Test tehnologic: reper, pantă și ecuația dreptei

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Geometrie analitică

Exerciții

Partea I – Calcule directe (30 de puncte)

Exercițiile din Partea I au câte 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Punctele $A (- 13, 6)$ și $B (9, - 14)$ sunt date în reperul cartezian $x O y$ . Determinați coordonatele mijlocului segmentului $A B$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Pe planul unui câmp irigat, o unitate de pe fiecare axă reprezintă 2 m. Pompa este în punctul $P (- 7, 5)$ , iar rezervorul în punctul $R (17, - 5)$ . Conducta dintre ele se pune în linie dreaptă. Calculează lungimea conductei, în metri.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Banda înclinată care urcă pietrișul în buncărul unei stații de betoane are piciorul la înălțimea de 0,9 m, iar capătul de sus la 4,5 m; pe orizontală, între cele două capete sunt 12 m. Calculează panta benzii, în procente, și înălțimea la care se află banda deasupra unui stâlp de susținere montat la 8 m pe orizontală de picior.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Punctul $A (a + 2, 5 a - 16)$ , cu $a$ număr real, este dat în reperul cartezian $x O y$ . Calculați numărul real $a$ pentru care punctul $A$ aparține dreptei de ecuație $y = 9 x - 26$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pe schița unui atelier, o conductă urmează dreapta de ecuație $13 x - 6 y + 78 = 0$ . Care este panta conductei?

Variantele: a) $- \frac{13}{6}$ ; b) $\frac{13}{6}$ ; c) $\frac{6}{13}$ ; d) $- \frac{6}{13}$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Fișa tehnică a unei fabrici de conserve dă densitatea saramurii: 1,086 g/cm³ la concentrația de 12 % sare și 1,166 g/cm³ la 22 %; între aceste valori, densitatea crește liniar cu concentrația. Scrie ecuația densității $d$ , în g/cm³, în funcție de concentrația $c$ , în procente, și află ce concentrație are o saramură cu densitatea de 1,134 g/cm³.

Partea a II-a – Probleme de atelier și de șantier (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pe planul unei hale, în care o unitate de pe axe este un metru, se montează un cablu electric între trei puncte: $A (- 6, 2)$ , $B (3, - 10)$ și $C (19, 2)$ . Cablul costă 12,40 lei pe metru.

a) (5 puncte) Calculează lungimea traseului $A \to B \to C$ .

b) (5 puncte) Dacă se alege traseul direct de la $A$ la $C$ , câți metri de cablu și câți lei se economisesc?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Pe desenul de execuție al unui bolț strunjit, în milimetri, axa bolțului este axa $O x$ , iar conturul de sus al bolțului trece, de la stânga la dreapta, prin punctele $A (0, 18)$ , $B (15, 18)$ , $C (30, 9)$ și $D (30, 0)$ : $A B$ este partea cilindrică, $B C$ partea conică, iar $C D$ fața de capăt.

a) (5 puncte) Calculează pantele segmentelor $A B$ și $B C$ și explică de ce segmentul $C D$ nu are pantă.

b) (5 puncte) Prelungită, muchia conică $B C$ ar tăia axa bolțului în punctul $V$ , vârful conului. Scrie ecuația dreptei $B C$ și află coordonatele lui $V$ .

Exercițiul 9 (10 puncte)

Grosimea plăcuțelor unei frâne scade liniar cu distanța parcursă. Un mecanic măsoară 11,4 mm după 8 mii de km și 8,4 mm după 20 de mii de km.

a) (5 puncte) Scrie ecuația grosimii $y$ , în milimetri, în funcție de distanța $x$ , în mii de km, și spune ce arată semnul pantei.

b) (5 puncte) Ce grosime au plăcuțele după 30 000 km? Pentru ce distanțe, în km, grosimea lor rămâne de cel puțin 3 mm, grosimea minimă admisă?

Partea a III-a – Model de examen și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Punctele $A (- 10, 19)$ și $B (- 5, 7)$ sunt date în reperul cartezian $x O y$ .

a) (5 puncte) Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$ .

b) (5 puncte) Determinați ecuația dreptei $A B$ .

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ , știind că dreapta $A B$ conține punctul $C (5, a)$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe planul de amenajare al unui parc, în care o unitate este un metru, o peluză triunghiulară are colțurile $A (22, 21)$ , $B (4, - 3)$ și $C (- 20, 15)$ .

a) (5 puncte) Calculează lungimile laturilor peluzei și arată că ea este un triunghi dreptunghic isoscel.

b) (5 puncte) Aspersoarele de udare se montează în mijloacele laturilor: $P$ pe $A B$ , $Q$ pe $B C$ și $M$ pe ipotenuza $A C$ . Determină coordonatele punctelor $P$ , $Q$ și $M$ .

c) (5 puncte) Calculează distanțele $P Q$ și $B M$ și arată că fiecare dintre ele este jumătate din ipotenuza $A C$ .

Barem și răspunsuri

În barem, rezolvările sunt scrise pe pași, iar punctele fiecărui pas stau între paranteze; o altă cale corectă primește același număr de puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate. La Partea a III-a, un rezultat corect, dar fără calcule și fără justificare, nu ia tot punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor: $x_{M} = \frac{- 13 + 9}{2} = - 2$ și $y_{M} = \frac{6 + ( - 14 )}{2} = - 4$ (3 p). Deci mijlocul este $M (- 2, - 4)$ (2 p). Verificare: distanțele de la $M$ la capete sunt egale, $M A = 1 1^{2} + 1 0^{2} = 221$ și $M B = 1 1^{2} + 1 0^{2} = 221$ . Cine adună coordonatele și uită să împartă la 2 obține $(- 4, - 8)$ .

Exercițiul 2.

Diferențele de coordonate sunt $17 - (- 7) = 24$ și $- 5 - 5 = - 10$ , deci $P R = 2 4^{2} + (- 10)^{2} = 576 + 100 = 676 = 26$ unități (3 p). Fiecare unitate are 2 m, deci conducta are $26 \cdot 2 = 52$ m (2 p). Verificare: o distanță directă este mai mică decât suma diferențelor, $26 < 24 + 10 = 34$ , și mai mare decât cea mai mare diferență, $26 > 24$ . Cine uită scara spune 26 m, adică jumătate din lungimea reală.

Exercițiul 3.

Banda urcă $4, 5 - 0, 9 = 3, 6$ m pe 12 m orizontali (1 p). Panta este $m = \frac{3 , 6}{12} = 0, 3$ (1 p), adică $30 %$ (1 p). Pe 8 m orizontali banda urcă $0, 3 \cdot 8 = 2, 4$ m, deci deasupra stâlpului se află la $0, 9 + 2, 4 = 3, 3$ m (2 p). Verificare: din capătul de sus, cu 4 m înapoi pe orizontală, $4, 5 - 0, 3 \cdot 4 = 3, 3$ m. Cine uită înălțimea de la care pornește banda spune 2,4 m.

Exercițiul 4.

Punctul $A$ se află pe dreaptă dacă îi verifică ecuația: $5 a - 16 = 9 (a + 2) - 26$ (3 p). Desfacem paranteza: $5 a - 16 = 9 a - 8$ , deci $a = - 2$ (2 p). Verificare: pentru $a = - 2$ , $A (0, - 26)$ , iar $9 \cdot 0 - 26 = - 26$ . Cine scrie $9 a + 2 - 26$ în loc de $9 (a + 2) - 26$ obține $5 a - 16 = 9 a - 24$ și $a = 2$ .

Exercițiul 5.

Scoatem pe $y$ : din $13 x - 6 y + 78 = 0$ rezultă $6 y = 13 x + 78$ (1 p), deci $y = \frac{13}{6} x + 13$ (1 p). Panta este coeficientul lui $x$ , adică $\frac{13}{6}$ , deci răspunsul este $b)$ (3 p). Verificare: dreapta trece prin $(0, 13)$ și prin $(- 6, 0)$ , iar $\frac{13 - 0}{0 - ( - 6 )} = \frac{13}{6}$ . Cine scrie $- \frac{13}{6}$ aplică formula $- \frac{a}{b}$ fără semnul lui $b = - 6$ .

Exercițiul 6.

Panta este $\frac{1 , 166 - 1 , 086}{22 - 12} = \frac{0 , 08}{10} = 0, 008$ g/cm³ pentru fiecare procent (1 p). Din $d - 1, 086 = 0, 008 (c - 12)$ rezultă $d = 0, 008 c + 0, 99$ (2 p). Din $0, 008 c + 0, 99 = 1, 134$ rezultă $0, 008 c = 0, 144$ , deci $c = 18$ % (2 p). Verificare: $0, 008 \cdot 18 + 0, 99 = 1, 134$ , iar 18 % este între 12 % și 22 %, unde fișa garantează legea liniară. Cine împarte direct densitatea la pantă, uitând termenul liber, obține $1, 134 : 0, 008 = 141, 75$ %, o concentrație imposibilă.

Exercițiul 7.

a) (5 p) $A B = (3 - (- 6))^{2} + (- 10 - 2)^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ m (2 p), iar $B C = (19 - 3)^{2} + (2 - (- 10))^{2} = 256 + 144 = 400 = 20$ m (2 p). Traseul $A \to B \to C$ are $15 + 20 = 35$ m (1 p).

b) (5 p) Punctele $A$ și $C$ au aceeași ordonată, 2, deci $A C = 19 - (- 6) = 25$ m (2 p). Traseul direct este mai scurt cu $35 - 25 = 10$ m (1 p), iar economia este $10 \cdot 12, 40 = 124$ lei (2 p). Verificare: $A C$ nu poate fi mai mare decât $A B + B C$ , iar $25 < 35$ . Cine înmulțește prețul cu toată lungimea traseului $A \to B \to C$ , adică $35 \cdot 12, 40 = 434$ lei, calculează costul cablului, nu economia.

Exercițiul 8.

a) (5 p) $m_{A B} = \frac{18 - 18}{15 - 0} = 0$ : partea cilindrică este orizontală pe desen (2 p). $m_{B C} = \frac{9 - 18}{30 - 15} = \frac{- 9}{15} = - \frac{3}{5}$ : partea conică coboară spre capăt (2 p). Punctele $C$ și $D$ au aceeași abscisă, 30, deci la $C D$ diferența absciselor este 0 și raportul nu se poate calcula: segmentul este vertical și nu are pantă (1 p).

b) (5 p) Cu punctul $B$ și panta $- \frac{3}{5}$ : $y - 18 = - \frac{3}{5} (x - 15)$ , de unde $y = - \frac{3}{5} x + 27$ (3 p). Vârful $V$ este pe axa $O x$ , deci are ordonata 0: din $- \frac{3}{5} x + 27 = 0$ rezultă $x = 45$ , adică $V (45, 0)$ (2 p). Verificare: pentru $x = 30$ , $- \frac{3}{5} \cdot 30 + 27 = 9$ , ordonata lui $C$ . Cine ia panta cu semnul schimbat, $\frac{3}{5}$ , obține dreapta $y = \frac{3}{5} x + 9$ și vârful $(- 15, 0)$ , în stânga piesei.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Panta este $m = \frac{8 , 4 - 11 , 4}{20 - 8} = \frac{- 3}{12} = - 0, 25$ (2 p). Din $y - 11, 4 = - 0, 25 (x - 8)$ rezultă $y = - 0, 25 x + 13, 4$ (2 p). Panta negativă arată că grosimea scade cu $0, 25$ mm la fiecare 1 000 km parcurși (1 p).

b) (5 p) Pentru 30 000 km, adică $x = 30$ : $y = - 0, 25 \cdot 30 + 13, 4 = 5, 9$ mm (2 p). Grosimea rămâne de cel puțin 3 mm dacă $- 0, 25 x + 13, 4 \geq 3$ (1 p), adică $- 0, 25 x \geq - 10, 4$ ; împărțim la $- 0, 25$ și schimbăm sensul inegalității, deci $x \leq 41, 6$ (1 p). Plăcuțele sunt bune până la $41600$ km (1 p). Verificare: $- 0, 25 \cdot 20 + 13, 4 = 8, 4$ , valoarea măsurată la 20 de mii de km. Cine nu schimbă sensul inegalității scrie $x \geq 41, 6$ și socotește bune plăcuțele uzate. Cine ia $x = 30$ drept 30 000 în ecuație, fără să țină seama că $x$ este în mii de km, obține o grosime negativă.

Exercițiul 10.

a) (5 p) $A B = (- 5 - (- 10))^{2} + (7 - 19)^{2} = 25 + 144$ (3 p), adică $169 = 13$ (2 p).

b) (5 p) Panta este $m = \frac{7 - 19}{- 5 - ( - 10 )} = \frac{- 12}{5} = - \frac{12}{5}$ , iar $y - 19 = - \frac{12}{5} (x + 10)$ (3 p). Desfăcând paranteza, $y = - \frac{12}{5} x - 5$ (2 p).

c) (5 p) Punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt pe aceeași dreaptă dacă $m_{A C} = m_{A B}$ , adică $\frac{a - 19}{5 - ( - 10 )} = - \frac{12}{5}$ (2 p). Rezultă $\frac{a - 19}{15} = - \frac{12}{5}$ , deci $a - 19 = - 36$ și $a = - 17$ (3 p). Verificare: din ecuația de la b), $y = - \frac{12}{5} \cdot 5 - 5 = - 17$ , la fel.

Exercițiul 11.

a) (5 p) $A B = (4 - 22)^{2} + (- 3 - 21)^{2} = 324 + 576 = 900 = 30$ m și $B C = (- 20 - 4)^{2} + (15 - (- 3))^{2} = 576 + 324 = 30$ m, iar $A C = (- 20 - 22)^{2} + (15 - 21)^{2} = 1764 + 36 = 1800 = 302$ m, fiindcă $1800 = 900 \cdot 2$ (3 p). Cum $A B = B C$ , triunghiul este isoscel, iar $A B^{2} + B C^{2} = 900 + 900 = 1800 = A C^{2}$ arată, după reciproca teoremei lui Pitagora, că unghiul din $B$ este drept (2 p).

b) (5 p) Fiecare coordonată a unui mijloc este media coordonatelor de același fel ale capetelor (2 p): $P (\frac{22 + 4}{2}, \frac{21 + ( - 3 )}{2}) = P (13, 9)$ , $Q (\frac{4 + ( - 20 )}{2}, \frac{- 3 + 15}{2}) = Q (- 8, 6)$ și $M (\frac{22 + ( - 20 )}{2}, \frac{21 + 15}{2}) = M (1, 18)$ (3 p).

c) (5 p) $P Q = (- 8 - 13)^{2} + (6 - 9)^{2} = 441 + 9 = 450 = 152$ m, fiindcă $450 = 225 \cdot 2$ (2 p). $B M = (1 - 4)^{2} + (18 - (- 3))^{2} = 9 + 441 = 450 = 152$ m (2 p). Cum $\frac{A C}{2} = \frac{30 2}{2} = 152$ , ambele segmente sunt jumătate din ipotenuză (1 p): $P Q$ unește mijloacele a două laturi (linia mijlocie), iar $B M$ este mediana din vârful unghiului drept. Verificare: $P Q^{2} = B M^{2} = 450 = \frac{1800}{4} = \frac{A C ^{2}}{4}$ . Cine adună coordonatele capetelor fără să le împartă la 2 obține pentru $P$ punctul $(26, 18)$ , care nici nu este pe peluză.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică geometria analitică din clasa a IX-a, pentru filiera tehnologică, și se sprijină pe trei lecții: „Reper cartezian și plan de șantier, tehnologic”, „Panta la tehnologic: rampe, drumuri, acoperișuri” și „Ecuația dreptei pentru tehnologic: tarife”. Funcția de gradul I, dreapta și parabola, precum și vectorii sunt tratate în testele „Test tehnologic: funcții citite pe grafic”, „Test tehnologic: ecuația și funcția de gradul II” și „Test tehnologic: vectori, sume și unghiul dublu”.

Punctaj: 90 de puncte din exerciții, plus 10 puncte din oficiu, fac 100 de puncte.
Durata: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează singur, pe foaie, fără calculator; toate lungimile din test ies exacte. Coordonatele se scad pe axe, nu amestecat, iar lungimile și mărimile se scriu cu unitatea lor. La Partea a III-a se scrie fiecare pas, altfel un rezultat corect nu ia punctajul subpunctului. Ghidajul ia exercițiul pe bucăți, cu o întrebare cu patru variante și apoi cu numere de calculat; dacă alegi greșit, afli ce ai făcut greșit. Îl pornești doar când exercițiul nu iese.
La 90 de puncte sau mai mult: geometria analitică îți este familiară și treci mai departe.
De la 75 la 89 de puncte: refaci, cu ghidajul deschis, exercițiile greșite.
De la 60 la 74 de puncte: pentru exercițiile la care ai luat sub jumătate dintre puncte, găsești în tabel lecția potrivită, o citești și refaci exercițiul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: citești din nou cele trei lecții, una după alta, și lucrezi testul cu ghidajul deschis de la început.
Formule de reținut: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; mijlocul $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ ; panta $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , pentru $x_{B} \neq = x_{A}$ ; un segment orizontal are panta 0, iar unul vertical ( $x_{B} = x_{A}$ ) nu are pantă; trei puncte $A$ , $B$ , $C$ , cu $x_{B} \neq = x_{A}$ și $x_{C} \neq = x_{A}$ , sunt pe aceeași dreaptă dacă $m_{A B} = m_{A C}$ ; $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ ; la $a x + b y = c$ , cu $b \neq = 0$ , panta este $- \frac{a}{b}$ ; dreapta $y = m x + n$ taie axele în $(0; n)$ și, pentru $m \neq = 0$ , în $(- \frac{n}{m}; 0)$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 2, 7, 11	mijlocul și distanța în reper, unitatea de pe plan, lungimea unui traseu, triunghiul dreptunghic isoscel, mijloacele laturilor, linia mijlocie și mediana pe ipotenuză	Reper cartezian și plan de șantier, tehnologic
3, 5, 8	panta în procente și folosită pentru o înălțime, panta din ecuația generală, panta zero și segmentul vertical, semnul pantei	Panta la tehnologic: rampe, drumuri, acoperișuri
4, 6, 9, 10	ecuația dreptei prin două puncte, punct pe dreaptă cu parametru, intersecția cu axele, model liniar	Ecuația dreptei pentru tehnologic: tarife

Exercițiile 1, 4 și 10 au marcajul „tip Bacalaureat M3”: formatul lor este cel al cerinței 5 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026 (mijlocul unui segment, un punct cu coordonate cu parametru aflat pe o dreaptă; apoi distanța, ecuația dreptei și un punct aflat pe ea), cu puncte și drepte noi.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); testul acoperă unitatea «IX.3. Geometrie analitică», în care intră toate cele unsprezece exerciții. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, reperul cartezian face parte din programa de examen la clasa a IX-a, iar distanța dintre două puncte, ecuația dreptei, paralelismul, liniile importante din triunghi și calculul unor arii, la clasa a X-a. Mijlocul unui segment și panta nu sunt numite în acea programă, deși apar în cerințe: mijlocul la exercițiile 1 și 11 b), panta, calculată sau folosită ca regulă, la exercițiile 3, 5, 6, 8, 9 și 10. Cerințele cu reper, distanță sau mijloc se găsesc în 80 dintre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026, cele cu ecuația dreptei în 5 probe, iar panta, ca regulă de calcul, în 2 probe.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.