Subiecte matematică definitivat învățători rezolvate, cu barem: 2021–2026, metodica matematicii și programa

Pe scurt: la definitivatul învățătorilor (profesorilor pentru învățământul primar), matematica e o parte a probei scrise de 4 ore: Subiectul I, B. Matematică (20 de puncte) și Subiectul al II-lea, B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului (10 puncte). Restul probei e limba și literatura română și metodica ei, pe care pagina de față le numește, dar nu le rezolvă. Aici găsești subiectele de matematică rezolvate de la definitivatul învățătorilor: proba din 14 iulie 2026 transcrisă exact, cu baremul ei, problemele de matematică rezolvate pas cu pas și un exemplu de lucrare la metodica matematicii (clasa pregătitoare, abordări interdisciplinare), apoi problemele și exercițiile de matematică din 2025 (identice cu modelul pentru 2026), 2024, 2023, 2022 și 2021, cu soluțiile baremului. Programa de matematică la definitivat pentru învățători e cea aprobată prin OMEC nr. 5976/2020.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Pe ani · Structura probei · Nota · Programa · 2026: subiectul · baremul · rezolvarea · metodica · 2025 și modelul 2026 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · Întrebări frecvente

Subiectele de matematică pe ani (2021–2026)

Datele sunt cele tipărite pe subiecte. Pentru 2024, 2025 și 2026, varianta publicată e de fiecare dată Varianta 2; pentru 2021–2023, Varianta 3. Arhivele oficiale, cu toate disciplinele, sunt pe gazdele ministerului, doar pe http: Definitivat_2026.zip (aproximativ 27 MB), DEFINITIVAT_2025.zip (aproximativ 21 MB), Definitivat_2024.zip (aproximativ 19 MB) și modelele pentru 2026, Modele_Definitivat_2026.zip (aproximativ 41 MB). Proba învățătorilor are fișierele numite „Def_083_Limba_romana_I…”. Pentru 2021–2023, gazdele oficiale nu mai răspund, iar arhivele sunt legate prin copiile Internet Archive (detalii). Pentru 2020 și anii dinainte nu avem încă o secțiune pe pagină.

Ce s-a repetat în 2024–2026:

• prima problemă de matematică a cerut explicit metoda figurativă (grafică), iar baremul a dat puncte separate pentru desen: 3 în 2024, câte 2 în 2025 și în 2026;
• în 2025 și în 2026, a doua problemă a definit un tip de număr de trei cifre („interesant”, „elegant”) și a cerut numărarea lor;
• ultima problemă a fost de geometrie plană, cu arii (trapez în 2024 și 2026, pătrat în 2025);
• la metodica matematicii s-a cerut o analiză „în 1-2 pagini”, cu un punct pentru coerența textului și un punct pentru încadrarea în spațiu; tema a fost de două ori abordarea interdisciplinară (2025, 2026) și o dată jocul didactic (2024).

În 2021–2023 a fost altfel: metodica a pornit de la o competență specifică dată (clasa a III-a în 2021, a II-a în 2022 și 2023), cu cerințe punctate pe rânduri (activități de învățare, un item obiectiv, un obiectiv operațional corelat cu o sarcină și un item); prima problemă a cerut o metodă aritmetică în 2021, iar metoda figurativă în 2023 (cu 2 puncte pentru desen); baremele nu permiteau punctaje intermediare în afara celor scrise.

Structura probei scrise a învățătorilor

Proba scrisă a învățătorilor, institutorilor și profesorilor pentru învățământul primar din școlile cu predare în limba română se dă la „limba și literatura română și matematică, metodica predării limbii și literaturii române/comunicării în limba română și metodica predării matematicii/matematicii și explorării mediului în învățământul primar” (OMEC nr. 5434/2020, art. 20 alin. (2) lit. b)). Pentru învățătorii din școlile cu predare în limbile minorităților naționale, metodologia prevede altă probă (lit. c) și, în învățământul special, lit. g)). În învățământul special cu predare în limba română, proba e aceeași, cu alternativa „terapie educațională complexă și integrată” (lit. f)). Pagina acoperă doar partea de matematică a probei de la lit. b).

Structura din 2026 (la fel în 2021–2025, verificat pe subiecte):

Împărțirea 60 / 30 / 10 vine din metodologie: „subiectul de specialitate are o pondere de 60%, iar subiectul de metodică de 30%, 10% din punctaj fiind acordat din oficiu” (art. 35 alin. (1)). Redactarea lucrării durează 4 ore, cu începere de la ora 9,00 (art. 22 alin. (1)). Modelele de subiecte se publică pe subiecte.edu.ro (art. 21 alin. (2)).

Exersează în condiții de examen: matematica și metodica ei valorează împreună 30 din cele 90 de puncte acordate pe lucrare. Împărțite proporțional, din cele 240 de minute le-ar reveni aproximativ 80 (o sugestie de exersare, nu o regulă). Lucrează subiectul din 2026 cu ceasul pornit, apoi verifică-te pe barem și pe soluțiile noastre.

Nota la proba scrisă și nota finală

• Nota la scris. Doi evaluatori corectează lucrarea independent; fiecare dă o notă de la 10 la 1, cu punctele din oficiu incluse (baremul: punctajul total împărțit la zece). Nota la proba scrisă e media aritmetică a celor două note, cu două zecimale, fără rotunjire. Dacă notele diferă cu mai mult de un punct, lucrarea mai e corectată de un al treilea evaluator, iar nota finală a lucrării devine media celor trei (art. 35 alin. (2)–(5)).
• Cât cântărește matematica: 30 de puncte din lucrare înseamnă cel mult 3 puncte din nota la proba scrisă.
• Nota la examen: $ND=\frac{N{I}_1+N{I}_2+NP+7\cdot NS}{10}$, unde $N{I}_1$, $N{I}_2$ sunt notele celor două inspecții de specialitate, $NP$ nota portofoliului și $NS$ nota la proba scrisă; examenul se promovează cu minimum 8 (art. 36).
• Ca să intri la proba scrisă îți trebuie, cumulativ, calificativul „Bine” sau „Foarte bine” în anul curent, media notelor de la inspecții și portofoliu de cel puțin 8, cu fiecare notă de cel puțin 7, și stagiul practic obligatoriu la catedră prevăzut la art. 4 (art. 18 alin. (1) lit. a)–c)).

Exemple: dacă ai 10 la ambele inspecții și la portofoliu, ajunge un 7,15 la scris (cea mai mică notă care trece pragul și care se poate obține ca medie a doi evaluatori); dacă ai 8, 8 și 8, ai nevoie de 8. Tabelul complet al notei necesare e pe pagina definitivatului la matematică, iar pentru notele tale poți folosi calculatorul notei de definitivat. Sunt regulile sesiunii 2026: metodologia invocă încă Legea nr. 1/2011, iar o metodologie nouă, pe Legea nr. 198/2023, le poate schimba; la 17.10.2026 nu era publicată alta.

Programa de matematică la definitivat pentru învățători

Ordinul. În Centralizatorul pentru sesiunea 2026 (anexa la Ordinul nr. 3.168/2026, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 131 bis/17.02.2026), pe rândul postului „Învățător/Institutor pentru învățământul primar/Profesor pentru învățământul primar”, programa pentru examenul național de definitivare e cea „aprobată prin ordinul ministrului educației și cercetării nr. 5976 / 2020”. Același număr de ordin apare în centralizator și la programa de definitivat a profesorilor de matematică, care e un alt document.

Documentul. Programa pentru limba și literatura română și matematică, metodica predării limbii și literaturii române / comunicării în limba română și metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului în învățământul primar (învățământ primar în limba română), București, 2020, 12 pagini. Se descarcă de pe definitivat.edu.ro, în arhiva Programe definitivat 2026.rar (aproximativ 36 MB, https), în arhiva interioară „2_Invatatori_DEF_2024”, fișierul „Programa_def_I_Invatatori_romana.pdf”. Pentru matematică, programa are patru părți:

• Competențele specifice la matematică (F): 23, de la reprezentarea mulțimilor (1.1) la „analizarea, în context intra- / interdisciplinar, a problemelor de matematică” (4.1).
• Tematica de matematică (G), în 7 capitole:
  1. Elemente de teoria mulțimilor;
  2. Mulțimi de numere (naturale, întregi, raționale, iraționale: sisteme de numerație, divizibilitate, fracții ordinare și zecimale, procente, media aritmetică, rădăcina pătrată);
  3. Ecuații, inecuații și sisteme de ecuații (gradul I, sisteme de două ecuații liniare, probleme);
  4. Elemente de organizare a datelor;
  5. Unități de măsură pentru lungime, arie, volum, capacitatea vaselor, masă, timp;
  6. Elemente de geometrie (unghiuri, triunghiul cu liniile importante și congruența, triunghiul dreptunghic cu teorema lui Pitagora, patrulaterele, cercul, corpurile geometrice);
  7. Metode aritmetice de rezolvare a problemelor.
• Competențele de metodică (L): 11, între care „valorificarea corelațiilor intra-/interdisciplinare prin abordarea integrată a învățării la disciplinele Matematică și explorarea mediului/ Matematică” (3.1).
• Tematica de metodică (M):
  • I. curriculumul la Matematică și explorarea mediului / Matematică;
  • II. aspectele metodologice, în șase puncte: formarea conceptului de număr natural; metodologiile operațiilor, ale ordinii operațiilor, ale fracțiilor, ale unităților de măsură, ale geometriei și ale rezolvării problemelor (inclusiv „metoda figurativă; metoda comparației; metoda mersului invers; metoda reducerii la unitate”); activizarea elevilor; jocul didactic; caracterul practic-aplicativ al matematicii; „Abordări didactice interdisciplinare în studiul matematicii”;
  • III. evaluarea (forme, metode, tipuri de itemi).

Legătura cu subiectele. Tema de metodică din 2025 și din 2026 este chiar punctul M.II.6 („Abordări didactice interdisciplinare în studiul matematicii”), iar cea din 2024, punctul M.II.4 (jocul didactic). Metoda figurativă apare în ambele tematici: la matematică, prin „Metode aritmetice de rezolvare a problemelor”, și la metodică, printre metodele speciale. Bibliografia de matematică trimite și la „manualele de matematică pentru clasele a IV-a – a VIII-a valabile în anul școlar în care se susține examenul”, iar cea de metodică, la programele școlare de Matematică și explorarea mediului / Matematică în vigoare în anul examenului.

Pentru titularizare, învățătorii au altă programă, cu altă structură a probei: titularizarea învățătorilor, partea de matematică.

Proba din 14 iulie 2026: partea de matematică

Fișierele probei sunt Def_083_Limba_romana_I_2026_var_02_LRO.pdf (subiectul) și Def_083_Limba_romana_I_2026_bar_02_LRO.pdf (baremul), din arhiva Definitivat_2026.zip de mai sus. Am transcris Varianta 2, adică varianta pe care Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (CNCE) a publicat-o în arhiva oficială.

Subiectul oficial din 2026 (Varianta 2): matematică și metodica matematicii

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 14 iulie 2026. Probă scrisă. Lb. și lit. română și matematică, metodica predării lb. și lit. române / com. în lb. română / mat. / mat. și expl. med. (învățământ primar în limba română). Varianta 2.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Aici sunt transcrise numai părțile B ale celor două subiecte. Părțile A (limba și literatura română, respectiv metodica ei) se citesc în PDF.

Subiectul I (60 de puncte)

B. Matematică (20 de puncte)

1. Ioana a economisit o sumă de bani. Dacă ar economisi o sumă de trei ori mai mare, atunci această sumă ar depăși cu $270$ de lei trei sferturi din suma economisită inițial. Aflați câți lei a economisit Ioana, rezolvând problema prin metoda grafică/figurativă. 6 puncte

2. Un număr natural format din trei cifre se numește elegant dacă produsul cifrelor sale nenule este egal cu $12$ (exemplu: $341$, $260$ sunt elegante).

• a) Calculați diferența dintre cel mai mare număr elegant și cel mai mic număr elegant.
• b) Determinați câte numere elegante există.

7 puncte

3. În figura alăturată sunt reprezentate 4 orașe, $A,B,C,D$, conectate prin șoselele în linie dreaptă $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, astfel încât $ABCD$ este un trapez dreptunghic în care $A=90^{\circ }$, $D=90^{\circ }$, $AB=30\text{ km}$, $CD=10\text{ km}$, iar măsura unghiului $ABC$ este egală cu $45^{\circ }$.

• a) Demonstrați că distanța dintre orașele $A$ și $D$ este de $20\text{ km}$.
• b) Demonstrați că suprafața triunghiului $ACD$ reprezintă $25\%$ din suprafața trapezului $ABCD$.

7 puncte

Figura din subiect arată trapezul cu $D$ sus, în stânga, $C$ sus, $A$ jos, în stânga, și $B$ jos, în dreapta, cu diagonala $AC$ trasă și unghiul de $45^{\circ }$ marcat în $B$. O redăm la rezolvare, cu înălțimea $CE$ adăugată.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului în învățământul primar (10 puncte)

Analizați, în 1-2 pagini, problematica abordărilor didactice interdisciplinare în cadrul lecțiilor de matematică și explorarea mediului de la clasa pregătitoare, având în vedere următoarele aspecte:

• a) explicarea necesității utilizării abordărilor interdisciplinare în studiul disciplinei școlare matematică și explorarea mediului la clasa pregătitoare;
• b) prezentarea unei abordări didactice interdisciplinare în cadrul unei activități de matematică și explorarea mediului de la clasa pregătitoare;
• c) corectitudinea și coerența textului redactat;
• d) încadrarea analizei în limita de spațiu precizată.

Baremul oficial din 2026 (partea de matematică)

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 14 iulie 2026. Probă scrisă. Lb. și lit. română și matematică, metodica predării lb. și lit. române / com. în lb. română / mat. / mat. și expl. med. (învățământ primar în limba română). Barem de evaluare și de notare. Varianta 2.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor. Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (60 de puncte)

B. Matematică (20 de puncte)

1.

• Reprezentarea grafică a datelor problemei — 2p
• $270$ lei reprezintă nouă părți egale — 2p
• $270$ lei $:9=30$ lei reprezintă un sfert din suma inițială — 1p
• $4\cdot 30$ lei $=120$ lei — 1p

2.

• a) Cel mai mare este $621$, iar cel mai mic este $126$ — 1p
• $621-126=495$ — 1p
• b) Dacă $b=c=0$, atunci nu există numere elegante
• Dacă $b=0$, atunci sunt $4$ numere elegante — 1p
• Dacă $c=0$, atunci sunt $4$ numere elegante — 1p
• Dacă $b\ne 0$ și $c\ne 0$, atunci sunt $15$ numere elegante — 1p
• În total sunt $23$ de numere elegante — 2p

3.

• a) Fie $CE\perp AB$, $E\in AB$, deci $AECD$ dreptunghic $\Rightarrow AE=10\text{ km}\Rightarrow EB=20\text{ km}$ — 1p
• Cum triunghiul $CEB$ este dreptunghic în $E$ și $CBE=45^{\circ }\Rightarrow △CEB$ dreptunghic isoscel, deci $CE=20\text{ km}\Rightarrow AD=20\text{ km}$ — 2p
• b) Cum triunghiul $ADC$ este dreptunghic în $D$, rezultă că $A_{△ADC}=\frac{AD\times DC}{2}=100{\text{ km}}^2$ — 1p
• $A_{ABCD}=\frac{(AB+DC)\cdot AD}{2}=400{\text{ km}}^2$ — 1p
• $25\%$ din $400{\text{ km}}^2$ reprezintă $100{\text{ km}}^2$ — 2p

La 3 b), în barem lipsește semnul „=” dintre fracție și $400{\text{ km}}^2$ (greșeală de tipar, vizibilă pe imaginea paginii); l-am pus în transcriere. La 2 b), $b$ și $c$ sunt cifra zecilor și cifra unităților; baremul nu le numește.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului în învățământul primar (10 puncte)

• a) explicarea necesității utilizării abordărilor interdisciplinare în studiul disciplinei școlare matematică și explorarea mediului la clasa pregătitoare: explicare elaborată și nuanțată - 3p. / explicare schematizată, ezitantă - 1p. — 3 puncte
• b) prezentarea oricărei abordări didactice interdisciplinare în cadrul unei activități de matematică și explorarea mediului de la clasa pregătitoare: prezentare adecvată și nuanțată – 5p. / prezentare superficială, ezitantă – 2p. — 5 puncte
• c) corectitudinea și coerența textului redactat — 1 punct
• d) încadrarea analizei în limita de spațiu precizată — 1 punct

Rezolvarea noastră, pas cu pas (2026, Subiectul I, B)

Pașii sunt cei din barem. Acolo unde baremul sare o justificare (de ce punctul $E$ cade pe segmentul $AB$, de ce cazurile de la problema 2 nu se suprapun), o adăugăm din rigoare; notarea rămâne cea din barem. Toate rezultatele le-am recalculat separat, simbolic, iar numerele de la problema 2 le-am numărat pe toate, de la $100$ la $999$.

Problema 1: metoda grafică (economiile Ioanei)

Desenul. Reprezentăm suma economisită de Ioana printr-un segment împărțit în patru părți egale (patru sferturi), pentru că enunțul vorbește despre „trei sferturi” din ea. Atunci:

• trei sferturi din sumă sunt 3 părți;
• suma de trei ori mai mare înseamnă trei segmente, adică $3\cdot 4=12$ părți.

Desen orientativ, nu la scară.

Părțile egale. Suma de trei ori mai mare depășește cu $270$ de lei cele trei sferturi, deci diferența dintre cele două bare înseamnă $12-3=9$ părți egale: $$270:9=30\text{ lei},$$ adică un sfert din suma inițială are $30$ de lei.

Suma. Suma inițială are patru sferturi: $4\cdot 30=120$ de lei.

Verificarea: $3\cdot 120=360$ de lei; trei sferturi din $120$ sunt $90$ de lei; $360-90=270$.

Problema 2: numerele „elegante”

Notăm numărul cu $\overline{abc}$, unde $a$ este cifra sutelor ($a\ne 0$), $b$ cifra zecilor, $c$ cifra unităților. „Elegant” înseamnă că produsul cifrelor nenule este $12$. Cifra $a$ e nenulă, deci intră mereu în produs; de aceea $a$ trebuie să fie un divizor al lui $12$ mai mic decât $10$: $a\in \{1,2,3,4,6\}$.

a) Cel mai mare. Vrem cifra sutelor cât mai mare: $a=6$. Produsul celorlalte cifre nenule trebuie să fie $12:6=2$, deci printre $b$ și $c$ apare cifra $2$, iar cealaltă e $1$ sau $0$. Variantele sunt $621$, $612$, $620$, $602$; cea mai mare este $621$. Cel mai mic. Vrem $a$ cât mai mic: $a=1$. Celelalte cifre nenule trebuie să aibă produsul $12$. Dacă una dintre ele ar fi $0$, cealaltă ar trebui să fie $12$, care nu e cifră; deci $b$ și $c$ sunt nenule, cu $b\cdot c=12$: $(2,6)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(6,2)$. Cel mai mic număr este $126$. Diferența: $621-126=495$.

b) Împărțim numerele după poziția zerourilor; cele patru cazuri nu se suprapun:

• $b=c=0$: produsul cifrelor nenule e chiar $a$, iar $a\le 9<12$; nu există numere elegante;
• $b=0$, $c\ne 0$: $a\cdot c=12$, cu $a$, $c$ cifre: $(2,6)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(6,2)$, adică $4$ numere ($206$, $304$, $403$, $602$);
• $c=0$, $b\ne 0$: la fel, $4$ numere ($260$, $340$, $430$, $620$);
• $b\ne 0$, $c\ne 0$: $a\cdot b\cdot c=12$. Scriem $12$ ca produs de trei cifre nenule: $1\cdot 2\cdot 6$, $1\cdot 3\cdot 4$, $2\cdot 2\cdot 3$. Primele două dau câte $6$ numere (trei cifre diferite se pot așeza în $3\cdot 2\cdot 1=6$ moduri), a treia dă $3$ numere ($223$, $232$, $322$). În total, $6+6+3=15$ numere.

Sunt $4+4+15=23$ de numere elegante. Verificare: numărând, în calculul simbolic, toate numerele de la $100$ la $999$, ies exact $23$, cel mai mic $126$ și cel mai mare $621$.

Problema 3: trapezul dreptunghic (cele patru orașe)

Desen orientativ, cu lungimile în kilometri; înălțimea $CE$ e adăugată de noi.

Unghiurile $A$ și $D$ sunt drepte, deci $AB\perp AD$ și $CD\perp AD$; atunci $AB\parallel CD$, iar $AB$ ($30\text{ km}$) e baza mare și $CD$ ($10\text{ km}$) baza mică.

a) Ducem $CE\perp AB$, cu $E\in AB$. Patrulaterul $AECD$ are unghiurile din $A$, $D$ și $E$ drepte, deci e dreptunghi: $AE=CD=10\text{ km}$ și $CE=AD$. Cum $AE=10<30=AB$, punctul $E$ se află între $A$ și $B$, deci $EB=AB-AE=30-10=20\text{ km}$. Triunghiul $CEB$ e dreptunghic în $E$ și are $\sphericalangle CBE=45^{\circ }$, deci și $\sphericalangle ECB=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$: triunghiul e dreptunghic isoscel, cu $CE=EB=20\text{ km}$. Așadar $AD=CE=20\text{ km}$: distanța dintre orașele $A$ și $D$ este de $20\text{ km}$.

b) Triunghiul $ACD$ e dreptunghic în $D$, cu catetele $AD$ și $DC$: $${\mathcal{A}}_{△ACD}=\frac{AD\cdot DC}{2}=\frac{20\cdot 10}{2}=100{\text{ km}}^2.$$ Aria trapezului: $${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+DC)\cdot AD}{2}=\frac{(30+10)\cdot 20}{2}=400{\text{ km}}^2.$$ Raportul este $\frac{100}{400}=\frac{1}{4}=25\%$, deci suprafața triunghiului $ACD$ reprezintă $25\%$ din suprafața trapezului. Observație: triunghiul $ACD$ și trapezul au aceeași înălțime $AD$, deci raportul ariilor este $\frac{DC}{AB+DC}=\frac{10}{40}$, oricât ar fi $AD$.

Unde se pierd puncte la matematică

• Problema 1: desenul are un rând propriu în barem, de 2 puncte („Reprezentarea grafică a datelor problemei”). Al doilea rând, tot de 2 puncte, e observația că $270$ de lei înseamnă nouă părți egale (sferturi); de aceea desenul pornește de la suma împărțită în patru părți.
• Problema 2 b): baremul punctează fiecare caz separat (câte 1 punct pentru $b=0$, $c=0$ și cifrele nenule) și totalul (2 puncte). Un număr uitat, de exemplu $223$, schimbă și numărul din caz, și totalul, care nu mai corespund rândurilor din barem.
• Problema 3 a): baremul cere dreptunghiul $AECD$ (1 punct) și triunghiul dreptunghic isoscel $CEB$ (2 puncte), nu doar rezultatul $20\text{ km}$.
• Problema 3 b): concluzia cu procentul are 2 puncte proprii; cine calculează cele două arii și se oprește acolo nu le primește.

Subiectul al II-lea, B: exemplu de lucrare la metodica matematicii (model de răspuns)

Baremul de la metodică are doar descriptori: la a), o explicare „elaborată și nuanțată” a necesității (3 puncte); la b), o abordare interdisciplinară prezentată „adecvat și nuanțat”, într-o activitate de matematică și explorarea mediului (MEM) la clasa pregătitoare (5 puncte); câte un punct pentru coerența textului și pentru încadrarea în 1-2 pagini. Lucrarea de mai jos e una dintre multele posibile; am construit-o criteriu cu criteriu. Competențele și activitățile sunt citate cuvânt cu cuvânt din programa de MEM a clasei pregătitoare (OMEN nr. 3418/2013, Anexa nr. 2).

Modelul de răspuns

a) De ce e nevoie de abordări interdisciplinare la MEM, în clasa pregătitoare

La clasa pregătitoare, copilul nu împarte lumea pe discipline: un măr din coșul clasei este, în același timp, ceva ce se numără, se denumește, se desenează și se observă. Disciplina Matematică și explorarea mediului leagă deja matematica de științele naturii, iar programa explică de ce: „O învățare holistică la această vârstă are mai multe șanse să fie interesantă pentru elevi, fiind mai apropiată de universul lor de cunoaștere”, iar „Contextualizarea învățării prin referirea la realitatea înconjurătoare sporește profunzimea înțelegerii conceptelor și a procedurilor utilizate”.

Interdisciplinar înseamnă că același concept sau aceeași competență se lucrează prin mai multe discipline deodată, nu că disciplinele sunt puse una după alta, fiecare cu tema ei. Abordarea interdisciplinară duce ideea mai departe, spre celelalte discipline ale clasei: Comunicare în limba română, Muzică și mișcare, Arte vizuale și abilități practice, Dezvoltare personală, Educație fizică. Sugestiile metodologice o cer explicit: „cadrul didactic va urmări sistematic realizarea de conexiuni între toate disciplinele prevăzute în schema orară a clasei respective, creând contexte semnificative de învățare pentru viața reală”.

(Paragraf opțional, dacă ai loc.) Sunt și motive de vârstă. Activitatea durează 30-35 de minute din oră, iar atenția copilului se menține mai ușor când sarcina se schimbă: numără, apoi cântă, apoi lipește. Programa cere „o abordare specifică educației timpurii, bazată în esență pe stimularea învățării prin joc”. Limbajul matematic („mai mult”, „mai puțin”, „total”) se formează odată cu vorbirea în propoziții, iar o regularitate întâlnită în mai multe contexte (auzită într-un ritm, apoi văzută într-un colaj) se fixează mai bine.

b) O abordare interdisciplinară: activitatea „Coșul cu fructe de toamnă”

Clasa pregătitoare, MEM, 30-35 de minute; legături cu Comunicare în limba română, Muzică și mișcare și Arte vizuale și abilități practice.

Competențe specifice (MEM, clasa pregătitoare):

• 5.1. Sortarea/clasificarea unor obiecte/ materiale etc., pe baza unui criteriu dat;
• 1.4. Efectuarea de adunări și scăderi în concentrul 0-31, prin adăugarea /extragerea a 1-5 elemente dintr-o mulțime dată;
• 3.1. Descrierea unor fenomene/procese/ structuri repetitive simple din mediul apropiat, în scopul identificării unor regularități.

(Rând opțional.) Materiale: un coș cu mere, pere și câteva legume, două coșulețe goale, jetoane cu mere și pere, câte un coș desenat pe o coală pentru fiecare copil, lipici.

Momentul 1: sortarea (MEM și Comunicare în limba română, 8 minute). Învățătoarea spune o ghicitoare despre măr. Fiecare copil scoate din coș un obiect, îl denumește într-o propoziție („Eu am o pară galbenă.”) și îl pune în coșulețul fructelor sau al legumelor: activitatea din programă sortarea pe diverse categorii: legume/fructe; cu gust dulce/acru etc. Apoi copiii numără obiectele din fiecare coșuleț.

Momentul 2: adunarea și scăderea cu obiecte (MEM și Comunicare în limba română, 10 minute). În coșulețul fructelor sunt 6 mere. „Bunica mai aduce 2 mere. Câte mere sunt acum?” Un copil pune cele 2 mere, clasa numără: 8. „La gustare mâncăm 3 mere. Câte rămân?” Se scot 3 mere și se numără din nou: 5. Copiii repetă povestea cu verbele care arată operația („a adus”, „am mâncat”). Este activitatea adăugarea și extragerea de elemente dintr-o mulțime de obiecte, fiecare operație fiind însoțită de numărarea obiectelor.

Momentul 3: modelul repetitiv (Muzică și mișcare, Arte vizuale și abilități practice, 12 minute). Pentru „măr”, o bătaie din palme, pentru „pară”, o bătaie din picior. Copiii continuă ritmul (palme, picior, palme, picior…), apoi îl „scriu” pe marginea coșului desenat, lipind jetoane: măr, pară, măr, pară… La sfârșit, găsesc greșeala dintr-un șir de pe tablă. Sunt activitățile continuarea unor modele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere și descoperirea „intrusului” în cadrul unui model repetitiv.

Evaluarea: observarea sistematică, cu o listă scurtă (sortează după criteriul dat; numără corect după ce adaugă sau scoate; continuă modelul). Aprecierea rămâne descriptivă, „prin raportare la competențele specifice, evitându-se comparațiile între copii”, cum recomandă programa.

Ce aduce fiecare disciplină: comunicarea dă propozițiile care descriu operația, muzica dă ritmul în care modelul se aude înainte să fie văzut, abilitățile practice îl păstrează pe hârtie. Matematica rămâne în centru.

De ce îndeplinește baremul: la a) interdisciplinaritatea e definită, iar necesitatea e explicată prin argumentele programei (învățarea holistică, contextualizarea, conexiunile cerute explicit) și, opțional, prin cele ale vârstei (atenția, jocul, limbajul, fixarea în mai multe contexte); la b) activitatea e una de MEM la clasa pregătitoare, cu trei competențe și activități citate din programă, iar fiecare moment numește disciplinele implicate și ce face concret copilul. Numerele rămân sub 10, iar la fiecare operație se adaugă sau se scot 2 sau 3 elemente, deci în limitele competenței 1.4. Textul modelului (a și b) are aproximativ 670 de cuvinte, iar fără paragraful și rândul marcate „opțional”, aproximativ 560. O pagină de examen scrisă de mână cuprinde de regulă câteva sute de cuvinte, așa că varianta scurtă e cea sigură pentru criteriul d); verifică pe propria foaie.

Greșeli frecvente la metodica matematicii

• Doar definiții. Cerința b) cere prezentarea unei activități; baremul dă 5 puncte unei prezentări „adecvate și nuanțate” și 2 puncte uneia „superficiale, ezitante”. O listă de principii, fără activitate concretă, se apropie de a doua.
• Activitate care nu e de clasa pregătitoare. Programa clasei lucrează în concentrul 0-31, prin numărare și cu suport intuitiv (obiecte, desene); o activitate cu numere mai mari sau fără obiecte nu se potrivește clasei cerute.
• „Interdisciplinar” doar cu numele. Matematica și explorarea mediului sunt deja o singură disciplină; recomandarea noastră e ca abordarea să numească și ce aduce fiecare altă disciplină a clasei și ce face copilul în fiecare moment.
• Peste două pagini. Încadrarea în spațiu are un punct propriu în barem (criteriul d).

Materiale pentru clasa pregătitoare

• Programa clasei, cu toate competențele: programa de Matematică și explorarea mediului, clasa pregătitoare.
• Planul-cadru al clasei pregătitoare (disciplinele și orele): plan-cadru pentru învățământul primar.
• Recapitulare pentru problemele de matematică: lecția despre metoda figurativă și aria trapezului.

Proba din 8 iulie 2025 și modelul pentru 2026

Proba din 8 iulie 2025 (Varianta 2, antet CNCE) are fișierele Def_083_Limba_romana_I_2025_var_02_LRO.pdf și Def_083_Limba_romana_I_2025_bar_02_LRO.pdf, în arhiva DEFINITIVAT_2025.zip. Modelul publicat pentru sesiunea 2026 (Def_083_Limba_romana_I_2026_var_model.pdf și …_bar_model.pdf, în Modele_Definitivat_2026.zip) are, la matematică și la metodica matematicii, exact aceleași enunțuri și același barem ca proba din 2025; diferențele dintre cele două PDF-uri sunt în antet, în două exemple din baremul de limba română și în tipografia formulelor (spații, glife), nu în conținutul părții de matematică. De aceea le tratăm împreună. Transcriem enunțurile problemelor și al metodicii; din barem dăm soluțiile și punctajele, pe scurt.

1. Într-o clasă sunt 32 de elevi. Dacă ar pleca 2 băieți și ar veni 3 fete, atunci o treime din numărul fetelor ar fi cu 5 mai mică decât numărul băieților. Câte fete și câți băieți sunt în clasă? Rezolvați problema folosind metoda grafică (figurativă). 6 puncte

Soluția (barem: desenul 2 p, fetele 2 p, băieții 2 p): după schimbare sunt $32-2+3=33$ de elevi. Noul număr de fete e reprezentat prin 3 părți egale, iar noul număr de băieți prin o parte și încă $5$. Atunci $4$ părți și încă $5$ înseamnă $33$, deci o parte e $(33-5):4=7$. Fetele ar fi $21$, deci acum sunt $21-3=18$ fete; băieții ar fi $7+5=12$, deci acum sunt $12+2=14$ băieți. Verificare: $18+14=32$.

2. Un număr natural format din trei cifre se numește interesant dacă cifra unităților este egală cu suma dintre cifra sutelor și cifra zecilor.

• a) Verificați dacă suma celor mai mici 3 numere interesante este tot un număr interesant.
• b) Determinați câte numere interesante există.

7 puncte

Soluția: a) cele mai mici trei numere interesante sunt $101$, $112$ și $123$; $101+112+123=336$ (2 p), iar $3+3=6$, deci $336$ e interesant (1 p). b) Pentru $\overline{abc}$ interesant, $c=a+b$ cu $a\ge 1$; pentru o cifră $c$ dată, $a$ poate fi $1,2,\dots ,c$, deci sunt $c$ numere (2 p). În total, $1+2+\dots +9=45$ de numere interesante (2 p).

3. Se consideră pătratul $ABCD$, cu $AB=4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar dreapta $AM$ se intersectează cu dreapta $DC$ în punctul $E$.

• a) Demonstrați că $CE=4\text{ cm}$.
• b) Calculați $\frac{{\mathcal{A}}_{△BME}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}$.

7 puncte

Soluția: a) $△ABM\equiv △ECM$ (latură și unghiurile alăturate: $BM=MC$, unghiurile drepte din $B$ și $C$, unghiurile opuse la vârf din $M$), deci $EC=AB=4\text{ cm}$ (2 p). b) ${\mathcal{A}}_{△BME}=\frac{EC\cdot BM}{2}=\frac{4\cdot 2}{2}=4{\text{ cm}}^2$ (2 p), ${\mathcal{A}}_{ABCD}=16{\text{ cm}}^2$ (1 p), raportul este $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ (2 p). Rigoare: în triunghiul $BME$, latura $BM$ stă pe dreapta $BC$, iar distanța de la $E$ la $BC$ este $EC$, pentru că $E$ e pe dreapta $DC$, perpendiculară pe $BC$.

B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului în învățământul primar (10 puncte)

Analizați, în 1-2 pagini, problematica abordărilor didactice interdisciplinare în studiul matematicii la clasele a III-a și a IV-a, având în vedere următoarele aspecte:

• a) explicarea necesității utilizării abordărilor interdisciplinare în studiul matematicii la clasele a III-a și a IV-a;
• b) prezentarea unei abordări didactice interdisciplinare în cadrul unei activități matematice, la clasa a III-a sau la clasa a IV-a;
• c) corectitudinea și coerența textului redactat;
• d) încadrarea analizei în limita de spațiu precizată.

Baremul, pe scurt: a) 4 p (explicare elaborată și nuanțată 4 p / schematizată, ezitantă 1 p); b) 4 p (prezentare adecvată și nuanțată 4 p / superficială, ezitantă 1 p); c) 1 p; d) 1 p. Analiza se construiește ca modelul din 2026 de mai sus, cu programa de Matematică pentru clasele a III-a și a IV-a. Un model de abordare interdisciplinară la clasa a III-a, cu Științele naturii, e la modelul de titularizare pentru învățători 2026.

Proba din 24 iulie 2024

Proba din 24 iulie 2024 (Varianta 2, antet: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație) are fișierele Def_083_Limba_romana_I_2024_var_02_LRO.pdf și Def_083_Limba_romana_I_2024_bar_02_LRO.pdf, în arhiva Definitivat_2024.zip. Transcriem enunțurile problemelor și al metodicii; din barem dăm soluțiile și punctajele, pe scurt.

1. Pe două tăvi sunt așezate $100$ de brioșe. După ce de pe prima tavă se iau $17$ brioșe și de pe cea de a doua tavă se iau $23$ de brioșe, pe prima tavă rămân de trei ori mai multe brioșe decât pe cea de a doua tavă. Determinați numărul de brioșe aflate inițial pe prima tavă. Rezolvați problema folosind metoda figurativă/grafică. 7 puncte

Soluția (barem: desenul 3 p, suma părților 2 p, rezultatul 2 p): după ce se iau brioșele rămân $100-(17+23)=60$; pe a doua tavă rămâne o parte, pe prima trei părți, deci $4$ părți egale fac $60$. Pe prima tavă rămân $60:4\cdot 3=45$, iar inițial erau $45+17=62$ de brioșe. Verificare: pe a doua tavă erau $100-62=38$, rămân $15$, iar $45=3\cdot 15$.

2. Determinați numărul natural $x$, știind că: $\left[(x-3)\cdot 2+6\right]:2^2=4$. 4 puncte

Soluția (câte 1 p pe pas): $(x-3)\cdot 2+6=16$; $(x-3)\cdot 2=10$; $x-3=5$; $x=8$.

3. Calculați media aritmetică a numerelor a și b, unde $a=2+\frac{7}{5}-\frac{2}{5}$ și $b=(4-0,5):0,5$. 3 puncte

Soluția (câte 1 p): $a=2+\frac{5}{5}=3$; $b=3,5:0,5=7$; media aritmetică este $(3+7):2=5$.

4. În trapezul isoscel $ABCD$, $AB\parallel CD$, $AB>CD$, $AB=8\text{ cm}$ și măsura unghiului $ADC$ este de 3 ori mai mare decât măsura unghiului $DAB$. Diferența dintre lungimea bazei mari și lungimea bazei mici este de $2\text{ cm}$.

• a) Calculați măsura unghiului $DAB$. 2 puncte
• b) Determinați aria trapezului $ABCD$. 4 puncte

Soluția: a) cu $AB\parallel DC$ și secanta $AD$, unghiurile $ADC$ și $DAB$ sunt suplementare (1 p); din $\sphericalangle D=3\cdot \sphericalangle A$ rezultă $4\cdot \sphericalangle A=180^{\circ }$, deci $\sphericalangle DAB=45^{\circ }$ (1 p). b) Ducem înălțimile $D{D}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$; triunghiul $D{D}^{\prime }A$ e dreptunghic isoscel (1 p); $DC=8-2=6\text{ cm}$ (1 p); $D^{\prime }A=(8-6):2=1\text{ cm}$ (1 p); aria este $\frac{(8+6)\cdot 1}{2}=7{\text{ cm}}^2$ (1 p). Rigoare: baremul folosește înălțimea $D{D}^{\prime }=1\text{ cm}$ fără să o scrie; ea vine din triunghiul dreptunghic isoscel: $D{D}^{\prime }=D^{\prime }A=1\text{ cm}$.

B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului în învățământul primar (10 puncte)

Analizați, în 1-2 pagini, rolul jocului didactic în activitățile de matematică și explorarea mediului la clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a, având în vedere următoarele aspecte:

• a) explicarea specificului utilizării jocului didactic în activitățile de matematică și explorarea mediului;
• b) prezentarea rolului jocului didactic în cadrul activităților de matematică și explorarea mediului la clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a;
• c) corectitudinea și coerența textului redactat;
• d) încadrarea analizei în limita de spațiu precizată.

Baremul, pe scurt: a) 2 p; b) 6 p („prezentare adecvată și nuanțată – 6p. / prezentare superficială, ezitantă – 2p.”); c) 1 p; d) 1 p. Programa de MEM spune, la sugestiile metodologice, că „jocul didactic va predomina”, iar programa de definitivat are jocul didactic la punctul M.II.4.

Probele din 2021, 2022 și 2023 (copii Wayback)

Gazdele oficiale ale acestor ani (subiecte2021–2023.edu.ro) nu mai răspund. Arhivele de mai jos sunt copia arhivei oficiale păstrată de Internet Archive (web.archive.org), verificată de noi pe 17.10.2026: mărimea copiei e egală cu mărimea declarată a originalului, iar PDF-urile din ele au data creării egală cu ziua probei. Pe toate trei, antetul e „Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație”, iar varianta publicată e Varianta 3. Structura probei e aceeași ca în 2024–2026 (40 / 20 / 20 / 10 puncte, plus 10 din oficiu). Probele din 2021 și 2022 s-au dat înainte de modificarea metodologiei prin OME nr. 5722/2022 (Monitorul Oficial nr. 963/3.10.2022).

Baremele din 2021–2023 au o regulă mai strictă decât cele din 2024–2026. Din barem: „Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor.”, „Nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate explicit în barem. Nu se acordă fracțiuni de punct.” și „Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.”

Proba din 19 iulie 2023

Fișierele Def_083_Limba_romana_I_2023_var_03_LRO.pdf și Def_083_Limba_romana_I_2023_bar_03_LRO.pdf, din DEFINITIVAT_2023.zip (copie Wayback din 17.07.2024 a arhivei oficiale; aproximativ 25 MB).

1. Pe două rafturi se află cărți. Pe primul raft sunt de $4$ ori mai multe cărți decât pe al doilea raft. Dacă s-ar lua $14$ cărți de pe primul raft și s-ar așeza pe al doilea raft, atunci numărul cărților de pe al doilea raft ar fi egal cu $\frac{2}{3}$ din numărul cărților rămase pe primul raft. Câte cărți se află pe fiecare raft? Rezolvați problema prin metoda figurativă/grafică. 6 puncte

Soluția (barem: desenul 2 p, părțile egale 1 p, „14 cărți (o treime/un sfert)” 1 p, al doilea raft 1 p, primul raft 1 p): al doilea raft e o parte, primul raft patru părți, deci în total sunt $5$ părți, iar totalul nu se schimbă prin mutare. După mutare, al doilea raft are $2$ părți din $5$, iar primul $3$: primul raft a pierdut exact o parte, adică cele $14$ cărți mutate. Atunci pe al doilea raft sunt $1\cdot 14=14$ cărți, iar pe primul $4\cdot 14=56$. Verificare: $56-14=42$, $14+14=28$, iar $28=\frac{2}{3}\cdot 42$.

2. Se dau numerele naturale $a=2^{2022}\cdot 5+2^{2024}$ și $b=2\cdot 4^{1011}+4^{1012}$.

• a) Arătați că $a>b$.
• b) Exprimați sub formă de fracție ireductibilă raportul $\frac{a}{b}$.

7 puncte

Soluția: a) $a=2^{2022}\cdot (5+2^2)=2^{2022}\cdot 9$ (2 p); $b=4^{1011}\cdot (2+4)=4^{1011}\cdot 6=2^{2022}\cdot 6$ (2 p); cum $9>6$, $a>b$ (1 p). b) $\frac{a}{b}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ (2 p). Rigoare: $4^{1011}=(2^2{)}^{1011}=2^{2022}$, pasul pe care baremul îl scrie doar ca rezultat.

3. Se dă dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=32\text{ cm}$ și lungimea segmentului $BC$ egală cu $75\%$ din lungimea segmentului $AB$.

• a) Calculați perimetrul și aria dreptunghiului.
• b) Dacă $M,N,P,Q$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ și, respectiv, $[AD]$, determinați natura patrulaterului $MNPQ$.
• c) Calculați aria figurii $MNPQ$.

7 puncte

Soluția: a) $BC=\frac{75}{100}\cdot 32=24\text{ cm}$ (1 p), perimetrul $2\cdot (32+24)=112\text{ cm}$ (1 p), aria $32\cdot 24=768{\text{ cm}}^2$ (1 p). b) În triunghiul dreptunghic $AMQ$: $M{Q}^2=16^2+12^2$, $MQ=20\text{ cm}$ (2 p); la fel $MN=NP=PQ=20\text{ cm}$, deci $MNPQ$ e romb (1 p). c) ${\mathcal{A}}_{MNPQ}=\frac{768}{2}=384{\text{ cm}}^2$ (1 p). Rigoare: cele patru triunghiuri din colțuri au fiecare aria $\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{ cm}}^2$, adică în total $384{\text{ cm}}^2$, jumătate din dreptunghi.

B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului în învățământul primar (10 puncte)

Competența specifică Evidențierea unor caracteristici simple specifice formelor geometrice plane și corpurilor geometrice identificate în diferite contexte face parte din Programa școlară pentru clasa a II-a, Matematică și explorarea mediului, aprobată prin OMEN nr. 3418/2013.

• a) Relevați valențele formative ale utilizării unei strategii adecvate de reglare a procesului de predare-învățare-evaluare în realizarea competenței specifice date. 5 puncte
• b) Redactați un obiectiv operațional (folosind un model de operaționalizare la alegere), corelat cu o sarcină de învățare și cu un item de evaluare, aplicabile în formarea/dezvoltarea competenței specifice date. 5 puncte

Baremul, pe scurt: a) precizarea strategiei 1 p, valențele formative 4 p (prezentare adecvată și nuanțată 4 p / superficială, ezitantă 1 p); b) obiectivul operațional, sarcina de învățare, itemul de evaluare, corelarea lor și corectitudinea științifică, câte 1 p.

Proba din 20 iulie 2022

Fișierele Def_083_Limba_romana_I_2022_var_03_LRO.pdf și Def_083_Limba_romana_I_2022_bar_03_LRO.pdf, din DEFINITIVAT_2022.zip (copie Wayback din 20.06.2023 a arhivei oficiale; aproximativ 23 MB).

1. Martin desenează pe caiet numai triunghiuri, apoi numai pătrate, în total $45$ de figuri și $153$ de laturi. Martin colorează prima figură cu roșu, a doua cu galben, a treia cu albastru, apoi iar colorează cu roșu, apoi cu galben, apoi cu albastru, și tot așa până când termină de colorat toate figurile. Ce culoare are ultimul triunghi desenat pe caiet? 7 puncte

Soluția (barem 2 p + 3 p + 2 p): cu $t$ triunghiuri și $p$ pătrate, $t+p=45$ și $3t+4p=153$ (2 p); din $3t+3p=135$ rezultă $p=18$ și $t=27$ (3 p). Triunghiurile sunt figurile $1$–$27$, iar culorile se repetă din trei în trei; $27$ se împarte exact la $3$, deci figura $27$ are culoarea figurii a treia: ultimul triunghi e albastru (2 p).

2. Se dă expresia: $E(x,y)=xy-4x-4y+16$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

• a) Demonstrați că $E(x,y)=(x-4)(y-4)$.
• b) Calculați $E\left(\sqrt{0},\sqrt{1}\right)\cdot E\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)\cdot E\left(\sqrt{4},\sqrt{5}\right)\cdot \dots \cdot E\left(\sqrt{20},\sqrt{21}\right)$.

4 puncte

Soluția: a) $xy-4x-4y+16=x(y-4)-4(y-4)=(x-4)(y-4)$ (2 p). b) Printre factori e $E\left(\sqrt{16},\sqrt{17}\right)=(4-4)\left(\sqrt{17}-4\right)=0$ (1 p), deci produsul este $0$ (1 p). Atenție: stratul de text al PDF-ului pierde radicalii; fără ei, factorul nul ar fi $E(4,5)$.

3. În figura alăturată este reprezentat un trapez $ABCD$ în care $\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^{\circ }$, $\sphericalangle B=45^{\circ }$, iar $AD=DC=6\text{ cm}$.

• a) Demonstrați că $AB=12\text{ cm}$.
• b) Demonstrați că distanța de la $D$ la $BC$ este $3\sqrt{2}\text{ cm}$.

7 puncte

Figura din subiect: $D$ sus, în stânga, $C$ sus, $A$ jos, în stânga, $B$ jos, în dreapta.

Soluția: a) cu $CE\perp AB$, $E\in AB$: $CE=AD=6\text{ cm}$ (1 p); unghiul $B$ are $45^{\circ }$, deci triunghiul $CEB$ e isoscel, cu $EB=CE=6\text{ cm}$ (1 p); $AE=CD=6\text{ cm}$, deci $AB=12\text{ cm}$ (1 p). b) ${\mathcal{A}}_{△DCB}=\frac{DC\cdot DA}{2}=18{\text{ cm}}^2$ (1 p); aceeași arie e $\frac{d(D,CB)\cdot CB}{2}$ (1 p); cu $CB=6\sqrt{2}\text{ cm}$ rezultă $d(D,CB)=3\sqrt{2}\text{ cm}$ (2 p). Rigoare: $CB=6\sqrt{2}\text{ cm}$ vine din teorema lui Pitagora în triunghiul $CEB$ ($6^2+6^2=72$); baremul îl folosește fără să-l scrie.

4. Câte cuburi cu latura de $3$ cm încap într-un cub cu latura de $9$ cm? 2 puncte

Soluția (1 p + 1 p): $V_1=3^3=27{\text{ cm}}^3$, $V_2=9^3=729{\text{ cm}}^3$, iar $729:27=27$ de cuburi. Rigoare: împărțirea volumelor dă răspunsul pentru că $9=3\cdot 3$: pe fiecare muchie încap exact 3 cuburi, deci $3\cdot 3\cdot 3=27$, fără spațiu liber.

B. Metodica predării matematicii/matematicii și explorării mediului în învățământul primar (10 puncte)

Competența specifică Utilizarea unor unități de măsură pentru determinarea, compararea și ordonarea duratelor unor evenimente variate face parte din Programa școlară pentru clasa a II-a, Matematică, aprobată prin OMEN nr. 3418/2013.

• a) Precizați o metodă pe care o considerați adecvată pentru realizarea competenței specifice date și argumentați alegerea metodei, relevându-i valențele formative. 5 puncte
• b) Formulați un obiectiv operațional (folosind un model de operaționalizare la alegere), corelat cu o sarcină de învățare și cu un item de evaluare, aplicabile în formarea/dezvoltarea competenței specifice date. 5 puncte

La clasa a II-a, disciplina din programa aprobată prin OMEN nr. 3418/2013 se numește Matematică și explorarea mediului; competența citată e acolo, la 6.2.

Baremul, pe scurt: a) precizarea metodei 1 p, argumentarea cu valențele formative 4 p (adecvată și nuanțată 4 p / superficială, ezitantă 1 p); b) obiectivul operațional, sarcina de învățare, itemul de evaluare, corelarea lor și corectitudinea științifică, câte 1 p.

Proba din 14 iulie 2021

Fișierele Def_083_Limba_romana_I_2021_var_03_LRO.pdf și Def_083_Limba_romana_I_2021_bar_03_LRO.pdf, din DEFINITIVAT_2021.zip (copie Wayback din 17.07.2024 a arhivei oficiale; aproximativ 19 MB).

1. Un biciclist a parcurs un drum în trei zile. În prima zi a parcurs o treime din lungimea drumului, a doua zi jumătate din lungimea drumului rămas de parcurs după prima zi și încă $2$ km, iar în ultima zi a parcurs restul lungimii drumului, adică $18$ km. Aflați lungimea totală a drumului. Rezolvați problema printr-o metodă aritmetică. 5 puncte

Soluția (barem: reprezentarea grafică 1 p, prima zi 1 p, a doua zi 1 p, totalul 2 p): după prima zi rămân două treimi din drum; jumătate din ele e chiar o treime, adică exact cât în prima zi. A treia zi s-a parcurs cealaltă jumătate a restului, fără cei $2$ km, deci jumătatea restului are $18+2=20$ km: prima zi, $20$ km. A doua zi, $20+2=22$ km. Drumul are $20+22+18=60$ km. Rigoare: baremul scrie direct „I zi = 18+2=20 km”; legătura e că jumătate din cele două treimi rămase este o treime din drum.

2. Aflați numărul $x$ din proporția: $\frac{\frac{1}{4}+2+\frac{2}{3}}{\frac{1}{5}+0,2}=\frac{x}{3\frac{3}{7}}$. 5 puncte

Soluția (5 p, un singur rând în barem): $\frac{1}{4}+2+\frac{2}{3}=\frac{35}{12}$, $\frac{1}{5}+0,2=\frac{2}{5}$, $3\frac{3}{7}=\frac{24}{7}$; din proporție, $x\cdot \frac{2}{5}=\frac{35}{12}\cdot \frac{24}{7}=10$, deci $x=25$.

3. În trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$, $AB\parallel CD$, $AB>CD$, $CD=8\text{ cm}$, construim $CE\perp AB$, cu $E\in AB$, unde $CE=4\text{ cm}$. Știind că diferența dintre lungimea bazei mari și lungimea bazei mici este egală cu lungimea segmentului $CE$, aflați:

• a) aria trapezului $ABCD$;
• b) măsura unghiului $CBA$;
• c) măsura unghiului $DCB$;
• d) raportul dintre aria triunghiului $CEB$ și aria dreptunghiului $AECD$.

7 puncte

Soluția: a) $AECD$ e dreptunghi, deci $AE=CD=8\text{ cm}$ (1 p); $AB-CD=CE$ dă $AB=12\text{ cm}$, iar aria trapezului e $\frac{(12+8)\cdot 4}{2}=40{\text{ cm}}^2$ (2 p). b) $EB=12-8=4\text{ cm}=CE$ și $CE\perp EB$, deci triunghiul $CEB$ e dreptunghic isoscel și $\sphericalangle CBA=45^{\circ }$ (1 p). c) $\sphericalangle DCB=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$ (1 p). d) ${\mathcal{A}}_{△CEB}=\frac{4\cdot 4}{2}=8{\text{ cm}}^2$, ${\mathcal{A}}_{AECD}=8\cdot 4=32{\text{ cm}}^2$, raportul $\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$ (2 p).

4. O cameră de forma unui paralelipiped dreptunghic are lungimea de $5$ m, lățimea de $3$ m și înălțimea de $2,5$ m. Pe unul dintre pereți este o fereastră cu lățimea de $1,2$ m și lungimea de $1,5$ m, iar pe un alt perete este o ușă cu lățimea de $0,8$ m și lungimea de $2,5$ m. Pereții camerei se acoperă cu tapet. Aflați suprafața de tapet necesară. 3 puncte

Soluția (1 p + 2 p): fereastra are $1,2\cdot 1,5=1,8{\text{ m}}^2$, ușa $0,8\cdot 2,5=2{\text{ m}}^2$, împreună $3,8{\text{ m}}^2$ (1 p); pereții au aria laterală $2\cdot (5+3)\cdot 2,5=40{\text{ m}}^2$, deci tapetul acoperă $40-3,8=36,2{\text{ m}}^2$ (2 p).

B. Metodica predării matematicii/matematicii și explorării mediului în învățământul primar (10 puncte)

Competența specifică Localizarea unor obiecte în spațiu și în reprezentări, în situații familiare face parte din Programa școlară pentru clasa a III-a, Matematică, aprobată prin OMEN nr. 5003/2014.

• a) Pornind de la competența specifică dată, scrieți două exemple de activități de învățare pentru o lecție de predare-învățare. 6 puncte
• b) Elaborați un item de evaluare din categoria itemilor obiectivi, aplicabil în evaluarea formării/dezvoltării competenței specifice date, prin valorificarea unuia dintre exemplele de activități de învățare de la subpunctul a). 4 puncte

Notă: Pentru itemul elaborat se punctează: respectarea formatului itemului, redactarea baremului și corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul, pe scurt: a) câte 3 p pentru fiecare dintre cele două activități de învățare potrivite competenței (6 p); b) respectarea formatului itemului 2 p, redactarea baremului 1 p, corectitudinea științifică 1 p.

Întrebări frecvente

Ce se dă la matematică la definitivatul învățătorilor?

În proba scrisă de 4 ore, matematica are două părți: Subiectul I, B. Matematică (20 de puncte: trei probleme în 2023, 2025 și 2026, patru în 2021, 2022 și 2024) și Subiectul al II-lea, B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului (10 puncte: în 2024–2026, o analiză în 1-2 pagini; în 2021–2023, cerințe punctate pe rânduri, pornind de la o competență specifică dată). Restul punctelor sunt la limba și literatura română (40), la metodica ei (20) și din oficiu (10).

Care este programa de matematică la definitivat pentru învățători?

Programa pentru limba și literatura română și matematică, metodica predării limbii și literaturii române / comunicării în limba română și metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului în învățământul primar, din 2020, aprobată prin OMEC nr. 5976/2020, cum arată Centralizatorul pentru sesiunea 2026 (Monitorul Oficial nr. 131 bis/17.02.2026). Partea de matematică are 7 capitole (de la mulțimi la metodele aritmetice de rezolvare a problemelor), iar metodica are curriculumul, metodologiile pe teme și evaluarea.

Ce s-a dat la matematică la definitivatul învățătorilor în 2026?

Trei probleme: o problemă rezolvată prin metoda grafică (figurativă), cu răspunsul 120 de lei (6 puncte); numerele de trei cifre „elegante”, cu produsul cifrelor nenule egal cu 12: diferența 621 − 126 = 495 și 23 de numere în total (7 puncte); un trapez dreptunghic cu unghiul de 45 de grade, în care distanța AD este de 20 km, iar triunghiul ACD are 25 % din aria trapezului (7 puncte).

Din ce clasă a fost metodica matematicii la definitivatul învățătorilor 2026?

Din clasa pregătitoare. S-a cerut o analiză în 1-2 pagini despre abordările didactice interdisciplinare în lecțiile de matematică și explorarea mediului: explicarea necesității lor (3 puncte), prezentarea unei abordări interdisciplinare într-o activitate (5 puncte), corectitudinea și coerența textului (1 punct) și încadrarea în spațiu (1 punct).

Este obligatorie metoda figurativă la definitivatul învățătorilor?

În 2023, 2024, 2025 și 2026, enunțul primei probleme a cerut explicit metoda figurativă (grafică), iar baremul a dat puncte separate pentru desen: 2 puncte în 2023, 3 puncte în 2024 și câte 2 puncte în 2025 și în 2026. În 2021, enunțul a cerut „o metodă aritmetică”, iar în 2022 prima problemă nu a cerut o metodă anume. Metoda figurativă e în programa de examen, atât la matematică (metodele aritmetice de rezolvare a problemelor), cât și la metodică.

Unde găsesc subiectele de matematică de la definitivatul învățătorilor din anii trecuți?

Ministerul le păstrează în arhiva „Subiecte și bareme” a fiecărui an, pe gazdele subiecte2024, subiecte2025 și subiecte2026 (.edu.ro, doar pe http); pentru 2021, 2022 și 2023, gazdele nu mai răspund și arhivele se găsesc în copiile Internet Archive (web.archive.org). Proba învățătorilor are fișierele Def_083_Limba_romana_I. Pe pagina asta, partea de matematică din 2021–2026 e transcrisă, cu soluțiile din barem. Pentru 2020 și anii dinainte nu avem încă o secțiune.

Mai departe

• Definitivat matematică: subiecte rezolvate, barem și programă: proba profesorilor de matematică și tabelul notei necesare la scris.
• Calculatorul notei de definitivat: din notele la inspecții, portofoliu și scris, nota cu care promovezi sau nu.
• Subiecte titularizare învățători: partea de matematică: proba de titularizare a învățătorilor, cu programa ei.
• Programele școlare de matematică pentru primar: de la clasa pregătitoare la clasa a IV-a.

Sursele

• Subiectele și baremele: Ministerul Educației și Cercetării, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (2025, 2026), și Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (2024), „Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, Probă scrisă, Lb. și lit. română și matematică, metodica predării…”, Varianta 2 (14 iulie 2026, 8 iulie 2025, 24 iulie 2024) și modelul pentru 2026, din arhivele oficiale de pe subiecte2024–2026.edu.ro; Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, Varianta 3 (19 iulie 2023, 20 iulie 2022, 14 iulie 2021), din copiile Internet Archive ale arhivelor oficiale de pe subiecte2021–2023.edu.ro.
• Metodologia: OMEC nr. 5434/31.08.2020, Metodologia-cadru de organizare și desfășurare a examenului național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, modificată prin OME nr. 5722/2022 (forma consolidată publicată pe definitivat.edu.ro): art. 18, 20, 21, 22, 35, 36.
• Programa: Programa pentru limba și literatura română și matematică, metodica predării… în învățământul primar (învățământ primar în limba română), București, 2020, aprobată prin OMEC nr. 5976/2020 (Centralizatorul 2026, anexa la Ordinul nr. 3.168/2026, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 131 bis/17.02.2026).
• Programa școlară: Programa școlară pentru disciplina Matematică și explorarea mediului, clasa pregătitoare, clasa I și clasa a II-a, OMEN nr. 3418/19.03.2013, Anexa nr. 2.

Verificat de noi pe 17.10.2026: enunțurile și baremele de matematică din 2021–2026 și din model le-am comparat cu imaginea paginilor PDF (stratul de text pierde fracțiile etajate din 2021, radicalii din 2022, exponenții din 2023, puterea $2^2$ și semnul $\parallel$ din 2024; în schimb, semnul de triunghi din baremul 2026, problema 3 a), lipsește din imagine și l-am luat din stratul de text; semnul „=” de la problema 3 b) lipsește chiar din barem). Rezultatele din 2026 au fost refăcute prin calcul simbolic, iar numerele elegante, prin numărarea tuturor numerelor de trei cifre; soluțiile din 2021–2025 au fost recalculate la fel. Copiile Wayback din 2021–2023 au aceeași mărime cu originalul declarat, iar PDF-urile au data creării egală cu ziua probei. Competențele și activitățile din modelul de răspuns sunt copiate din programa de MEM. Afirmațiile despre metodologie, programă și ordin sunt citite din textele oficiale.