Binomul lui Newton

Formulă din tema Combinatorică, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}

Dezvoltarea are $n + 1$ termeni: exponentul lui $a$ coboară de la $n$ la $0$ , cel al lui $b$ urcă de la $0$ la $n$ , iar în fiecare termen suma exponenților este $n$ . Coeficienții sunt exact linia $n$ din triunghiul lui Pascal. La $(a - b)^{n}$ semnele alternează, pentru că $(- b)^{k} = (- 1)^{k} b^{k}$ : termenul de rang $k + 1$ este negativ când $k$ este impar. Verificare rapidă: pentru $a = b = 1$ obții $2^{n}$ , adică suma coeficienților.

Exemplu: $(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ . • $(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 4 + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ . • $(x - 1)^{4} = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$ , cu semnele alternând.

Binomul lui Newton

Continuă cu