Test tehnologic: inele, corpuri și polinoame

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Inele și corpuri

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Care dintre structurile de mai jos, cu adunarea și înmulțirea, este inel?

Variantele: a) „$(\mathbb{N},+,\cdot )$”; b) „$(\{-1;0;1\},+,\cdot )$”; c) „$({\mathbb{Z}}_{18},+,\cdot )$”; d) „$({\mathbb{Z}}^{\ast },+,\cdot )$, adică întregii nenuli”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

În inelul $({\mathbb{Z}}_{30},+,\cdot )$, află cel mai mic număr natural nenul $x$ pentru care $\hat{6}\cdot \hat{x}=\hat{0}$, apoi spune dacă inelul ${\mathbb{Z}}_{30}$ este corp.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se consideră polinomul $f=(X^2+5X-3)(X^2-5X+2)-X^4+26X^2$. Calculează $f(2)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează, cu tabelul lui Horner, restul împărțirii polinomului $f=X^4-6X^3+2X-9$ la $X-5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determină numărul real $m$ pentru care polinomul $f=X^3+(m-1)X^2-mX-12$ se împarte exact la $X-3$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3-12X^2+35X-24$. Cât este $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$?

Variantele: a) „$\frac{24}{35}$”; b) „$\frac{1}{2}$”; c) „$\frac{35}{24}$”; d) „$-\frac{35}{24}$”.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un depozit de legume etichetează fiecare ladă cu un cod de patru cifre $abcd$, urmat de o cifră de control $r$, egală cu restul împărțirii numărului $4a+5b+3c+7d$ la 11.

a) (5 puncte) Calculează cifra de control a codului 6294.

b) (5 puncte) O ladă are codul $7b53$ și cifra de control 6. Află cifra $b$, între 0 și 9, rezolvând în ${\mathbb{Z}}_{11}$ ecuația care iese din regula de control, și arată de ce soluția este unică.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Abaterea de la centrare a arborelui cotit al unui motor, în sutimi de milimetru, la $x$ sute de rotații pe minut, este valoarea polinomului $e=2X^4-13X^2+mX+20$, pentru $0\le x\le 4$, unde $m$ este un reglaj (model din exercițiu).

a) (5 puncte) Pentru $m=9$, împarte $e$ la $X-3$ cu tabelul lui Horner și spune ce arată restul.

b) (5 puncte) Află $m$ pentru care abaterea se anulează la 100 de rotații pe minut și scrie câtul împărțirii lui $e$ la $X-1$.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Trei bare de oțel-beton au lungimile $x_1$, $x_2$, $x_3$, în metri, egale cu rădăcinile polinomului $L=X^3-17X^2+mX-112$, cu $m$ număr real. Două dintre bare au împreună 15 m.

a) (5 puncte) Află lungimea celei de-a treia bare și valoarea lui $m$.

b) (5 puncte) Află lungimile celorlalte două bare și verifică rezultatul cu relația lui Viète pentru suma produselor câte două.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră polinomul $f=X^3-6X^2+mX+30$, cu $m$ număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=5$, arătați că $f(-1)=18$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ se împarte exact la $X+2$.

c) (5 puncte) Pentru $m=-1$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră polinomul $f=X^3-10X^2+mX-24$, cu $m$ număr real, și rădăcinile lui $x_1$, $x_2$, $x_3$.

a) (5 puncte) Arătați că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=100-2m$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2=3m-5$.

c) (5 puncte) Pentru $m=21$, arătați că $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)=12$.

Barem și răspunsuri

Baremul scrie punctele fiecărui pas între paranteze și acceptă orice alt drum corect, cu aceleași puncte. În Partea a III-a rezultatul singur nu ajunge: fără calcul și justificare subpunctul rămâne fără puncte. Rezultatele finale apar îngroșate; propoziția „Verificare” nu primește puncte.

Exercițiul 1.

În a), $(\mathbb{N},+,\cdot )$ nu este inel, fiindcă $5+y=0$ nu are soluție în $\mathbb{N}$: lipsesc opusele; în b), $1+1=2\notin \{-1;0;1\}$, deci adunarea nu este internă; în d), $1+(-1)=0\notin {\mathbb{Z}}^{\ast }$, deci suma iese din mulțime și lipsește și elementul nul (3 p). În c), adunarea și înmulțirea claselor sunt interne, cu nul $\hat{0}$, unitate $\hat{1}$ și opus $\widehat{18-a}$ pentru fiecare clasă $\hat{a}\ne \hat{0}$, deci este inel, iar răspunsul este $\mathbf{c})$ (2 p). Verificare: în ${\mathbb{Z}}_{18}$, $\hat{5}+\widehat{13}=\widehat{18}=\hat{0}$, deci $\widehat{13}$ este opusul lui $\hat{5}$. Cine alege a) a verificat doar că suma și produsul a două numere naturale sunt naturale și a uitat opusele.

Exercițiul 2.

Egalitatea $\hat{6}\cdot \hat{x}=\hat{0}$ înseamnă că $6x$ se împarte exact la 30 (2 p). Cum $30=6\cdot 5$, produsul $6x$ este multiplu de 30 exact când $x$ este multiplu de 5 (1 p), deci cel mai mic număr natural nenul este $x=5$ (1 p). Clasele $\hat{6}$ și $\hat{5}$ sunt nenule, iar produsul lor este $\hat{0}$; într-un corp, produsul a două elemente nenule nu poate fi nul, deci ${\mathbb{Z}}_{30}$ nu este corp (1 p). Verificare: $6\cdot 5=30$, iar pentru $x$ de la 1 la 4 produsul $6x$ ajunge cel mult la 24 și nu se împarte la 30. Cine caută $x$ cu $6+x=30$ confundă produsul cu suma.

Exercițiul 3.

Produsul este $(X^2+5X-3)(X^2-5X+2)=X^4+0\cdot X^3-26X^2+25X-6$ (3 p), deci $f=X^4-26X^2+25X-6-X^4+26X^2=25X-6$ (1 p) și $f(2)=25\cdot 2-6=44$ (1 p). Verificare: $f(1)$ din factori este $3\cdot (-2)-1+26=19$, iar din $25X-6$ este tot 19. Cine înmulțește doar termenii extremi, $X^2\cdot X^2$ și $(-3)\cdot 2$, uită termenii de mijloc și nu observă că $X^4$ și $X^2$ dispar.

Exercițiul 4.

Coeficienții, cu 0 la puterea lipsă $X^2$, sunt $1,-6,0,2,-9$ (1 p). Tabelul lui Horner pentru $a=5$ are rândul de jos $1;-1;-5;-23;-124$ (3 p), deci restul este $-124$ (1 p). Verificare: $f(5)=625-750+10-9=-124$. Cine uită coeficientul 0 al lui $X^2$ completează tabelul cu patru coeficienți și obține restul $-24$.

Exercițiul 5.

Împărțirea exactă la $X-3$ înseamnă $f(3)=0$ (1 p). Avem $f(3)=27+9(m-1)-3m-12=6+6m$ (3 p), iar $6+6m=0$ dă $m=-1$ (1 p). Verificare: pentru $m=-1$, $f=X^3-2X^2+X-12$ și $f(3)=27-18+3-12=0$. Cine ia $X-3=X-(-3)$ calculează $f(-3)=12m-48$ și obține $m=4$.

Exercițiul 6.

Din relațiile lui Viète, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=35$ și $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{-24}{1}=24$ (2 p). Aducând fracțiile la numitorul comun $x_1{x}_2{x}_3$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{35}{24}$, iar răspunsul este $\mathbf{c})$ (3 p). Verificare: rădăcinile sunt 1, 3 și 8, iar $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{24+8+3}{24}=\frac{35}{24}$. Varianta a) este fracția răsturnată, b) este suma rădăcinilor împărțită la produsul lor, $\frac{12}{24}$, iar d) ia produsul rădăcinilor $-24$, cu semnul greșit.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Calculezi $4\cdot 6+5\cdot 2+3\cdot 9+7\cdot 4=24+10+27+28$ (2 p), adică 89 (1 p). Restul împărțirii lui 89 la 11 este 1, fiindcă $89=8\cdot 11+1$, deci cifra de control este $1$ (2 p).

b) (5 p) Regula dă $4\cdot 7+5b+3\cdot 5+7\cdot 3=64+5b$, care trebuie să aibă restul 6 la 11 (1 p). Cum $64=5\cdot 11+9$, ecuația este $\hat{9}+\hat{5}\hat{b}=\hat{6}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$, deci $\hat{5}\hat{b}=\hat{6}-\hat{9}=\hat{8}$ (1 p). Numărul 11 este prim, deci ${\mathbb{Z}}_{11}$ este corp, iar $\hat{5}$ are invers: $5\cdot 9=45=4\cdot 11+1$, adică ${\hat{5}}^{-1}=\hat{9}$ (1 p). Atunci $\hat{b}=\hat{9}\cdot \hat{8}=\widehat{72}=\hat{6}$, deci $b=6$ (1 p); soluția este unică, fiindcă într-un corp ecuația $\hat{a}x=\hat{c}$ cu $\hat{a}\ne \hat{0}$ are o singură soluție (1 p).

Verificare: a) $88=8\cdot 11$, deci restul lui 89 este 1. b) Codul 7653 dă $28+30+15+21=94=8\cdot 11+6$, deci cifra de control 6. Cine „împarte” $8:5=1,6$, ca la numerele obișnuite, obține o cifră care nu există.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Coeficienții sunt $2,0,-13,9,20$, cu 0 la puterea lipsă $X^3$ (1 p). Tabelul lui Horner pentru $a=3$ are rândul de jos $2;6;5;24;92$ (3 p). Restul, $92$, este valoarea $e(3)$, adică abaterea la 300 de rotații pe minut: 92 de sutimi de milimetru (1 p).

b) (5 p) 100 de rotații pe minut înseamnă $x=1$, deci abaterea se anulează dacă $e(1)=0$ (1 p). Cum $e(1)=2-13+m+20=m+9$, rezultă $m=-9$ (2 p). Pentru coeficienții $2,0,-13,-9,20$ și $a=1$, rândul de jos este $2;2;-11;-20;0$, deci câtul este $2{\mathbf{X}}^3+2{\mathbf{X}}^2-11X-20$ (2 p).

Verificare: a) $e(3)=162-117+27+20=92$. b) $(X-1)(2X^3+2X^2-11X-20)=2X^4-13X^2-9X+20$. Cine ia $x=100$ în loc de $x=1$ uită că $x$ se măsoară în sute de rotații pe minut.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Suma rădăcinilor este $x_1+x_2+x_3=17$ (1 p), iar două bare au împreună 15 m, deci a treia are $17-15=2$ m (1 p). Numărul 2 este rădăcină, deci $L(2)=8-68+2m-112=2m-172=0$, de unde $m=86$ (3 p).

b) (5 p) Celelalte două bare au suma 15 și produsul $\frac{112}{2}=56$ (2 p), deci sunt rădăcinile ecuației $t^2-15t+56=0$, adică $7$ m și $8$ m (2 p). Suma produselor câte două este $7\cdot 8+2\cdot (7+8)=56+30=86=m$ (1 p).

Verificare: $7+8+2=17$ și $7\cdot 8\cdot 2=112$, ca în polinom. Cine ia produsul celor două bare egal cu 112, produsul celor trei, ajunge la ecuația $t^2-15t+112=0$, fără rădăcini reale.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Pentru $m=5$, $f(-1)=(-1{)}^3-6\cdot (-1{)}^2+5\cdot (-1)+30$ (3 p), adică $-1-6-5+30=18$ (2 p).

b) (5 p) Divizibilitatea cu $X+2=X-(-2)$ cere $f(-2)=0$ (2 p). Cum $f(-2)=-8-24-2m+30=-2-2m$, rezultă $m=-1$ (3 p).

c) (5 p) Pentru $m=-1$, $f=X^3-6X^2-X+30$, iar din b) avem $f(-2)=0$. Tabelul lui Horner pentru $a=-2$ are rândul de jos $1;-8;15;0$, deci $f=(X+2)(X^2-8X+15)$ (2 p). Trinomul are $\Delta =64-60=4$ și rădăcinile 3 și 5, deci rădăcinile lui $f$ sunt $-2$, $3$ și $5$ (3 p).

Verificare: a) cu paranteze, $(-1{)}^3=-1$ și $(-1{)}^2=1$; b) pentru $m=-1$, $f(-2)=-8-24+2+30=0$; c) $-2+3+5=6$ și $(-2)\cdot 3\cdot 5=-30$, ca la Viète. Cine ia pătratul lui $-1$ egal cu $-1$ obține la a) un alt rezultat.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=10$ și $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m$ (2 p). Atunci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)=100-2m$ (3 p).

b) (5 p) Din a), egalitatea cerută devine $100-2m=3m-5$ (3 p), deci $5m=105$ și $m=21$ (2 p).

c) (5 p) Pentru $m=21$, $x_1+x_2+x_3=10$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=21$ și $x_1{x}_2{x}_3=24$ (3 p). Desfaci produsul: $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)=x_1{x}_2{x}_3-(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)+(x_1+x_2+x_3)-1=24-21+10-1=12$ (2 p).

Verificare: a) pentru $m=28$, polinomul $X^3-10X^2+28X-24$ are rădăcinile 2, 2 și 6, iar $4+4+36=44=100-56$; b) $100-42=58$ și $3\cdot 21-5=58$; c) produsul este $-f(1)$, iar $f(1)=1-10+21-24=-12$. Cine ia produsul rădăcinilor egal cu $-24$ ratează semnul: $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}=24$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică inelele, corpurile și polinoamele clasei a XII-a, filiera tehnologică, pe cele șase lecții ale lor: „Inelul și exemplele numerice pentru tehnologic”, „Când ℤₙ este corp: la tehnologic”, „Polinoame: grad, coeficienți, adunare, tehnologic”, „Bac tehnologic: tabelul lui Horner pas cu pas”, „Bézout pentru tehnologic: x − a divide polinomul” și „Rădăcini și Viète de gradul 3 la tehnologic”. Legile de compoziție, grupurile și morfismele au avut testul lor, cel dinainte.

• Punctaj: exercițiile dau cel mult 90 de puncte, iar încă 10 puncte din oficiu duc totalul la 100.
• Timp de lucru: 50 de minute.
• Cum se lucrează: singur, fără calculator, cu toate calculele scrise; la Partea a III-a un rezultat corect, dar nejustificat, nu primește punctele subpunctului. Fiecare exercițiu are în ghidaj câțiva pași: o grilă cu patru variante, apoi numere de calculat, iar răspunsurile greșite la grilă sunt explicate. Folosești ghidajul doar la exercițiile care nu ies.
• 90–100 de puncte: inelele, corpurile și polinoamele sunt în regulă; poți trece la primitive și integrale.
• 75–89 de puncte: refaci cu ghidajul exercițiile în care ai pierdut puncte.
• 60–74 de puncte: deschizi lecțiile indicate în tabel pentru exercițiile la care ai luat sub jumătate dintre puncte și reiei testul după o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi cele șase lecții în ordine, apoi lucrezi testul de la început cu ghidajul.
• Formule de reținut: în ${\mathbb{Z}}_n$, $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$, $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$ și $-\hat{a}=\widehat{n-a}$; un inel are adunare internă, asociativă, comutativă, cu nul și cu opus pentru fiecare element, și înmulțire internă, asociativă, cu unitate, distributivă față de adunare, iar $\mathbb{N}$ nu este inel, fiindcă nu are opuse; ${\mathbb{Z}}_n$ este corp exact când $n$ este prim, iar pentru $n=d\cdot e$ compus, cu $d,e\ge 2$, $\hat{d}\cdot \hat{e}=\hat{0}$; în ${\mathbb{Z}}_p$, cu $\hat{a}\ne \hat{0}$, $\hat{a}x=\hat{b}$ dă $x={\hat{a}}^{-1}\cdot \hat{b}$; gradul unui produs de polinoame este suma gradelor, $f(0)$ este termenul liber, iar $f(1)$ este suma coeficienților; $f=(X-a)q+f(a)$, cu tabelul lui Horner $b_0=a_n$ și $b_k=a_{n-k}+a{b}_{k-1}$, scris cu 0 la puterile care lipsesc; $(X-a)\mid f⟺f(a)=0$, iar la $X+4$ se ia $a=-4$; la un polinom de gradul 3 cu coeficienții $a$, $b$, $c$, $d$ în ordinea descrescătoare a puterilor, relațiile lui Viète sunt $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ și $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$, de unde suma pătratelor este $S_1^2-2S_2$, iar suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}$, cu $S_3\ne 0$.

La exercițiile 10 și 11, marcate „tip Bacalaureat M3”, un polinom dat are trei cerințe de câte 5 puncte, ca la problema 2 din Subiectul al II-lea, dar cu polinoame și numere care nu apar în probele oficiale 2013–2026.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Polinoamele sunt materia problemei 2 din Subiectul al II-lea; în probele oficiale 2013–2026, forma algebrică și valoarea unui polinom au apărut în 29 de probe, împărțirea polinoamelor și tabelul lui Horner în 16 probe, divizibilitatea și teorema lui Bézout în 17 probe, iar rădăcinile și relațiile lui Viète în 29 de probe. Inelul și corpul fac parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 2, dar nu au apărut în probele 2013–2026; fiind în programă, pot fi cerute. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.