Permutări, aranjamente, combinări: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Combinatorică, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a X-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a X-a; în tema ei stă la finalul paginii „Combinatorică”.

Numărul $n$ este câte obiecte distincte ai, iar $k$, câte alegi, cu $0\le k\le n$. Primul rând, $P_n$, numără ordinile tuturor obiectelor. Al doilea, $A_n^k$, numără alegerile în care contează ordinea: un produs cu exact $k$ factori, începând de la $n$. Al treilea, $C_n^k$, numără alegerile fără ordine: aranjamentele se împart la $k!$, fiindcă același grup apare în toate ordinile lui. Ultimul spune că un grup de $k$ obiecte alese îl determină pe cel de $n-k$ rămase deoparte, deci numărul lor e același. Capcană: dacă două obiecte trebuie să stea mereu alături, le lipești într-unul singur și înmulțești cu ordinile lor interne. Control: rezultatul este întotdeauna un număr întreg.

Exemplu: Un tehnician de mediu are de citit $9$ piezometre (puțuri de observație) dintr-un câmp. Le poate parcurge în $P_9=9!=362880$ de ordini. Dimineața citește patru piezometre, alese și în ordine: $A_9^4=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=3024$ de feluri. Pentru calibrarea aparatului se aleg patru piezometre, fără ordine: $C_9^4=\frac{A_9^4}{4!}=\frac{3024}{24}=126$. Cele cinci rămase pentru după-amiază se aleg în $C_9^5=C_9^4=126$ de feluri, la fel.