Test tehnologic: teoremele cosinusului și sinusurilor

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Două conducte de ventilație pornesc din același nod și fac între ele un unghi de $60^{\circ }$. Una are 40 m, cealaltă 7 m. Capetele lor se leagă cu o a treia conductă, dreaptă. Calculează lungimea ei, în metri.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Laturile unui triunghi au 16 cm, 19 cm și 21 cm. Care este măsura unghiului din fața laturii de 19 cm?

Variantele: a) „$30^{\circ }$”; b) „$60^{\circ }$”; c) „$90^{\circ }$”; d) „$120^{\circ }$”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=45^{\circ }$, $m(\angle B)=30^{\circ }$ și $AC=9$ cm. Calculează $BC$, scris ca radical.

Exercițiul 4 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, $AB=14$ cm, $AC=9$ cm și $m(\angle A)=52^{\circ }$, cu $\cos 52^{\circ }\approx 0,6157$. Care dintre relațiile de mai jos dă pătratul laturii $BC$?

Variantele: a) „$B{C}^2=14^2+9^2$”; b) „$B{C}^2=14^2+9^2-2\cdot 14\cdot 9\cdot \cos 52^{\circ }$”; c) „$B{C}^2={\left(\frac{14\cdot \sin 52^{\circ }}{9}\right)}^2$”; d) „$B{C}^2=14^2+9^2+2\cdot 14\cdot 9\cdot \cos 52^{\circ }$”.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=12$ și $AC=35$. Arătați că $\mathrm{tg}B=\frac{35}{12}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AC=5\cdot AB$ și $AC=30$. Arătați că aria lui este egală cu 90.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Pentru o tiroliană turistică peste o vale, punctele $A$ și $B$ sunt pe cele două versante. De pe versantul lui $A$ se alege punctul $C$, la $AC=120$ m de $A$, iar cu teodolitul se măsoară $m(\angle BAC)=68^{\circ }$ și $m(\angle BCA)=54^{\circ }$. Din tabel, $\sin 54^{\circ }\approx 0,8090$, $\sin 58^{\circ }\approx 0,8480$ și $\sin 68^{\circ }\approx 0,9272$.

a) (5 puncte) Calculează măsura unghiului $\angle ABC$ și lungimea cablului $AB$, în metri, cu o zecimală.

b) (5 puncte) Un al doilea cablu leagă punctele $B$ și $C$. Calculează lungimea $BC$, în metri, cu o zecimală, și cu câți metri este mai lung decât cablul $AB$.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un atelier de tâmplărie PVC taie dintr-o placă de policarbonat o copertină triunghiulară $ABC$, cu laturile $AB=25$ dm, $AC=39$ dm și $BC=40$ dm.

a) (5 puncte) Calculează $\cos A$ și $\sin A$, ca fracții ireductibile.

b) (5 puncte) Calculează aria copertinei, în dm², și costul plăcii tăiate, în lei, dacă policarbonatul costă 95 de lei pe metru pătrat.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Secțiunea transversală a unui solar este un triunghi isoscel $ABC$, cu baza $BC=7,2$ m și laturile egale $AB=AC=4,5$ m. Solarul are 25 m lungime, iar $M$ este mijlocul bazei $BC$.

a) (5 puncte) Calculează înălțimea $AM$, în metri, și $\cos B$, ca fracție ireductibilă.

b) (5 puncte) Calculează aria secțiunii, în m², și volumul solarului, în m³.

Partea a III-a – Triunghiul dreptunghic și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ și $BC=16$.

a) (5 puncte) Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $25+5\sqrt{7}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\sin C=\frac{9}{16}$.

c) (5 puncte) Calculați $\cos C$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) În triunghiul $ABC$, $AB=16$ cm, $AC=39$ cm și $m(\angle A)=120^{\circ }$.

a) (5 puncte) Calculează lungimea laturii $BC$.

b) (5 puncte) Calculează aria triunghiului $ABC$, scrisă ca radical.

c) (5 puncte) Calculează $\cos C$, ca fracție ireductibilă.

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare rezolvare apare pe pași, cu punctajul pasului între paranteze; se admite orice altă soluție corectă, cu același punctaj. La Partea a III-a, răspunsul scris fără calcule și fără justificare nu primește toate punctele subpunctului. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Conducta nouă este latura din fața unghiului de $60^{\circ }$, iar celelalte două conducte îl cuprind între ele, deci $c^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^{\circ }$ (2 p). Cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ rezultă $c^2=40^2+7^2-2\cdot 40\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=1600+49-280=1369$ (2 p), deci $c=37$ m (1 p). Verificare: pe alt drum, cu un capăt în $(40;0)$ și celălalt în $\left(3,5;\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)$, distanța este $\sqrt{36,5^2+\frac{147}{4}}=\sqrt{1332,25+36,75}=\sqrt{1369}=37$. Cine uită factorul 2 din formulă obține $c^2=1600+49-40\cdot 7\cdot \frac{1}{2}=1509$, adică aproximativ 38,8 m, cu 1,8 m mai mult.

Exercițiul 2.

Unghiul căutat este cel din fața laturii de 19 cm, iar celelalte două laturi îl cuprind: $\cos x=\frac{16^2+21^2-19^2}{2\cdot 16\cdot 21}$ (1 p). Numărătorul este $256+441-361=336$, iar numitorul 672, deci $\cos x=\frac{336}{672}=\frac{1}{2}$ (2 p), adică $x=60^{\circ }$: răspunsul este $\mathbf{b})$ (2 p). Verificare: celelalte variante nu au cosinusul $\frac{1}{2}$, fiindcă $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 90^{\circ }=0$ și $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Cine scrie semnul plus în fața produsului cu cosinus obține $\cos x=-\frac{1}{2}$, adică varianta d): un unghi obtuz, care ar sta în fața laturii celei mai lungi, iar 19 cm nu este cea mai lungă latură.

Exercițiul 3.

Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, iar latura $AC$ stă în fața unghiului $B$, deci $\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 30^{\circ }}$ (2 p). Rezultă $BC=\frac{9\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$ (1 p), adică $BC=9\sqrt{2}$ cm (2 p). Verificare: $9\sqrt{2}\approx 12,7$ cm este mai mare decât $AC=9$ cm, cum cere unghiul $A$, mai mare decât unghiul $B$; în plus, $(9\sqrt{2}{)}^2=162$.

Exercițiul 4.

Triunghiul are două laturi și unghiul dintre ele, iar $BC$ stă în fața acestui unghi, deci se folosește teorema cosinusului (2 p). Relația este $B{C}^2=14^2+9^2-2\cdot 14\cdot 9\cdot \cos 52^{\circ }$, varianta $\mathbf{b})$ (2 p). Cu valoarea din tabel, $B{C}^2=277-252\cdot 0,6157\approx 121,8$ (1 p). Verificare: celelalte variante sunt false: $14^2+9^2=277$ este pătratul lui $BC$ numai la un unghi drept, iar $\cos 52^{\circ }>0$ face ca $B{C}^2$ să fie mai mic decât 277; varianta cu plus dă $277+252\cdot 0,6157\approx 432,2$, iar ${\left(\frac{14\cdot \sin 52^{\circ }}{9}\right)}^2\approx 1,5$ ar face din $BC$ o latură de aproximativ 1,2 cm, mult sub $14-9=5$ cm, cât este minimul unei laturi a unui triunghi cu laturile de 14 cm și 9 cm.

Exercițiul 5.

Triunghiul are unghi drept în $A$, deci pentru unghiul $B$ cateta opusă este $AC$, iar cateta alăturată este $AB$ (3 p). Rezultă $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{35}{12}$ (2 p). Verificare: ipotenuza este $BC=\sqrt{144+1225}=37$, iar $\sin B=\frac{35}{37}$ și $\cos B=\frac{12}{37}$ dau $\frac{35}{37}:\frac{12}{37}=\frac{35}{12}$. Cine împarte invers, cateta alăturată la cea opusă, obține $\frac{12}{35}$, adică $\mathrm{tg}C$.

Exercițiul 6.

Din $AC=5\cdot AB$ și $AC=30$ rezultă $AB=6$ (2 p). Triunghiul are unghi drept în $A$, deci aria este $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 30}{2}=90$ (3 p). Verificare: aria este jumătate din aria dreptunghiului cu laturile $AB$ și $AC$, care are $6\cdot 30=180$; cine uită jumătatea scrie 180, dublul rezultatului.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Suma unghiurilor este $180^{\circ }$, deci $m(\angle ABC)=180^{\circ }-68^{\circ }-54^{\circ }={58}^{\circ }$ (1 p). Latura $AB$ stă în fața unghiului $C$, iar $AC$ stă în fața unghiului $B$, deci $\frac{AB}{\sin 54^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 58^{\circ }}$ (2 p). Rezultă $AB=\frac{120\cdot 0,8090}{0,8480}=\frac{97,08}{0,8480}\approx 114,5$ m (2 p).

b) (5 p) Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, deci $\frac{BC}{\sin 68^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 58^{\circ }}$ (2 p). Rezultă $BC=\frac{120\cdot 0,9272}{0,8480}=\frac{111,264}{0,8480}\approx 131,2$ m (2 p). Diferența față de $AB$ este $131,2-114,5=16,7$ m (1 p). Verificare: ordinea unghiurilor, $68^{\circ }>58^{\circ }>54^{\circ }$, ordonează și laturile din fața lor, $BC>AC>AB$, adică $131,2>120>114,5$. Cine pune pe $BC$ în fața unghiului de $54^{\circ }$ obține din nou $114,5$ m și diferența 0, ceea ce contrazice ordinea laturilor.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, iar $AB$ și $AC$ îl cuprind: $\cos A=\frac{25^2+39^2-40^2}{2\cdot 25\cdot 39}$ (2 p). Numărătorul este $625+1521-1600=546$, iar numitorul 1950, deci $\cos A=\frac{546}{1950}=\frac{7}{25}$ (1 p). Unghiul $A$ este ascuțit, iar ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$, deci $\sin A=\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$ (2 p).

b) (5 p) Aria este $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$ (1 p), adică $\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 39\cdot \frac{24}{25}=468$ dm² (2 p). Cum $1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2$, copertina are $4,68$ m², iar costul este $4,68\cdot 95=444,6$ lei (2 p). Verificare: cine ia aria fără sinus, $\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 39=487,5$ dm², obține cu 19,5 dm² mai mult; unghiul $A$ nu este drept, deci sinusul nu poate lipsi.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Înălțimea $AM$ este și mediană, deci $BM=3,6$ m, iar triunghiul $ABM$ are unghi drept în $M$ (1 p). Din teorema lui Pitagora, $AM=\sqrt{4,5^2-3,6^2}=\sqrt{20,25-12,96}=\sqrt{7,29}=2,7$ m (2 p). Cateta $BM$ este alăturată unghiului $B$, deci $\cos B=\frac{BM}{AB}=\frac{3,6}{4,5}=\frac{4}{5}$ (2 p).

b) (5 p) Aria secțiunii este $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 2,7=9,72$ m² (3 p). Volumul solarului este aria secțiunii înmulțită cu lungimea: $9,72\cdot 25=243$ m³ (2 p). Verificare: $\sin B=\frac{AM}{AB}=\frac{2,7}{4,5}=\frac{3}{5}$, iar ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1$. Cine ia perimetrul secțiunii în loc de arie obține $16,2\cdot 25=405$ m³, cu 162 m³ mai mult.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Triunghiul are unghi drept în $A$, deci $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=16^2-9^2=256-81=175$, adică $AC=\sqrt{175}=\sqrt{25\cdot 7}=5\sqrt{7}$ (3 p). Perimetrul este $9+16+5\sqrt{7}=25+5\sqrt{7}$ (2 p).

b) (5 p) Cateta opusă unghiului $C$ este $AB$, iar ipotenuza este $BC$ (2 p). Rezultă $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{9}{16}$ (3 p).

c) (5 p) Cateta alăturată lui $C$ este $AC$, iar ipotenuza este $BC$ (2 p). Rezultă $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$ (3 p). Verificare: ${\left(\frac{9}{16}\right)}^2+{\left(\frac{5\sqrt{7}}{16}\right)}^2=\frac{81+175}{256}=1$. Cine ia cateta opusă în loc de cea alăturată obține $\frac{9}{16}$, adică $\sin C$ de la b).

Exercițiul 11.

a) (5 p) Latura $BC$ stă în fața unghiului $A$, iar celelalte două laturi îl cuprind; cosinusul unghiului obtuz este $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (2 p). Rezultă $B{C}^2=16^2+39^2+16\cdot 39=256+1521+624=2401$ (2 p), deci $BC=49$ cm (1 p).

b) (5 p) Aria este jumătate din produsul laturilor care cuprind unghiul, înmulțit cu sinusul lui (2 p), iar $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p). Rezultă $S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 39\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=156\sqrt{3}$ cm² (2 p).

c) (5 p) Latura $AB$ stă în fața unghiului $C$, iar $AC$ și $BC$ îl cuprind; la numărător se pune suma pătratelor laturilor care cuprind unghiul, minus pătratul laturii din față (2 p). Numărătorul este $39^2+49^2-16^2=3666$, iar numitorul este dublul produsului laturilor care cuprind unghiul, $2\cdot 39\cdot 49=3822$, deci $\cos C=\frac{3666}{3822}=\frac{47}{49}$ (3 p). Verificare: $\sin C=\sqrt{1-\frac{2209}{2401}}=\frac{8\sqrt{3}}{49}$, iar aria pe alt drum este $\frac{1}{2}\cdot 39\cdot 49\cdot \frac{8\sqrt{3}}{49}=156\sqrt{3}$, ca la b). Cine pune pe $AC$ în stânga formulei obține $\frac{16^2+49^2-39^2}{2\cdot 16\cdot 49}=\frac{1136}{1568}=\frac{71}{98}$, adică $\cos B$.

Pentru părinți și profesori

Testul cuprinde unitatea de trigonometrie aplicată în geometrie din clasa a X-a (filiera tehnologică) și se sprijină pe patru lecții: „Teorema cosinusului la tehnologic: pe teren”, „Teorema sinusurilor: distanțe peste râu, tehnologic”, „Cosinus sau sinus? Ce alegi la tehnologic” și „Aria unui teren poligonal, liceu tehnologic”. Metodele de numărare rămân în sarcina testului de metode de numărare, iar tabelele, diagramele și abaterea standard, în sarcina testului de statistică.

• Punctaj: 100 de puncte în total: 90 de puncte vin din cele unsprezece exerciții, iar alte 10 puncte din oficiu se adaugă lor.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se aplică: lucrezi singur, pe foaie. Dacă enunțul îți dă o valoare din tabel, de pildă $\cos 52^{\circ }\approx 0,6157$, calculezi cu ea; la unghiurile remarcabile ($30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $120^{\circ }$) scrii valorile exacte, cu radicali, și rotunjești abia rezultatul final. La Partea a III-a se notează și drumul: fără calcule și fără justificare, un rezultat corect nu ia punctajul subpunctului. Ghidajul rupe fiecare exercițiu în pași scurți, cu întrebări cu variante și cu câte un număr de calculat; o variantă greșită îți spune ce ai încurcat. Îl deschizi doar când exercițiul nu iese.
• Între 90 și 100 de puncte: stăpânești unitatea și poți trece mai departe.
• Între 75 și 89 de puncte: deschizi ghidajul numai la exercițiile la care ai pierdut puncte și le refaci.
• Între 60 și 74 de puncte: găsești în tabel lecțiile exercițiilor cu mai puțin de jumătate din puncte, le reiei și repeți testul peste șapte zile.
• Sub 60 de puncte: o iei de la început cu cele patru lecții, apoi lucrezi testul cu ghidajul deschis de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$, unde $c$ este latura din fața unghiului $C$, iar $a$ și $b$ îl cuprind între ele; $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$; $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, cu $A+B+C=180^{\circ }$; $\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}$, $\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}$, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$; $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C$, unde $C$ este unghiul dintre laturile $a$ și $b$; $1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2$.

Marcajul „tip Bacalaureat M3” stă pe exercițiile 5, 6 și 10: ele urmează forma cerinței 6 din Subiectul I al celor 83 de probe oficiale (un triunghi dreptunghic, „Arătați că …” sau „Calculați …”), dar cu triunghiuri, numere și rezultate noi.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); pentru ei, unitatea «X.1. Aplicații ale trigonometriei în geometrie» conține tema testului. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, teorema cosinusului, teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor fac parte din programa de examen (Subiectul I), iar aria suprafețelor plane doar în parte: programa cere calcularea unor arii, dar ariile poligoanelor nu sunt numite. În cele 83 de probe oficiale 2013–2026, rezolvarea triunghiurilor a apărut în 16 probe, aria triunghiului în 16 probe, teorema sinusurilor într-o singură probă, iar teorema cosinusului în nicio probă; fiind în programă, poate fi cerută.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.