Model titularizare învățători 2026: matematică și metodica matematicii, cu barem și rezolvare

Pe scurt: modelul de subiect publicat pentru titularizarea învățătorilor din 2026 are aceeași structură ca proba reală: 4 ore, trei subiecte de câte 30 de puncte și 10 puncte din oficiu. Pagina de față acoperă doar partea de matematică a modelului: Subiectul al II-lea, A. Matematică (15 puncte: metoda figurativă, media notelor dintr-un tabel, un pătrat cu diagonala împărțită în trei), și Subiectul al III-lea, B. Metodica predării matematicii (10 puncte: o abordare intradisciplinară și una interdisciplinară, pe o secvență din programa clasei a III-a). Pe pagină: enunțurile transcrise exact, baremul oficial, rezolvarea noastră și un model de răspuns la metodică, pentru aceste două părți. Modelul reia aproape în întregime subiectul dat pe 15 iulie 2025 (Varianta 3), iar partea lui de matematică e identică, cuvânt cu cuvânt.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Despre model · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea · Metodica: model de răspuns · Întrebări frecvente

Despre model și ce acoperă pagina

Modelul a fost publicat în arhiva „modele de subiecte” a sesiunii 2026, pe subiecte2026.edu.ro (legătură http; arhiva ZIP are aproximativ 46 MB și cuprinde toate disciplinele). Fișierele probei învățătorilor sunt Tit_083_Limba_romana_I_2026_var_model.pdf (subiectul) și Tit_083_Limba_romana_I_2026_bar_model.pdf (baremul). PDF-urile au fost create în decembrie 2025, dar antetul lor poartă data probei: 21 iulie 2026.

Modelul față de proba din 2025. Am comparat textul celor două PDF-uri și imaginile paginilor cu matematica. Modelul reia aproape în întregime subiectul din 15 iulie 2025 (Varianta 3): diferă antetul și o cerință de la limba română (Subiectul I, 1. e), cu un citat mai scurt). Subiectul al II-lea, A, și Subiectul al III-lea, B, sunt identice, la fel și baremul lor. Proba reală din 2026 a fost alta: o găsești pe pagina titularizare învățători 2026, cu rezolvarea ei.

Exersează în condiții de examen: cele două părți de matematică valorează 25 de puncte din 90, deci aproximativ 67 de minute din cele 4 ore, dacă împarți timpul proporțional. Rezolvă doar secțiunea Subiectul în acest timp, apoi compară cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul: partea de matematică a modelului

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026. Probă scrisă. Lb. și lit. română și matematică, elem. de ped. șc., metodica predării lb. și lit. române / com. în lb. română / mat. / mat. și expl. med. în învățământul primar (învățământ primar în limba română). Model.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Transcriem doar Subiectul al II-lea, partea A, și Subiectul al III-lea, partea B. Celelalte părți sunt în PDF-ul oficial.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

A. Matematică (15 puncte)

1. Ada, Bogdan și Codrin au împreună $450$ de lei, iar Bogdan are jumătate din suma pe care o au împreună Ada și Codrin.

• a) Folosind metoda figurativă/grafică, determinați suma de bani pe care o are Bogdan.
• b) Știind că suma de bani a Adei este cu $100$ de lei mai mică decât suma de bani a lui Codrin, determinați suma de bani pe care o are Codrin.

6 puncte

2. În tabelul de mai jos sunt înregistrate notele obținute de elevii clasei a cincea la un test.

Utilizând informațiile din tabel, calculați media notelor obținute de elevii clasei la testul susținut. 3 puncte

3. Se consideră pătratul $ABCD$, cu $AB=6\text{ cm}$, iar punctele $M$ și $N$ sunt situate pe diagonala $AC$, astfel încât $AM=MN=NC$.

• a) Calculați aria triunghiului $DMN$.
• b) Calculați $\frac{{\mathcal{A}}_{△DMN}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}$.

6 puncte

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului (10 puncte)

Următoarea secvență face parte din Programa școlară pentru disciplina Matematică - clasa a III-a (OMEN nr. 5003/2014):

Competențe specifice: 4.2. Operarea cu unități de măsură standardizate, fără transformări

Exemple de activități de învățare:

• efectuarea unor calcule folosind unități de măsură pentru lungime, masă, capacitate (volum), unități monetare
• rezolvarea de probleme practice în care intervin unități de măsură standard
• operarea cu unități de măsură în efectuarea de activități practice/experimentale

Conținuturi:

Unități și instrumente de măsură. Operații cu unități de măsură (fără transformări)

• Unități de măsură pentru lungime

• Unități de măsură pentru volumul lichidelor

• Unități de măsură pentru masă

• Unități de măsură pentru timp

• Unități de măsură monetare

• a) Menționați o abordare intradisciplinară și o abordare interdisciplinară care pot fi utilizate pentru formarea/dezvoltarea competenței specifice date. 4 puncte

• b) Detaliați o secvență din proiectarea unui demers didactic pentru formarea/dezvoltarea competenței specifice date prin una din abordările menționate la punctul a). 6 puncte

Baremul oficial (partea de matematică a modelului)

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026. Probă scrisă. Lb. și lit. română și matematică, elem. de ped. șc., metodica predării lb. și lit. române / com. în lb. română / mat. / mat. și expl. med. în învățământul primar (învățământ primar în limba română). Barem de evaluare și de notare. Model.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor. Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

A. Matematică (15 puncte)

1.

• a) Reprezentarea grafică a datelor problemei — 2p
• Bogdan are $450:3=150$ de lei — 2p
• b) Codrin are $200$ de lei — 2p

2.

• $m=\frac{5\cdot 2+6\cdot 4+7\cdot 4+8\cdot 6+9\cdot 6+10\cdot 3}{2+4+4+6+6+3}$ — 2p
• $m=7,76$ — 1p

3.

• a) $AC=6\sqrt{2}\text{ cm}\Rightarrow MN=2\sqrt{2}\text{ cm}$; $DO=3\sqrt{2}\text{ cm}$, unde $AC\cap DB=\{O\}$ — 2p
• ${\mathcal{A}}_{△DMN}=\frac{DO\cdot MN}{2}=6{\text{ cm}}^2$ — 2p
• b) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=36{\text{ cm}}^2$ — 1p
• $\frac{{\mathcal{A}}_{DMN}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ — 1p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

B. Metodica predării matematicii / matematicii și explorării mediului (10 puncte)

• a) câte 2 puncte pentru menționarea oricărei abordări intradisciplinare și a oricărei abordări interdisciplinare care pot fi utilizate pentru formarea/dezvoltarea competenței specifice date — 2p+2p=4 puncte
• b) detalierea oricărei secvențe din proiectarea unui demers didactic pentru formarea/dezvoltarea competenței specifice date prin abordarea intradisciplinară sau prin cea interdisciplinară menționată la punctul a): detaliere adecvată și nuanțată a abordării alese care conduce la formarea/dezvoltarea competenței specifice din secvența dată – 6p. / detalierea abordării alese, dar care nu conduce la formarea/dezvoltarea competenței specifice date – 2p. / detalierea unei abordări care nu este realizată prin activitatea de învățare aleasă – 1p. — 6 puncte

În PDF-ul baremului, la b), scrie „detalierere adecvată”, o greșeală de tipar. Am transcris „detaliere”.

Rezolvarea noastră, pas cu pas (Subiectul al II-lea, A)

Rezolvările urmează baremul. Acolo unde baremul dă doar rezultatul (problema 1 b)) sau sare o justificare (de ce $DO$ este înălțimea triunghiului $DMN$), o scriem, din rigoare. Fiecare rezultat a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Problema 1: metoda figurativă (Ada, Bogdan și Codrin)

a) „Bogdan are jumătate din suma Adei și a lui Codrin” înseamnă că suma Adei și a lui Codrin e de două ori cât a lui Bogdan. Reprezentăm suma lui Bogdan printr-o parte; atunci Ada și Codrin, împreună, au două părți egale cu ea.

Desen orientativ, nu la scară.

Toți trei au $1+2=3$ părți egale, adică $450$ de lei, deci o parte este $450:3=150$ de lei. Bogdan are $150$ de lei.

b) Ada și Codrin au împreună $450-150=300$ de lei, iar Codrin are cu $100$ de lei mai mult decât Ada.

Desen orientativ, nu la scară.

Fără cei $100$ de lei în plus rămân două părți egale: $300-100=200$, deci Ada are $200:2=100$ de lei, iar Codrin are $100+100=200$ de lei. Verificare: $100+150+200=450$, iar $150$ este jumătate din $100+200=300$.

Problema 2: media notelor

Notele au frecvențe diferite, deci media clasei este o medie ponderată: fiecare notă se înmulțește cu numărul elevilor care au luat-o, iar suma se împarte la numărul total de elevi.

• numărul elevilor: $2+4+4+6+6+3=25$;
• suma notelor: $5\cdot 2+6\cdot 4+7\cdot 4+8\cdot 6+9\cdot 6+10\cdot 3=10+24+28+48+54+30=194$;
• media: $m=\frac{194}{25}=7,76$.

Problema 3: pătratul și diagonala împărțită în trei

a) Diagonala pătratului de latură $6\text{ cm}$ are, din teorema lui Pitagora în triunghiul $ABC$, $AC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$. Punctele $M$ și $N$ împart diagonala în trei segmente egale, deci $MN=\frac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}\text{ cm}$.

Fie $O$ punctul de intersecție al diagonalelor. Diagonalele pătratului sunt congruente, perpendiculare și se înjumătățesc, deci $DO\perp AC$ și $DO=\frac{BD}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$. Cum $M$ și $N$ sunt pe dreapta $AC$, $DO$ este înălțimea din $D$ a triunghiului $DMN$. Atunci $${\mathcal{A}}_{△DMN}=\frac{MN\cdot DO}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{2}=\frac{12}{2}=6{\text{ cm}}^2.$$

Altă cale, fără radicali: triunghiurile $DAM$, $DMN$ și $DNC$ au bazele egale, pe aceeași dreaptă $AC$, și aceeași înălțime din $D$, deci au arii egale. Împreună formează triunghiul $DAC$, adică jumătate din pătrat: $\frac{36}{2}=18{\text{ cm}}^2$. Așadar ${\mathcal{A}}_{△DMN}=18:3=6{\text{ cm}}^2$.

b) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=6^2=36{\text{ cm}}^2$, deci $$\frac{{\mathcal{A}}_{△DMN}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$

Unde se pierd puncte la matematică

• Problema 1 a): fără desen se pierd cele 2 puncte pentru „reprezentarea grafică a datelor problemei”. Cine citește relația invers (ca și cum Bogdan ar avea dublul sumei Adei și a lui Codrin) desenează două părți pentru Bogdan și obține $300$ de lei, un rezultat greșit.
• Problema 2: media celor șase note scrise în tabel, $\frac{5+6+7+8+9+10}{6}=7,5$, nu ține cont de câți elevi au luat fiecare notă. Se cere media ponderată.
• Problema 3 a): aria scrisă fără unitatea de măsură. Baremul nu cere justificarea că $DO$ e înălțimea triunghiului $DMN$; o scriem în rezolvare din rigoare (diagonalele pătratului sunt perpendiculare).

Subiectul al III-lea, B: modelul nostru de răspuns la metodica matematicii

Baremul nu dă un răspuns-model, ci criterii: la a), oricare abordare intradisciplinară și oricare abordare interdisciplinară potrivite (2 puncte fiecare); la b), o secvență de proiectare în care abordarea aleasă conduce la competența 4.2, prin activitatea de învățare aleasă (6 puncte). Mai jos e un model de răspuns, gândit să îndeplinească fiecare criteriu din barem. Capcana competenței este „fără transformări”: nicăieri în exemplu nu se trece dintr-o unitate de măsură în alta.

Modelul de răspuns

a) Cele două abordări

1. Abordarea intradisciplinară leagă domenii ale matematicii între ele: unitățile de măsură cu adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0–10 000 și cu organizarea datelor într-un tabel. De exemplu, elevii rezolvă probleme practice cu prețuri în lei: „Un caiet costă 6 lei, iar un penar costă 25 de lei. Cât costă împreună? Cât rest primești de la 50 de lei?” Toate sumele sunt în lei, fără transformări.
2. Abordarea interdisciplinară leagă matematica de Științe ale naturii, disciplină din planul-cadru al clasei a III-a. Programa de Științe ale naturii a clasei a III-a (aprobată prin același ordin, OMEN nr. 5003/2014, Anexa nr. 2) dă ca exemplu „măsurarea inițială, apoi periodică a înălțimii celor două plante”. Elevii măsoară în centimetri înălțimea a două plante dintr-un experiment (una udată, una neudată) și fac calcule cu rezultatele.

b) Secvența didactică, prin abordarea interdisciplinară

• Clasa: a III-a. Competența specifică: 4.2. Operarea cu unități de măsură standardizate, fără transformări.
• Activitatea de învățare (din extras): operarea cu unități de măsură în efectuarea de activități practice/experimentale.
• Conținutul: Unități de măsură pentru lungime, operații fără transformări (centimetrul).
• Timpul și organizarea: experimentul durează patru săptămâni, câte 5 minute de măsurare pe săptămână; calculele și discuția, 25 de minute dintr-o lecție de matematică. Măsurarea se face pe grupe de câte patru elevi, calculele individual, discuția frontal.
• Mijloacele didactice: două ghivece cu câte o plantă de fasole, o stropitoare, rigle gradate în centimetri, fișa experimentului.

Momentul 1. Experimentul (la Științe ale naturii). Clasa pune, unul lângă altul, două ghivece cu fasole încolțită: o plantă e udată regulat, cealaltă nu mai e udată. În fiecare luni, timp de patru săptămâni, câte o grupă măsoară cu rigla înălțimea fiecărei plante, în centimetri, și o trece în fișă. Numerele de mai jos sunt doar un exemplu de fișă completată; la clasă se lucrează cu ce au măsurat elevii:

Momentul 2. Calculele cu unități de măsură (la Matematică). Elevii primesc fișa completată și rezolvă individual:

1. Cu câți centimetri a crescut planta udată în prima săptămână? ($9\text{ cm}-4\text{ cm}=5\text{ cm}$)
2. Cu câți centimetri a crescut fiecare plantă de la prima la ultima măsurare? ($22\text{ cm}-4\text{ cm}=18\text{ cm}$; $7\text{ cm}-4\text{ cm}=3\text{ cm}$)
3. Cu câți centimetri este mai înaltă planta udată la ultima măsurare? ($22\text{ cm}-7\text{ cm}=15\text{ cm}$)
4. În ce săptămână a crescut cel mai mult planta udată? (a crescut cu $5\text{ cm}$, $6\text{ cm}$, apoi $7\text{ cm}$, deci în a treia săptămână)

Învățătorul cere ca fiecare rezultat să fie scris cu unitatea de măsură („18 cm”, nu „18”), pentru că exact asta înseamnă „operarea cu unități de măsură”: numerele se adună și se scad doar când au aceeași unitate.

Momentul 3. Concluzia și feedbackul (frontal). Elevii compară rezultatele din fișa lor și spun, cu numere și unități, ce arată măsurătorile (de exemplu: „planta udată a crescut cu 18 cm, cea neudată cu 3 cm”). Concluzia se trece și în fișa de Științe ale naturii. Învățătorul apreciază fișele prin calificative și discută greșeala cea mai frecventă, rezultatul scris fără unitatea de măsură.

De ce îndeplinește baremul: abordarea interdisciplinară e cea numită la a). Activitatea de învățare e copiată din extras și e chiar o activitate practică/experimentală. Toate măsurătorile sunt în centimetri, deci elevii operează cu unități de măsură fără transformări, ca în competența 4.2. Numerele rămân sub 100, în concentrul clasei a III-a.

Legătura cu standardele din 2026. Standardele naționale de evaluare au fost aprobate prin OMEC nr. 4615/04.08.2026 și publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis/14.08.2026, după publicarea modelului. Se aplică la clasă din anul școlar 2026–2027. Standardele clasei a III-a sunt pe pagina standardelor de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la metodica matematicii

• Transformări de unități în exemplu (de exemplu, „1 m 20 cm = 120 cm”): competența dată e „fără transformări”, iar transformările sunt la clasa a IV-a.
• Două abordări interdisciplinare sau o abordare intradisciplinară care e, de fapt, o altă disciplină: intradisciplinar înseamnă legături în interiorul matematicii.
• O disciplină care nu există la clasa a III-a: de exemplu Istoria sau Geografia, care apar abia la clasa a IV-a.
• Activitate de învățare inventată: baremul dă doar 1 punct pentru „detalierea unei abordări care nu este realizată prin activitatea de învățare aleasă”.

Materiale pentru clasa a III-a

• Programa clasei a III-a, cu toate competențele: programa de matematică la clasa a III-a.
• Lecțiile: Unitățile de măsură pentru lungime, Operații și probleme cu unități de lungime, Operații și probleme cu capacitate și masă.
• Pentru partea de matematică: metoda figurativă, media aritmetică ponderată, teorema lui Pitagora.

Întrebări frecvente

Modelul de titularizare pentru învățători din 2026 e același cu subiectul din 2025?

Aproape în întregime. Diferă antetul și o cerință de la limba română (Subiectul I, 1. e), cu un citat mai scurt). Subiectul al II-lea, A (Matematică), și Subiectul al III-lea, B (metodica predării matematicii), sunt identice, cuvânt cu cuvânt, cu cele din subiectul dat pe 15 iulie 2025 (Varianta 3), iar baremul lor e același. Am comparat textul și imaginile paginilor. Proba reală din 21 iulie 2026 a avut alte cerințe.

Unde găsesc modelul oficial de subiect pentru titularizarea învățătorilor 2026?

În arhiva Modele_Titularizare_2026.zip de pe subiecte2026.edu.ro, în fișierele Tit_083_Limba_romana_I_2026_var_model.pdf (subiectul) și Tit_083_Limba_romana_I_2026_bar_model.pdf (baremul). Pe pagina asta, partea de matematică a amândurora e transcrisă integral.

Ce se cere la metodica matematicii în modelul pentru 2026?

O secvență din programa de matematică a clasei a III-a, cu competența specifică 4.2, „Operarea cu unități de măsură standardizate, fără transformări”. Se cer o abordare intradisciplinară și una interdisciplinară (4 puncte) și detalierea unei secvențe de proiectare prin una dintre ele (6 puncte).

Mai departe

• Subiecte titularizare învățători: partea de matematică, toți anii și programa: pagina probei, cu tabelul pe ani.
• Subiectul real din 2026: partea de matematică, rezolvată.
• Subiect titularizare învățători 2025: proba pe care o reia modelul.
• Calculatorul de medie la titularizare.

Sursele

• Modelul și baremul: Ministerul Educației și Cercetării, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, modelul de subiect pentru proba „Lb. și lit. română și matematică, elem. de ped. șc., metodica predării…” a concursului din 2026, subiect și barem, arhiva Modele_Titularizare_2026.zip de pe subiecte2026.edu.ro.
• Subiectul din 2025: arhiva Titularizare_2025.zip de pe subiecte2025.edu.ro, fișierele Tit_083_Limba_romana_I_2025_var_03_LRO.pdf și Tit_083_Limba_romana_I_2025_bar_03_LRO.pdf.
• Programa școlară: Programa școlară pentru disciplina Matematică și programa școlară pentru disciplina Științe ale naturii, clasele a III-a – a IV-a, OMEN nr. 5003/02.12.2014, Anexa nr. 2.
• Planul-cadru pentru învățământul primar: OMEN nr. 3371/12.03.2013, Anexa nr. 1.

Verificat de noi pe 17.10.2026: transcrierea e comparată cu imaginea paginilor cu partea de matematică, din PDF-urile oficiale (stratul de text pierde simbolul de triunghi din ${\mathcal{A}}_{△DMN}$). Identitatea cu subiectul din 2025 e verificată prin compararea textelor celor două PDF-uri și a imaginilor paginilor. Fiecare rezultat al rezolvării a fost refăcut prin calcul simbolic, iar în scriptul de control am verificat că toate mărimile din modelul de răspuns sunt în aceeași unitate de măsură.