Test tehnologic: numere complexe

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: numere complexe

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Scrie sub forma $a+bi$ numărul $z=3i^5-2i^6+i^7-4$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Partea imaginară a produsului $(6-2i)(3+5i)$ este:

Variantele: a) „24”; b) „36”; c) „$-10$”; d) „30”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Calculează $(9+4i)(9-4i)-i^{10}$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează $\sqrt{z\cdot \bar{z}}$ pentru $z=20-21i$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\frac{100}{7+i}=a+ib$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor complexe ecuația $z^2+14z+53=0$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Doi consumatori sunt legați în serie la aceeași rețea. Impedanțele lor, în ohmi, sunt $Z_1=4+3i$ și $Z_2=6+5i$, iar curentul care trece prin ei, în amperi, este $I=2-2i$. Impedanța totală este suma impedanțelor, iar tensiunea pe un consumator este produsul dintre curent și impedanța lui.

a) (5 puncte) Calculează impedanța totală $Z=Z_1+Z_2$.

b) (5 puncte) Calculează tensiunile $U_1=I\cdot Z_1$ și $U_2=I\cdot Z_2$, în volți, și arată că suma lor este egală cu produsul $I\cdot Z$.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Ventilatorul de răcire al unui stivuitor electric este alimentat la 60 V și are impedanța $Z=15+20i$ ohmi. Curentul, în amperi, este câtul dintre tensiune și impedanță: $I=\frac{60}{15+20i}$.

a) (5 puncte) Scrie curentul $I$ sub forma $a+bi$, cu $a$ și $b$ numere zecimale exacte.

b) (5 puncte) Un ampermetru cu clește arată valoarea $\sqrt{I\cdot \bar{I}}$. Ce valoare arată și rezistă siguranța de 3 A a circuitului?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Poarta batantă a unui depozit are un amortizor. Mișcarea ei după un impuls verifică ecuația $9s^2+18s+13=0$, cu $s$ în s${}^{-1}$.

a) (5 puncte) Rezolvă ecuația în mulțimea numerelor complexe.

b) (5 puncte) Verifică soluțiile prin suma și produsul lor. Partea imaginară pozitivă a soluțiilor este frecvența unghiulară $\omega$, în rad/s; calculează perioada $T=\frac{2\pi }{\omega }$, în secunde, cu $\pi \approx 3,14$.

Partea a III-a – Cerințe de examen cu numere complexe (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Fiecare cerință se rezolvă separat, iar $i^2=-1$.

a) (5 puncte) Arătați că numărul $N=(10+3i{)}^2+(10-3i{)}^2$ este natural.

b) (5 puncte) Arătați că $(9+2i{)}^2-36i=77$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\frac{51}{4+i}=a+ib$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Ecuația caracteristică a unui filtru electronic este $s^2+12s+45=0$, cu $s$ în s${}^{-1}$. Cele trei cerințe se leagă între ele.

a) (5 puncte) Rezolvă ecuația în mulțimea numerelor complexe și notează soluțiile $s_1$, cea cu partea imaginară pozitivă, și $s_2$.

b) (5 puncte) Scrie câtul $\frac{s_1}{s_2}$ sub forma $a+bi$.

c) (5 puncte) Calculează $s_1^2+s_2^2$ folosind suma și produsul soluțiilor, apoi verifică rezultatul prin calcul direct.

Barem și răspunsuri

Rezolvările de mai jos sunt împărțite în pași, cu punctele între paranteze; o altă metodă corectă primește aceleași puncte. Răspunsurile finale sunt îngroșate. La Partea a III-a, subpunctul cere și calculele, și explicația, ca să aibă punctajul întreg.

Exercițiul 1.

Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: $i^5=i$, $i^6=i^2=-1$ și $i^7=i^3=-i$ (2 p). Atunci $z=3i-2\cdot (-1)+(-i)-4=3i+2-i-4$ (1 p), adică $z=-2+2i$ (2 p). Verificare: părțile reale sunt $2-4=-2$, iar cele imaginare $3-1=2$. Cine consideră $i^6$ egal cu $1$ obține partea reală $-6$, nu $-2$.

Exercițiul 2.

Se înmulțesc termenii: $(6-2i)(3+5i)=18+30i-6i-10i^2$ (2 p). Cu $i^2=-1$ rezultă $18+10+24i=28+24i$ (1 p), deci partea imaginară este $24$, adică varianta $\mathbf{a})$ (2 p). Verificare: varianta b) ar însemna $30+6$, cu semnul termenului $-6i$ greșit, c) este coeficientul lui $i^2$, iar d) uită termenul $-6i$.

Exercițiul 3.

Produsul cu conjugatul este suma pătratelor: $(9+4i)(9-4i)=81-16i^2=81+16=97$ (2 p). Puterea $i^{10}=(i^4{)}^2\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$ (2 p). Atunci $97-(-1)=98$ (1 p). Verificare: $9^2+4^2=97$. Cine ia $i^{10}$ egal cu $1$ obține 96.

Exercițiul 4.

Conjugatul lui $z$ este $\bar{z}=20+21i$ (1 p). Produsul este $z\cdot \bar{z}=20^2+21^2=400+441=841$ (2 p), iar $\sqrt{841}=29$ (2 p). Verificare: $29^2=841$. Cine scrie $z\cdot \bar{z}=20^2-21^2$ obține un număr negativ, de sub care nu se poate extrage rădăcina.

Exercițiul 5.

Se amplifică fracția cu conjugatul numitorului: $\frac{100}{7+i}=\frac{100(7-i)}{(7+i)(7-i)}=\frac{100(7-i)}{50}$ (3 p), deoarece $(7+i)(7-i)=49+1=50$. Rezultă $2(7-i)=14-2i$, deci $a=14$ și $b=-2$ (2 p). Verificare: $(14-2i)(7+i)=98+14i-14i-2i^2=100$.

Exercițiul 6.

Discriminantul este $\Delta =14^2-4\cdot 1\cdot 53=196-212=-16$ (2 p), deci $\sqrt{-\Delta }=4$ (1 p). Soluțiile sunt $z=\frac{-14\pm 4i}{2}$, adică $z_1=-7+2i$ și $z_2=-7-2i$ (2 p). Verificare: $z_1+z_2=-14$ și $z_1{z}_2=49+4=53$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Se adună separat părțile reale și părțile imaginare: $4+6=10$ (2 p) și $3+5=8$ (2 p), deci $Z=10+8i$ ohmi (1 p).

b) (5 p) $U_1=(2-2i)(4+3i)=8+6i-8i-6i^2=14-2i$ volți (2 p), iar $U_2=(2-2i)(6+5i)=12+10i-12i-10i^2=22-2i$ volți (2 p). Suma lor este $U_1+U_2=36-4i$, iar $I\cdot Z=(2-2i)(10+8i)=20+16i-20i-16i^2=36-4i$ volți, deci cele două valori coincid (1 p).

Exercițiul 8.

a) (5 p) Se amplifică cu conjugatul numitorului, $15-20i$: numitorul devine $15^2+20^2=625$, iar numărătorul $60\cdot (15-20i)=900-1200i$ (3 p). Împărțind la 625, partea reală este $1,44$, iar cea imaginară $-1,92$, deci $I=1,44-1,92i$ amperi (2 p).

b) (5 p) Produsul $I\cdot \bar{I}$ este suma pătratelor părților: $1,44^2+1,92^2=2,0736+3,6864=5,76$ (2 p). Ampermetrul arată $\sqrt{5,76}=2,4$ A (2 p). Cum $2,4<3$, siguranța de 3 A rezistă (1 p). Verificare: pe alt drum, $\frac{60}{\sqrt{15^2+20^2}}=\frac{60}{25}=2,4$. Cine amplifică numai numărătorul, nu și numitorul, rămâne cu numitor complex și nu poate citi părțile $a$ și $b$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Discriminantul este $\Delta =18^2-4\cdot 9\cdot 13=324-468=-144$, iar $\sqrt{144}=12$ (2 p). Formula dă $s=\frac{-18\pm 12i}{18}$ (1 p), adică $s_1=-1+\frac{2}{3}\mathbf{i}$ și $s_2=-1-\frac{2}{3}\mathbf{i}$ (2 p).

b) (5 p) Suma soluțiilor este $s_1+s_2=-2=-\frac{18}{9}$ (1 p), iar produsul lor este $s_1{s}_2=1+\frac{4}{9}=\frac{13}{9}$ (2 p), ca raportul $\frac{c}{a}=\frac{13}{9}$. Frecvența unghiulară este $\omega =\frac{2}{3}$ rad/s, deci $T=\frac{2\cdot 3,14}{\frac{2}{3}}=9,42$ s (2 p).

Exercițiul 10.

a) (5 p) Se dezvoltă pătratele: $(10+3i{)}^2=100+60i-9=91+60i$ și $(10-3i{)}^2=91-60i$ (2 p). Suma este $N=91+60i+91-60i=182$, număr natural (3 p).

b) (5 p) Pătratul sumei este $(9+2i{)}^2=81+36i+4i^2=81+36i-4=77+36i$ (3 p). Atunci $77+36i-36i=77$ (2 p).

c) (5 p) Se amplifică cu conjugatul numitorului: $\frac{51}{4+i}=\frac{51(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{51(4-i)}{17}$ (3 p). Rezultă $3(4-i)=12-3i$, deci $a=12$ și $b=-3$ (2 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) Discriminantul este $\Delta =12^2-4\cdot 45=144-180=-36$ (2 p), deci $s=\frac{-12\pm 6i}{2}$, adică $s_1=-6+3i$ și $s_2=-6-3i$ (3 p).

b) (5 p) Se amplifică cu conjugatul numitorului, adică cu $-6+3i$: $\frac{s_1}{s_2}=\frac{(-6+3i{)}^2}{(-6-3i)(-6+3i)}$, iar numitorul este $36+9=45$ (3 p). Numărătorul este $(-6+3i{)}^2=36-36i-9=27-36i$, deci $\frac{s_1}{s_2}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\mathbf{i}$ (2 p).

c) (5 p) Suma soluțiilor este $s_1+s_2=-12$, iar produsul lor este $s_1{s}_2=45$ (2 p). Atunci $s_1^2+s_2^2=(s_1+s_2{)}^2-2s_1{s}_2=144-90=54$ (2 p). Calculul direct: $(-6+3i{)}^2+(-6-3i{)}^2=(27-36i)+(27+36i)=54$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică numerele complexe din suplimentul clasei a X-a, prin cele trei lecții ale unității: „Numere complexe: forma algebrică, liceu tehnologic”, „Conjugat și cât de numere complexe, tehnologic” și „Soluții complexe de gradul II pentru tehnologic”. Calculele cu puteri, radicali și logaritmi rămân testului lor, iar ecuațiile din alte unități, testului de funcții și ecuații.

• Punctaj: exercițiile valorează în total 90 de puncte, iar oficiul adaugă 10 puncte din oficiu până la maximul de 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: testul se lucrează singur, pe foaie, fără calculator; peste tot $i^2=-1$. La exercițiile din meserii numerele complexe sunt mărimi electrice sau mecanice, cu partea reală și partea imaginară pe două coloane. La Partea a III-a contează și calculele, și explicația: un rezultat scris fără pași nu ia tot punctajul subpunctului. Ghidajul începe, la fiecare exercițiu, cu o întrebare cu patru răspunsuri posibile și trece apoi la calcule scurte, fiecare cu numărul lui; îl deschizi doar dacă te blochezi.
• Cu 90–100 de puncte: numerele complexe sunt stăpânite; continui cu testul de funcții și ecuații.
• Cu 75–89 de puncte: ghidajul te ajută să refaci numai exercițiile la care îți lipsesc puncte.
• Cu 60–74 de puncte: te întorci la lecțiile din tabel pentru exercițiile rezolvate sub jumătate, apoi repeți testul după șapte zile.
• Cu sub 60 de puncte: reiei de la prima lecție a unității, lucrezi ghidajul de la primul exercițiu și abia după aceea scrii testul din nou.
• Formule de reținut: $(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$; $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ și $(a+bi{)}^2=(a^2-b^2)+2abi$; $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$; $\overline{a+bi}=a-bi$ și $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$; câtul $\frac{a+bi}{c+di}$ se află, când $c+di\ne 0$, amplificând cu $c-di$, iar numitorul devine $c^2+d^2$; pentru $\Delta =b^2-4ac<0$, soluțiile sunt $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$, iar $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ și $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$.

Marcajul „tip Bacalaureat M3” îl au exercițiile 5 și 10, făcute după cele trei cerințe reale cu numere complexe din Subiectul I al probelor oficiale (un pătrat de binom, o sumă de pătrate și un cât cu numărător real), dar cu alte numere și alte rezultate.

Programa și examenul. Testul de numere complexe ține de suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029. Forma algebrică, conjugatul, câtul și ecuația de gradul al doilea în mulțimea numerelor complexe sunt cuprinse în programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a); programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu le prevede sau le prevede doar parțial. Dintre probele oficiale 2013–2026, 3 au cerut forma algebrică, iar una singură conjugatul și câtul, întotdeauna la Subiectul I; ecuația de gradul al doilea în numere complexe nu s-a dat încă, însă poate fi cerută, fiindcă figurează în programă. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) numerele complexe nu mai sunt în programa de examen. Cine a intrat în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dă Bacalaureatul din 2030 încolo (OMEC 4138/2026), pe programele noi, iar promoțiile 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.