci $p_n<8$ mereu. Verificare: $0,9\cdot 3,95+0,8=4,355$ bar.

7. Pasul cade pentru $k=1$: două grupuri de câte un produs nu au nimic comun. Verificare: produse de 12 și de 19 lei.

8. a) Baza: regula cântarului. Pasul: aduni ipoteza și regula pentru masa nouă $x$: $S_k+a-\frac{k+1}{2}\le T_k+x<S_k+a+\frac{k+1}{2}$. b) Suma afișajelor este 256 g: $253\le T<259$ g. c) Nu, poate fi 253 g. Verificare: masele $a-0,5$ dau 253 g.

9. a) Baza, $n=2$: regula dată. Pasul: $(p_1\vee \dots \vee p_k)\vee p_{k+1}$ are negația $\neg (p_1\vee \dots \vee p_k)\wedge \neg p_{k+1}$, iar ipoteza o face $\neg p_1\wedge \dots \wedge \neg p_{k+1}$. b) Alarma tace numai dacă niciun senzor nu simte fum. c) ${\complement }_U(A_1\cup \dots \cup A_n)={\complement }_U{A}_1\cap \dots \cap {\complement }_U{A}_n$, cu $U$ minutele zilei. Verificare: cu $p_1$, $p_2$ false și $p_3$ adevărată, ambele părți sunt false.

10. a) Baza: la $n=1$, egalitate. Ipoteza: $|B|\le |A_1|+\cdots +|A_k|$, cu $B=A_1\cup \cdots \cup A_k$. Pasul: $|B\cup A_{k+1}|=|B|+|A_{k+1}|-|B\cap A_{k+1}|\le |B|+|A_{k+1}|\le |A_1|+\cdots +|A_{k+1}|$. b) Cel mult $9+6+8=23$; cel puțin 9, fiindcă reuniunea îl conține pe $A_1$. Verificare: 23 pentru mulțimi disjuncte, 9 dacă $A_2,A_3\subseteq A_1$.

11. a) Există o sumă întreagă $n\ge 12$ care nu se acoperă. b) 13 lei: nici 13, nici $13-7=6$ nu se împart la 4. c) 12, 14 și 15 se acoperă, 13 nu: baza pică. Verificare: nici $13+4=17$ lei nu se acoperă.

12. a) $a_3=4\cdot 23-3\cdot 11=59$, $a_4=167$ și $a_5=491$. b) Baza: $a_1=11=2\cdot 3+5,a_2=23=2\cdot 9+5$. Ipoteza, cu $t=3^k$: $a_k=2t+5,a_{k+1}=6t+5$. Pasul: $a_{k+2}=4(6t+5)-3(2t+5)=18t+5$, formula pentru $k+2$, căci $3^{k+2}=9t$. c) Pasul folosește $P(k)$ și $P(k+1)$, deci baza are două valori. Verificare: $a_5=491=2\cdot 243+5$.

Așa vine la Bac M3

Tema este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. În programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), inducția matematică stă în primul bloc de conținuturi al clasei a IX-a, ca ultim punct al blocului, după operațiile logice corelate cu operațiile pe mulțimi; a patra competență specifică a blocului este „deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice”. În indexul făcut pe cele 83 de probe oficiale nicio cerință nu are inducția drept temă, iar cuvântul „inducție” lipsește din toate enunțurile.

Fără cerințe reale de arătat, secțiunea nu indică nicio probă și nu copiază un format de cerință. Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă inducția de logică, de mulțimi și de șiruri; despre șirurile date printr-o regulă de recurență vezi șiruri: formulă și recurență, iar despre mulțimi operațiile cu mulțimi și listele de clienți. Celelalte teme ale clasei sunt pe pagina traseului tehnologic de clasa a IX-a.

Greșeli care costă puncte

• Verifici în bază o singură valoare, deși pasul sare din 4 în 4 → se acoperă numai șirul care pornește de la 18, iar celelalte trei șiruri rămân nedovedite; cum o prinzi: numeri valorile din bază și le compari cu saltul.
• Pornești prea jos, de la 14, cu trei valori în bază → afișul ar promite 17 lei, care nu se acoperă; cum o prinzi: încerci direct valoarea de dinainte de limită.
• Folosești în pas chiar propoziția pe care vrei s-o dovedești, $P(k+4)$ → demonstrația se învârte în cerc; cum o prinzi: verifici că ipoteza este numai $P(k)$.
• Înmulțești cu $\frac{3}{4}$ numai termenul cu putere, nu și constanta 120 → formula dă 210 g în loc de 180 g; cum o prinzi: o încerci pe primul termen calculat din regulă.
• Crezi că fiecare accesoriu nou adaugă o singură variantă → 8 variante în loc de 128 la 7 accesorii; cum o prinzi: enumeri cazul cu trei accesorii și numeri 8 variante, nu 4.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: inducția matematică face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Dacă directorul mai adaugă un bon de 3 lei, de la ce sumă merge afișul? Cu bonuri de 3, 4 și 7 lei, singurele sume care nu se acoperă sunt 1, 2 și 5 lei, deci afișul merge de la 6 lei în sus. Pasul adaugă un bon de 3 lei, așa că baza are trei valori: $6=3+3$, $7=7$ și $8=4+4$.

Contează ce bon adaug în pas? Pot folosi bonul de 7 lei în loc de cel de 4 lei? Poți. Pasul $P(k)\Rightarrow P(k+7)$ este la fel de adevărat, dar sare din 7 în 7, deci baza are șapte valori, sumele de la 18 la 24. De aceea alegi saltul cel mai mic, care cere cea mai scurtă bază.

Dacă 21 de lei se acoperă, de ce nu spun că 17 lei se acoperă, din $P(17)\Rightarrow P(21)$? Implicația spune numai că, dacă 17 lei s-ar acoperi, s-ar acoperi și 21. Premisa este falsă, deci implicația nu dovedește nimic despre 17. Faptul că 21 se acoperă, $3\cdot 7$, nu schimbă asta. Pasul duce o valoare adevărată la următoarea, nu invers.

Ce se schimbă la clorul din bazin dacă doza de seară este de 40 g, nu de 30 g? Regula devine $s_{n+1}=\frac{3}{4}{s}_n+40$, iar constanta formulei se schimbă în $160$: $s_n=160+40\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$, deci masa clorului nu coboară sub 160 g. Pasul se face la fel, cu constanta nouă. Verifici cu primul termen, ca la masa inițială: $s_1=\frac{3}{4}\cdot 200+40=190$ g, iar formula dă $160+30=190$ g.

Dacă un accesoriu e obligatoriu la toate dulapurile, câte variante rămân la 7 accesorii? Accesoriul obligatoriu nu mai alege nimic: rămân 6 accesorii opționale, deci $2^6=64$ de variante, nu $2^7=128$. Imaginile lor costă $64\cdot 35=2240$ lei și încap în bugetul de 3 000 de lei, deși atelierul are în continuare 7 accesorii.

Ce loc are inducția în programa pentru Bacalaureatul M3 și în probele lui? Programa de examen M_tehnologic o trece în primul bloc al clasei a IX-a. Indexul cerințelor, făcut pe cele 83 de probe oficiale 2013–2026, nu are nicio cerință cu inducția ca temă. Fiind în programă, poate fi cerută; exercițiile 9–12 o exersează pe logică, pe mulțimi și pe șiruri.